«Ако на клетката на слон прочетеш надписа „бивол“, не вярвай на очите си» Козьма Прутков

В предишната статия за моделирано ориентирано проектиране беше показано защо е необходима модел на обекта и бе доказано, че без този модел, дискусията за моделираното ориентирано проектиране е просто маркетингова измама, безсмислена и безпощадна. Но с появата на модела на обекта, у компетентните инженери възниква основателен въпрос: какви доказателства съществуват, че математическият модел на обекта съответства на реалния обект.

Един от примерите за отговор на този въпрос е представен в статията за моделирано ориентирано проектиране на електрически задвижвания. В тази статия ще разгледаме пример за създаване на модел за авиационни системи за климатизация, подсилвайки практиката с някои теоретични разсъждения от общ характер.

Създаване на достоверен модел на обекта. Теория

За да не губя време, веднага ще опиша алгоритъма за създаване на модел за моделирано ориентирано проектиране. В него има само три прости стъпки:

Стъпка 1. Да се разработи система от алгебрични-диференциални уравнения, описващи динамичното поведение на моделираната система. Това е лесно, ако знаеш физиката на процеса. Много учени вече са разработили основните физически закони, известни на Нютон, Бернули, Навие-Стокс и други.

Стъпка 2. Да се отделят в получената система набор от емпирични коефициенти и характеристики на обекта на моделиране, които могат да се получат от тестове.

Стъпка 3. Да се проведат опити на обекта и да се настрои моделът според резултатите от реалните експерименти, така че да отговаря на реалността, със необходимата степен на детайлност.

Както виждате, просто е, точно два три.

Пример за практическа реализация

Системата за климатизация (СКВ) на самолета е свързана със системата за автоматично поддържане на налягане. Налягането в самолета винаги трябва да бъде по-високо от външното налягане, като скоростта на промяната на налягането трябва да е такава, че пилотите и пасажерите да не получават кръвотечение от носа и ушите. Затова системата за управление на притока и оттока на въздуха е важна за безопасността, а за разработването й на земята се използват скъпи тестови системи. В тях се създават температури и налягания, съответстващи на височината на полета, и се възпроизвеждат режимите на излитане и кацане на летища с различна височина. Въпросът за разработването и коригирането на системите за управление на СКВ става изключително важен. Колко време ще отделим за изпитателния стенд, за да получим удовлетворителна система за управление? Очевидно, ако настроим модела за управление на модела на обекта, цикълът на работа на изпитателния стенд може да бъде значително скъсен.

Авиационната система за климатизация се състои от топлообменници, подобно на всяка друга топлинна система. Батарията — тя е батария, независимо къде се намира, само че за климатизация. Но заради ограниченията на излетната маса и габаритите на летателните апарати, топлообменниците се правят колкото се може по-компактни и ефективни, за да пренесат повече топлина с минимално тегло. В резултат, геометрията става доста странна. Например, в настоящия случай. На рисунка 1 е представен пластинчат топлообменник, в който между пластините за подобряване на топлообмена се използва мембрана. Горещият и студен носител се редуват в каналите, като посоката на течението е напречна. Един носител постъпва на фронталния ръб, а другият – на страничния.

За да решим задачата по управление на СКВ, трябва да знаем колко топлина се прехвърля от една среда в друга в този топлообменник за единица време. От това зависи скоростта на изменение на температурата, която регулираме.

Рисунок 1. Схема на авиационния топлообменник.

Проблеми с моделирането. Хидравличната част

На пръв поглед задачата изглежда достатъчно проста. Необходимо е да се изчисли масовият поток по каналите на топлообменника и топлинният поток между каналите.
Масовият разход на топлоносителя в каналите се изчислява по формулата на Бернули:

където:
ΔP – разликата в налягането между две точки;
ξ – коефициентът на триене на топлоносителя;
L – дължината на канала;
d – хидравличният диаметър на канала;
ρ – плътността на топлоносителя;
ω – скоростта на топлоносителя в канала.

