Книгата на Алън Тюринг и загадъчната бележка Научен детектив

Оригинален превод в моя блог

Как тази книга дойде при мен?

През май 2017 г. получих имейл от моя стар гимназиален учител на име Джордж Рутър, в който той пише: „Имам копие от голямата книга на Дирак на немски (Die Prinzipien der Quantenmechanik), която е принадлежала на Алън Тюринг, и след като прочетох вашата книга Създатели на идеиПриех за даденост, че ти си точно човекът, който има нужда от нея". Той ми обясни, че е получил книгата от друг (по това време вече починал) мой учител. Норман Рутлиджза когото знаех, че е приятел на Алън Тюринг. Джордж завърши писмото си с:Ако имате нужда от тази книга, мога да ви я дам следващия път, когато дойдете в Англия.".

Няколко години по-късно, през март 2019 г., наистина пристигнах в Англия, след което се уговорих с Джордж да се видим за закуска в малък хотел в Оксфорд. Ядохме, побъбрихме и изчакахме храната да се успокои. Тогава дойде подходящият момент за обсъждане на книгата. Джордж бръкна в куфарчето си и извади един доста скромно проектиран, типичен академичен том от средата на 1900 г.

Отворих корицата, чудейки се дали може да има думите на гърба:Собственост на Алън Тюринг" Или нещо такова. Но, за съжаление, това не се оказа така. То обаче беше придружено от доста изразителна бележка от четири страници от Норман Рутлидж до Джордж Рътър, написана през 2002 г.

Познавах Норман Рутлидж, когато бях студент гимназия в Итън в началото на 1970-те години. Той беше учител по математика с прякора "Лудия Норман". Той беше приятен учител във всички отношения и разказваше безкрайни истории за математика и всякакви други забавни неща. Той беше отговорен за снабдяването на училището с компютър (програмиран с перфолента, широка на масата) - беше първият компютър, който съм използвал.

По това време не знаех нищо за миналото на Норман (не забравяйте, че това беше много преди интернет). Знаех само, че той е "д-р Рутлидж". Той често разказва истории за хора от Кеймбридж, но в историите си никога не споменава Алън Тюринг. Разбира се, Тюринг не беше достатъчно известен тогава (въпреки че, както се оказа, вече съм чувал за него от някой, който го е познавал в Блечли Парк (имението, в което се е намирал центърът за криптиране по време на Втората световна война)).

Алън Тюринг не беше известен до 1981 г., когато за първи път започна да учи прости програми, въпреки че тогава все още в контекста на клетъчните автомати, а не Машини на Тюринг.

Изведнъж един ден, разглеждайки каталога с карти в библиотеката Калифорнийски технологичен институтПопаднах на една книга "Алън М. Тюринг"написана от майка му Сара Тюринг. В книгата имаше много информация, включително за непубликувани научни трудове на Тюринг по биология. Въпреки това не научих нищо за връзката му с Норман Рутлидж, тъй като нищо не се споменава за него в книгата (въпреки че, както разбрах, Сара Тюринг кореспондира с Норман за тази книга, а Норман дори накрая пише преглед за него).

Десет години по-късно, настроен с изключително любопитство за Тюринг и неговия (тогава непубликуван) работа по биология, Посетих Архив на Тюринг в Кингс Колидж Кеймбридж. Скоро, след като прегледах какво имаха от работата на Тюринг и прекарах известно време върху това, реших, че в същото време мога да поискам да видя и личната му кореспонденция. Разглеждайки го, намерих няколко букви от Алън Тюринг до Норман Рутлидж.

Докато излезе биография Андрю Ходжис, който направи толкова много, за да направи Тюринг най-накрая известен, потвърди, че Алън Тюринг и Норман Рътлидж наистина са приятели и че Тюринг е научен съветник на Норман. Исках да попитам Рутлидж за Тюринг, но тогава Норман вече беше пенсиониран и живееше самотен живот. Въпреки това, когато завърших работата по книгата "Нов вид наука” през 2002 г. (след десетгодишното ми оттегляне), аз го проследих и му изпратих копие от книгата, подписана „На последния ми учител по математика”. Тогава ние сме с него малко кореспондираха, а през 2005 г. се върнах в Англия и уредих среща с Норман на чай в луксозен хотел в централен Лондон.

Имахме приятен разговор за много неща, включително Алън Тюринг. Норман започна нашия разговор, като ни каза, че наистина е познавал Тюринг, най-вече повърхностно, преди 50 години. Но все пак имаше какво да разкаже за него лично:Беше необщителен". "Той много се кикотеше". "Той наистина не можеше да говори с нематематици". "Винаги се страхуваше да не разстрои майка си". "Той излезе през деня и пробяга маратон". "Не беше прекалено амбициозен.". След това разговорът се върна към личността на Норман. Той каза, че въпреки че е пенсиониран на 16 години, той все още пише статии за "Математически вестник"за да, по думите му,"завършете всичките си научни трудове, преди да преминете към друг святкъдето, както добави той с лека усмивка,всички математически истини със сигурност ще бъдат разкрити". Когато чаеното парти свърши, Норман облече коженото си яке и отиде до мотопеда си, напълно забравяйки бомбени атентати, които затрудниха движението в Лондон в този ден.

Това беше последният път, когато видях Норман, той почина през 2013 г.

Шест години по-късно закусвах с Джордж Рутър. Имах със себе си бележка от Routledge, написана от него през 2002 г. с неговия характерен почерк:

Първо прегледах набързо бележката. Тя беше изразителна както обикновено.

Получих книгата на Алън Тюринг от негов приятел и изпълнител Робин Ганди (в Кралския колеж беше в реда на нещата да се раздават книги от колекцията на мъртвите другари и аз избрах стихосбирката А. Е. Хаусман от книгите Айвор Рамзи като подходящ подарък (той беше декан и скочи от параклиса [през 1956])…

По-късно в кратка бележка той пише:

Питате къде е трябвало да попадне тази книга - според мен тя трябва да отиде при някой, който цени всичко, свързано с работата на Тюринг, така че съдбата й зависи от вас.

Стивън Волфрам ми изпрати своята впечатляваща книга, но не се потопих достатъчно в нея...

Той завърши, като поздрави Джордж Рътър за смелостта да се премести (временно, както се оказа) в Австралия след пенсионирането си, като каза, че той самият "би изиграл преместване в Шри Ланка като пример за евтино и подобно на лотос съществуване“, но добави, че „събитията, които се случват там сега, показват, че той не е трябвало да прави това(очевидно имайки предвид гражданска война в Шри Ланка).

