የሊኒየር ሪግሬሽን እኩልታውን ወደ ማትሪክስ ቅርጽ እናመጣለን

የጽሁፉ አላማ ለጀማሪ የመረጃ ሳይንቲስቶች ድጋፍ መስጠት ነው። ውስጥ ቀዳሚ መጣጥፍ መስመራዊ ሪግሬሽን እኩልታን ለመፍታት ሶስት መንገዶችን ገልጠናል፡- የትንታኔ መፍትሄ፣ የግራዲየንት መውረድ፣ ስቶካስቲክ ቅልመት ቁልቁለት። ከዚያም ለትንታኔው መፍትሄ ቀመሩን እንተገብራለን . በዚህ ጽሑፍ ውስጥ, በርዕሱ ላይ እንደሚጠቁመው, የዚህን ቀመር አጠቃቀም እናረጋግጣለን ወይም በሌላ አነጋገር, እኛ እራሳችንን እናመጣለን.

ለምን ለቀመር ተጨማሪ ትኩረት መስጠት ምክንያታዊ ነው ?

በአብዛኛዎቹ ሁኔታዎች አንድ ሰው ከመስመር ሪግሬሽን ጋር መተዋወቅ የሚጀምረው ከማትሪክስ እኩልታ ጋር ነው። በተመሳሳይ ጊዜ, ቀመሩ እንዴት እንደተገኘ ዝርዝር ስሌቶች እምብዛም አይደሉም.

ለምሳሌ, ከ Yandex የማሽን መማሪያ ኮርሶች, ተማሪዎች ወደ መደበኛነት ሲተዋወቁ, ከቤተ-መጽሐፍት ውስጥ ተግባራትን እንዲጠቀሙ ይቀርባሉ. sklearnስለ አልጎሪዝም ማትሪክስ ውክልና አንድ ቃል ባይጠቀስም። አንዳንድ አድማጮች ይህንን ጉዳይ በበለጠ ዝርዝር ሊረዱት የሚችሉት በዚህ ጊዜ ነው - ዝግጁ የሆኑ ተግባራትን ሳይጠቀሙ ኮድ ይፃፉ። እና ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ እኩልታውን ከመደበኛ ሰሪ ጋር በማትሪክስ መልክ ማቅረብ አለብዎት። ይህ ጽሑፍ እንደነዚህ ያሉትን ችሎታዎች ለመቆጣጠር ለሚፈልጉ ሰዎች ይፈቅዳል. እንጀምር.

የመጀመሪያ ሁኔታዎች

የዒላማ አመልካቾች

የዒላማ እሴቶች ክልል አለን። ለምሳሌ፣ የታለመው አመልካች የማንኛውም ንብረት ዋጋ ሊሆን ይችላል፡- ዘይት፣ ወርቅ፣ ስንዴ፣ ዶላር፣ ወዘተ. በተመሳሳይ ጊዜ, በበርካታ የዒላማ አመልካች ዋጋዎች ማለት የእይታዎች ብዛት ማለት ነው. እንደነዚህ ያሉ ምልከታዎች ለምሳሌ ለዓመቱ ወርሃዊ የነዳጅ ዋጋ, ማለትም 12 ዒላማዎች ይኖሩናል. ማስታወሻውን ማስተዋወቅ እንጀምር. እያንዳንዱን የዒላማ አመልካች ዋጋ እንጥቀስ . በአጠቃላይ እኛ አለን ምልከታዎች፣ ይህም ማለት ምልከታዎቻችንን እንደ መወከል እንችላለን .

ሪግረሰሮች

የታለመውን አመላካች እሴቶችን በተወሰነ ደረጃ የሚያብራሩ ምክንያቶች እንዳሉ እንገምታለን። ለምሳሌ, የዶላር / ሩብል ምንዛሪ ዋጋ በነዳጅ ዋጋ, በፌዴራል ሪዘርቭ ዋጋ, ወዘተ ላይ ከፍተኛ ተጽዕኖ ያሳድራል.እንደነዚህ ያሉ ምክንያቶች regressors ይባላሉ. በተመሳሳይ ጊዜ እያንዳንዱ የዒላማ አመልካች እሴት ከሪግሬሰር እሴት ጋር መዛመድ አለበት ፣ ማለትም ፣ በ 12 ለእያንዳንዱ ወር 2018 ዒላማ አመልካቾች ካሉን ለተመሳሳይ ጊዜ 12 regressor እሴቶች ሊኖረን ይገባል። የእያንዳንዱን regressor እሴቶች በ. እንጥቀስ . በእኛ ሁኔታ ይኑር regressors (ማለትም. በዒላማው አመላካች ዋጋዎች ላይ ተጽዕኖ የሚያሳድሩ ምክንያቶች). ይህ ማለት የኛ ሬግሬስ በሚከተለው መልኩ ሊቀርብ ይችላል፡ ለ 1 ኛ ተሃድሶ (ለምሳሌ የዘይት ዋጋ)። , ለ 2 ኛ regressor (ለምሳሌ, የ Fed ተመን) , ለ "-th" regressor:

