In 2012 is die Nobelprys in Ekonomie aan Lloyd Shapley en Alvin Roth toegeken. "Vir die teorie van stabiele verspreiding en die praktyk van die organisering van markte." Aleksey Savvateev het in 2012 probeer om die essensie van die meriete van wiskundiges eenvoudig en duidelik te verduidelik. Ek bied 'n opsomming aan u aandag .
Vandag sal daar 'n teoretiese lesing wees. Oor eksperimente , in die besonder met skenking, sal ek nie vertel nie.
Toe dit aangekondig is dat die Nobelprys ontvang het, was daar 'n standaardvraag: “Hoe!? Leef hy nog!?!?” Sy bekendste resultaat is in 1953 behaal.
Formeel is die bonus vir iets anders gegee. Vir sy referaat van 1962 oor die "huwelikstabiliteitstelling": "Kollegetoelating en die stabiliteit van die huwelik."
Oor volhoubare huwelik
bypassende (passing) - die taak om 'n korrespondensie te vind.
Daar is 'n sekere afgesonderde dorpie. Daar is "m" jong mans en "w" meisies. Ons moet hulle met mekaar trou. (Nie noodwendig dieselfde nommer nie, miskien sal iemand op die ou end alleen gelaat word.)
Watter aannames moet in die model gemaak word? Dat dit nie maklik is om lukraak weer te trou nie. 'n Sekere stap word geneem na vrye keuse. Kom ons sê daar is 'n wyse asakal wat weer wil trou sodat egskeidings na sy dood nie begin nie. (Egskeiding is 'n situasie wanneer 'n man 'n derdepartyvrou as sy vrou meer wil hê as sy vrou.)
Hierdie stelling is in die gees van moderne ekonomie. Sy is besonder onmenslik. Ekonomie was tradisioneel onmenslik. In ekonomie word die mens deur 'n masjien vervang om wins te maksimeer. Wat ek jou sal vertel, is absoluut mal dinge uit 'n morele oogpunt. Moenie dit ter harte neem nie.
Ekonome kyk op hierdie manier na die huwelik.
m1, m2,... mk - mans.
w1, w2,... wL - vroue.
'n Man word geïdentifiseer met hoe hy meisies "bestel". Daar is ook ’n “zero level”, waaronder vroue glad nie as vrouens aangebied kan word nie, al is daar nie ander nie.
Alles gebeur in beide rigtings, dieselfde vir meisies.
Die aanvanklike data is arbitrêr. Die enigste aanname/beperking is dat ons nie ons voorkeure verander nie.
Stelling: Ongeag die verspreiding en die vlak van nul, is daar altyd 'n manier om 'n een-tot-een korrespondensie tussen sommige mans en sommige vroue te vestig sodat dit robuust is vir alle soorte skeurings (nie net egskeidings nie).
Watter bedreigings kan daar wees?
Daar is 'n paartjie (m,w) wat nie getroud is nie. Maar vir w is die huidige man erger as m, en vir m is die huidige vrou erger as w. Dit is 'n onvolhoubare situasie.
Daar is ook die opsie dat iemand getroud was met iemand wat “onder nul” is; in hierdie situasie sal die huwelik ook uitmekaar val.
As 'n vrou getroud is, maar sy verkies 'n ongetroude man, vir wie sy bo nul is.
As twee mense albei ongetroud is, en albei is “bo nul” vir mekaar.
Daar word geargumenteer dat vir enige aanvanklike data so 'n huwelikstelsel bestaan wat bestand is teen alle soorte bedreigings. Tweedens is die algoritme om so 'n ewewig te vind baie eenvoudig. Kom ons vergelyk met M*N.
Hierdie model is veralgemeen en uitgebrei na "poligamie" en op baie gebiede toegepas.
Gale-Shapley-prosedure
As alle mans en alle vroue die "voorskrifte" volg, sal die gevolglike huwelikstelsel volhoubaar wees.
Voorskrifte.
Ons neem 'n paar dae soos nodig. Ons verdeel elke dag in twee dele (oggend en aand).
