Наличен е деветият коригиращ ъпдейт на дистрибуцията Debian 9, в който са включени натрупаните обновления на пакетите.

Добър ден.

През последните няколко години посвещавам време на изследването и създаването на различни алгоритми за пространствена обработка на сигнали в адаптивни антени, и продължавам да работя в тази област и в момента. Тук бих искал да споделя знанието и триковете, които съм открил. Надявам се, че това ще бъде полезно за хората, които започват да изучават тази сфера на обработка на сигнали или просто се интересуват.

Какво е адаптивна антенна решетка?

Антенна решетка – е набор от антени, разположени по определен начин в пространството. Определено, структурата на адаптивната антенна решетка, която ще разглеждаме, може да бъде представена по следния начин:


Адаптивните антени не рядко наричат „умни“ антени (Smart antenna). „Умната“ антенна решетка се състои от блок за пространствена обработка на сигнали и алгоритми, внедрени в него. Тези алгоритми анализират получените сигнали и формират набор от теглови коэффициенти $inline$w_1…w_N$inline$, които определят амплитудата и началната фаза на сигнала за всеки от елементите. Зададеното амплитудно-фазово разпределение дефинира диаграмата на насоченост на цялата решетка. Възможността да се синтезира диаграмата на насоченост с необходимата форма и да се променя в процеса на обработка на сигнала е една от основните характеристики на адаптивните антени, позволяваща решаване на широк спектър от задачи. Но да видим всичко по ред.

Как се формира диаграмата на насоченост?

Диаграмата на насоченост характеризира мощността на сигнала, излъчван в определена посока. За улеснение да предположим, че елементите на решетката са изотропни, т.е. мощността на излъчвания сигнал за всеки от тях не зависи от посоката. Увеличаването или намаляването на мощността, излъчвана от решетката в определена посока, произтича от интерференция на ЕМВ, излъчвани от различни елементи на антенната решетка. Устойчивата интерференционна картина за ЕМВ е възможна само при условие на тяхната когерентност, т.е. разликата в фазата на сигналите не трябва да се променя с времето. В идеалния случай всеки от елементите на антенната решетка трябва да излъчва хармоничен сигнал на една и съща основна честота $inline$f_{0}$inline$. Въпреки това, на практика, трябва да работим с тесноплексовани сигнали, които имат спектър с ограничена ширина $inline$Delta f << f_{0}$inline$.
Нека всички елементи на АР излъчват един и същ сигнал с комплексна амплитуда $inline$x_n(t)=u(t)$inline$. Тогава на отдалечен приемникът приетият сигнал от n-ти елемент може да се представи в аналитична форма:

$$display$$a_n(t) = u(t-tau_n)e^{i2pi f_0(t-tau_n)}$$display$$

където $inline$tau_n$inline$ – закъснението в разпространението на сигнала от антенния елемент до точката на прием.
Този сигнал е «квазихармоничен», и за да се изпълни условието за когерентност, е необходимо максималното закъснение в разпространението на ЕМВ между произволни два елемента да бъде много по-малко от характерното време за изменение на обгърнатия сигнал $inline$T$inline$, т.е. $inline$u(t-tau_n) ≈ u(t-tau_m)$inline$. По този начин, условието за когерентност на тесноплексования сигнал може да бъде записано по следния начин:

$$display$$T≈frac{1}{Delta f}>>frac{D_{max}}{c}=max(tau_k-tau_m) $$display$$

където $inline$D_{max}$inline$ – максималното разстояние между елементите на АР, а $inline$c$inline$ – скоростта на светлината.

При приемане на сигнала, когерентното сумиране се извършва в цифров вид в блока за пространствена обработка. В този случай комплексната стойност на цифровия сигнал на изхода на този блок се определя от израза:

$$display$$y=sum_{n=1}^Nw_n^*x_n$$display$$

Последният израз е по-удобно да се представи в скаларно произведение N-мерни комплексни вектори в матрична форма:

$$display$$y=(textbf{w},textbf{x})=textbf{w}^Htextbf{x}$$display$$

където w и x — вектори-колони, а $inline$(.)^H$inline$ — операция ерметово съвпадение.