የዒላማ አመላካቾች ጥገኛ በሬገሮች ላይ

የዒላማው አመልካች ጥገኝነት እናስብ ከሬግረሰሮች"ኛ" ምልከታ በቅጹ መስመራዊ ሪግሬሽን እኩልታ ሊገለጽ ይችላል፡-

የት - "-th" regressor እሴት ከ 1 ወደ ,

- ከ 1 እስከ የሬግሬተሮች ብዛት

- የ angular coefficients፣ ይህም የተሰላ ኢላማ አመልካች ሪግሬሰተር ሲቀየር በአማካይ የሚቀየርበትን መጠን የሚወክል ነው።

በሌላ አነጋገር፣ እኛ ለሁሉም ነን (ከዚህ በቀር ) የ regressor "የእኛን" ቅንጅት እንወስናለን , ከዚያም አሃዞችን በ regressors እሴቶች ማባዛት "th" ምልከታ፣ በውጤቱም የተወሰነ ግምት አግኝተናል"-th" ዒላማ አመልካች.

ስለዚህ, እንደዚህ ያሉ ጥምርታዎችን መምረጥ አለብን የእኛ ግምታዊ ተግባር እሴቶች በእሱ ላይ ወደ ዒላማ አመልካች ዋጋዎች በተቻለ መጠን በቅርብ ይቀመጣል.

የተጠጋጋውን ተግባር ጥራት መገምገም

በትንሹ የካሬዎች ዘዴ በመጠቀም የተጠጋጋውን ተግባር የጥራት ግምገማ እንወስናለን። በዚህ ጉዳይ ላይ ያለው የጥራት ግምገማ ተግባር የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል።

ለዚህ ዋጋ ያላቸውን የ $ w$ ዋጋዎችን መምረጥ አለብን በጣም ትንሹ ይሆናል.

እኩልታውን ወደ ማትሪክስ ቅጽ በመቀየር ላይ

የቬክተር ውክልና

ለመጀመር ፣ ህይወትዎን ቀላል ለማድረግ ፣ ለቀጥታ መመለሻ እኩልታ ትኩረት መስጠት አለብዎት እና የመጀመሪያውን ቅንጅት ልብ ይበሉ። በማንኛውም regressor አይባዛም። በተመሳሳይ ጊዜ, መረጃውን ወደ ማትሪክስ ቅርፅ ስንቀይር, ከላይ የተጠቀሰው ሁኔታ ስሌቶችን በእጅጉ ያወሳስበዋል. በዚህ ረገድ, ለመጀመሪያው ኮፊሸን (coefficient) ሌላ regressor ለማስተዋወቅ ቀርቧል እና ከአንድ ጋር እኩል ያድርጉት። ወይም ይልቁንስ እያንዳንዱ"የዚህን regressor ኛ እሴት ከአንድ ጋር ማመሳሰል - ከሁሉም በኋላ, በአንድ ሲባዛ, ከስሌቱ ውጤት አንጻር ምንም ነገር አይለወጥም, ነገር ግን ከማትሪክስ ምርት ደንቦች አንጻር, ስቃያችን. በከፍተኛ ሁኔታ ይቀንሳል.

አሁን፣ ለጊዜው፣ ቁሳቁሱን ለማቃለል፣ አንድ ብቻ እንዳለን እናስብ።- ምልከታ. ከዚያ የተሃድሶዎቹን እሴቶች አስቡ"-ኛ" ምልከታዎች እንደ ቬክተር . ቬክተር ልኬት አለው። ነው ረድፎች እና 1 አምድ:

እንደ ቬክተር የሚፈለጉትን ኮፊፊሴቲቭ እንውክል ፣ ልኬት ያለው :

መስመራዊ ሪግሬሽን እኩልታ ለ"-th" ምልከታ ቅጹን ይወስዳል፡-

የመስመራዊ ሞዴልን ጥራት የመገምገም ተግባር ቅጹን ይወስዳል-

እባክዎን በማትሪክስ ማባዛት ደንቦች መሰረት, ቬክተሩን ማስተላለፍ ያስፈልገናል .