За канал с произволна форма хидравличният диаметър се изчислява по формулата:

където:
F – площта на проходното сечение;
П – смазаният периметър на канала.

Коефициентът на триене се изчислява по емпирични формули и зависи от скоростта на течението и свойствата на топлоносителя. За различни геометрии се получават различни зависимости, например формулата за турбулентно течение в гладки тръби:

където:
Re – числото на Рейнолдс.

За течението в плоски канали може да се използва следната формула:

По формулата на Бернули може да се изчисли разликата в налягането за зададена скорост, или обратно, да се изчисли скоростта на топлоносителя в канала по зададена разлика в налягането.

Топлообмен

Топлинният поток между топлоносителя и стената се изчислява по формулата:

където:
α [Вт/(м2×град)] – коефициентът на топлопроводимост;
F – площта на проходното сечение.

За задачите с течение на топлоносители в тръби са проведени достатъчно изследвания и съществуват множество методики за изчисление. Обикновено всичко се свежда до емпирични зависимости за коефициента на топлопроводимост α [Вт/(м2×град)]

където:
Nu – числото на Нуселт;
λ – коефициентът на топлопроводимост на течността [Вт/(м×град)]
d – хидравличният (еквивалентен) диаметър.

За изчисляването на числото (критерия) на Нуселт се използват емпирични критериални зависимости, например формулата за изчисление на числото на Нуселт за кръгла тръба изглежда така:

Тук вече виждаме числото на Рейнолдс, числото на Прандтл при температурата на стената и температурата на течността и коефициента на неравномерност. (Източник)

За плочковите гофрирани топлообменници формулата е подобна ( Източник ):

където:
n = 0.73 m = 0.43 за турбулентно течение,
коефициентът а – се променя в диапазона от 0,065 до 0.6 в зависимост от броя на пластините и режима на течение.

Нека приемем, че този коефициент се изчислява само за една точка в потока. За следващата точка имаме различна температура на течността (тя е затоплила или охладила), различна температура на стената и съответно всички числа на Рейнолдс и Прандтль варират.

На този етап всеки математик ще каже, че точно да се изчисли система, в която коефициентът се променя 10 пъти, е невъзможно, и той ще е прав.

Всеки практикуващ инженер ще каже, че всеки топлообменник се различава при производството и изчисляването на системите е невъзможно, и той също ще е прав.

А какво да кажем за моделираното проектиране? Нали всичко е загубено?

Напредналите продавачи на западен софтуер на това място ще ви натрапват СуперЕВМ и 3D системи за изчисления, тип „без него никак не може“. И е необходимо да пуснете изчисленията за 24 часа, за да получите разпределението на температурите за 1 минута.

Ясно е, че това не е нашият вариант, трябва да настройваме системата за управление, ако не в реално време, то поне в обозримо.

Решение с опит и грешка

Произвежда се топлообменник, провежда се серия изпитвания и се задава таблица с ефективността на установената температура при зададени разходи на топлоносителите. Просто, бързо и надеждно, тъй като данните са получени от изпитания.

Недостатък на този подход – липсата на динамични характеристики на обекта. Да, знаем какъв ще бъде установеният топлинен поток, но не знаем за колко време той ще се установи при прехода от един режим на работа в друг.

Следователно, изчислявайки необходимите характеристики, настройваме системата за управление директно в хода на изпитанията, от което първоначално искахме да се избегнем.

Моделирания подход

За създаването на модел на динамичен топлообменник е необходимо да се използват данни от експерименти, за да се премахнат неопределеностите в емпиричните формули за изчисление – числа на Нуселт и хидравлично съпротивление.

Решението е просто, както всичко гениално. Взимаме емпирична формула, провеждаме експерименти и определяме стойността на коефициента a, по този начин премахвайки неопределеността в формулата.