Векторното представяне на сигналите е едно от основните при работа с антенни решетки, тъй като често позволява да се избегнат обемисти математически изчисления. Освен това, отождествяването на приемаемия сигнал в определен момент с вектор често позволява да се абстрахираме от реалната физическа система и да разберем какво точно се случва от геометрична гледна точка.

За да се изчисли диаграмата на насоченост на антенната решетка, е необходимо умствено и последователно да "стартираме" върху нея набор от плоски вълни от всички възможни направления. В този случай стойностите на елементите на вектора x могат да се представят по следния начин:

$$display$$x_n=s_n=exp{-i(textbf{k}(phi,theta),textbf{r}_n)}$$display$$

където k – вълнов вектор, $inline$phi$inline$ и $inline$theta$inline$ – азимутален ъгъл и ъгъл на мястото, характеризиращи посоката на прихода на плоска вълна, $inline$textbf{r}_n$inline$ – координата на антенното звено, $inline$s_n$inline$ – елемент на фазовия вектор s плоска вълна с вълнов вектор k (в англоезичната литература фазовият вектор се нарича steerage vector). Зависимостта на квадрата на амплитудата y от $inline$phi$inline$ и $inline$theta$inline$ определя диаграмата на насоченост на антена решетка при зададен вектор на тегловните коефициенти w.

Особености на диаграмата на насоченост на антена решетка

Удобно е да се изследват общите свойства на диаграмата на насоченост на антени решетки на линейна еквидистантна антена решетка в хоризонталната равнина (т.е. DN зависи само от азимуталния ъгъл $inline$phi$inline$). Това е удобно от две гледни точки: аналитични разсъждения и визуално представяне.

Да изчислим DN за единичен тегловен вектор ($inline$w_n=1, n = 1 … N$inline$), следвайки описания по-горе метод.
Математиката е тук
Проекцията на вълновия вектор по вертикалната ос: $inline$k_v=-frac{2pi}{lambda}sinphi$inline$
Вертикалната координата на антенното звено с индекс n: $inline$r_{nv}=(n-1)d$inline$
Тук d – период на антена решетка (разстояние между съседните елементи), λ — дължина на вълната. Всички останали елементи на вектора r са равни на нула.
Приетият от антена решетка сигнал се записва по следния начин:

$$display$$y=sum_{n=1}^{N}1 ⋅exp{i2pi nfrac{d}{lambda}sinphi}$$display$$

Приложим формулата за сумата на геометричната прогресия и представянето на тригонометричните функции чрез комплексни експоненти :

$$display$$y=frac{1-exp{i2pi Nfrac{d}{lambda}sinphi}}{1-exp{i2pi frac{d}{lambda}sinphi}}=frac{sin(pi frac{Nd}{lambda}sinphi)}{sin(pi frac{d}{lambda}sinphi)}exp{ipi frac{d(N-1)}{lambda}sinphi}$$display$$

В крайна сметка ще получим:

$$display$$F(phi)=|y|^2=frac{sin^2(pi frac{Nd}{lambda}sinphi)}{sin^2(pi frac{d}{lambda}sinphi)} $$display$$

Периодичност на диаграмата на насоченост

Получената диаграма на насоченост на антена решетка е периодична функция от синуса на ъгъла. Това означава, че при определени стойности на отношението d/λ тя има дифракционни (допълнителни) максимуми.
Ненормирано диаграма на насоченост на антена решетка за N = 5
Нормирано диаграма на насоченост на антена решетка за N = 5 в полярната координатна система

Положението на «дифракционниците» може да се види директно от формулата за ДН. Но ще се опитаме да разберем откъде идват те физически и геометрически (в N-мерно пространство).

