«Ако на клетката на слона прочетеш надписа „бивол“, не вярвай на очите си» Козьма Прутков

В предишната статия за моделно-ориентирано проектиране беше показано защо е необходима модел на обекта и беше доказано, че без тази модел на обекта, за моделно-ориентирано проектиране може да се говори само като за маркетингова бреда, безсмислена и безмилостна. Но с появата на модел на обекта при грамотните инженери винаги възниква разумният въпрос: какви доказателства имаме, че математическият модел на обекта съответства на реалния обект.

Един от примерите за отговор на този въпрос е представен в статия за моделно-ориентирано проектиране на електрически двигател. В тази статия ще разгледаме пример за създаване на модел за авиационни системи за климатизация, разбавяйки практиката с някои теоретични разсъждения от общ характер.

Създаване на надежден модел на обекта. Теория

За да не се проточва работата, веднага ще разкажа за алгоритъма за създаване на модел за моделно-ориентирано проектиране. В него има само три прости стъпки:

Стъпка 1. Разработване на система от алгебро-диференциални уравнения, описващи динамичното поведение на моделираната система. Това е просто, ако знаеш физиката на процеса. Множество учени вече са разработили основните физически закони на Нютон, Бренули, Навие-Стокс и други.

Стъпка 2. Избиране в получената система на набор от емпирични коефициенти и характеристики на обекта на моделиране, които могат да бъдат получени от тестове.

Стъпка 3. Провеждане на тестове на обекта и настройване на модела според резултатите от натурни експерименти, така че да съответства на реалността с необходимата степен на детайлност.

Както виждате, просто е, точно две-три.

Пример за практическа реализация

Системата за климатизация (СКВ) на самолета е свързана със системата за автоматично поддържане на налягането. Налягането в самолета винаги трябва да бъде по-високо от външното налягане, като скоростта на изменение на налягането трябва да бъде такава, че пилотите и пътниците да не изпитват кървене от носа и ушите. Ето защо системата за управление на притока и оттока на въздух е важна за безопасността, и за нейното проектиране на земята се използват скъпи изпитателни системи. В тях се създават температури и налягания, които съответстват на височината на полета, и се възпроизвеждат режимите на излитане и кацане на летища с различна височина. Въпросът за проектирането и настройването на системи за управление на СКВ става все по-актуален. Колко време ще изразходваме за изпитателната установка, за да получим удовлетворителна система за управление? Очевидно, ако настроим модела на управление спрямо модела на обекта, цикълът на работа на изпитателната установка може да бъде значително съкратен.

Авиационната система за климатизация се състои от същите топлообменни устройства, каквито има всяка друга термална система. Батерията – тя е батерия, независимо от контекста, но в случая на климатизация. Поради ограниченията на излетното тегло и размерите на въздухоплавателните средства, топлообменниците се проектират да бъдат максимално компактен и ефективен, за да предадат възможно най-много топлина при по-малко тегло. В резултат на това, геометрията става доста причудлива. Както например в разглеждания случай. На фигура 1 е показан пластинчат топлообменник, при който между пластините за подобряване на топлообмена се използва мембрана. Горещият и студеният топлоносител се редуват в каналите, като посоката на течението е поперечна. Единият топлоносител постъпва на предния ръб, а другият – на страничния.

За да решим задачата за управление на СКВ, трябва да знаем колко топлина се предава от една среда на друга в такъв топлообменник за единица време. От това зависи скоростта на изменение на температурата, която регулираме.

Фигура 1. Схема на авиационен топлообменен апарат.

Проблеми с моделирането. Хидравличната част

На пръв поглед задачата изглежда доста проста, необходимо е да се изчисли масовият поток през каналите на топлообменника и топлинният поток между каналите.
Масовият разход на топлоносителя в каналите се изчислява по формулата на Бернули:

където:
ΔP – разлика в налягането между две точки;
ξ – коефициент на триене на топлоносителя;
L – дължина на канала;
d – хидравличен диаметър на канала;
ρ – плътност на топлоносителя;
ω – скорост на топлоносителя в канала.