Как только имаме определена стойност на коефициента на топлопремина, всички останали параметри се определят от основните физични закони на запазване. Разликата в температурите и коефициентът на топлопремина определят количеството енергия, пренасяно в канала за единица време.

Знаейки потока на енергията, можем да решаваме уравненията за запазване на масата на енергията и импулса за работния флуид в хидравличния канал. Например такова:

В нашия случай, неопределен остава топлинният поток между стената и работния флуид — Qwall. Повече информация можете да намерите тук...

Също така уравнението за производна температура на стената на канала:

където:
ΔQwall – разлика между входящия и изходящия поток към стената на канала;
M – маса на стената на канала;
Cpc – топлинна вместимост на материала на стената.

Точността на модела

Както беше споменато по-горе, в топлообменника имаме разпределение на температурите по повърхността на пластините. За установеното значение може да се вземе средното по пластините и да се използва, представяйки целия топлообменник като една концентрирана точка, в която при един температурен градиент се предава топлината през цялата повърхност на топлообменника. Но за преходни режими такова приближение може да не работи. Другата крайност – да се направят няколко стотин хиляди точки и да се натоварят суперкомпютри, което също не ни подхожда, тъй като целта е да се настройва системата за управление в реално време, а по-добре по-бързо.

Появява се въпросът, на колко участъка трябва да се раздели топлообменника, за да се постигне приемлива точност и скорост на изчисление?

Както винаги случайно ми попадна модел на аминов топлообменник. Топлообменният апарат представлява тръба, в която тече нагряваща среда, между торбите – подогревана. За опростяване на задачата цялата тръбка на топлообменника може да се представи като една еквивалентна тръба, а самата тръба да се представи като набор от дискретни изчислителни клетки, в които се извършва изчислението на точковия модел на топлообмена. Схемата на модела на една клетка е представена на рисунка 2. Каналът с горещ въздух и каналът със студен въздух са свързани чрез стена, която осигурява предаването на топлинния поток между каналите.

Рисунка 2. Модел на клетка в топлообменника.

Моделът на тръбния топлообменник е лесен за настройка. Можете да променяте само един параметър – броя участъци по дължината на тръбата и да видите резултатите от изчисленията при различни разбивки. Нека извършим изчисление на няколко варианта, започвайки от разбивка на 5 точки по дължината (фиг. 3) до 100 точки по дължината (фиг. 4).

Фигура 3. Стационарно разпределение на температурата при 5 изчислителни точки.

Фигура 4. Стационарно разпределение на температурата при 100 изчислителни точки.

В резултат на изчисленията се получи, че установената температура при разбивка на 100 точки е 67,7 градуса. А при разбивка на 5 изчислителни точки температурата е 72,66 градуса.

Също така в долната част на прозореца е изведена скоростта на изчисление спрямо реалното време.
Нека да видим как се променя установената температура и скоростта на изчисление в зависимост от броя на изчислителните точки. Разликата в установените температури при изчисления с различен брой изчислителни клетки може да се използва за оценка на точността на получения резултат.

Таблица 1. Зависимост на температурата и скоростта на изчисление от броя на изчислителните точки по дължината на топлообменника.

Анализирайки тази таблица, можем да направим следните изводи:

• Скоростта на изчисление спада пропорционално на броя на изчислителните точки в модела на топлообменника.
• Промяната в точността на изчислението настъпва експоненциално. При увеличаване на броя на точките, уточнението за всяко следващо увеличение намалява.

В случай на пластинчат топлообменник с кръстосан поток на топлоносителя, както е показано на фигура 1, създаването на еквивалентен модел от елементарни изчислителни клетки леко се усложнява. Трябва да свържем клетките по такъв начин, че да организираме кръстосаното течение. За 4 клетки схемата ще изглежда така, както е показано на фигура 5.