Елементи фазиращ вектор s представляват комплексни експоненти $inline$e^{iPsi n}$inline$, стойностите на които се определят от величината на обобщения ъгъл $inline$Psi = 2pi frac{d}{lambda}sinphi$inline$. Ако съществуват два обобщени ъгъла, съответстващи на различни направления на идването на плоска вълна, за които се изпълнява $inline$Psi_1 = Psi_2 + 2pi m$inline$, това означава две неща:

• Физически: плоските вълнови фронтове, идващи от тези направления, индуцират идентични амплитудно-фазови разпределения на електромагнитните колебания в елементите на антенната решетка.
• Геометрично: фазиращите вектори за тези две направления съвпадат.

Свързаните по този начин направления на идването на вълната са еквивалентни и неразличими помежду си от гледна точка на антенната решетка.

Как да определим областта на ъглите, в която винаги съществува само един главен максимум на ДН? Ще направим това в околността на нулевия азимут въз основа на следните съображения: величината на набега на фазите между два съседни елемента трябва да лежи в интервала от $inline$-pi$inline$ до $inline$pi$inline$.

$$display$$-pi<2pifrac{d}{lambda}sinphi<pi$$display$$

Разрешавайки това неравенство, получаваме условието за областта на еднозначност в околността на нула:

$$display$$|sinphi|<frac{lambda}{2d}$$display$$

Лесно е да се види, че размерът на областта на еднозначност по ъгъла зависи от съотношението d/λ. Ако d = 0.5λ, тогава всяко направление на идването на сигнала е «индивидуално», а областта на еднозначност обхваща целия диапазон от ъгли. Ако d = 2.0λ, тогава направления 0, ±30, ±90 – са еквивалентни. В диаграмата на насочване се появяват дифракционни лобове.

Обикновено, дифракционните лобове се опитват да се потиснат с помощта на насочени антенни елементи. В този случай пълната диаграма на насочване на антенната решетка е произведение на ДН на един елемент и решетка от изотропни елементи. Параметрите на ДН на един елемент обикновено се избират в зависимост от условието за областта на еднозначност на антенната решетка.

Ширината на главния лоб

Е широко известна инженерна формула за оценка на ширината на основния лоб на антенната система: $inline$Delta phi ≈ frac{lambda}{D}$inline$, където D е характерният размер на антена. Формулата се използва за различни видове антени, включително огледални. Нека покажем, че тя е валидна и за антени с решетки.

Определяме ширината на основния лоб с първите нули на ДН в околността на основния максимум. Числителят на израза за $inline$F(phi)$inline$ става нула при $inline$sinphi=mfrac{lambda}{dN}$inline$. Първите нули съответстват на m = ±1. Считайки $inline$frac{lambda}{dN}<<1$inline$ получаваме $inline$Delta phi = 2frac{lambda}{dN}$inline$.

Обикновено ширината на ДН на АР се определя на нивото на половинна мощност (-3 дБ). В този случай се използва изразът:

$$display$$Delta phi≈0.88frac{lambda}{dN}$$display$$

Пример

Ширината на основния лоб може да се контролира, задавайки различни стойности на амплитудите за тегловните коефициенти на антенното решето. Нека разгледаме три разпределения:

• Равномерно разпределение на амплитудата (weights 1): $inline$w_n=1$inline$.
• Спадът към краищата на решетката за стойностите на амплитудата (weights 2): $inline$w_n=0.5+0.3cos(2pifrac{n-1}{N}-pifrac{N-1}{N})$inline$
• Увеличаващите се стойности на амплитудата към краищата на решетката (weights 3): $inline$w_n=0.5-0.3cos(2pifrac{n-1}{N}-pifrac{N-1}{N})$inline$

На фигурата са показани получените нормализирани диаграми на насоченост в логаритмична скала:
От фигурата можем да проследим следните тенденции: спадлото към краищата на решетката разпределение на амплитудите на тегловните коефициенти води до разширение на основния лоб на ДН, но до намаляване на нивото на страничните лобове. Увеличаващите се стойности на амплитудите на антенната решетка, напротив, водят до стесняване на основния лоб и увеличаване на нивото на страничните лобове. Тук удобно е да разгледаме крайни случаи:

1. Амплитудите на тегловните коефициенти на всички елементи, с изключение на крайните, са равни на нула. Теглата за крайните елементи са равни на единица. В този случай решетката става еквивалентна на двоелементна АР с период D = (N-1)d. Не е трудно да се изчисли по представената по-горе формула ширината на основния лоб. При това страничните лобове ще се преобразуват в дифракционни максимуми и ще се изравнят по ниво с основния максимум.
2. Теглото на централния елемент е равно на единица, а на всички останали – нула. В този случай по същество имаме една антена с изотропна диаграма на насоченост.

