Как всеки може да се ожени (еднополови, двуполови и тройни бракове) от математическа гледна точка и защо мъжете винаги печелят

През 2012 г. Нобеловата награда за икономика беше присъдена на Лойд Шапли и Алвин Рот. „За теорията на стабилното разпределение и практиката на организиране на пазари“. Алексей Савватеев през 2012 г. се опита просто и ясно да обясни същността на заслугите на математиците. Представям на вашето внимание резюме видео лекции.

Днес ще има теоретична лекция. Относно експериментите Ела Рота, по-специално с дарение, няма да разказвам.

Когато беше обявено, че Лойд Шепли (1923-2016) получи Нобелова награда, имаше стандартен въпрос: „Как!? Жив ли е още!?!?” Най-известният му резултат е получен през 1953 г.

Формално премията е дадена за друго. За неговата статия от 1962 г. относно „теоремата за стабилността на брака“: „Приемът в колеж и стабилността на брака“.

За устойчивия брак

Съчетаване (съвпадение) - задачата за намиране на съответствие.

Има известно изолирано село. Има "m" млади мъже и "w" момичета. Трябва да ги оженим един за друг. (Не непременно същият брой, може би накрая някой ще остане сам.)

Какви допускания трябва да се направят в модела? Че не е лесно да се ожениш отново на случаен принцип. Прави се известна крачка към свободния избор. Да кажем, че има мъдър аксакал, който иска да се ожени повторно, за да не започват разводи след смъртта му. (Разводът е ситуация, при която съпругът иска трета жена за негова жена повече от жена му.)

Тази теорема е в духа на съвременната икономика. Тя е изключително нечовешка. Икономиката традиционно е нехуманна. В икономиката човекът е заменен от машина за максимизиране на печалбите. Това, което ще ви кажа, са абсолютно луди неща от морална гледна точка. Не го приемайте присърце.

Икономистите гледат на брака по този начин.
m1, m2,… mk - мъже.
w1, w2,... wL - жени.

Мъжът се идентифицира с това как „поръчва“ момичета. Има и „нулево ниво“, под което жените изобщо не могат да бъдат предлагани за съпруги, дори и да няма други.

Всичко се случва и в двете посоки, при момичетата същото.

Първоначалните данни са произволни. Единственото предположение/ограничение е, че не променяме предпочитанията си.

Теорема: Независимо от разпределението и нивото на нула, винаги има начин да се установи едно-към-едно съответствие между някои мъже и някои жени, така че да е устойчиво на всички видове разделяния (не само на разводи).

Какви заплахи може да има?

Има двойка (м,ж), която не е женена. Но за w настоящият съпруг е по-лош от m, а за m настоящата съпруга е по-лоша от w. Това е неустойчива ситуация.

Има и вариант, че някой е бил женен за някой, който е „под нулата“; в тази ситуация бракът също ще се разпадне.

Ако жената е омъжена, но предпочита неженен мъж, за когото е над нулата.

Ако двама души не са женени и двамата са „над нулата“ един за друг.

Твърди се, че за всякакви първоначални данни съществува такава брачна система, устойчива на всички видове заплахи. Второ, алгоритъмът за намиране на такова равновесие е много прост. Да сравним с M*N.

Този модел беше обобщен и разширен до "полигамия" и приложен в много области.

Процедура на Gale-Shapley

Ако всички мъже и всички жени следват „предписанията“, получената брачна система ще бъде устойчива.

Рецепти.
При необходимост отделяме няколко дни. Разделяме всеки ден на две части (сутрин и вечер).

На първата сутрин всеки отива при кумата си и чука на прозореца, като я моли да се омъжи за него.

Вечерта на същия ден редът идва на жените Какво може да открие една жена? Че под прозореца й имаше тълпа, или един, или нито един мъж. Тези, които днес нямат никого, пропускат своя ред и чакат. Останалите, които имат поне един, проверяват мъжете, които идват, за да видят, че са „над нулата“. Да има поне един. Ако имате пълен късмет и всичко е под нулата, тогава всички трябва да бъдат изпратени. Жената избира най-големия от дошлите, казва му да чака и изпраща останалите.

Преди втория ден ситуацията е следната: някои жени имат един мъж, други нямат нито един.

На втория ден всички „свободни“ (изпратени) мъже трябва да отидат при жената с втори приоритет. Ако няма такъв, тогава мъжът се обявява за неженен. Тези мъже, които вече седят с жени, още нищо не правят.

Вечерта жените оглеждат обстановката. Ако някой, който вече е седял, е бил присъединен с по-висок приоритет, тогава този с по-нисък приоритет се изпраща. Ако тези, които идват, са по-ниски от вече наличните, всички се изпращат. Жените избират максималния елемент всеки път.

Повтаряме.

В резултат на това всеки мъж премина през целия списък с жени и остана или сам, или сгоден за някоя жена. Тогава ще оженим всички.

Възможно ли е да се проведе целият този процес, но жените да бягат при мъжете? Процедурата е симетрична, но решението може да е различно. Но въпросът е кой е по-добре от това?