Течението на топлоносителя се разделя на гореща и студена клонка на два канала, които са свързани чрез топлинни структури, за да може, когато преминава през канала, топлоносителят да обменя топлина с различни канали. При моделиране на напречното течение, горещият топлоносител преминава отляво надясно (виж фиг. 5) във всеки канал, последователно обменяйки топлина със студения топлоносител, който идва отдолу нагоре (виж фиг. 5). Най-горещата точка е в левия горен ъгъл, тъй като горещият топлоносител обменя топлина с вече затопления топлоносител от студения канал. Най-студената точка е в долния десен ъгъл, където студеният топлоносител обменя топлина с горещия топлоносител, който вече се е охладил в първата секция.

Фигура 5. Модел на напречното течение от 4 изчислителни клетки.

Такъв модел за плочковия топлообменник не отчита преноса на топлина между клетките поради топлопроводност и не взема предвид смесването на топлоносителя, тъй като всеки канал е изолиран.

Но в нашия случай последното ограничение не намалява точността, тъй като в конструкцията на топлообменника гофрираната мембрана разделя потока на множество изолирани канали по топлоносителя (виж фиг. 1). Нека да разгледаме какво се случва с точността на изчислението при моделиране на плочковия топлообменник при увеличаване на броя на изчислителните клетки.

За анализа на точността използваме два варианта на разделяне на топлообменника на изчислителни клетки:

1. Всяка квадратна клетка съдържа два хидравлични елемента (студен и горещ поток) и един термичен елемент. (виж фигура 5)
2. Всяка квадратна клетка съдържа шест хидравлични елемента (по три участъка в горещия и студения поток) и три термични елемента.

В последния случай използваме два вида свързване:

• срещупоточно течение на студения и горещия поток;
• паралелно течение на студения и горещия поток.

Срещупоточното течение повишава ефективността в сравнение с напречното, а паралелното я намалява. При голям брой клетки се наблюдава средно по потока и всичко се приближава до реалното напречно обтичане (виж фигура 6).

Фигура 6. Модел на напречното течение от четири клетки с 3 елемента.

На рисунке 7 са показани резултатите от стационарното разпределение на температурата в топлообменника, когато горещата линия е захранена с въздух при температура 150 °C, а студената линия - с 21 °C, за различни варианти на разделение на модела. Цветът и цифрите в клетката отразяват средната температура на стената в изчислителната клетка.

Рисунок 7. Установившиеся температуры для разных расчетных схем.

В таблице 2 са представени установените температури на загретия въздух след топлообменника в зависимост от разделянето на модела на клетки.

Таблица 2. Зависимость температуры от количества расчетных ячеек в теплообменнике.

С увеличаване на броя на изчислителните клетки в модела се наблюдава увеличаване на окончателната установена температура. Разликата между установената температура при различни разделяния може да се разглежда като индикатор за точността на изчислението. Ясно е, че с увеличаването на броя на изчислителните клетки температурата се стреми към предел, а нарастването на точността не е пропорционално на броя на изчислителните точки.

Възниква въпросът, каква точност на модела ни е необходима?

Отговорът на този въпрос зависи от предназначението на нашия модел. Тъй като в настоящата статия се разглежда моделно-ориентирано проектиране, моделът създаваме за настройка на системата за управление. Това означава, че точността на модела трябва да бъде сравнима с точността на сензорите, използвани в системата.

В нашия случай температурата се измерва с термопара, чиято точност е ±2.5°C. Всяка точност над това е безполезна за целите на настройката на управленската система, нашата реална система за управление просто няма да я "забележи". Така, ако приемем, че граничната температура при безкрайно количество разделяния е 70 °C, то достатъчната точност ще бъде модел, който ни дава повече от 67.5 °C. Всички модели с 3 точки в изчислителната клетка и модели по-големи от 5х5 с една точка в клетка. (Изключени в зелено в таблица 2)

Динамични работни режими

За оценка на динамичния режим ще оценим процеса на промяна на температурата в най-горещите и студени точки на стената на топлообменника за различни варианти на изчислителни схеми. (вж. рис. 8)

Рисунок 8. Прогрев теплообменника. Модели размерности 2х2 и 10х10.

