Дискретна математика за WMS: алгоритъм за компресия на стоки в клетките (част 1)

В статията ще разкажем как решихме проблема с недостига на свободни места в склада и за разработката на алгоритъм за дискретна оптимизация за решаване на такава задача. Ще споделим как изградихме математическия модел на задачата за оптимизация и с какви трудности неочаквано се сблъскахме при обработката на входните данни за алгоритъма.

Ако ви интересуват приложенията на математиката в бизнеса и не се страхувате от сложни идентични преобразования на формули на ниво 5-ти клас, добре дошли под кат!

Статията ще бъде полезна за тези, които внедряват WMS-системи, работят в сферата на складовата или производствената логистика, а също така и за програмисти, които се интересуват от приложенията на математиката в бизнеса и оптимизацията на процесите в предприятията.

Частта е въвеждаща

Тази публикация продължава цикъл от статии, в които споделяме своя успешен опит в внедряването на алгоритми за оптимизация в складовите процеси.

В в предишната статия описва спецификата на склада, в който внедрихме WMS-системата, а също така разказва защо ни беше необходимо да решим задачата с кластеризация на партиди остатъци от стоки при внедряването. WMS-системи, и за това как го постигнахме.

Когато завършихме написването на статията за алгоритмите за оптимизация, тя стана много обширна, затова решихме да разделим натрупания материал на 2 части:

• В първата част (тази статия) ще разкажем как изградихме математическия модел на задачата и с какви значителни трудности се сблъскахме при обработката и преобразуването на входните данни за алгоритма.
• Във втората част ще разгледаме подробно реализирането на алгоритъма на езика C++, ще проведем изчислителен експеримент и ще обобщим опита, който придобихме по време на внедряване на такива "интелигентни технологии" в бизнес процесите на клиента.

Как да четете статията. Ако сте чели предишната статия, можете направо да преминете към глава "Преглед на съществуващите решения", ако не, то описанието на решаваната проблема е в спойлера по-долу.

Описание на решаваната проблема на склада на клиента

Тесен момент в процесите

През 2018 година направихме проект за внедряване на WMS-система на склада "Търговски дом 'ЛД'" в г. Челябинск. Внедрихме продукта "1С-Логистика: Управление на склада 3" на 20 работни места: оператори WMS, складови работници, шофьори на мотокари. Складът е среден с площ около 4 хил. м2, брой клети 5000 и брой SKU 4500. В склада се съхраняват топлинни клапани, произведени от нас, в различни размери от 1 кг до 400 кг. Запасите в склада се съхраняват по партиди, тъй като е необходима селекция на стоките по FIFO.

По време на проектирането на схемите за автоматизация на складските процеси се сблъскахме със съществуващ проблем с неоптималното съхранение на запасите. Спецификата на съхранение и подреждане на крановете е такава, че в една клетка за индивидуално съхранение може да се намира само номенклатура на една партида (виж рис. 1). Продукцията пристига в склада ежедневно и всяка доставка е отделна партида. В резултат на това за 1 месец работа на склада се създават 30 отделни партиди, като всяка от тях трябва да се съхранява в отделна клетка. Стоката често се избира не цели палети, а по единички, и като резултат в зоната за индивидуален подбор в много клетки се наблюдава следната картина: в клетка с обем над 1м3 лежат няколко броя кранове, които заемат по-малко от 5-10% от обема на клетката.

Рис 1. Снимка на няколко броя в клетка

Налице е неоптимално използване на складовите мощности. За да илюстрирам мащаба на проблема, мога да предоставя цифри: в средно положение такива клетки с обем над 1м3 с "незначителни" остатъци в различни периоди на работа на склада се броят от 100 до 300. Тъй като складът е сравнително малък, този фактор в сезоните на натоварване се превръща в "тясно място", което значително забавя процесите на приемане и изпращане на стоки.

Идея за решението на проблема

Появила се е идея: партидите с остатъци с най-близки дати да се комбинират в една единствена партия и тези остатъци с унифицирана партия да се разполагат компактно заедно в една клетка или в няколко, ако мястото в една не е достатъчно за разполагане на всичките остатъци. Пример за такова "сжато" разпределение е показан на рисунка 2.