Направление на основния максимум

И така, разгледахме как можем да регулираме ширината на основния лоб на ДН АР. Сега нека видим как да управляваме посоката. Да си припомним векторното изразяване за приетия сигнал. Нека искаме максимумът на диаграмата на насоченост да сочи в определена посока $inline$phi_0$inline$. Това означава, че от тази посока трябва да се приема максималната мощност. На тази посока отговаря фазовият вектор $inline$textbf{s}(phi_0)$inline$ в N-мерното векторно пространство, а приеманата мощност се определя като квадрат на скалярното произведение на този фазови вектор с вектора на тегловите коефициенти w. Скалярното произведение на два вектора е максимално, когато те са колинеарни, т.е. $inline$textbf{w}=beta textbf{s}(phi_0)$inline$, където β е някакъв нормализиращ множител. По този начин, ако изберем тегловния вектор равен на фазовия за исканата посока, ще завъртим максимума на диаграмата на насоченост.

Нека вземем за пример следните тегловни коефициенти: $inline$textbf{w}=textbf{s}(10°)$inline$

$$display$$w_n=exp{i2pifrac{d}{lambda}(n-1)sin(10pi/180)}$$display$$

В крайна сметка получаваме диаграма на насоченост с основен максимум в посока 10°.

Сега ще приложим същите тегловни коефициенти, но не за приемане на сигнала, а за предаване. Тук е важно да се има предвид, че при предаване на сигнала, посоката на векторa на вълната се променя на противоположна. Това означава, че елементите на фазовия вектор за приемане и предаване се различават по знака в показателя на експонентата, т.е. свързани са помежду си чрез комплексно съпротивление. В резултат получаваме максимум на диаграмата на насоченост за предаване в посока -10°, което не съвпада с максимума на ДН за прием при същите тегловни коефициенти. За да коригираме ситуацията, е необходимо да приложим комплексното съпротивление и към тегловните коефициенти.

Описаната особеност на формирането на ДН за прием и предаване винаги трябва да се има предвид при работа с антени.

Ще поиграем с диаграмата на насоченост

Няколко maxima

Нека формулираме задача да създадем два основни максимума на диаграмата на насоченост в посоки: -5° и 10°. За целта изберем като тегловен вектор взетата сума на фазовите вектори за съответните посоки.

$$display$$textbf{w} = betatextbf{s}(10°)+(1-beta)textbf{s}(-5°)$$display$$

Регулирайки коефициента β може да се регулира съотношението между основните лопатки. Тук е удобно отново да погледнем на случващото се във векторното пространство. Ако β е над 0.5, тогава векторът на тежестите е по-близо до s(10°), в противен случай до s(-5°). Колкото по-близо е векторът на тежестите до един от фазорите, толкова по-голямо е съответното скалярно произведение, а следователно и величината на съответния максимум на ДН.

Обаче трябва да се вземе предвид, че и двете основни лопатки имат крайна ширина, и ако желаем да се настройваме на две близки посоки, тези лопатки ще се слеят в една, насочена към някаква средна посока.

Един максимум и нула

Сега ще опитаме да настроим максимума на диаграмата на насочеността към посоката $inline$phi_1=10°$inline$ и в същото време да потиснем сигнала, идващ от посоката $inline$phi_2=-5°$inline$. За целта е необходимо да зададем нула на ДН за съответния ъгъл. Може да се направи следното:

$$display$$textbf{w}=textbf{s}_1-frac{textbf{s}_2^Htextbf{s}_1}{N}textbf{s}_2$$display$$

където $inline$textbf{s}_1 = textbf{s}(10°)$inline$, а $inline$textbf{s}_2 = textbf{s}(-5°)$inline$.

