„Ако прочетете надписа „бивол“ върху клетката на слон, не вярвайте на очите си.“ Козма Прутков

В предишния статия за дизайн, базиран на модел беше показано защо е необходим обектен модел и беше доказано, че без този обектен модел може да се говори само за модел базиран дизайн като за маркетингова виелица, безсмислена и безпощадна. Но когато се появи модел на обект, компетентните инженери винаги имат резонен въпрос: какви доказателства има, че математическият модел на обекта съответства на реалния обект.

Един примерен отговор на този въпрос е даден в статия за моделно базирано проектиране на електрически задвижвания. В тази статия ще разгледаме пример за създаване на модел за климатични системи на самолети, разреждайки практиката с някои теоретични съображения от общ характер.

Създаване на надежден модел на обекта. Теория

За да не отлагам, веднага ще ви разкажа за алгоритъма за създаване на модел за базиран на модел дизайн. Необходими са само три прости стъпки:

Стъпка 1. Разработете система от алгебрично-диференциални уравнения, които описват динамичното поведение на моделираната система. Лесно е, ако познавате физиката на процеса. Много учени вече са разработили за нас основните физични закони, кръстени на Нютон, Бреноул, Навие Стокс и други Стангели, компаси и Рабинович.

Стъпка 2. Изберете в получената система набор от емпирични коефициенти и характеристики на обекта на моделиране, които могат да бъдат получени от тестове.

Стъпка 3. Тествайте обекта и коригирайте модела въз основа на резултатите от пълномащабни експерименти, така че да отговаря на реалността, с необходимата степен на детайлност.

Както можете да видите, това е просто, само две три.

Пример за практическо изпълнение

Климатичната система (ACS) в самолета е свързана към автоматична система за поддържане на налягането. Налягането в самолета винаги трябва да е по-голямо от външното налягане и скоростта на промяна на налягането трябва да бъде такава, че пилотите и пътниците да не кървят от носа и ушите. Следователно системата за контрол на входа и изхода на въздуха е важна за безопасността и за нейното разработване на място се поставят скъпи системи за тестване. Те създават температури и налягания на височината на полета и възпроизвеждат условията за излитане и кацане на летища с различна надморска височина. И въпросът за разработването и отстраняването на грешки в системите за управление на SCV се издига до пълния си потенциал. Колко дълго ще работим на тестовия стенд, за да получим задоволителна система за управление? Очевидно е, че ако настроим контролен модел върху модел на обект, тогава цикълът на работа на тестовия стенд може да бъде значително намален.

Климатичната система на самолета се състои от същите топлообменници като всяка друга термична система. Батерията е батерия и в Африка, само климатик. Но поради ограниченията на излетното тегло и размерите на самолетите, топлообменниците са направени възможно най-компактни и възможно най-ефективни, за да прехвърлят възможно най-много топлина от по-малка маса. В резултат на това геометрията става доста странна. Както и в разглеждания случай. Фигура 1 показва пластинчат топлообменник, в който се използва мембрана между плочите за подобряване на преноса на топлина. Горещата и студената охлаждаща течност се редуват в каналите, а посоката на потока е напречна. Едната охлаждаща течност се подава към предния разрез, другата - отстрани.

За да решим проблема с контролирането на SCR, трябва да знаем колко топлина се прехвърля от една среда към друга в такъв топлообменник за единица време. От това зависи скоростта на изменение на температурата, която регулираме.

Фигура 1. Диаграма на самолетен топлообменник.

Проблеми с моделирането. Хидравлична част

На пръв поглед задачата е доста проста, необходимо е да се изчисли масовият поток през каналите на топлообменника и топлинният поток между каналите.
Масовият дебит на охлаждащата течност в каналите се изчислява по формулата на Бернули:

където:
ΔP – разлика в налягането между две точки;
ξ – коефициент на триене на охлаждащата течност;
L – дължина на канала;
d – хидравличен диаметър на канала;
ρ – плътност на охлаждащата течност;
ω – скоростта на охлаждащата течност в канала.