Рис.2. Схема за сгъстяване на остатъците в клетките

Това позволява значително да се намалят складовите площи, които ще се използват за новите стоки. В ситуация на претоварване на складовите мощности, такава мярка е абсолютно необходима, в противен случай свободното пространство за поставяне на нови стоки просто може да не бъде достатъчно, което ще доведе до задръстване на складовите процеси по разположение и поддържане и, следователно, до задръстване на приемането и изпращането. Преди внедряването на WMS системата, тази операция се извършваше ръчно, което беше неефективно, тъй като процесът на търсене на подходящи наличности в клетките отнемаше доста време. Сега с внедряването на WMS системата решихме да автоматизираме този процес, да го ускори и да го направим интелигентен.

Процесът на решаване на такава задача се разделя на 2 етапа:

• на първия етап намираме близки по дата групи на партиди за компресиране (тази задача е посветена на предишната статия);
• на втория етап за всяка група партиди изчисляваме максимално компактно разположение на наличностите в клетките.

В настоящата статия ще се спрем на втория етап от алгоритъма.

Преглед на съществуващите решения

Преди да преминем към описанието на разработените от нас алгоритми, е уместно да направим кратък обзор на вече наличните на пазара системи WMS, в които е реализиран подобен функционал на оптимално компресиране.

На първо място, необходимо е да отбележим продукта „1С: Предприятие 8. WMS Логистика. Управление на склада 4“, който принадлежи на фирмата 1С и се разпространява от нея, и който попада в четвъртото поколение WMS-системи, разработени от компанията AXELOT. В тази система е заявен функционал за компресия, който цели обединяване на разрознени остатъци от стоки в една обща клетка. Трябва да се отбележи, че функционалът за компресия в такава система включва и други възможности, например коригиране на разположението на стоките в клетките според техните ABC класове, но за тях няма да се спираме.

Ако анализираме кода на системата «1С: Предприятие 8. WMS Логистика. Управление складом 4» (който в тази част от функционалността е отворен), можем да направим следното заключение. Алгоритъмът за компресия на остатъците реализира доста примитивна линейна логика и не може да става и дума за никаква "оптимална" компресия. Естествено, той не предвижда кластеризация на партидите. Няколко клиенти, които са внедрили такава система, се оплакваха от резултатите от планирането на компресията. Например, често в практика, при компресия, се случваше следната ситуация: 100 бр. остатъци от стока от една клетка се планират да бъдат преместени в друга клетка, където лежи 1 бр. стока, макар че оптимално, от гледна точка на времето, трябва да се направи обратното.

Също така функцията за компресия на остатъци от стоки в клетките е заявена в много чуждестранни WMS-системи, но за съжаление нямаме нито реални отзиви за ефективността на работата на алгоритмите (това е търговска тайна), нито каквото и да е представление за дълбочината на тяхната логика (проприетарен софтуер със затворен код), поради което не можем да съдим.

Търсене на математически модел на задачата

За да проектираме качествени алгоритми за решаване на задачата, е необходимо първо ясно и математически да формулираме тази задача, което и ще направим.

Съществува множество клетки , в които се намират остатъците от определен продукт. Ще наричаме такива клетки клетки-донори. Позволете ни да обозначим обема на продукта, намиращ се в клетката $.

Важно е да се отбележи, че в процедурата за компресиране може да участва само един продукт от една партида или няколко партиди, предварително обединени в клъстер (виж предишната статия), което се дължи на спецификата на съхранение и подреждане на продуктите. За различни продукти или различни клъстери партиди трябва да се стартира отделна процедура за компресиране.

Съществува множество клетки , в които могат да бъдат потенциално разположени остатъците от клетки-донори. Такива клетки ще наричаме клетки-контейнери. Те могат да бъдат както свободни клетки в склада, така и клетки-донори от множеството . Винаги множеството е подмножество на .

За всяка клетка от множеството са зададени ограничения за вместимост , измервани в дм³. Един дм³ представлява куб със страни 10 см. Продукцията, съхранявана на склада, е достатъчно голяма, затова в този случай такава дискретизация е напълно достатъчна.

Задана матрица на най-кратките разстояния в метри между всяка двойка клетки , където и принадлежат на множества и съответно.

Нека обозначим «разходите» за прехвърляне на стоката от клетка в клетка . Нека обозначим «разходите» за избор на контейнер за прехвърляне на остатъците от други клетки. Как точно и в какви единици ще се изчисляват стойностите и ще разгледаме по-късно (виж раздела за подготовка на входните данни), сега е достатъчно да кажем, че тези величини ще са право пропорционални на величините и съответно.

