2012-ci ildə iqtisadiyyat üzrə Nobel mükafatı Lloyd Shapley və Alvin Rotha verildi. “Sabit paylanma nəzəriyyəsi və bazarların təşkili təcrübəsi üçün”. Aleksey Savvateev 2012-ci ildə riyaziyyatçıların xidmətlərinin mahiyyətini sadə və aydın şəkildə izah etməyə çalışdı. Bir xülasəni diqqətinizə təqdim edirəm .
Bu gün nəzəri mühazirə olacaq. Təcrübələr haqqında , xüsusilə ianə ilə, deməyəcəyəm.
Bunu elan edəndə Nobel Mükafatını alanda ortada standart bir sual var idi: “Necə!? O hələ də sağdır!?!?" Onun ən məşhur nəticəsi 1953-cü ildə əldə edilib.
Formal olaraq, bonus başqa şeyə görə verilirdi. 1962-ci ildə "evliliyin sabitliyi teoremi" ilə bağlı məqaləsinə görə: "Kollec qəbulu və evliliyin sabitliyi".
Davamlı evlilik haqqında
Uyğun (uyğunluq) - yazışma tapmaq vəzifəsi.
Müəyyən təcrid olunmuş kənd var. “M” gənc oğlanlar və “w” qızlar var. Biz onları bir-birimizlə evləndirməliyik. (Mütləq eyni nömrə deyil, bəlkə də sonunda kimsə tək qalacaq.)
Modeldə hansı fərziyyələr edilməlidir? Təsadüfi olaraq yenidən evlənmək asan deyil. Azad seçim yolunda müəyyən addım atılır. Deyək ki, bir müdrik ağsaqqal var ki, ölümündən sonra boşanmalar başlamasın deyə yenidən evlənmək istəyir. (Boşanma, ərin arvadından çox üçüncü tərəf qadını arvad kimi istəməsi halıdır.)
Bu teorem müasir iqtisadiyyatın ruhuna uyğundur. O, qeyri-insanidir. İqtisadiyyat ənənəvi olaraq qeyri-insani olub. İqtisadiyyatda insanı maksimum qazanc əldə etmək üçün maşın əvəz edir. Sizə deyəcəklərim əxlaqi baxımdan tamamilə çılğın şeylərdir. Ürəyinizə götürməyin.
İqtisadçılar evliliyə belə baxırlar.
m1, m2,… mk - kişilər.
w1, w2,... wL - qadınlar.
Kişi qızlara necə "sifariş verdiyi" ilə eyniləşdirilir. Həmçinin “sıfır səviyyə” də var ki, ondan aşağı səviyyədə qadınlar başqaları olmasa belə, ümumiyyətlə, arvad kimi təklif oluna bilməzlər.
Hər şey hər iki istiqamətdə olur, qızlar üçün də eynidir.
İlkin məlumatlar ixtiyaridir. Yeganə fərziyyə/məhdudiyyət üstünlüklərimizi dəyişdirməməyimizdir.
Teorem: Bölüşdürülməsindən və sıfır səviyyəsindən asılı olmayaraq, bəzi kişilər və bəzi qadınlar arasında bir-bir yazışma qurmağın həmişə bir yolu var ki, bu, bütün növ parçalanmalara (yalnız boşanmalara deyil) davamlı olsun.
Hansı təhdidlər ola bilər?
Evli olmayan cütlük (m,w) var. Amma w üçün indiki ər m-dən, m üçün isə indiki arvad w-dən pisdir. Bu qeyri-davamlı vəziyyətdir.
Birinin "sıfırdan aşağı" olan biri ilə evli olması variantı da var; bu vəziyyətdə evlilik də dağılacaq.
Bir qadın evlidirsə, lakin o, sıfırdan yuxarı olduğu subay kişiyə üstünlük verirsə.
Əgər iki nəfərin hər ikisi subaydırsa və hər ikisi bir-biri üçün “sıfırdan yuxarı”dırsa.
Hər hansı bir ilkin məlumat üçün belə bir evlilik sisteminin bütün təhlükələrə davamlı olduğu iddia edilir. İkincisi, belə bir tarazlığın tapılması alqoritmi çox sadədir. M*N ilə müqayisə edək.
Bu model ümumiləşdirilərək genişlənərək “çoxarvadlılığa” çevrilmiş və bir çox sahələrdə tətbiq edilmişdir.
Geyl-Şepli proseduru
Bütün kişilər və bütün qadınlar “reseptlərə” əməl etsələr, nəticədə yaranan evlilik sistemi davamlı olacaqdır.
Reseptlər.
Lazım gələrsə, bir neçə gün çəkirik. Hər günü iki hissəyə bölürük (səhər və axşam).