И така, какво се крие в недрата на книгата?

И така, какво направих с копието на книгата на немски, написана от Пол Дирак, която някога е принадлежала на Алън Тюринг. Не чета немски, но имам имаше екземпляр от същата книга на английски (който е неговият оригинален език) издания от 1970 г. Но един ден на закуска ми се стори правилно да прегледам внимателно книгата страница по страница. В края на краищата това е обичайна практика при работа с антикварни книги.

Трябва да се отбележи, че бях поразен от елегантността на изложението на Дирак. Книгата е публикувана през 1931 г., но нейният чист формализъм (и, да, въпреки езиковата бариера, можех да чета математиката, която е в книгата) е почти същата, както ако беше написана днес. (Не искам да се фокусирам твърде много върху Дирак тук, но приятелю Ричард Файнман ми каза, че поне според него изложението на Дирак е едносрично. Норман Рутлидж ми каза, че е бил приятел в Кеймбридж осиновен син на Дираккойто стана теоретик на графите. Норман посещава къщата на Дирак доста често и казва, че „великият човек“ понякога лично се отдалечава, така да се каже, на заден план, докато първият винаги е пълен с математически пъзели. Аз самият, за съжаление, никога не съм срещал Пол Дирак, въпреки че ми казаха, че след като най-накрая напуснал Кеймбридж и заминал за Флорида, той загубил голяма част от предишната си твърдост и станал доста общителен човек).

Но да се върнем към книгата на Дирак, която принадлежеше на Тюринг. На страница 9 забелязах подчертаване и малки полета, написани с молив. Продължавах да прелиствам страниците. След няколко глави белезите изчезнаха. Но тогава, изведнъж, намерих бележка, прикачена към страница 127, която гласеше:

Беше написано на немски със стандартен немски почерк. И изглежда, че тя може да има нещо общо Лагранжева механика. Мислех, че някой вероятно е притежавал тази книга преди Тюринг и това трябва да е бележка, написана от този човек.

Продължих да разлиствам книгата. Бележки липсваха. И си мислех, че не мога да намеря нищо друго. Но тогава, на страница 231, намерих маркова отметка - с отпечатан текст:

Ще намеря ли в крайна сметка нещо друго? Продължих да разлиствам книгата. След това, в края на книгата, на страница 259, в раздела за релативистката теория на електроните, открих следното:

Разгънах този лист хартия:

Веднага разбрах, че това ламбда смятане смесен с комбинаториНо как този лист е попаднал тук? Спомнете си, че тази книга е книга за квантовата механика, но приложеният лист е за математическата логика или това, което сега се нарича теория на изчисленията. Това е типично за писанията на Тюринг. Чудех се дали Тюринг лично е написал тази бележка?

Дори по време на закуска търсих в интернет образци на почерка на Тюринг, но не намерих примери под формата на изчисления, така че не можах да направя изводи за точната идентичност на почерка. И скоро трябваше да тръгваме. Внимателно опаковах книгата, готова да разкрия тайната коя е страницата и кой я е написал, и я взех със себе си.

За книгата

Първо, нека обсъдим самата книга. "Принципи на квантовата механика» Полетата на Дирак са публикувани на английски през 1930 г. и скоро са преведени на немски. (Предговорът на Дирак е с дата 29 май 1930 г.; принадлежи на преводача - Вернер Блок - 15 август 1930 г.) Книгата се превърна в крайъгълен камък в развитието на квантовата механика, като систематично установява ясен формализъм за извършване на изчисления и, наред с други неща, обяснява предсказанието на Дирак за позитрон, който ще бъде открит през 1932г.

Защо Алън Тюринг е имал книга на немски, а не на английски? Не знам със сигурност, но в онези дни немският беше водещият език на науката и знаем, че Алън Тюринг можеше да го чете. (В края на краищата, в името на известния му машина работа Тюринг «Относно изчислимите числа с приложение към проблема за разрешаване (Entscheidungsproblem)" беше много дълга немска дума - и в основната част на статията той оперира с доста неясни готически знаци под формата на "немски букви", които той използва вместо, например, гръцки знаци).

Самият Алън Тюринг купил ли е тази книга или му е дадена? Не знам. На вътрешната корица на книгата на Тюринг има нотация с молив "20/-", която е стандартната нотация за "20 шилинга", подобно на £1. На дясната страница има изтрито „26.9.30/26/1930“, което вероятно означава 20 септември XNUMX г., вероятно датата, на която книгата е закупена за първи път. След това, в най-десния ъгъл, изтритата цифра "XNUMX". Може би пак е от цената. (Може ли да е цената в райхсмарки, ако приемем, че книгата е продадена в Германия? В онези дни 1 райхсмарка струваше около 1 шилинг, немската цена вероятно щеше да бъде написана например като "20 RM".) И накрая, от вътрешната страна на задната корица има "c 5 / -" - може би тази, (с голяма отстъпка) цена за употребявана книга.

Нека да разгледаме основните дати от живота на Алън Тюринг. Алън Тюринг роден на 23 юни 1912 г (по съвпадение точно преди 76 години издание на Mathematica 1.0). През есента на 1931 г. постъпва в Кралския колеж в Кеймбридж. Той получава бакалавърската си степен след стандартните три години обучение през 1934 г.

През 1920-те и началото на 1930-те години квантовата механика е била гореща тема и Алън Тюринг със сигурност се е интересувал от нея. От архивите му знаем, че през 1932 г., веднага след публикуването на книгата, той получава "Математически основи на квантовата механика» Джон фон Нойман (на Немски). Знаем също, че през 1935 г. Тюринг получава задача от физик от Кеймбридж Ралф Фаулър по темата за изучаване на квантовата механика. (Фаулър предложи да се изчисли диелектрична константа на водата, което всъщност е много сложен проблем, който изисква пълен анализ с взаимодействаща квантова теория на полето, която все още не е напълно решена).

И все пак кога и как Тюринг получи своя екземпляр от книгата на Дирак? Като се има предвид, че книгата има висока цена, Тюринг вероятно я е купил вече използвана. Кой е първият собственик на книгата? Бележките в книгата изглежда се занимават предимно с логическата структура, отбелязвайки, че някаква логическа връзка трябва да се счита за аксиома. Тогава какво да кажем за бележката, приложена на страница 127?