Op die eerste oggend gaan elke man na sy beste vrou en klop aan die venster en vra haar om met hom te trou.
In die aand van dieselfde dag draai die beurt na die vroue.Wat kan 'n vrou ontdek? Dat daar 'n skare onder haar venster was, óf een óf geen mans nie. Diegene wat vandag niemand het nie, slaan hul beurt oor en wag. Die res, wat ten minste een het, kyk na die manne wat kom om te sien dat hulle "bo vlak nul is." Om ten minste een te hê. As jy heeltemal ongelukkig is en alles is onder nul, dan moet almal gestuur word. Die vrou kies die grootste van die wat gekom het, sê vir hom om te wag en stuur die res.
Voor die tweede dag is die situasie so: sommige vroue het een man, sommige het geen.
Op die tweede dag moet alle "vry" (gestuurde) mans na die tweede prioriteit vrou gaan. As daar nie so iemand is nie, word die man enkellopend verklaar. Daardie mans wat reeds met vrouens sit, doen nog niks nie.
Saans kyk die vroue na die situasie. As iemand wat reeds gesit het, by 'n hoër prioriteit aangesluit het, dan word die laer prioriteit weggestuur. As die wat kom laer is as wat reeds beskikbaar is, word almal weggestuur. Vroue kies elke keer die maksimum element.
Ons herhaal.
Gevolglik het elke man deur die hele lys van sy vroue gegaan en is óf alleen gelaat óf met een of ander vrou verloof. Dan sal ons almal trou.
Is dit moontlik om hierdie hele proses uit te voer, maar vir vroue om na mans toe te hardloop? Die prosedure is simmetries, maar die oplossing kan anders wees. Maar die vraag is, wie is beter af hiervan?
Stelling. Kom ons oorweeg nie net hierdie twee simmetriese oplossings nie, maar die stel van alle stabiele huwelikstelsels. Die oorspronklike voorgestelde meganisme (mans hardloop en vroue aanvaar/weier) lei tot 'n huwelikstelsel wat vir enige man beter is as enige ander en slegter as enige ander vir enige vrou.
Huwelike van dieselfde geslag
Oorweeg die situasie met “selfdegeslaghuwelike”. Kom ons kyk na 'n wiskundige resultaat wat twyfel skep oor die noodsaaklikheid om hulle te wettig. 'n Ideologies verkeerde voorbeeld.
Beskou vier homoseksuele a, b, c, d.
prioriteite vir a: bcd
prioriteite vir b:cad
prioriteite vir c: abd
want d maak nie saak hoe hy die oorblywende drie rangskik nie.
Verklaring: Daar is geen volhoubare huwelikstelsel in hierdie stelsel nie.
Hoeveel stelsels is daar vir vier mense? Drie. ab cd, ac bd, ad bc. Die paartjies sal uitmekaar val en die proses sal in siklusse verloop.
"Drie-geslag" stelsels.
Dit is die belangrikste vraag wat 'n hele veld van wiskunde oopmaak. Dit is gedoen deur my kollega in Moskou, Vladimir Ivanovich Danilov. Hy het "huwelik" beskou as om vodka te drink en die rolle was soos volg: "die een wat skink," "die een wat die roosterbrood praat," en "die een wat die wors sny." In 'n situasie waar daar 4 of meer verteenwoordigers van elke rol is, is dit onmoontlik om met brute geweld op te los. Die kwessie van 'n volhoubare stelsel is 'n oop vraag.
Shapley vektor
In die kothuisdorpie het hulle besluit om die pad te asfalteer. Moet inskakel. Hoe?
Shapley het in 1953 'n oplossing vir hierdie probleem voorgestel. Kom ons veronderstel 'n situasie van konflik met 'n groep mense N={1,2…n}. Koste/voordele moet gedeel word. Gestel mense het saam iets nuttigs gedoen, dit verkoop en hoe om die wins te verdeel?
Shapley het voorgestel dat wanneer ons verdeel, ons gelei moet word deur hoeveel sekere subgroepe van hierdie mense kan ontvang. Hoeveel geld kan alle 2N nie-leë subsets verdien? En op grond van hierdie inligting het Shapley 'n universele formule geskryf.