Нека обозначим с променлива, приемаща стойност 1, ако остатъците от клетка се прехвърлят в контейнер , и 0 в противен случай. Нека обозначим с променлива, приемаща стойност 1, ако контейнерът съдържа остатъци от стоката, и 0 в противен случай.

Задачата е формулирана така: необходимо е да се намери такова множество контейнери и по този начин да се «прикрепят» донорските клетки към клетките-контейнери, за да се минимизира функцията

при ограничения

В крайна сметка, в хода на изчисляването на решението на задачата ние се стремим:

• на първо място, да спестим складови мощности;
• на второ място, да спестим време на складовите работници.

Последното ограничение означава, че не можем да преместим стоки в контейнер, който не сме избрали, а също така не сме „поели разходи“ за неговия избор. Това ограничение също така означава, че обемът на преместените стоки от клетките в контейнера не трябва да надвишава капацитета на контейнера. Под решението на задачата разбираме набор от контейнери и начини за прикрепяне на донорските клетки към контейнерите.

Тази формулировка на задачата по оптимизация не е нова и е била изследвана от много математици още от началото на 80-те години на миналия век. В чуждестранната литература има две задачи по оптимизация с подходяща математическа моделировка: Проблем с разположение на капацитет за единичен източник и Проблем с разположение на капацитет за множество източници (по разликите в задачите ще говорим по-късно). Трябва да се каже, че в математическата литература формулировките на тези две задачи за оптимизация се извършват в термини на разполагане на предприятия на територията, откъдето и името „Facility Location“. По-голямата част е дан на традицията, тъй като за първи път необходимостта от решаване на такива комбинаторни задачи произлиза от сферата на логистиката, по-специално от военно-промишления сектор през 50-те години на миналия век. В термини на разполагане на предприятия, тези задачи се формулират по следния начин:

• Има крайно множество градове, където потенциално е възможно да се разположат производствени предприятия (по-нататък наричани градове-производители). За всеки град-производител са зададени разходите за откриване на предприятие в него, както и ограничение за производствените мощности на откриващото се в него предприятие.
• Има крайно множество градове, където на практика се намират клиентите (по-нататък наричани градове-клиенти). За всеки такъв град-клиент е зададен обем на търсенето на продукция. За простота ще приемем, че продуктът, който произвеждат предприятията и консумират клиентите, е един и същи.
• За всяка двойка град-производител и град-клиент е зададена стойността на транспортните разходи за доставка на необходимото количество продукция от производителя до клиента.

Трябва да се намери в кои градове да се открият предприятия и как да се прикрепят клиентите към такива предприятия, за да:

• Общите разходи за откриването на предприятия и транспортните разходи да са минимални;
• Обемът на търсенето на клиентите, прикрепени към някое открито предприятие, да не надвишава производствените мощности на това предприятие.

Сега е нужно да се спомене единствената разлика между тези две класически задачи:

• Проблем на местоположение на капацитирано предприятие с един източник – клиентът се снабдява само от едно открито предприятие;
• Проблем на местоположение на капацитирано предприятие с множество източници – клиентът може да се снабдява от няколко открити предприятия едновременно.

Тази разлика между двете задачи на пръв поглед изглежда незначителна, но всъщност води до съвсем различна комбинаторна структура на такива задачи и, следователно, до съвсем различни алгоритми за тяхното решаване. Разликите между задачите са показани на следващата рисунка.

Рис.3. а) Проблем на местоположение на капацитирано предприятие с множество източници

Рис.3. b) Проблема с разположението на капацитетно ограничените съоръжения от един източник

И двете задачи -са трудни, т.е. не съществуват точни алгоритми, които биха разрешили такава задача за полиномиално време спрямо размера на входните данни. С по-прости думи, всички точни алгоритми за решаване на задачата ще работят експоненциално време, макар и възможно по-бързо от пълно изчерпване на вариантите. Тъй като задачата -е сложна, ние ще разглеждаме само приближени хевристики, тоест алгоритми, които ще изчисляват стабилно решения, много близки до оптималните и ще работят достатъчно бързо. Ако се интересувате от такива задачи, можете да намерите добро резюме на руски език тук.