Геометричният смисъл на избора на вектора на тежестите е следният. Искаме този вектор w да има максимална проекция върху $inline$textbf{s}_1$inline$ и в същото време да е ортогонален на вектора $inline$textbf{s}_2$inline$. Векторът $inline$textbf{s}_1$inline$ може да бъде представен под формата на две съставки: колинеарния вектор на $inline$textbf{s}_2$inline$ и ортогоналния вектор на $inline$textbf{s}_2$inline$. За да отговорим на зададената задача, е необходимо да изберем втората компонента като вектор на тежестите. wМожем да изчислим колинеарната компонента, проектиране на вектора $inline$textbf{s}_1$inline$ върху нормализирания вектор $inline$frac{textbf{s}_2}{sqrt{N}}$inline$ с помощта на скалярното произведение.

$$display$$textbf{s}_{1||}=frac{textbf{s}_2}{sqrt{N}}frac{textbf{s}_2^Htextbf{s}_1}{sqrt{N}}$$display$$

Съответно, като извадим колинеарната компонента от оригиналния фазиращ вектор $inline$textbf{s}_1$inline$, ще получим искания вектор на тежестите.

Някои допълнителни бележки

1. По-горе обсъдих въпроса за нормализирането на векторите с тегла, т.е. тяхната дължина. Важно е да се отбележи, че нормализирането на вектора с тегло не влияе на характеристиките на диаграмата на насоченост на антенната решетка: посоката на главния максимум, ширината на основния лоб и т.н. Може също да се покаже, че тази нормализация не влияе и на ОСШ на изхода на блока за пространствена обработка. Поради това, когато разглеждам алгоритми за пространствена обработка на сигнали, обикновено приемам единична нормализация на вектора с тегло, т.е. $inline$textbf{w}^Htextbf{w}=1$inline$
2. Възможностите за формиране на диаграмата на насоченост на антенната решетка зависят от броя на елементите N. Колкото повече елементи, толкова по-широки са възможностите. Има повече степени на свобода при извършване на пространствена обработка на теглата, повече варианти за „завъртане“ на вектора с тегло в N-мерното пространство.
3. При приемането физически не съществува диаграма на насоченост на антенната решетка, а всичко това съществува само в „въображението“ на изчислителния блок, който извършва обработката на сигнала. Това означава, че в един и същи момент могат да бъдат синтезирани няколко диаграми на насоченост и да се извършва независимо обработване на сигнали, постъпващи от различни посоки. В случая с предаване всичко е малко по-сложно, но също така има възможност за синтезиране на няколко диаграми на насоченост за предаване на различни потоци данни. Технологията, използвана в комуникационните системи, се нарича MIMO.
4. С представения matlab код можете сами да експериментирате с диаграмата на насоченост.
   Код

   % настройки на антенната решетка
   N = 10;             % брой на елементите
   d = 0.5;            % период на антенната решетка
   wLength = 1;        % дължина на вълната
   mode = 'receiver';  % приемник или предавател
   
   % тегла на антенната решетка
   w = ones(N,1);    
   % w = 0.5 + 0.3*cos(2*pi*((0:N-1)-0.5*(N-1))\/N).';
   % w = 0.5 - 0.3*cos(2*pi*((0:N-1)-0.5*(N-1))\/N).';
   % w = exp(2i*pi*d\/wLength*sin(10\/180*pi)*(0:N-1)).';
   % b = 0.5; w = b*exp(2i*pi*d\/wLength*sin(+10\/180*pi)*(0:N-1)).' + (1-b)*exp(2i*pi*d\/wLength*sin(-5\/180*pi)*(0:N-1)).';
   % b = 0.5; w = b*exp(2i*pi*d\/wLength*sin(+3\/180*pi)*(0:N-1)).' + (1-b)*exp(2i*pi*d\/wLength*sin(-3\/180*pi)*(0:N-1)).';
   