Е, може би това е съвпадение, но точно на страница 127 - Дирак говори за квантовата принцип на най-малко действие и полага основата за интеграл по пътя на Файнман - което е в основата на целия съвременен квантов формализъм. Какво пише в бележката? То съдържа разширение на уравнение 14, което е уравнението за времето на еволюцията на квантовата амплитуда. Авторът на бележката замени А на Дирак за амплитуда с ρ, което вероятно отразява по-ранна немска нотация (аналогия на плътността на течността). След това авторът се опитва да разшири действието в степени на ℏ (Константа на Планкразделено на 2π, което понякога се нарича Константа на Дирак).

Но изглежда, че на страницата няма много полезна информация. Ако държите страницата на светло, тя съдържа малка изненада - воден знак с надпис „Z f. физика. Chem. Б”:

Това е съкратена версия Zeitschrift fur physikalische Chemie, Abteilung B - немско списание по физична химия, което започва да излиза през 1928 г. Може би бележката е написана от редактор на списание? Ето заглавието на списанието за 1933г. За удобство редакторите са изброени по местоживеене, като един от тях се откроява: „Борн Кеймбридж“.

Това е, което е Макс Борн кой е авторът Родени правила и много повече в теорията на квантовата механика (както и дядото на певицата Оливия Нютън-Джон). Значи тази бележка може да е написана от Макс Борн? Но, за съжаление, това не е така, защото почеркът не съвпада.

Какво ще кажете за отметката на страница 231? Ето го и от двете страни:

Отметката е странна и доста красива. Но кога е направено? В Кеймбридж има книжарница heffers, въпреки че сега е част от Blackwell. Повече от 70 години (до 1970 г.) Хеферс се намира на адреса, както показва отметката, ж.к. 3 и 4 от Пети Кюри.

Този раздел съдържа важен ключ - това е телефонният номер „Тел. 862". Така се случи, че през 1939 г. по-голямата част от Кеймбридж (включително Хефърс) преминаха към четирицифрени номера, а до 1940 г. отметките със сигурност бяха отпечатани с „модерни“ телефонни номера. (Английските телефонни номера постепенно станаха по-дълги; когато израснах в Англия през 1960-те години на миналия век, нашите телефонни номера бяха „Оксфорд 56186“ и „Кидмор Енд 2378“. Част от причината да помня тези номера е, че колкото и странно да е сега не гледах, винаги звънях на моя номер, когато отговарях на входящо повикване).

Отметката в тази форма е отпечатана до 1939 г. Но колко време преди това? В интернет има доста сканирания на стари реклами на Heffers от поне 1912 г. (заедно с „Молим ви да изпълним вашите искания ...“), те добавят „Телефон 862“, като добавят „(2 реда)“. Има и някои отметки с подобен дизайн, които могат да бъдат намерени в книги още през 1904 г. (въпреки че не е ясно дали са били оригинални за тези книги (т.е. отпечатани по същото време). За целите на нашето разследване това изглежда можем да заключим, че тази книга идва от Heffers (която, между другото, беше главната книжарница в Кеймбридж) някъде между 1930 и 1939 г.

Страница с ламбда смятане

И така, сега знаем нещо за това кога е купена книгата. Но какво ще кажете за „страницата за ламбда смятане“? Кога е писано? Е, разбира се, ламбда смятането трябваше да е изобретено дотогава. И това е направено Църква Алонсо, математик от Принстън, в първоначалния си вид през 1932 г. и в окончателния си вид през 1935 г. (Имаше работи на учени-предшественици, но те не използваха обозначението λ).

Съществува сложна връзка между Алън Тюринг и ламбда смятането. През 1935 г. Тюринг се интересува от "механизацията" на математическите операции и изобретява идеята за машина на Тюринг, използвайки я за решаване на проблеми в основите на математиката. Тюринг изпрати статия по темата до френско списание (comptes rendus), но беше изгубено по пощата; и тогава се оказа, че адресатът, на когото го изпрати, така или иначе го няма, тъй като се беше преместил в Китай.

Но през май 1936 г., преди Тюринг да успее да изпрати статията си другаде, произведението на Алонзо Чърч пристигна от САЩ. Тюринг вече беше оплакал това, когато през 1934 г. разработи доказателство централна гранична теорема, след това откри, че има норвежки математик, който вече представени доказателства 1922 година.
Не е трудно да се види, че машините на Тюринг и ламбда смятането всъщност са еквивалентни във видовете изчисления, които могат да представят (и това е началото на тезата Чърч-Тюринг). Въпреки това Тюринг (и неговият учител Макс Нюман) убедиха подхода на Тюринг, че е достатъчно различен, за да заслужава отделна публикация. През ноември 1936 г. (и с коригирани печатни грешки през следващия месец) Сборници на Лондонското математическо общество Публикувана е известната статия на Тюринг „За изчислимите числа...“.

За да попълним малко графика: от септември 1936 г. до юли 1938 г. (с прекъсване от три месеца през лятото на 1937 г.), Тюринг беше в Принстън, отивайки там с цел да стане аспирант на Алонзо Чърч. През този период в Принстън Тюринг изглежда се е концентрирал изцяло върху математическата логика – той написва няколко трудни за четене статии, пълни с ламбда изчисленията на Чърч, — и най-вероятно той не е имал книга по квантова механика със себе си.

Тюринг се завръща в Кеймбридж през юли 1938 г., но до септември същата година работи на непълен работен ден в Държавно училище за кодове и шифри, а година по-късно той се премества в Блечли Парк, с цел да работи там на пълен работен ден по въпроси, свързани с криптоанализа. След края на войната през 1945 г. Тюринг се премества в Лондон, за да работи Национална физическа лаборатория върху разработването на проект за създаване компютър. Той прекарва академичната 1947-8 година в Кеймбридж, но след това се премества в Манчестър, за да се развива там е първият компютър.

През 1951 г. Тюринг започва сериозно да учи теоретична биология. (Лично за мен този факт е донякъде ироничен, защото ми се струва, че Тюринг винаги подсъзнателно е вярвал, че биологичните системи трябва да бъдат моделирани чрез диференциални уравнения, а не от нещо дискретно, като машини на Тюринг или клетъчни автомати). Той също насочи интереса си към физиката и дори през 1954 г пише на своя приятел и ученик Робин Ганди, Какво: "Опитах се да измисля нова квантова механика(въпреки че той добави: "но всъщност не е факт, че ще работи"). Но, за съжаление, всичко внезапно приключи на 7 юни 1954 г., когато Тюринг внезапно почина. (Предполагам, че не е било самоубийство, но това е друга история.)