Ако прехвърлим терминологията на нашата задача за оптимално компресиране на стоки в ячейки, то:

• градовете-клиенти са ячейки-донори с остатъци от стоки,
• градовете-производители са ячейки-контейнери , в които се предполага да бъдат поставени остатъците от други ячейки,
• транспортните разходи са разходите за време на складирача за преместване на обема стоки от ячейка-донор в ячейка-контейнер ;
• разходите за откриване на предприятие – разходите за избор на контейнер , равни на обема на контейнерната клетка , умножен по определен коефициент за икономия на свободни обеми (стойността на коефициента винаги е > 1) (вж. раздела за подготовка на входните данни).

След като е установена аналогията с известните класически доставки на задачата, е необходимо да се отговори на важния въпрос, от който зависи изборът на архитектурата на алгоритъма за решение: възможно ли е преместването на остатъци от клетка-донор само в един контейнер (Single-Source), или е възможно преместването на остатъци в няколко контейнерни клетки (Multi-Source)?

Следва да се отбележи, че на практика и двете постановки на задачата са налични. По-долу ще представим всички „за“ и „против“ за всяка от тези постановки:

Таблица 1. Плюсове и минуси на вариантите Single-Source и Multi-Source.

Тъй като вариантът Single-Source има повече предимства, а също така с оглед на факта, че колкото по-малко количество остатъци има в донорните клетки, толкова по-малко е различието в степента на компактност на компресията, изчислена по двата варианта на задачата, нашият избор падна на вариант Single-Source.

Следва да се отбележи, че решението на варианта Multi-Source също има своето място. Съществува голям брой ефективни алгоритми за решаването му, повечето от които се свеждат до решаване на редица транспортни задачи. Има и не само ефективни, но и елегантни алгоритми, например, тук.

Подготовка на входните данни

Преди да започнем с анализа и разработването на алгоритъм за решаване на задачата, е необходимо да определим какви данни и в какъв вид ще подаваме на вход. Нямаме проблеми с обемите на остатъците от стоки в клетките-дарители и вместимостта на клетките-контейнери, тъй като това е тривиално – тези величини ще се измерват в м3, но що се отнася до разходите за използване на клетката-контейнер и матрицата на разходите за преместване, нещата не са толкова прости!

Първо ще разгледаме изчисляването на разходите за преместване на стоки от клетката-дарител в клетката-контейнер. Първото нещо, което трябва да определим, е в какви единици за измерване ще изчисляваме разходите за преместване. Двете най-очевидни опции са метри и секунди. В "чисти" метри изчисляването на разходите за преместване е безсмислено. Нека да покажем това с пример. Нека клетката се намира на първия етаж, клетката е на 30 метра разстояние и се намира на втория етаж:

• Преместването от в е по-скъпо, отколкото премействането от в , тъй като е по-лесно да се спусне надолу от втория етаж (от 1,5 до 2 метра от пода), отколкото да се повдигне на втория, дори и разстоянието да е същото;
• Да се премести 1 бр. стока от клетката в ще бъде по-лесно, отколкото да преместите 10 бр. от същия продукт, въпреки че разстоянието ще бъде изминато същото.

Разходите за преместване е по-добре да се отчитат в секунди, тъй като това позволява да се вземат предвид и разликите в етажите, и разликите в преместваното количество стока. За да вземем предвид разходите за преместване в секунди, трябва да разглобим операцията на елементарни съставки и да измерим времето за изпълнение на всяка елементарна съставка.

Нека от клетката се премества бр. стока в контейнер . Нека да бъде средната скорост на движение на работника по склада, измервана в м/сек. Нека и да бъдат средните скорости на еднократно изпълнение на операциите взимане и поставяне съответно за обема на стоката, равен на 4 дм3 (среден обем, който взема на 1 път служителят в склада при изпълнение на операциите). Нека и да бъде височината на клетките, от които се изпълняват операциите взимане и поставяне съответно. Например, средната височина на първия етаж (под) е 1 м, вторият етаж е 2 м и т.н. Тогава формулата за изчисляване на общото време за изпълнение на операцията преместване е следната:

В таблица 2 е представена статистика на времето за изпълнение на всяка елементарна операция, събрана от служителите на склада, с оглед на спецификата на съ храняваните стоки.