За канал с произволна форма хидравличният диаметър се изчислява по формулата:

където:
F – площ на сечението;
П – влажен периметър на канала.

Коефициентът на триене се изчислява по емпирични формули и зависи от скоростта на потока и свойствата на топлоносителя. За различни геометрии се получават различни зависимости, например формулата за турбулентен поток в гладки тръби:

където:
Re – число на Рейнолдс.

За течения в плоски канали може да се използва следната формула:

От формулата на Бернули може да се изчисли разликата в налягането за зададена скорост, или обратно да се изчисли скоростта на топлоносителя в канала, по зададена разлика в налягането.

Топлообмен

Топлинният поток между топлоносителя и стената се изчислява по формулата:

където:
α [Вт/(м2×град)] – коефициент на топлопередаване;
F – площ на сечението.

За задачите за течения на топлоносители в тръби, проведени са достатъчно изследвания и съществуват множество методики за изчисление, които обикновено се свеждат до емпирични зависимости за коефициента на топлопередаване α [Вт/(м2×град)]

където:
Nu – число на Нуселт,
λ – коефициент на топлопроводност на течността [Вт/(м×град)]
d – хидравличен (еквивалентен) диаметър.

За изчисляване на числото (критерия) Нуселт се използват емпирични критерийни зависимости, например формулата за изчисление на числото Нуселт за кръгла тръба изглежда така:

Тук вече виждаме и числото на Рейнолдс, числото на Прандтл при температурата на стената и температурата на течността и коефициента на неравномерност. (Източник)

За пластинчати гофрирани топлообменници формулата е подобна ( Източник ):

където:
n = 0.73 m =0.43 за турбулентен поток,
коефициентът а – варира в диапазона от 0,065 до 0,6 в зависимост от броя на пластините и режима на течението.

Ще вземем предвид, че тази стойност се изчислява само за една точка в потока. За следващата точка имаме друга температура на течността (тя се е нагряла или охладила), друга температура на стената и съответно, всички числа на Рейнолдс и Прандтл се променят.

На това място всеки математик ще каже, че точно да се изчисли система, в която коефициентът се променя десетократно, е невъзможно, и ще е прав.

Всеки практикуващ инженер ще каже, че всеки топлообменник е различен при производство и изчисленията на системите са невъзможни, и също ще е прав.

А какво става с проектирането, насочено към модели? Не е ли всичко загубено?

Напредналите продавачи на западен софтуер на това място ще ви предлагат СуперЕВМ и система за 3D изчисляване, все едно, че „без него не може“. И е нужно да се стартира изчисление за 24 часа, за да се получи разпределението на температурите за 1 минута.

Ясно е, че това не е нашият вариант, трябва да настройваме системата за управление, ако не в реално време, то поне в близък период.

Решение чрез проби и грешки

Произвежда се топлообменник, провеждат се серия тестове и се задава таблица с ефективността на установената температура при зададени разходи на топлоносителите. Просто, бързо и надеждно, тъй като данните са получени от тестовете.

Недостатък на този подход е, че няма динамични характеристики на обекта. Да, знаем какъв ще бъде установеният топлов поток, но не знаем за какво време той ще се установи при прехода от един към друг режим на работа.

Затова, след като изчислим необходимите характеристики, ние настройваме системата за управление директно на тестовете, което всъщност бихме искали да избегнем.

Подход, насочен към модели

За създаването на модел на динамичен топлообменник е необходимо да се използват данни от тестовете, за да се елиминират неяснотите в емпиричните формули за изчисление – числа на Нуселт и хидравлично съпротивление.

Решението е просто, като всичко гениално. Ние вземаме емпиричната формула, провеждаме експерименти и определяме стойността на коефициента a, по този начин елиминирайки неяснотата във формулата.