Voorbeeld. ’n Solis, kitaarspeler en tromspeler speel in ’n ondergrondse gang in Moskou. Die drie van hulle verdien 1000 roebels per uur. Hoe om dit te verdeel? Moontlik ewe.
V(1,2,3)=1000
Kom ons gee dit voor
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
’n Billike verdeling kan nie bepaal word voordat ons weet watter winste op ’n gegewe maatskappy wag as hy wegbreek en op sy eie optree nie. En toe ons die getalle bepaal (stel die koöperatiewe spel in kenmerkende vorm).
Superadditiviteit is wanneer hulle saam meer as afsonderlik verdien, wanneer dit meer winsgewend is om te verenig, maar dit is nie duidelik hoe om die winste te verdeel nie. Baie kopieë is hieroor gebreek.
Daar is 'n speletjie. Drie sakemanne het gelyktydig 'n deposito ter waarde van $1 miljoen gevind. As die drie van hulle saamstem, dan is daar 'n miljoen van hulle. Enige paartjie kan doodmaak (uit die saak verwyder) en die hele miljoen vir hulself kry. En niemand kan iets alleen doen nie. Dit is 'n eng koöperasie-speletjie sonder enige oplossing. Daar sal altyd twee mense wees wat die derde kan uitskakel... Samewerkende spelteorie begin met 'n voorbeeld wat geen oplossing het nie.
Ons wil so 'n oplossing hê dat geen koalisie die gemeenskaplike oplossing sal wil keer nie. Die stel van alle afdelings wat nie geblokkeer kan word nie, is die kern. Dit gebeur dat die kern leeg is. Maar selfs as dit nie leeg is nie, hoe om te verdeel?
Shapley stel voor om op hierdie manier te verdeel. Gooi 'n muntstuk met n! rande. Ons skryf al die spelers in hierdie volgorde uit. Kom ons sê die eerste tromspeler. Hy kom in en vat sy 100. Dan kom die "tweede" in, kom ons sê die solis. (Saam met die tromspeler kan hulle 450 verdien, die tromspeler het reeds 100 geneem.) Die solis neem 350. Die kitaarspeler skryf in (saam 1000, -450), neem 550. Die laaste een in wen gereeld. (Supermodulariteit)
As ons vir alle bestellings uitskryf:
GSB - (wen C) - (wen D) - (wen B)
SGB - (wen C) - (wen D) - (wen B)
SBG - (wen C) - (wen D) - (wen B)
BSG - (wen C) - (wen D) - (wen B)
BGS - (wins C) - (wins D) - (wins B)
GBS - (wen C) - (wen D) - (wen B)
En vir elke kolom voeg ons by en deel deur 6 - gemiddeld oor alle bestellings - dit is 'n Shapley-vektor.
Shapley het die stelling (ongeveer) bewys: Daar is 'n klas speletjies (supermodulêr), waarin die volgende persoon wat by 'n groot span aansluit, 'n groter oorwinning meebring. Die kern is altyd nie-leeg nie en is 'n konvekse kombinasie van punte (in ons geval, 6 punte). Die Shapley-vektor lê in die middel van die kern. Dit kan altyd as 'n oplossing aangebied word, niemand sal daarteen wees nie.
In 1973 is bewys dat die probleem met kothuise supermodulêr is.
Al n mense deel die pad na die eerste huisie. Tot die tweede - n-1 mense. Ens.
Die lughawe het 'n aanloopbaan. Verskillende maatskappye benodig verskillende lengtes. Dieselfde probleem ontstaan.
Ek dink dat diegene wat die Nobelprys toegeken het, hierdie meriete in gedagte gehad het, en nie net die taak van marge nie.
Dankie!
Steeds
- Kanaal "Math - Simple":
- Kanaal "Savvateev sonder grense": edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
- Openbare "Wiskunde is eenvoudig":
- Openbare "Wiskundiges grap":
- Webwerf, alle lesings daar +100 lesse en meer: savvateev.xyz
Bron: will.com