И така, обратно към страницата за ламбда смятане. Нека го вдигнем към светлината и отново ще видим водния знак:

Изглежда, че е изработена във Великобритания хартия и ми се струва малко вероятно да е използвана в Принстън. Но можем ли точно да го датираме? Е, не без малко помощ Британската асоциация на историците на хартията, знаем, че Spalding & Hodge, Papermakers, Drury House, Russell Street in Drury Lane, Covent Garden, Лондон са официалният производител на хартия. Това може да ни помогне, но не много, тъй като човек би предположил, че тяхната марка хартия Excelsior изглежда е била включена в каталозите за доставки от 1890-те до 1954 г.

Какво казва тази страница?

И така, нека да разгледаме по-отблизо какво има от двете страни на листовката. Да започнем с ламбда.

Ето начин да определите „чисти“ или „анонимни“ функции, и те са основна концепция в математическата логика, а сега и във функционалното програмиране. Тези функции са доста често срещани в езика Език Волфрами тяхната задача е доста лесна за обяснение. Например, някой пише f[x] за обозначаване на функцията fприложен към аргумента x. И има много наименувани функции f като Коремни мускули или Грях или Мъгла. Но какво, ако някой иска f[x] беше 2x+1? Тук няма директно заглавие (име) за тази функция. Но има ли друга форма на възлагане, f[x]?

Отговорът е да: вместо f ние пишем Function[a,2a+1]. И то на езика Wolfram Function [a,2a+1][x] прилага функции към аргумент x, което води до 2x+1. Function[a,2a+1] е „чиста“ или „анонимна“ функция, която представлява чиста операция на умножаване по 2 и добавяне на 1.

Така че λ в ламбда изчислението е точният аналог функция в езика Wolfram и следователно, например, λа.(2а+1) еквивалентно на Function[a, 2a + 1]. (Заслужава да се отбележи, че функцията, да речем, Function[b,2b+1] еквивалентен; "обвързани променливи" a или b са просто места за заместване на аргумент на функция - и в езика Wolfram те могат да бъдат избегнати чрез използване на алтернативи за дефиниране на чиста функция (2# +1)&).

В традиционната математика функциите обикновено се разглеждат като обекти, които представляват входове (например цели числа) и изходи (които също са, например, цели числа). Но какъв е този обект? функция (или λ )? По същество това е структурен оператор, който приема изрази и ги превръща във функции. Това може да изглежда малко странно от гледна точка на традиционната математика и математическата нотация, но ако трябва да се извърши манипулиране на произволни знаци, което е много по-естествено, дори ако първоначално изглежда малко абстрактно. (Трябва да се отбележи, че когато потребителите учат езика Wolfram, винаги мога да кажа, че са преминали определен праг на абстрактно мислене, когато получат представа за функция).

Ламбдите са само част от това, което присъства на страницата. Има и друго, още по-абстрактно понятие - това е комбинатори. Помислете за доста неясна линия PI1IIx? Какво означава това? Всъщност това е последователност от комбинатори или някаква абстрактна композиция от символни функции.

Обичайната суперпозиция на функции, доста позната в математиката, може да бъде написана на езика Wolfram като: f[g[x]] Какво означава "кандидатстване"? f към резултата от прилагането g к x". Но наистина ли са необходими скобите за това? На езика Wolfram f@g@ x е алтернативна нотация. За този запис разчитаме на дефиницията в езика Wolfram: операторът @ е свързан с дясната страна, така че f@g@x еквивалентно на f@(g@x).

Но какво ще означава записът? (f@g)@x? Това е еквивалентно на f[g][x]. И ако f и g бяха обикновени функции в математиката, би било безсмислено, но ако f - функция от по-висок ред, Тогава f[g] сам по себе си може да бъде функция, към която може да се приложи x.

Имайте предвид, че тук има известна трудност. IN f[х] - f е функция на един аргумент. И f[х] е еквивалентно на писане Function[a, f[a]][x]. Но какво да кажем в случай на функция от два аргумента, да речем, f[x,y]? Това може да се запише като Function[{a,b},f[a, b]][x, y]. Но какво да кажем в случая Function[{a},f[a,b]]? Какво е това? Тук има "свободна променлива". b, което просто се предава на функцията. Function[{b},Function[{a},f[a,b]]] свържете тази променлива и след това Function[{b},Function[{a},f [a, b]]][y][x] Той дава f[x,y] отново. (Определянето на функция, така че да има един аргумент, се нарича "къри" след логика, наречена Хаскел Къри).

Ако има свободни променливи, тогава има много различни сложности по отношение на това как могат да бъдат дефинирани функциите, но ако се ограничим до обекти функция или λ, които нямат свободни променливи, тогава те могат основно да бъдат дадени свободно. Такива обекти се наричат ​​комбинатори.

Комбинаторите имат дълга история. Известно е, че те са били предложени за първи път през 1920 г. от студент Дейвид Гилбърт - Моузес Шенфинкел.

По това време, съвсем наскоро, беше открито, че не е необходимо да се използват изразите И, Or и Не за представяне на изрази в стандартната пропозиционална логика: беше достатъчно да използваме един оператор, който сега ще наричаме Нанд (защото, например, ако пишете Нанд като · тогава Or[a,b] ще приеме формата (a a) (b b)). Шьонфинкел искаше да намери същото минимално представяне на предикатната логика или всъщност логика, включваща функции.

Той излезе с два „комбинатора“ S и K. На езика Wolfram това ще бъде написано като
K[x_][y_] → x и S[x_][y_][z_] → x[z][y[z]].

Трябва да се отбележи, че се оказа възможно тези два комбинатора да се използват за извършване на всякакви изчисления. Например,

S[K[S]][S[K[S[K[S]]]][S[K[K]]]]

може да се използва като функция за събиране на две цели числа.

Всичко това са доста абстрактни обекти, меко казано, но сега, когато разбираме какво представляват машините на Тюринг и ламбда смятането, можем да видим, че комбинаторите на Шьонфинкел всъщност предвиждат концепцията за универсално изчисление. (По-забележителното е, че дефинициите на S и K от 1920 г. са минимално прости, напомнящи на много проста универсална машина на Тюринг, който предложих през 1990-те години, чиято гъвкавост беше доказано през 2007 г).

Но да се върнем към нашата листовка и линия PI1IIx. Символите, написани тук, са комбинатори и всички те са предназначени да дефинират функция. Тук определението е, че суперпозицията на функции трябва да бъде оставена асоциативна, така че fgx не трябва да се тълкува като f@g@x или f@(g@x) или f[g[x]], а по-скоро като (f@g)@x или f[g][x]. Нека преведем този запис във форма, удобна за използване от езика Wolfram: PI1IIx ще приеме формата p[i][one][i][i][x].