След като имаме определена стойност на коефициента на топлопредаване, всички останали параметри се определят от основните физични закони за запазване. Разликата в температурите и коефициентът на топлопредаване определят количеството енергия, предавано в канала за единица време.

Знаейки потока на енергия, можем да решаваме уравненията за запазване на енергийния масов поток и импулса за топлоносителя в хидравличния канал. Например такова:

За нашия случай, неопределен остава потокът на топлина между стената и топлоносителя — Qwall. Повече информация можете да намерите тук…

А също и уравнението за производната температура за стената на канала:

където:
ΔQwall – разлика между входящия и изходящия поток към стената на канала;
M – маса на стената на канала;
Cpc – топлинна Capacity на материала на стената.

Точността на модела

Както беше споменато по-горе, в топлообменника имаме разпределение на температурата по повърхността на пластината. За устойчивото значение може да се вземе средното по пластините и да се използва, представяйки целия топлообменник като една концентрирана точка, в която при едно преливане на температури се извършва предаване на топлина през цялата повърхност на топлообменника. Но за преходите такова приближение може да не проработи. Другата крайност е да направим няколко стотин хиляди точки и да натоварим Супер ЕВМ, което също не ни подхожда, тъй като задачата е да настроим системата за управление в реално време, а по-добре и по-бързо.

Възниква въпросът, на колко участъка трябва да бъде разделен топлообменникът, за да се получи приемлива точност и скорост на изчисление?

Както винаги, случайно се оказа, че имам под ръка модел на аминов топлообменник. Топлообменникът представлява тръбна система, в която тече нагряваща среда, а между торбите – подгрявана. За опростяване на задачата цялата тръбна система на топлообменника може да се представи като една еквивалентна тръба, а самата тръба да се представи под формата на набор от дискретни изчислителни клетки, в които се извършва изчислението на точковия модел на топлообмена. Схемата на модела на една клетка е показана на рисунка 2. Каналът на горещия въздух и каналът на студения въздух са свързани чрез стена, която осигурява предаването на топлинния поток между каналите.

Рисунка 2. Модел на клетка на топлообменника.

Моделът на тръбния топлообменник лесно се настройва. Може да се променя само един параметър – броят на участъците по дължина на тръбата и да се видят резултатите от изчисленията при различни разделяния. Ще направим изчисление на няколко варианта, започвайки с разделяне на 5 точки по дължина (фиг. 3) и до 100 точки по дължина (фиг. 4).

Фигура 3. Стационарно разпределение на температурата при 5 изчислителни точки.

Фигура 4. Стационарно разпределение на температурата при 100 изчислителни точки.

В резултат на изчисленията е установено, че установената температура при разделяне на 100 точки е 67,7 градуса. А при разделяне на 5 изчислителни точки температурата е 72,66 градуса Ц.

Също така в долната част на прозореца се извежда скоростта на изчислението спрямо реалното време.
Нека видим как се променя установената температура и скоростта на изчисление в зависимост от броя на изчислителните точки. Разликата в установените температури при изчисления с различен брой изчислителни клетки може да се използва за оценка на точността на получените резултати.

Таблица 1. Завимост на температурата и скоростта на изчисление от броя на изчислителните точки по дължината на топлообменника.

Анализирайки тази таблица, можем да направим следните изводи:

• Скоростта на изчисляване спада пропорционално на броя изчислителни точки в модела на топлообменния апарат.
• Промените в точността на изчислението се случват експоненциално. При увеличаване на броя на точките уточнението при всяко следващо увеличение намалява.

В случая на пластинчатия топлообменник с кръстосан поток на топлоносителя, както е показано на фигура 1, създаването на еквивалентен модел от елементарни изчислителни клетки е малко по-сложно. Трябва да свържем клетките по такъв начин, че да организираме кръстосаните течения. За 4 клетки схемата ще изглежда така, както е показано на фигура 5.