Ясно е, че времето на преходния процес и самият му характер практически не зависят от броя на расчетните клетки и се определят изцяло от масата на загряващия метал.

Така стигаме до извода, че за точно моделиране на топлообменника в режими от 20 до 150 °C, с необходимата точност за системата за управление на СКВ, е достатъчно приблизително 10 – 20 расчетни точки.

Настройка на динамичния модел по експеримента

След като имаме математическия модел, а също и данните от експеримента за продухването на топлообменника, ни остава да направим проста корекция, а именно, да въведем коефициента на интенсификация в модела, така че изчислението да съвпада с резултатите от експеримента.

Освен това, използвайки графичната среда за създаване на модел, ще направим това автоматично. На рисунка 9 е представен алгоритъм за подбиране на коефициентите на интенсификация на топлообмена. На входа се подават данни, получени от експеримента, свързва се моделът на топлообменника и на изхода се получават необходимите коефициенти за всеки от режимите.

Рисунка 9. Алгоритъм за подбиране на коефициента на интенсификация на база резултатите от експеримента.

Така определяме онзи коефициент за число Нуселта и премахваме неопределеността в формулите за изчисление. За различни работни режими и температури стойностите на поправъчните коефициенти могат да варират, но за сходни работни режими (нормална експлоатация) те се оказват много близки. Например, за този топлообменник, в различни режими, коефициентът е от 0.492 до 0.655.

Ако приложим коефициент 0.6, то в изследваните работни режими погрешността на изчислението ще бъде по-малка от погрешността на термопарите, следователно за системата за управление математическият модел на топлообменника ще бъде напълно адекватен на действителния модел.

Резултати от настройката на модела на топлообменника

За оценка на качеството на топлообмена се използва специална характеристика – ефективност:

където:
effгор – ефективност на топлообменника за горещия топлоносител;
Tгорв – температура на входа в топлообменника по тракта на движение на горещия топлоносител;
Tгорout – температура на изхода от топлообменника по тракта на движение на горещия топлоносител;
Tхолв – температура на входа на топлообменника в тракта на движение на студен топлоносител.

В таблица 3 се представени стойностите на отклонение на ефективността на модела на топлообменника от експерименталната при различни разходи по горещата и студената линия.

Таблица 3. Грешки в изчислението на ефективността на топлообмена в %

В нашия случай избраният коефициент може да бъде използван във всички интересни за нас режими на работа. Ако при ниски разходи, където грешката е по-голяма, необходимата точност не се достига, можем да използваме променлив коефициент на интензификация, който ще зависи от текущия разход.

Например, на рисунка 10 коефициентът на интензификация се изчислява по зададена формула в зависимост от текущия разход в клетките на канала.

Рисунок 10. Променлив коефициент на интензификация на топлообмена.

Изводи

• Знанието на физичните закони позволява създаването на динамични модели на обекта за моделно-ориентирано проектиране.
• Моделът трябва да бъде верифициран и настроен на базата на данните от изпитанията.
• Средствата за разработка на модели трябва да позволяват на разработчика да настрои модела в зависимост от резултатите от изпитанията на обекта.
• Използвайте правилния моделно-ориентиран подход и ще имате успех!

Бонус за тези, които прочетоха до края. Видео на работа на виртуалния модел на системата СКВ.

Само регистрирани потребители могат да участват в анкетата. Влезте, моля.

За какво да говорим по-нататък?

• 76,2%Как да докажем, че програмата в модела съответства на програмата в апаратурата.

• 23,8%Как да използваме изчисленията на СуперЕВМ за моделно-ориентирано проектиране.

Гласували 21 потребител. Въздържал се 1 потребител.

Източник: habr.com