Защо да пиша нещо подобно? За да обясним това, трябва да обсъдим концепцията за църковните числа (наречени на църквата Алонзо). Да кажем, че работим само със символи и с ламбда или комбинатори. Има ли начин да ги използвам за задаване на цели числа?

Какво ще кажете просто да кажете това число n соответствует Function[x, Nest[f,x,n]]? Или, с други думи, че (в по-кратък запис):

1 е f[#]&
2 е f[f[#]]&
3 е f[f[f[#]]]& и така нататък.

Всичко това може да звучи малко по-неясно, но причината да е интересно е, че ни позволява да направим всичко напълно символично и абстрактно, без да се налага изрично да говорим за нещо като цели числа.

С този метод за указване на числа, представете си например добавяне на две числа: 3 може да бъде представено като f[f[f[#]]]& и 2 е f[f[#]]&. Можете да ги добавите заедно, като просто приложите един от тях към другия:

Но какъв е обектът f? Може да е всичко! В известен смисъл „скочи до ламбда“ до края и представя числа с функции, които вземат f като аргумент. С други думи, представете си 3, например, като Function[f,f[f[f[#]]] &] или Function[f,Function[x,f[f[f[x]]]]. (кога и как трябва да наименувате променливи е проблем в ламбда смятането).

Помислете за откъс от доклада на Тюринг от 1937 г "Изчислимост и λ-дифинируемост", който настройва обекти точно както току-що обсъдихме:

Това е мястото, където нотацията може да стане малко объркваща. x Тюринг е наш f, И неговият х' (машинописецът направи грешка, вмъквайки интервал) е наш x. Но тук се използва същият подход.

Нека да погледнем линията точно след сгъвката в предната част на хартията. Това I1IIYI1IIx. Във формата на нотацията на езика Wolfram, това би било i[one][i][i][y][i][one][i][i][x]. Но тук i е функцията за идентичност, така че i[one] издава просто един. Междувременно, един е числовото представяне на Чърч за 1 или Function[f,f[#]&]. Но с това определение one[а] се превръща a[#]& и one[a][b] се превръща a[b]. (Между другото, i[а][b]Или Identity[а][b] Също така е а[b]).

Ще бъде много по-ясно, ако запишем правилата за заместване на i и един, вместо директно прилагане на ламбда смятането. Резултатът ще бъде същият. Прилагайки изрично тези правила, получаваме:

И това е точно същото, както е представено в първия съкратен запис:

Нека сега отново да погледнем листа, в горната му част:

Тук има доста объркващи и неразбираеми обекти "E" и "D", но под тях имаме предвид "P" и "Q", така че можем да напишем израза и да го оценим (обърнете внимание, че тук - след известно объркване с най- скорошен символ - "мистериозен учен" поставя […] и (...), за да представи приложението на функцията):

Това е първият показан разрез. За да видите повече, нека заместим дефинициите за Q:

Получаваме точно следното показано съкращение. Какво се случва, ако заместим изрази за P?

Ето резултата:

И сега, използвайки факта, че i е функция, която извежда самия аргумент, получаваме:

Оооо! Но това не е следващият записан ред. Има ли грешка тук? Неясен. Защото в края на краищата, за разлика от повечето други случаи, няма стрелка, която да показва, че следващият ред следва от предишния.

Тук има известна мистерия, но нека преминем към края на листа:

Тук 2 е числото на Църквата, определено, например, от модела two[a_] [b_] → a[a[b]]. Обърнете внимание, че това всъщност е формата на втория ред, ако a се третира като Function[r,r[р]] и b като q. Така че очакваме резултатът от изчисленията да бъде следният:

Въпреки това, основният израз а[b] може да бъде записано като x (вероятно различно от x, написано преди това на листа) - в крайна сметка получаваме крайния резултат:

Така че можем да дешифрираме малко от това, което се случва на този лист, но поне една мистерия, която все още остава, е какво трябва да бъде Y.

Всъщност в комбинаторната логика има стандартен Y-комбинатор: т.нар комбинатор с фиксирана точка. Формално се определя от факта, че Y[f] трябва да е равно на f[Y[f]], или с други думи, че Y[f] не се променя, когато се приложи f, така че е фиксирана точка за f. (Комбинаторът Y е свързан с #0 на езика Wolfram.)

В момента Y-комбинаторът стана известен благодарение на Y-Combinator стартов ускорителтака наречен Пол Греъм (който е фен от дълго време функционално програмиране и Език за програмиране LISP и внедриха първия уеб магазин, базиран на този език). Веднъж ми каза лично,никой не разбира какво е Y комбинатора". (Трябва да се отбележи, че Y Combinator е точно това, което позволява на компаниите да избягват операции с фиксирана запетая...)

Комбинаторът Y (като комбинатор с фиксирана запетая) е измислян няколко пъти. Тюринг наистина излезе с негова реализация през 1937 г., която той нарече Θ. Но дали "Y" на нашата страница е известният комбинатор с фиксирана запетая? Може би не. И така, какво е нашето "Y"? Помислете за това съкращение:

Но тази информация очевидно не е достатъчна, за да се определи недвусмислено какво е Y. Ясно е, че Y оперира с повече от един аргумент; изглежда, че въпросът е поне в два аргумента, но тук не е ясно (поне за мен) колко аргумента приема като вход и какво прави.

И накрая, въпреки че можем да осмислим много части от листа, трябва да кажем, че в световен мащаб не е ясно какво е направено върху него. Въпреки че изисква много обяснения на това, което е представено тук на листа, то е доста елементарно в ламбда смятането и използването на комбинатори.

Предполага се, че това е опит за създаване на проста "програма" - използване на ламбда смятане и комбинатори, за да се направи нещо. Но доколкото това е типично за обратното инженерство, за нас е трудно да кажем какво трябва да бъде това „нещо“ и каква е общата „обяснима“ цел.

Има още една особеност, представена на листа, която си заслужава да бъде коментирана тук - това е използването на различни видове скоби. Традиционната математика използва най-вече скоби за всичко - и функционални приложения (както в е (х)) и групиране на членове (както в (1+x) (1-x), или, по-малко очевидно, a(1-x)). (В езика Wolfram разделяме различните употреби на скоби - в квадратни скоби за дефиниране на функции f [x] - и скобите се използват само за групиране).