Течението на охладителя се разделя на гореща и студена линия на два канала, които ще се свържат чрез топлинни структури, така че при преминаването през канала охладителят да обменя топлина с различни канали. Моделирайки прекъснато течение, горещият охладител преминава отляво надясно (вж. рис. 5) във всеки канал, последователно обменяйки топлина с каналите на студения охладител, който минава отдолу нагоре (вж. рис. 5). Най-горещата точка е в горния ляв ъгъл, където горещият охладител обменя топлина с вече загрят охладител от студения канал. Най-студената точка е в долния десен ъгъл, където студеният охладител обменя топлина с горещия охладител, който вече се е охладил на първия участък.

Рисунок 5. Модел на поперечен поток от 4 изчислителни клетки.

Такава модель для пластинчатого теплообменника не учитывает перенос тепла между ячейками за счет теплопроводности и не учитывает перемешивание теплоносителя, так как каждый канал изолированный.

Но в нашем случае последнее ограничение не уменьшает точность, поскольку в конструкции теплообменника гофрированная мембрана разделяет поток на множество изолированных каналов по теплоносителю (вж. рис. 1). Нека да видим какво се случва с точността на изчислението при моделирането на пластинчатия топлообменник при увеличение на броя на изчислителните клетки.

За анализа на точността използваме два варианта за разделяне на топлообменника на изчислителни клетки:

1. Всяка квадратна клетка съдържа два хидравлични (студен и горещ поток) и един топлинен елемент. (вж. рис. 5)
2. Всяка квадратна клетка съдържа шест хидравлични елемента (по три участъка в горещия и студения поток) и три топлинни елемента.

В последния случай използваме два вида свързване:

• срещно течение на студените и горещите потоци;
• попутно течение на студените и горещите потоци.

Срещното течение увеличава ефективността в сравнение с прекъснатото, а попутното течение намалява. При голям брой клетки се извършва средно по потока и всичко става близо до реалното поперечно обтичање (вж. рис. 6).

Рисунок 6. Модел на поперечен поток от четири клетки с 3 елементи.

На фигура 7 са показани резултатите от установеното стационарно разпределение на температурата в топлообменника при подаване по горещата линия на въздух с температура 150 °C, а по студената линия – 21 °C, за различни варианти на разделяне на модела. Цветът и цифрите в клетката отразяват средната температура на стената в изчислената клетка.

Фигура 7. Установените температури за различни изчислителни схеми.

В таблица 2 е представена установената температура на загрятия въздух след топлообменника в зависимост от разделянето на модела на клетки.

Таблица 2. Зависимост на температурата от количеството изчислителни клетки в топлообменника.

С увеличаване на количеството изчислителни клетки в модела настъпва увеличение на крайната установена температура. Разликата между установената температура при различни разделяния може да се разглежда като показател за точността на изчисления. Видно е, че при увеличаване на количеството изчислителни клетки температурата се стреми към предел, а увеличаването на точността не е пропорционално на количеството изчислителни точки.

Възниква въпросът каква точност на модела ни е необходима?

Отговорът на този въпрос зависи от целта на нашия модел. Тъй като в тази статия става въпрос за моделно-ориентирано проектиране, ние създаваме модела за настройка на системата за управление. Това означава, че точността на модела трябва да бъде сравнима с точността на сензорите, използвани в системата.

В нашия случай температурата се измерва с термопара, чиято точност е ±2.5°C. Всяка точност над това за целите на настройката на системата за управление е безполезна, нашата реална система за управление просто няма да я "види". Следователно, ако приемем, че пределната температура при безкрайно количество разпределения е 70 °C, то достатъчната точност ще бъде модел, който ни дава над 67.5 °C. Всички модели с 3 точки в изчислителната клетка и модели над 5х5 с една точка в клетка. (Подчертани в зелено в таблица 2)

Динамични режими на работа

За оценка на динамичния режим ще оценим процеса на промяна на температурата в най-горещите и студени точки на стената на топлообменника за различни варианти на изчислителни схеми. (вж. фиг. 8)

Фигура 8. Загряване на топлообменника. Модели с размерност 2х2 и 10х10.