İlk səhər hər kişi ən yaxşı qadınının yanına gedir və pəncərəni döyərək ondan evlənməsini xahiş edir.
Həmin gün axşam növbə qadınlara keçir.Qadın nə kəşf edə bilər? Pəncərənin altında bir izdiham var idi, ya bir, ya da heç bir kişi. Bu gün kimsəsi olmayanlar növbəsini atıb gözləyirlər. Ən azı bir nəfəri olan qalanlar, "sıfırdan yuxarı" olduqlarını görmək üçün gələn kişiləri yoxlayır. Ən azı birinə sahib olmaq. Əgər tamamilə şanssızsınızsa və hər şey sıfırdan aşağıdırsa, o zaman hamı göndərilməlidir. Qadın gələnlərin ən böyüyünü seçir, ona gözləməsini deyir, qalanını da göndərir.
İkinci gündən əvvəl vəziyyət belədir: bəzi qadınlarda bir kişi var, bəzilərində isə yoxdur.
İkinci gündə bütün "azad" (göndərilmiş) kişilər ikinci prioritet qadına getməlidirlər. Əgər belə bir şəxs yoxdursa, kişi subay elan edilir. Onsuz da qadınlarla oturan o kişilər hələ heç nə etmirlər.
Axşam qadınlar vəziyyətə baxırlar. Əgər artıq oturmuş biri daha yüksək prioritetlə qoşulubsa, aşağı prioritet yola salınır. Əgər gələnlər mövcud olandan aşağıdırsa, hamı yola salınır. Qadınlar hər dəfə maksimum elementi seçirlər.
Təkrar edirik.
Nəticədə hər bir kişi qadınlarının bütün siyahısını gözdən keçirdi və ya tək qaldı, ya da hansısa qadınla nişanlandı. Sonra hamını evləndirəcəyik.
Bütün bu prosesi idarə etmək mümkündürmü, amma qadınların kişilərə qaçması? Prosedur simmetrikdir, lakin həll fərqli ola bilər. Ancaq sual budur ki, bundan kim daha yaxşıdır?
Teorem. Gəlin təkcə bu iki simmetrik həlli deyil, bütün sabit evlilik sistemlərinin toplusunu nəzərdən keçirək. Təklif olunan orijinal mexanizm (kişilər qaçır və qadınlar qəbul edir/imtina edir) istənilən kişi üçün hər hansı digərindən daha yaxşı və hər bir qadın üçün digərlərindən daha pis olan nikah sistemi ilə nəticələnir.
Eyni cinsdən olan evliliklər
“Eyni cinslərin evliliyi” ilə bağlı vəziyyəti nəzərdən keçirək. Onların qanuniləşdirilməsinin zəruriliyini şübhə altına alan riyazi nəticəyə nəzər salaq. İdeoloji cəhətdən düzgün olmayan bir nümunə.
Dörd homoseksualı nəzərdən keçirək a, b, c, d.
üçün prioritetlər: bcd
b:cad üçün prioritetlər
c: abd üçün prioritetlər
d üçün qalan üçlüyü necə yerləşdirməsinin əhəmiyyəti yoxdur.
Təsdiq: Bu sistemdə davamlı nikah sistemi yoxdur.
Dörd nəfər üçün neçə sistem var? üç. ab cd, ac bd, ad bc. Cütlüklər dağılacaq və proses dövri olaraq gedəcək.
"Üç cinsli" sistemlər.
Bu, riyaziyyatın bütün sahəsini açan ən vacib sualdır. Bunu Moskvadakı həmkarım Vladimir İvanoviç Danilov etdi. O, “evlənməyə” araq içmək kimi baxırdı və rollar belə idi: “tökən”, “tost danışan”, “kolbasa kəsən”. Hər rolun 4 və ya daha çox nümayəndəsinin olduğu bir vəziyyətdə kobud güclə həll etmək mümkün deyil. Davamlı sistem məsələsi açıqdır.
Shapley vektoru
Kottec kəndində yolu asfaltlamaq qərarına gəldilər. Daxil etmək lazımdır. Necə?
Şapli 1953-cü ildə bu problemin həllini təklif etdi. N={1,2…n} bir qrup insanla münaqişə vəziyyətini fərz edək. Xərclər/faydalar bölüşdürülməlidir. Tutaq ki, insanlar birlikdə faydalı bir şey etdilər, onu satdılar və qazancı necə bölmək olar?
Shapley təklif etdi ki, bölərkən bu insanların müəyyən alt qruplarının nə qədər ala biləcəyini rəhbər tutmalıyıq. Bütün 2N boş olmayan alt çoxluqlar nə qədər pul qazana bilər? Və bu məlumat əsasında Şapli universal bir düstur yazdı.