Наименование на операцията	Означение	Средна стойност
Средна скорост на движение на работника в склада		1,5 м/сек
Средна скорост за изпълнение на една операция за поставяне (за обем стока 4 дм3)		2,4 сек

Таблица 2. Средно време за изпълнение на складови операции

Определихме начина на изчисляване на разходите за преместване. Сега е нужно да разберем как да изчислим разходите за избор на клетка-контейнер. Тук всичко е много по-сложно, отколкото при разходите за преместване, тъй като:

• Първо, разходите трябва да са в пряка зависимост от обема на клетката – същият обем остатъци, преместени от клетки-донори, е по-добре да се сложат в контейнер с по-малък обем, отколкото в голям контейнер, при условие, че този обем изцяло се побира в двете контейнери. Така, минимализирайки общите разходи за избор на контейнери, се стремим да спестим "дефицитни" свободни складови мощности в зоната за подбор, за да извършим последващите операции по разполагане на стоките в клетките. На рисунка 4 са показани варианти за преместване на остатъци в големи и малки контейнери и последствията от тези варианти при изпълнението на последващи складови операции.
• На второ място, тъй като в решението на началната задача трябва да минимизираме именно общите разходи, което включва както разходите за преместване, така и разходите за избор на контейнери, обемите на клетките в кубични метри трябва да бъдат свързани с секундите, което не е никак тривиално.

Рис. 4. Варианти за преместване на остатъци в контейнери с различен капацитет.

На рисунка 4 е показан обемът на остатъците, който вече не се побира в контейнера на втория етап на разполагане на следващите стоки.

Ще помогне да свържете кубичните метри разходи за избора на контейнер с секундите разходи за преместените следните изисквания към изчисляваните решения на задачата:

• Необходимо е остатъците от клетката-донор да бъдат прехвърлени в клетката-контейнер в случай, че това намалява общия брой на клетките-контейнери, в които се намира стоката.
• Необходимо е да се спазва баланс между обемите на контейнерите и разходите на време за преместване: например, ако в новата версия на решението на задачата в сравнение с предишната версия печалбата в обем е голяма, а загубата на разходи на време е малка, трябва да изберете новата версия.

Да започнем с последното изискване. За да конкретизираме многозначното слово „баланс“, проведохме анкета сред служителите на склада с цел да установим следното. Нека имаме клетка-контейнер с обем , в която е назначено преместването на остатъците от стоките от клетките-донори и общото време на такова преместене е равно . Нека имаме още няколко алтернативни варианта за разположение на същото количество стока от същите клетки-донори в други контейнери, където всяко разположение има свои оценки. , където < и , където >.

Поставя се въпросът: каква е минималната печалба в обем, която е приемлива при зададена стойност на загубата по време. ? Поясним на примере. Изначально остатки полагалось размещать в контейнер объема 1000 дм3 (1 м3) и время на перемещение составило 70 секунд. Есть вариант размещения остатков в другой контейнер объема 500 дм3 и временем 130 секунд. Вопрос: готовы ли мы тратить еще дополнительные 60 секунд времени кладовщика на выполнение перемещения для того, чтобы сэкономить 500 дм3 свободного объема? По результатам опроса сотрудников склада была составлена следующая диаграмма.

Рис. 5. Диаграма на зависимостта на минимално допустимата икономия на обем от увеличението на разликата във времето за изпълнение на операцията.

Тоест, ако допълнителните разходи по време са 40 секунди, ние сме готови да ги използваме само когато печалбата в обем е не по-малко от 500 дм3. Въпреки че в зависимостта се наблюдава малка нелинейност, за улеснение на по-нататъшните изчисления ще считаме, че зависимостта между величините е линейна и се описва с неравенство.

На рисунката по-долу ще разгледаме следните начини за разположение на стоката в контейнери.

Рис. 6. Вариант (а): 2 контейнера, общ обем 400 дм3, сумарно време 150 сек.

Рис. 6. Вариант (b): 2 контейнера, общ обем 600 дм3, сумарно време 190 сек.

Рис. 6. Вариант (с): 1 контейнер, общ обем 400 дм3, сумарно време 200 сек.

Вариант (а) за избор на контейнери е по-предпочитан в сравнение с първоначалния вариант, тъй като неравенството се изпълнява: (800-400)/10>=150-120, от което следва 40 >= 30. Вариант (b) е по-малко предпочитан от първоначалния вариант, тъй като неравенството не е изпълнено: (800-600)/10>=190-150, от което следва 20 >= 40. Но вариант (с) не следва подобна логика! Нека разгледаме този вариант по-подробно. От една страна, неравенството (800-400)/10>=200-120, следователно неравенството 40 >= 80 не е изпълнено, което показва, че печалбата по обем не оправдава такава голяма загуба по време.