Ясно е, че времето за преходния процес и самият му характер практически не зависят от броя на изчислителните точки и се определят изцяло от масата на нагряния метал.

Така стигаме до заключението, че за точно моделиране на топлообменника в режимите от 20 до 150 °C, с необходимата за системата за управление на СКВ точност, е достатъчно около 10 – 20 изчислителни точки.

Настройка на динамичния модел въз основа на експеримент

Имаме математически модел и данни от експеримента за продухване на топлообменника, остава само да направим проста корекция, а именно да въведем коефициент на интензификация в модела, така че изчислението да съвпадне с резултатите от експеримента.

Освен това, използвайки графичната среда за създаване на модел, ще направим това автоматично. На рисунка 9 е представен алгоритъм за подбиране на коефициентите на интензификация на топлообмена. На входа се подават данни, получени от експеримента, свързва се моделът на топлообменника, и на изхода се получават необходимите коефициенти за всеки от режимите.

Рисунка 9. Алгоритъм за подбиране на коефициента на интензификация въз основа на резултатите от експеримента.

Така определяме точно този коефициент за a числото на Нуселт и елиминираме неяснотата в формулите за изчисление. За различни работни режими и температури стойностите на корекционните коефициенти могат да варират, но за подобни работни режим (нормална експлоатация) те се оказват доста близки. Например, за този топлообменник стойността на коефициента варира от 0.492 до 0.655.

Ако приложим коефициент 0.6, то за изследваните работни режими грешката при изчислението ще е по-малка от грешката на термопарата, така че за системата за управление математическият модел на топлообменника ще е напълно адекватен на действителния модел.

Резултати от настройката на модела на топлообменника

За оценка на качеството на топлообмена се използва специфичен показател – ефективност:

където:
effгор – ефективност на топлообменника по горещия носител;
Tгорin – температура на входа в топлообменника по тракта на движение на горещия носител;
Tгорout – температура на изхода от топлообменника по тракта на движение на горещия носител;
Tхолin – температура на входа в топлообменника по тракта на движение на студеното теплоносител.

В таблица 3 са представени стойностите на отклонение в ефективността на модела на топлообменника от експерименталната при различни разходи по горещата и студената линии.

Таблица 3. Грешки в изчислението на ефективността на топлообмен в %

В нашия случай подбраният коефициент може да бъде използван във всички интересуващи ни режими на работа. В случай че при ниски разходи, където грешката е по-голяма, необходимата точност не се постига, можем да използваме променлив коефициент на интензификация, който ще зависи от текущия разход.

Например, на рисунка 10 коефициентът на интензификация се изчислява по зададена формула в зависимост от текущия разход в клетките на канала.

Рисунок 10. Променлив коефициент на интензификация на топлообмяна.

Изводи

• Познавването на физическите закони позволява създаването на динамични модели на обекта за моделно-ориентирано проектиране.
• Моделът трябва да бъде верифициран и настроен на база данни от изпитвания.
• Средствата за разработка на модели трябва да позволяват на разработчика да настройва модела на базата на резултатите от изпитванията на обекта.
• Използвайте правилния моделно-ориентиран подход и ще имате щастие!

Бонус за тези, които прочетоха до края. Видео на работа на виртуалния модел на системата СКВ.

Само регистрирани потребители могат да участват в анкетата. Влезте, моля.

За какво да говоря по-нататък?

• 76,2%Как да докажа, че програмата в модела съответства на програмата в апаратурата.

• 23,8%Как да използвам изчисления на СуперЕВМ за моделно-ориентирано проектиране.

Гласували 21 потребители. Въздържал се 1 потребител.

Източник: habr.com