Misal. Moskvada yeraltı keçiddə solist, gitaraçı və nağara ifaçısı. Onların üçü saatda 1000 rubl qazanır. Onu necə bölmək olar? Ola bilsin bərabər.
V(1,2,3)=1000
Belə iddia edək
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
Müəyyən bir şirkət ayrılıb özbaşına hərəkət edərsə, onu hansı qazancların gözlədiyini bilməyincə ədalətli bölgü müəyyən edilə bilməz. Biz nömrələri təyin etdikdə (kooperativ oyununu xarakterik formada təyin edin).
Superadditivlik, birlikdə ayrılıqdan daha çox qazandıqları zaman birləşmək daha sərfəlidir, lakin uduşları necə bölmək aydın deyil. Bu barədə bir çox nüsxə sındırılıb.
Oyun var. Üç iş adamı eyni vaxtda 1 milyon dollar dəyərində əmanət tapıb. Üçü də razılaşarsa, deməli, bir milyondur. İstənilən cütlük öldürə bilər (işdən çıxarıb) və bütün milyonu özləri üçün ala bilər. Və heç kim təkbaşına heç nə edə bilməz. Bu heç bir həlli olmayan qorxulu əməkdaşlıq oyunudur. Həmişə üçüncünü aradan qaldıra biləcək iki nəfər olacaq... Kooperativ oyun nəzəriyyəsi heç bir həlli olmayan bir nümunə ilə başlayır.
Biz elə bir həll istəyirik ki, heç bir koalisiya ümumi həll yolunu əngəlləmək istəməsin. Bloklanması mümkün olmayan bütün bölmələrin toplusu nüvədir. Elə olur ki, nüvə boşdur. Amma boş olmasa belə, necə bölmək olar?
Şapli bu şəkildə bölünməyi təklif edir. n ilə sikkə atın! kənarları. Bütün oyunçuları bu ardıcıllıqla yazırıq. Tutaq ki, ilk nağaraçı. Gəlir və 100-ünü götürür. Sonra “ikinci” daxil olur, tutaq ki, solist. (Narabçı ilə birlikdə 450 qazana bilirlər, nağaraçı artıq 100 qazanıb) Solist 350 alır. Gitaraçı daxil olur (birlikdə 1000, -450), 550 alır. Çox vaxt sonuncu qalib gəlir. (Supermodulyarlıq)
Bütün sifarişlər üçün yazsaq:
GSB - (C qələbəsi) - (D qələbəsi) - (B qalibiyyəti)
SGB - (C qələbəsi) - (D qələbəsi) - (B qalibiyyəti)
SBG - (C qələbəsi) - (D qələbəsi) - (B qalibiyyəti)
BSG - (C qalibiyyəti) - (D qələbəsi) - (B qələbəsi)
BGS - (C qazanc) - (qazanc D) - (qazanc B)
GBS - (C qələbəsi) - (D qalibiyyəti) - (B qalibiyyəti)
Və hər bir sütun üçün biz əlavə edirik və 6-ya bölürük - bütün sifarişlər üzrə orta hesabla - bu Şapli vektorudur.
Shapley teoremi sübut etdi (təxminən): Böyük bir komandaya qoşulan növbəti şəxs ona daha böyük qələbə qazandıran bir oyun sinfi var (supermodular). Nüvə həmişə boş deyil və nöqtələrin qabarıq birləşməsidir (bizim vəziyyətimizdə 6 xal). Şapli vektoru nüvənin tam mərkəzində yerləşir. Həmişə həll yolu kimi təklif oluna bilər, heç kim buna qarşı olmayacaq.
1973-cü ildə kotteclərlə bağlı problemin supermodul olduğu sübut edildi.
Bütün n nəfər birinci kottecə gedən yolu paylaşır. İkinciyə qədər - n-1 nəfər. və s.
Hava limanında uçuş-enmə zolağı var. Fərqli şirkətlər fərqli uzunluqlara ehtiyac duyurlar. Eyni problem yaranır.
Düşünürəm ki, Nobel mükafatına layiq görülənlər təkcə marja vəzifəsini deyil, bu ləyaqəti nəzərdə tuturdular.
Təşəkkür edirik!
Ещё
- "Riyaziyyat - Sadə" kanalı:
- "Sərhədsiz Savvateev" kanalı: edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
- İctimai “Riyaziyyat sadədir”:
- İctimai “Riyaziyyatçılar zarafat”:
- Veb sayt, orada bütün mühazirələr +100 dərs və daha çox: savvateev.xyz
Mənbə: www.habr.com