የማትሪክስ ውክልና

ቬክተሮችን በማባዛት ምክንያት ቁጥሩን እናገኛለን፡- የሚጠበቀው. ይህ ቁጥር ግምታዊ ነው"-th" ዒላማ አመልካች. ግን የአንድ ኢላማ እሴት ብቻ ሳይሆን የሁሉም መጠጋጋት ያስፈልገናል። ይህንን ለማድረግ ሁሉንም ነገር እንፃፍ "-th" regressors በማትሪክስ ቅርጸት . የተገኘው ማትሪክስ ልኬት አለው :

አሁን የሊኒየር ሪግሬሽን እኩልታ ቅጹን ይወስዳል፡-

የዒላማ አመልካቾችን እሴቶች እንጠቁም (ሁሉም ) በቬክተር ልኬት :

አሁን የመስመራዊ ሞዴልን ጥራት በማትሪክስ ቅርጸት ለመገምገም እኩልታውን መጻፍ እንችላለን-

በእውነቱ ፣ ከዚህ ቀመር እኛ የምናውቀውን ቀመር የበለጠ እናገኛለን

እንዴት ነው የሚደረገው? ቅንፎች ተከፍተዋል, ልዩነት ይከናወናሉ, የተፈጠሩት መግለጫዎች ይለወጣሉ, ወዘተ, እና አሁን የምናደርገው ይህንን ነው.

የማትሪክስ ለውጦች

ቅንፎችን እንክፈት።

ለመለያየት ቀመር እናዘጋጅ

ይህንን ለማድረግ አንዳንድ ለውጦችን እናከናውናለን. በቀጣዮቹ ስሌቶች ውስጥ ቬክተሩ ከሆነ ለእኛ የበለጠ አመቺ ይሆናል በቀመር ውስጥ በእያንዳንዱ ምርት መጀመሪያ ላይ ይወከላል.

ለውጥ 1

እንዴት ሆነ? ለዚህ ጥያቄ መልስ ለመስጠት፣ የማትሪክቶቹን መባዛት ብቻ ይመልከቱ እና በውጤቱ ላይ ቁጥር ወይም በሌላ መንገድ እናገኛለን። .

የማትሪክስ መግለጫዎችን መጠን እንፃፍ።

ለውጥ 2

ወደ ትራንስፎርሜሽን በተመሳሳይ መንገድ እንጽፈው 1

በውጤቱ ላይ እኛ መለየት ያለብን እኩልታ እናገኛለን-

የአምሳያው ጥራት ግምገማ ተግባርን እንለያለን

ቬክተርን በተመለከተ እንለይ :

ለምን ጥያቄዎች መሆን የለበትም፣ ነገር ግን ተዋጽኦዎችን ለመወሰን ኦፕሬሽኖችን በሌሎቹ ሁለት አባባሎች በበለጠ ዝርዝር እንመረምራለን።

ልዩነት 1

ልዩነቱን እንዘርጋ፡-

የማትሪክስ ወይም የቬክተር አመጣጥን ለመወሰን በውስጣቸው ያለውን ነገር መመልከት ያስፈልግዎታል. እስቲ እንመልከት፡-

የማትሪክስ ምርትን እንጥቀስ በማትሪክስ በኩል . ማትሪክስ ካሬ እና በተጨማሪ, የተመጣጠነ ነው. እነዚህ ንብረቶች በኋላ ለእኛ ጠቃሚ ይሆናሉ, እናስታውሳቸው. ማትሪክስ ልኬት አለው። :

አሁን የእኛ ተግባር ቬክተሮችን በማትሪክስ በትክክል ማባዛት እና "ሁለት ጊዜ አምስት አምስት ነው" ላለማግኘት ነው, ስለዚህ እናተኩር እና በጣም እንጠንቀቅ.

ሆኖም፣ ውስብስብ የሆነ አገላለጽ ደርሰናል! እንደ እውነቱ ከሆነ, ቁጥር አግኝተናል - ስካላር. እና አሁን, በእውነቱ, ወደ ልዩነት እንሸጋገራለን. ለእያንዳንዱ ቅንጅት የተገኘውን አገላለጽ አመጣጥ መፈለግ አስፈላጊ ነው እና የልኬት ቬክተር እንደ ውፅዓት ያግኙ . እንደዚያ ከሆነ ሂደቶቹን በድርጊት እጽፋለሁ-

1) መለየት እኛ እናገኛለን:

2) መለየት እኛ እናገኛለን:

3) መለየት እኛ እናገኛለን:

ውጤቱ የተነገረለት የመጠን ቬክተር ነው። :