   % s1 = exp(2i*pi*d\/wLength*sin(10\/180*pi)*(0:N-1)).';
   % s2 = exp(2i*pi*d\/wLength*sin(-5\/180*pi)*(0:N-1)).';
   % w = s1 - (1\/N)*s2*s2'*s1;
   % w = s1;
   
   % нормализиране на теглата
   w = w.\/sqrt(sum(abs(w).^2));
   
   % набор от стойности на ъгъл за изчисление на модела
   angGrid_deg = (-90:0.5:90);
   
   % преобразува ъгъл от градуси в радиани
   angGrid = angGrid_deg * pi\/180;
   % изчислява набор от вектори за насочване за ъгловата решетка
   switch (mode)
       case 'receiver'
           s = exp(2i*pi*d\/wLength*bsxfun(@times,(0:N-1)',sin(angGrid)));
       case 'transmitter'
           s = exp(-2i*pi*d\/wLength*bsxfun(@times,(0:N-1)',sin(angGrid)));
   end
   
   % изчислява модел
   y = (abs(w'*s)).^2;
   
   % линейна скала
   plot(angGrid_deg,y\/max(y));
   grid on;
   xlim([-90 90]);
   
   % логаритмична скала
   % plot(angGrid_deg,10*log10(y\/max(y)));
   % grid on;
   % xlim([-90 90]);

Какви задачи могат да се решават с помощта на адаптивна антенна решетка?

Оптимално приемане на неизвестен сигналАко посоката на приемане на сигнала е неизвестна (а ако каналът за връзка е многолъчен, посоките всъщност са няколко), то чрез анализ на приемаемия сигнал от антенната решетка може да се създаде оптимален вектор на тежестите w така че ОСШ на изхода на блока за пространствена обработка да бъде максимално.

Оптимално приемане на сигнал на фона на смущенияТук задачата е следната: пространствените параметри на очаквания полезен сигнал са известни, но в околната среда съществуват източници на смущения. Необходимо е да се максимизира ОСШП на изхода на АР, като същевременно се минимизира влиянието на смущенията върху приема на сигнала.

Оптимална предаване на сигнала на потребителяТази задача се решава в мобилни комуникационни системи (4G, 5G), както и в Wi-Fi. Същността е проста: с помощта на специални пилотни сигнали в канала за обратна връзка на потребителя се извършва оценка на пространствените характеристики на канала за връзка, и на нейна основа се избира оптимален вектор на тежестите за предаване.

Пространствено мултиплексиране на потоци данниАдаптивните антени решетки позволяват предаване на данни на няколко потребители едновременно на една и съща честота, формирайки индивидуална ДН за всеки от тях. Тази технология се нарича MU-MIMO и в момента активно се внедрява (а на места вече е внедрена) в системи за връзка. Възможността за пространствено мултиплексиране е предвидена, например, в стандарта за мобилна връзка 4G LTE, Wi-Fi стандарт IEEE802.11ay, стандартите за мобилни връзки 5G.

Виртуални антени масиви за радарни системиЦифровите антени решетки позволяват с помощта на няколко предавателни антени елемента да се формира виртуална антенна решетка за обработка на сигнал с значително по-големи размери. Виртуалната решетка има всички характеристики на реалната, но за реализацията й се изискват по-малко хардуерни разходи.

Оценка на параметрите на източниците на излъчванеАдаптивните антени решетки позволяват решаване на задачата за оценка на броя, мощността, угловите координати източниците на радиовълни, установявайки статистическа връзка между сигналите на различни източници. Основното предимство на адаптивните антени е способността за свръхразрешаване на близко разположени източници на излъчване. Източници, чиято ъглова разлика е по-малка от ширината на главния лоб на диаграмата на направление на антенната решетка (праг на разрешаване на Релея). Главно това става възможно благодарение на векторното представяне на сигнала, известния модел на сигнала, както и на апаратурата на линейната математика.

Благодаря за вниманието

Източник: habr.com