Когато ламбда смятането се появи за първи път, имаше много въпроси относно използването на скоби. Алън Тюринг по-късно ще напише цял (непубликуван) труд, озаглавен "Трансформация на математическата форма на нотация и фразеология”, но още през 1937 г. той чувства, че трябва да опише съвременните (доста хакерски) дефиниции за ламбда смятането (което, между другото, се появява благодарение на Чърч).

Той каза това fприложен към g, трябва да се напише {f}(ж), Ако само f не е единственият герой, в който случай може да бъде f(g). Тогава той каза ламбда (както в Function[a, b]) трябва да се запише като λ a[b] или, алтернативно, λ a.b.

Въпреки това може би до 1940 г. цялата идея за използване на {…} и […] за обозначаване на различни неща е била изоставена, най-вече в полза на скобите в стандартния математически стил.

Обърнете внимание на горната част на страницата:

В тази форма е трудно да се разбере. В дефинициите на Чърч квадратните скоби са за групиране, с отваряща скоба, която замества точката. С прилагането на тази дефиниция става ясно, че Q (евентуално обозначено с D), оградено в скоби в края, е това, за което се отнася цялата начална ламбда.

Всъщност квадратната скоба тук не ограничава тялото на ламбда; вместо това всъщност е друго приложение на функцията и няма изрична индикация къде завършва ламбда тялото. В края можете да видите, че „мистериозният учен“ е променил затварящата квадратна скоба на кръгла скоба, ефективно прилагайки дефиницията на Чърч – и по този начин карайки израза да бъде оценен, както е показано на листа.

И така, какво означава това малко парче? Мисля, че това предполага, че страницата е написана през 1930-те години на миналия век или не много след това, тъй като конвенциите за скоби все още не са се установили дотогава.

И така, чий почерк беше?

И така, преди това говорихме за написаното на страницата. Но какво да кажем за това кой всъщност го е написал?

Най-очевидният кандидат за тази роля би бил самият Алън Тюринг, тъй като в крайна сметка страницата беше вътре в книгата му. От гледна точка на съдържанието изглежда няма нищо несъвместимо с факта, че Алън Тюринг е могъл да напише това - дори в момента, когато за първи път е започнал да разбира ламбда смятането, след като е получил статията на Чърч в началото на 1936 г.

Какво ще кажете за почерка? Принадлежи ли на Алън Тюринг? Помислете за няколко оцелели примера, за които със сигурност знаем, че са написани на ръка от Алън Тюринг:

Представеният текст очевидно изглежда много различно, но какво да кажем за конвенциите, използвани в текста? Поне според мен не изглежда толкова очевидно - и може да се предположи, че всяка разлика може да се дължи именно на факта, че съществуващите образци (представени в архивите) са написани, така да се каже, "завършващи", докато ours Страницата е точно отражение на работата на мисълта.

За нашето разследване се оказа удобно, че в архива на Тюринг има страница, на която той е писал таблица със символинеобходими за нотиране. И когато сравнявам тези знаци буква по буква, ми изглеждат доста подобни (тези записи са направени в времена Тюринг, когато беше сгоден изследване на растежа на растенията, поради което се появи маркировката „площ на листа“):

Исках да проуча това допълнително, затова изпратих мостри Шийла Лоу, професионален експерт по почерк (и автор на проблеми, базирани на почерк), когото случайно срещнах един ден — просто като представих нашата статия като „проба „А““ и съществуващата проба на почерк на Тюринг като „проба „Б“. Отговорът й беше окончателен и отрицателен: "Стилът на писане е съвсем различен. По отношение на личността, писателят на Б-модел има по-бърз и по-интуитивен начин на мислене от писателя на А-модел.".

Все още не бях напълно убеден, но реших, че е време да потърся други възможности.

Така че, ако се окаже, че Тюринг не го е написал, тогава кой го е направил? Норман Рутлидж ми каза, че е получил книгата от Робин Ганди, който беше екзекутор на Тюринг. Така че изпратих "Модел 'C'" от Ганди:

Но първоначалното заключение на Шийла беше, че трите модела вероятно са написани от трима различни хора, като отново отбеляза, че моделът "Б" е от "най-бързо мислещият - този, който е най-склонен да търси необичайни решения на проблемите". (Намирам за удоволствие, че модерен специалист по почерк би дал толкова много на почерка на Тюринг, като се има предвид колко много всички се оплакваха от неговия почерк в училищните работи на Тюринг през 1920-те години на миналия век.)

Е, в този момент изглеждаше, че и Тюринг, и Ганди са извън списъка на „заподозрените“. Кой би могъл да напише това? Започнах да мисля за хората, на които Тюринг би могъл да заеме книгата си. Разбира се, те също трябва да могат да правят изчисления с помощта на ламбда смятането.

Предположих, че лицето трябва да е от Кеймбридж или поне от Англия, предвид водния знак на хартията. Приех го като работна хипотеза, че около 1936 г. е подходящото време да напиша това. И така, кого е познавал Тюринг и с кого е общувал в онези дни? За даден период от време получихме списък на всички студенти и учители по математика в King's College. (Имало е 13 известни студенти, които са учили от 1930 до 1936 г.)

И от тях най-обещаващият кандидат изглеждаше Дейвид Чамперноун. Той беше на същата възраст като Тюринг, негов стар приятел, и също се интересуваше от основите на математиката - през 1933 г. той дори публикува статия за това, което сега наричаме Константата на Champernowne ("нормалното" число): 0.12345678910111213… (получен от конкатенация на числа 1, 2, 3, 4 ,…, 8, 9, 10, 11, 12,… и едно от много малкото числа известен като "нормален" в смисъл, че всеки възможен блок от цифри се среща с еднаква вероятност).

През 1937 г. той дори използва гама матриците на Дирак, както се споменава в книгата на Дирак, за да реши математическа задача за почивка. (Случи се така, че години по-късно станах голям фен на гама-матричните изчисления).

Започвайки да учи математика, Champernowne попада под влиянието Джон Мейнард Кейнс (също в King's College) и в крайна сметка става виден икономист, особено с работа върху неравенството в доходите. (Въпреки това, през 1948 г. той също работи с Тюринг за разработване турбошамп - програма за шах, която стана практически първата в света, реализирана на компютър).

Но къде мога да намеря мостра от почерка на Шамперноун? Скоро намерих неговия син Артър Чамперноун в LinkedIn, който, колкото и да е странно, имаше диплома по математическа логика и работеше за Microsoft. Той каза, че баща му е говорил с него доста за работата на Тюринг, въпреки че не споменава комбинаторите. Той ми изпрати мостра от почерка на баща си (парче за алгоритмична музикална композиция):

Веднага можете да разберете, че почеркът не съвпада (къдрици и конски опашки в буквите f в почерка на Champernowne и т.н.)