Но от друга страна, в такъв вариант (с) ние не само че намаляваме общия зает обем, но също така намаляваме и броя на заетите клетки, което е първото от двете важни изисквания към изчислените решения на задачите, посочени по-горе. Очевидно, за да започне да се изпълнява това изискване, е необходимо в лявата част на неравенството да се добави някаква положителна константа , като такава константа трябва да се добавя само когато броят на контейнерите намалява. Напомняме, че — това е променлива, равна на 1, когато контейнерът е избран, и 0 когато контейнерът не е избран. Нека означим, – множество контейнери в първоначалното решение и – множество контейнери в новото решение. В обобщен вид новото неравенство ще изглежда така:

Преобразувайки неравенството по-горе, получаваме

На основата на това, имаме формула за изчисляване на общата стойност на някакъв вариант на решението:

Но сега възниква въпросът: каква стойност трябва да има такава константа ? Очевидно, что ее значение должно быть достаточно большим, для того, чтобы всегда выполнялось первое требование к решениям задачи. Можно конечно взять значение константы равное 103 или 106, но хотелось бы избежать таких «magic numbers». Если будем рассматривать специфику выполнения складских операций, мы можем вычислить несколько вполне обоснованных числовых оценок величины такой константы.

Нека – максималното разстояние между клетките на склада в една зона ABC, равно в нашия случай на 100 м. Нека – максималният обем на клетка-контейнер в склада, равен в нашия случай на 1000 дм3.

Първият метод за изчисляване на величината . Нека разгледаме ситуация, когато има 2 контейнера на първия слой, в които вече физически има стока, т.е. те самите са клетки-донори, а разходите за преместване на стоката в същите клетки, естествено, са равни на 0. Необходимо е да се намери такава стойност на константата , при която винаги би било изгодно да се прехвърлят остатъците от контейнер 1 в контейнер 2. Подставяйки стойностите и в неравенството, посочено по-горе, получаваме:

от което следва

Замествайки стойностите на средното време за извършване на елементарни операции във формулата по-горе, получаваме

Вторият начин за изчисляване на величината . Да разгледаме ситуация, когато има донационни клетки, от които е планирано да се премества стока в контейнер 1. Нека определим – разстоянието от донорската клетка до контейнер 1. Има също контейнер 2, в който вече има стоки, и обемът му позволява да побере остатъците от всички клетки. За опростяване ще приемем, че обемът на стоките, преместваеми от донорските клетки в контейнерите, е еднакъв и е равен на . Необходима е такава стойност на константата , при която разполагането на всички остатъци от клетките в контейнер 2 би било винаги по-изгодно, отколкото разполагането им в различни контейнери:

Преобразувайки неравенството, получаваме

За да "усилим" стойността на величината , приемаме, че = 0. Средното количество клетки, участващи обикновено в процедурата за компресия на остатъците в склада, е равно на 10. Замествайки известните стойности на величините, получаваме следната стойност на константата

Взимаме най-голямата стойност, изчислена за всеки вариант, това ще бъде стойността на величината за зададените параметри на склада. Сега, за завършване, нека запишем формулата за изчисление на общите разходи за някое допустимо решение :

Ето сега, след всичките титанични усилия по преобразуването на входните данни, можем да кажем, че всички входни данни са преобразувани в необходимия вид и са готови за използване в алгоритъма за оптимизация.

Заключение

Както показва практиката, трудоемкостта и важността на етапа на подготовка и преобразуване на входните данни за алгоритъма често са недооценявани. В тази статия специално обърнахме много внимание на този етап, за да покажем, че само качествено и разумно подготвените входни данни могат да направят решенията, изчислявани от алгоритъма, наистина ценни за клиента. Да, имаше много изводи на формули, но ви предупредихме дори преди катастрофата 🙂

В следващата статия най-накрая ще стигнем до това, заради което бяха замислени 2-те предишни публикации – до алгоритъма за дискретна оптимизация.

Статията подготви
Роман Шангин, програмист в отдела за проекти,
компания Първи Бит, гр. Челябинск

Източник: habr.com