Теорема. Нека разгледаме не само тези две симетрични решения, но съвкупността от всички стабилни брачни системи. Първоначално предложеният механизъм (мъжете бягат, а жените приемат/отказват) води до брачна система, която е по-добра за всеки мъж от всеки друг и по-лоша от всяка друга за всяка жена.

Еднополов брак

Помислете за ситуацията с „еднополовите бракове“. Нека разгледаме един математически резултат, който поставя под съмнение необходимостта от легализирането им. Идеологически некоректен пример.

Помислете за четирима хомосексуалисти a, b, c, d.

приоритети за a: bcd
приоритети за б:кад
приоритети за c: abd
за d няма значение как подрежда останалите три.

Изявление: В тази система няма устойчива брачна система.

Колко системи има за четирима души? Три. ab cd, ac bd, ad bc. Двойките ще се разпаднат и процесът ще върви на цикли.

"Триполови" системи.
Това е най-важният въпрос, който отваря цяла област на математиката. Това направи моят колега в Москва Владимир Иванович Данилов. Той гледаше на „брака“ като на пиене на водка и ролите бяха следните: „този, който налива“, „този, който говори тоста“ и „този, който реже наденицата“. В ситуация, в която има 4 или повече представители на всяка роля, е невъзможно да се реши с груба сила. Въпросът за устойчива система е открит.

Вектор на Шепли

Във вилното селище решиха да асфалтират пътя. Трябва да се добави чип. как?

Shapley предложи решение на този проблем през 1953 г. Да приемем ситуация на конфликт с група хора N={1,2…n}. Разходите/ползите трябва да бъдат споделени. Да предположим, че хората заедно са направили нещо полезно, продадат го и как да разделят печалбата?

Шапли предложи, че когато разделяме, трябва да се ръководим от това колко определени подгрупи от тези хора могат да получат. Колко пари могат да спечелят всички 2N непразни подмножества? И въз основа на тази информация Шапли написа универсална формула.

Пример. Солист, китарист и барабанист свирят в подземен проход в Москва. Тримата печелят по 1000 рубли на час. Как да го разделим? Евентуално по равно.
V(1,2,3)=1000

Нека се престорим на това
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100

Справедливо разделяне не може да се определи, докато не знаем какви печалби очакват дадено дружество, ако се отдели и действа самостоятелно. И когато определихме числата (задайте кооперативната игра в характерна форма).

Суперадитивността е, когато заедно печелят повече, отколкото поотделно, когато е по-изгодно да се обединят, но не е ясно как да се разделят печалбите. Много копия са счупени за това.

Има игра. Трима бизнесмени откриха едновременно депозит на стойност 1 милион долара. Ако тримата са съгласни, значи са милион. Всяка двойка може да убие (отстрани от случая) и да получи целия милион за себе си. И никой не може да направи нищо сам. Това е страшна кооперативна игра без решение. Винаги ще има двама души, които могат да елиминират третия... Теорията на кооперативните игри започва с пример, който няма решение.

Искаме такова решение, че нито една коалиция да не иска да блокира общото решение. Наборът от всички подразделения, които не могат да бъдат блокирани, е ядрото. Случва се ядрото да е празно. Но дори и да не е празен, как да разделя?

Shapley предлага разделяне по този начин. Хвърлете монета с n! ръбове. Изписваме всички играчи в този ред. Да речем, първият барабанист. Той влиза и си взима своите 100. След това влиза „вторият“, да речем солистът. (Заедно с барабаниста могат да спечелят 450, барабанистът вече е взел 100) Солистът взема 350. Китаристът влиза (заедно 1000, -450), взема 550. Последният в доста често печели. (Супермодулност)

Ако изпишем за всички поръчки:
GSB - (победа C) - (победа D) - (победа B)
SGB ​​​​- (печелете C) - (печелете D) - (печелете B)
SBG - (печелете C) - (печелете D) - (печелете B)
BSG - (победа C) - (победа D) - (победа B)
BGS - (усилване C) - (усилване D) - (усилване B)
GBS - (победа C) - (победа D) - (победа B)

И за всяка колона добавяме и разделяме на 6 - осреднявайки всички поръчки - това е вектор на Шепли.

Шапли доказва теоремата (приблизително): Има клас игри (супермодулни), в които следващият човек, който се присъедини към голям отбор, носи по-голяма победа за него. Ядрото винаги е непразно и е изпъкнала комбинация от точки (в нашия случай 6 точки). Векторът на Шепли лежи в самия център на ядрото. Винаги може да се предложи като решение, никой няма да е против.

През 1973 г. е доказано, че проблемът с къщичките е супермодулен.

Всички n души споделят пътя до първата вила. До втория - n-1 души. и т.н.

Летището разполага с писта. Различните компании имат нужда от различни дължини. Възниква същия проблем.

Мисля, че тези, които присъдиха Нобеловата награда, имаха предвид тази заслуга, а не само задачата за марж.

Благодаря ви!

Още

• Канал “Math - Simple”: youtube.com/punkmathematics
• Канал „Савватеев без граници“: edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
• Публично „Математиката е проста“: vk.com/alexei_savvateev
• Публични „шеги на математиците“: vk.com/bsu_mmf_jokes
• Уебсайт, всички лекции там +100 урока и повече: savvateev.xyz

Източник: www.habr.com