ቬክተሩን በቅርበት ከተመለከቱት የቬክተሩ ግራ እና ተጓዳኝ የቀኝ ንጥረ ነገሮች ሊቦደዱ በሚችሉበት ሁኔታ አንድ ቬክተር ከቀረበው ቬክተር ሊገለል እንደሚችል ያስተውላሉ. መጠን . ለምሳሌ (የቬክተሩ የላይኛው መስመር ግራ አካል) (የቬክተሩ የላይኛው መስመር ትክክለኛው አካል) እንደ ሊወከል ይችላል ና - እንደ ወዘተ. በእያንዳንዱ መስመር ላይ. እንቧደን፡-

ቬክተሩን እናውጣ እና በውጤቱ ውስጥ እናገኛለን-

አሁን፣ የተገኘውን ማትሪክስ በጥልቀት እንመልከታቸው። ማትሪክስ የሁለት ማትሪክስ ድምር ነው። :

ትንሽ ቀደም ብሎ የማትሪክስ አንድ አስፈላጊ ንብረት እንዳስተዋልን እናስታውስ - የተመጣጠነ ነው. በዚህ ንብረት ላይ በመመስረት, አገላለጹን በእርግጠኝነት መናገር እንችላለን እኩል ነው። . ይህ የማትሪክስ ንጥረ ነገርን በንጥረ ነገር በማስፋፋት በቀላሉ ማረጋገጥ ይቻላል። . እኛ እዚህ አናደርግም ፣ ፍላጎት ያላቸው ራሳቸው ማረጋገጥ ይችላሉ።

ወደ አባባላችን እንመለስ። ከለውጦቻችን በኋላ፣ ለማየት በምንፈልገው መንገድ ሆነ፡-

ስለዚህ, የመጀመሪያውን ልዩነት አጠናቅቀናል. ወደ ሁለተኛው አገላለጽ እንሂድ።

ልዩነት 2

የተደበደበውን መንገድ እንከተል። ከቀዳሚው በጣም ያነሰ ይሆናል፣ ስለዚህ ከማያ ገጹ በጣም አይራቁ።

ቬክተሮችን እና ማትሪክስ ንጥረ ነገሮችን በንጥረ ነገር እናስፋው፡-

ሁለቱን ከስሌቶች ውስጥ ለጥቂት ጊዜ እናስወግድ - ትልቅ ሚና አይጫወትም, ከዚያ ወደ ቦታው እንመልሰዋለን. ቬክተሮችን በማትሪክስ እናባዛው. በመጀመሪያ ደረጃ ማትሪክስን እናባዛው ወደ ቬክተር , እዚህ ምንም ገደብ የለንም. መጠኑን ቬክተር እናገኛለን :

የሚከተለውን ድርጊት እንፈጽም - ቬክተሩን ማባዛት ለተፈጠረው ቬክተር. መውጫው ላይ ቁጥሩ ይጠብቀናል፡-

ከዚያም እንለያለን. በውጤቱ ላይ የመጠን መለኪያ (ቬክተር) እናገኛለን :

የሆነ ነገር ያስታውሰኛል? ትክክል ነው! ይህ የማትሪክስ ውጤት ነው። ወደ ቬክተር .

ስለዚህ, ሁለተኛው ልዩነት በተሳካ ሁኔታ ተጠናቅቋል.

ከዚህ ይልቅ አንድ መደምደሚያ

አሁን እኩልነት እንዴት እንደመጣ እናውቃለን .

በመጨረሻም, መሰረታዊ ቀመሮችን ለመለወጥ ፈጣን መንገድን እንገልፃለን.

በትንሹ የካሬዎች ዘዴ መሰረት የአምሳያው ጥራት እንገመግመው፡-

የተፈጠረውን አገላለጽ እንለይ፡-

ስነፅሁፍ

የበይነመረብ ምንጮች:

1) habr.com/am/post/278513
2) habr.com/ru/company/ods/blog/322076
3) habr.com/am/post/307004
4) nabatchikov.com/blog/view/matrix_der

የመማሪያ መጽሃፍቶች, የችግሮች ስብስቦች;

1) በከፍተኛ ሂሳብ ላይ የመማሪያ ማስታወሻዎች፡ ሙሉ ኮርስ / ዲ.ቲ. ተፃፈ - 4 ኛ እትም. - ኤም.: አይሪስ-ፕሬስ, 2006
2) የተተገበረ የተሃድሶ ትንተና / N. Draper, G. Smith - 2 ኛ እትም. - M: ፋይናንስ እና ስታቲስቲክስ, 1986 (ከእንግሊዝኛ የተተረጎመ)
3) የማትሪክስ እኩልታዎችን የመፍታት ችግሮች፡-
ተግባር-x.ru/matrix_equations.html
mathprofi.ru/deistviya_s_matricami.html

ምንጭ: hab.com