За канал с произволна форма хидравличният диаметър се изчислява по формулата:

където:
F – площ на потока;
P – намокрен периметър на канала.

Коефициентът на триене се изчислява с помощта на емпирични формули и зависи от скоростта на потока и свойствата на охлаждащата течност. За различни геометрии се получават различни зависимости, например формулата за турбулентно течение в гладки тръби:

където:
Re – числото на Рейнолдс.

За поток в плоски канали може да се използва следната формула:

От формулата на Бернули можете да изчислите спада на налягането за дадена скорост или обратно, да изчислите скоростта на охлаждащата течност в канала въз основа на даден спад на налягането.

Топлообмен

Топлинният поток между охлаждащата течност и стената се изчислява по формулата:

където:
α [W/(m2×deg)] – коефициент на топлопреминаване;
F – площ на потока.

За проблемите на потока на охлаждащата течност в тръбите са проведени достатъчно изследвания и има много методи за изчисление и като правило всичко се свежда до емпирични зависимости за коефициента на топлопреминаване α [W/(m2×deg)]

където:
Nu – число на Нуселт,
λ – коефициент на топлопроводимост на течността [W/(m×deg)] d – хидравличен (еквивалентен) диаметър.

За изчисляване на числото на Нуселт (критерий) се използват емпирични зависимости на критерия, например формулата за изчисляване на числото на Нуселт на кръгла тръба изглежда така:

Тук вече виждаме числото на Рейнолдс, числото на Прандтл при температурата на стената и температурата на течността, както и коефициента на неравномерност. (източник)

За гофрирани пластинчати топлообменници формулата е подобна ( източник ):

където:
n = 0.73 m =0.43 за турбулентен поток,
коефициент a - варира от 0,065 до 0.6 в зависимост от броя на плочите и режима на потока.

Нека вземем предвид, че този коефициент се изчислява само за една точка от потока. За следващата точка имаме различна температура на течността (загряла или изстинала), различна температура на стената и съответно всички числа на Рейнолдс и числата на Прандтл плават.

В този момент всеки математик ще каже, че е невъзможно да се изчисли точно система, в която коефициентът се променя 10 пъти, и ще бъде прав.

Всеки практически инженер ще каже, че всеки топлообменник се произвежда по различен начин и е невъзможно да се изчислят системите и той също ще бъде прав.

Какво ще кажете за дизайна, базиран на модел? Наистина ли всичко е загубено?

Напредналите продавачи на западен софтуер на това място ще ви продадат суперкомпютри и 3D изчислителни системи, като „не можете без него“. И трябва да изпълните изчислението за един ден, за да получите разпределението на температурата в рамките на 1 минута.

Ясно е, че това не е нашата възможност, трябва да дебъгваме системата за управление, ако не в реално време, то поне в обозримо време.

Решение на случаен принцип

Произвежда се топлообменник, провежда се серия от тестове и се задава таблица на ефективността на стационарната температура при даден дебит на охлаждащата течност. Просто, бързо и надеждно, защото данните идват от тестване.

Недостатъкът на този подход е липсата на динамични характеристики на обекта. Да, знаем какъв ще бъде топлинният поток в стационарно състояние, но не знаем колко време ще отнеме да се установи при превключване от един режим на работа в друг.

Следователно, след като изчислихме необходимите характеристики, ние конфигурираме системата за управление директно по време на тестването, което първоначално бихме искали да избегнем.

Подход, базиран на модели

За да се създаде модел на динамичен топлообменник, е необходимо да се използват данни от тестове, за да се елиминират несигурностите в емпиричните изчислителни формули - числото на Нуселт и хидравличното съпротивление.

Решението е просто, както всичко гениално. Взимаме емпирична формула, провеждаме експерименти и определяме стойността на коефициента a, като по този начин елиминираме несигурността във формулата.

Щом имаме определена стойност на коефициента на топлопреминаване, всички останали параметри се определят от основните физични закони на запазване. Температурната разлика и коефициентът на топлопреминаване определят количеството енергия, прехвърлено в канала за единица време.