И така, кой друг би могъл да бъде? Винаги съм се възхищавал Макс Нюман, в много отношения ментор на Алън Тюринг. Нюман първи заинтересува Тюринг "механизация на математиката“, беше дългогодишен приятел, а години по-късно стана негов шеф в компютърен проект в Манчестър. (Въпреки интереса си към компютрите, Нюман изглежда винаги е виждал себе си първо като тополог, въпреки че заключенията му са били подкрепени от погрешни доказателства, които той е извлякъл от Хипотези на Поанкаре).

Не беше трудно да се намери мостра от почерка на Нюман - и отново, не, почеркът определено не съвпадаше.

Книги "Следи".

И така, идеята за идентифициране на почерка се провали. И реших, че следващата стъпка ще бъде да се опитам да проследя малко по-подробно какво всъщност се е случило с книгата, която държах в ръцете си.

И така, първо, каква беше по-подробната история с Норман Рутлидж? Той посещава Кралския колеж в Кеймбридж през 1946 г. и се среща с Тюринг (да, и двамата са гейове). Завършва колеж през 1949 г., след което започва да пише своята докторска дисертация с Тюринг като научен съветник. Той получава докторска степен през 1954 г., работейки върху математическата логика и теорията на рекурсията. Той получава номинална стипендия в King's College и до 1957 г. става ръководител на катедрата по математика там. Можеше да се занимава с това през целия си живот, но имаше широки интереси (музика, изкуство, архитектура, развлекателна математика, генеалогия и др.). През 1960 г. той променя посоката си и става учител в Итън, където поколения студенти (включително и аз) са работили (и учили), изложени на неговите еклектични и понякога дори странни знания.

Възможно ли е Норман Рътлидж сам да е написал тази енигматична страница? Той познаваше ламбда смятането (въпреки че случайно го спомена, когато пихме чай през 2005 г., че винаги го намираше за „объркващо“). Характерният му почерк обаче веднага го изключва като възможен "мистериозен учен".

Възможно ли е страницата да има нещо общо със студента на Норман, може би от времето, когато той все още е бил в Кеймбридж? Съмнявам се. Защото не мисля, че Норман някога е научил ламбда смятане или нещо подобно. Докато пишех тази статия, открих, че Норман е написал работа през 1955 г. за създаване на логика на "електронни компютри" (и създаване на съединителни нормални форми, както сега прави вградената функция BooleanMinimize). По времето на моето запознанство с Норман той много обичаше да пише помощни програми за реални компютри (инициалите му бяха "NAR" и той наричаше своите програми "NAR ...", например "NARLAB" - програма за създаване текстови етикети с помощта на пробити дупки "модели » върху хартиена лента). Но той никога не е говорил за теоретични модели на изчисление.

Нека прочетем бележката на Норман в книгата малко по-внимателно. Първото нещо, което забелязваме, е какво казва той за "предлагане на книги от библиотеката на починал човек". И от формулировката звучи така, сякаш всичко се е случило сравнително бързо след смъртта на човека, което предполага, че Норман е получил книгата малко след смъртта на Тюринг през 1954 г. и че на Ганди тя е липсвала доста дълго време. Норман продължава да казва, че всъщност е получил четири книги, две по чиста математика и две по теоретична физика.

Тогава каза, че е далоще една от книгите по физика (нещо като, Херман Вайл)""Себаг Монтефиоре, приятен млад мъж, който може би си спомняте [Джордж Рутър]". Добре, кой е той? Изрових моя рядко използван списък с членове Old Eton Association. (Трябва да кажа, че когато го отворих, нямаше как да не забележа правилата му от 1902 г., първият от които под заглавието „Права на членовете“ звучеше забавно: „Облечи се в цветовете на Асоциацията").

Трябва да се добави, че вероятно никога нямаше да се присъединя към тази общност и нямаше да получа тази книга, ако не беше настояването на моя приятел от Итън на име Никълъс Кермак, който планира от 12-годишна възраст един ден да стане министър-председател, но за съжаление почина на 21-годишна възраст).

Но във всеки случай имаше само петима от изброените хора с фамилно име Себаг-Монтефиоре с голямо разпространение в датите на обучение. Не беше трудно да се разбере какво е подходящо Хю Себаг Монтефиоре. Малък свят, както се оказва, семейството му е притежавало Блечли Парк, преди да го продаде на британското правителство през 1938 г. И през 2000 г. Себаг-Монтефиоре пише книга за разбиването на Енигмата (немска шифровъчна машина) Което вероятно е причината през 2002 г. Норман да реши да му даде книгата, която Тюринг притежаваше.

Добре, но какво да кажем за другите книги, които Норман получи от Тюринг? Тъй като нямаше друг начин да разбера какво се е случило с тях, поръчах копие от завещанието на Норман. Последната клауза от завещанието явно беше в стила на Норман:

Завещанието гласеше, че книгите на Норман трябва да бъдат оставени в Кралския колеж. Въпреки че пълната колекция от неговите книги не изглежда да бъде намерена никъде, две от книгите на Тюринг за чиста математика, които той спомена в бележката си, сега са правилно в архивите на библиотеката на Кралския колеж.

Следващ въпрос: какво стана с другите книги на Тюринг? Погледнах завещанието на Тюринг, което се оказа изцяло оставено на Робин Ганди.

Ганди е студент по математика в Кингс Колидж, Кеймбридж, който през последната си година в колежа през 1940 г. става приятел с Алън Тюринг. В началото на войната Ганди работи в радиото и радара, но през 1944 г. е назначен в същия отдел като Тюринг и работи върху шифрирането на речта. И след войната Ганди се завръща в Кеймбридж, скоро получава докторска степен, а Тюринг става негов съветник.

Работата му в армията очевидно го е довела до интерес към физиката и дисертацията му, завършена през 1952 г., е озаглавена "За аксиоматичните системи в математиката и теориите във физиката". Това, което Ганди изглежда се опитва да направи, е може би да характеризира физическите теории от гледна точка на математическата логика. Той говори за теория на типовете и правила за извод, но не и за машините на Тюринг. И от това, което знаем сега, мисля, че можем да заключим, че той по-скоро е пропуснал темата. И наистина, моя собствена работа от началото на 1980-те години твърди, че физическите процеси трябва да се разглеждат като „различни изчисления“ – като машини на Тюринг или клетъчни автомати, например – вместо като теореми, които трябва да бъдат изведени. (Ганди доста добре обсъжда реда на типовете, включени във физическите теории, като казва например, че "вярвам, че редът на всяко изчислено десетично число в двоична система е по-малък от осем"). Той каза, че "една от причините, поради които съвременната квантова теория на полето е толкова сложна, е само защото се занимава с обекти от доста сложен тип - функционали на функции ...", което в крайна сметка означава, че "бихме могли да приемем най-големия тип обща употреба като индикатор за математически напредък".)

Ганди споменава Тюринг няколко пъти в своята дисертация, отбелязвайки във въведението, че е задължен на А. М. Тюринг, който "за първи път привлече малко нефокусираното му внимание върху смятането на Чърч” (т.е. ламбда смятане), въпреки че всъщност дисертацията му има няколко ламбда доказателства.

След като защитава дисертацията си, Ганди се насочва към по-чистата математическа логика и повече от три десетилетия пише статии със скорост по една на година, като тези статии са доста успешно цитирани в общността на международната математическа логика. През 1969 г. той се премести в Оксфорд и мисля, че трябва да съм го срещнал в младостта си, въпреки че не го помня.
Изглежда, че Ганди силно боготвори Тюринг и често говори за него през следващите години. Това повдига въпроса за пълна колекция от произведения на Тюринг. Малко след смъртта на Тюринг, Ганди, като негов екзекутор, е помолен от Сара Тюринг и Макс Нюман да организира публикуването на непубликувания труд на Тюринг. Минаха години и писма от архива отразяват разочарованието на Сара Тюринг по този въпрос. Но по някаква причина Ганди изглежда никога дори не е планирал да събере документите на Тюринг.

Ганди умира през 1995 г., без да събере завършените творби. Ник Фърбанк - Литературен критик и биограф Е. М. Форстър, когото Тюринг среща в Кралския колеж, е литературен агент на Тюринг и най-накрая се заема със събраните съчинения на Тюринг. Най-спорен изглежда томът по математическа логика и за това той привлече първия сериозен аспирант Робин Ганди, известен Майк Йейтс, който намери писма до Ганди за събрани произведения, които не са започвани от 24 години. (Събрани творби най-накрая се появиха през 2001 г. - 45 години след излизането им).

Но какво ще кажете за книгите, които Тюринг притежава лично? Продължавайки да се опитвам да ги проследя, следващата ми спирка беше семейство Тюринг и по-специално най-малкият син на брата на Тюринг, Дермот Тюринг (който всъщност е сър Дермот Тюринг, поради причината, че беше баронет, тази титла не е преминала към него по линията на Алън в семейство Тюринг). Дермот Тюринг (който наскоро написа Биография на Алън Тюринг) ми разказа за „бабата на Тюринг“ (известна още като Сара Тюринг), нейната къща очевидно споделя вход към градината със семейството му и много други неща за Алън Тюринг. Той ми каза, че семейството никога не е имало личните книги на Алън Тюринг.

Така че се върнах към четенето на завещанията и открих, че екзекуторът на Ганди е неговият ученик Майк Йейтс. Научих, че Майк Йейтс се е оттеглил от професорството си преди 30 години и сега живее в Северен Уелс. Той каза, че през десетилетията, през които е работил върху математическата логика и теорията на изчисленията, той никога не е докосвал компютъра - но най-накрая го е направил, когато се пенсионира (и това се случи малко след като откри програмата Mathematica). Той каза колко прекрасно е, че Тюринг е станал толкова известен и че когато пристигна в Манчестър само три години след смъртта на Тюринг, никой не говореше за Тюринг, дори Макс Нюман, когато изнасяше курс по логика. По-късно обаче Ганди ще говори за това как се е заел с колекция от творби на Тюринг и в крайна сметка ги е оставил всичките на Майк.

Какво знаеше Майк за книгите на Тюринг? Той намери един ръкописен бележник на Тюринг, който Ганди не даде на Кралския колеж, защото (странно) Ганди го използва като маскировка за своите бележки от сънища, които водеше. (Тюринг също е пазел записи на мечтите си, които са били унищожени след смъртта му.) Майк каза, че бележникът наскоро е бил продаден на търг за около 1 милион долара. И че иначе не би си помислил, че сред нещата на Ганди има материали на Тюринг.

Изглеждаше, че всичките ни възможности бяха изчерпани, но Майк ме помоли да погледна този мистериозен лист хартия. И веднага каза:Това е почеркът на Робин Ганди!Той каза, че е видял толкова много неща през годините. И беше сигурен. Той каза, че не знае много за ламбда смятането и не може да прочете страницата, но е сигурен, че Робин Ганди го е написал.

Върнахме се при нашия експерт по почерк с още проби и тя се съгласи, че да, това, което беше там, съответства на почерка на Ганди. И така, най-накрая разбрахме: Робин Ганди написа този мистериозен лист хартия. Не е написано от Алън Тюринг; написано е от неговия ученик Робин Ганди.

Разбира се, все още остават някои мистерии. Предполага се, че Тюринг е заел книгата на Ганди, но кога? От начина, по който е написано ламбда смятането, изглежда, че е било около 1930-те години на миналия век. Но въз основа на коментарите на дисертацията Ганди вероятно не би направил нищо с ламбда смятането до края на 1940-те години. Тогава възниква въпросът защо Ганди е написал това. Не изглежда да е пряко свързано с неговата дисертация, така че може да е било, когато за първи път се е опитал да разбере ламбда смятането.

Съмнявам се, че някога ще разберем истината, но определено беше забавно да се опитваме да я разберем. Тук трябва да кажа, че целият този изминат път допринесе много за разширяването на разбирането ми за това колко сложни могат да бъдат историите на такива книги от минали векове, които по-специално притежавам. Кара ме да мисля, че е по-добре да прегледам всичките им страници, за да видя какво може да е интересно...

Бих искал да благодаря за помощта на: Джонатан Горард (Частни изследвания в Кеймбридж), Дана Скот (Математическа логика) и Матю Шудзик (Математическа логика).

Относно преводаПревод на публикацията на Стивън Волфрам "Книга от Алън Тюринг… и мистериозен лист хартия".

Изказвам най-дълбоката си благодарност Галина Никитина и Петър Тенишев за помощта при превода и подготовката на изданието.

Искате ли да научите как да програмирате на езика Wolfram?
Вижте седмично уеб семинари.
регистрация за нови курсове. Готов онлайн курс.
ред решения на езика Wolfram.

Източник: www.habr.com