Познавайки енергийния поток, е възможно да се решат уравненията за запазване на енергийната маса и импулс за охлаждащата течност в хидравличния канал. Например това:

За нашия случай топлинният поток между стената и охлаждащата течност - Qwall - остава несигурен. Можете да видите повече подробности тук…

А също и уравнението за производна на температурата за стената на канала:

където:
ΔQстена – разликата между входящия и изходящия поток към стената на канала;
M е масата на стената на канала;
CPC – топлинен капацитет на материала на стената.

Точност на модела

Както бе споменато по-горе, в топлообменника имаме разпределение на температурата върху повърхността на плочата. За стабилна стойност можете да вземете средната стойност за плочите и да я използвате, като си представите целия топлообменник като една концентрирана точка, в която при една температурна разлика топлината се пренася през цялата повърхност на топлообменника. Но за преходни режими такова приближение може да не работи. Другата крайност е да направим няколкостотин хиляди точки и да заредим Super Computer, което също не е подходящо за нас, тъй като задачата е да конфигурираме системата за управление в реално време или още по-добре по-бързо.

Възниква въпросът на колко секции трябва да бъде разделен топлообменникът, за да се получи приемлива точност и скорост на изчисление?

Както винаги, случайно имах под ръка модел на аминов топлообменник. Топлообменникът е тръбен, в тръбите протича нагревателна среда, а между торбите - нагрята среда. За да се опрости проблема, цялата топлообменна тръба може да бъде представена като една еквивалентна тръба, а самата тръба може да бъде представена като набор от отделни изчислителни клетки, във всяка от които се изчислява точков модел на пренос на топлина. Диаграмата на едноклетъчен модел е показана на фигура 2. Каналът за горещ въздух и каналът за студен въздух са свързани чрез стена, която осигурява пренос на топлинен поток между каналите.

Фигура 2. Модел на топлообменна клетка.

Моделът с тръбен топлообменник е лесен за настройка. Можете да промените само един параметър - броя на секциите по дължината на тръбата и да разгледате резултатите от изчислението за различни дялове. Нека изчислим няколко варианта, като започнем с разделяне на 5 точки по дължина (фиг. 3) и до 100 точки по дължина (фиг. 4).

Фигура 3. Стационарно температурно разпределение на 5 изчислени точки.

Фигура 4. Стационарно температурно разпределение на 100 изчислени точки.

В резултат на изчисленията се оказа, че стационарната температура, разделена на 100 точки, е 67,7 градуса. И когато се раздели на 5 изчислени точки, температурата е 72 градуса по Целзий.

Също така в долната част на прозореца се показва скоростта на изчисление спрямо реално време.
Нека да видим как температурата в стационарно състояние и скоростта на изчисление се променят в зависимост от броя на изчислителните точки. Разликата в постоянните температури по време на изчисления с различен брой изчислителни клетки може да се използва за оценка на точността на получения резултат.

Таблица 1. Зависимост на температурата и скоростта на изчисление от броя на изчислителните точки по дължината на топлообменника.

Брой изчислителни точки	Стабилна температура	Скорост на изчисление
5	72,66	426
10	70.19	194
25	68.56	124
50	67.99	66
100	67.8	32

Анализирайки тази таблица, можем да направим следните изводи:

• Скоростта на изчисление пада пропорционално на броя на изчислителните точки в модела на топлообменника.
• Промяната в точността на изчислението става експоненциално. С увеличаването на броя на точките усъвършенстването при всяко следващо увеличение намалява.

В случай на пластинчат топлообменник с охлаждаща течност с напречен поток, както е на фигура 1, създаването на еквивалентен модел от елементарни изчислителни клетки е малко по-сложно. Трябва да свържем клетките по такъв начин, че да организираме кръстосани потоци. За 4 клетки веригата ще изглежда както е показано на фигура 5.

Потокът на охлаждащата течност е разделен по горещите и студените клонове на два канала, каналите са свързани чрез термични структури, така че при преминаване през канала охлаждащата течност обменя топлина с различни канали. Симулирайки напречен поток, горещата охлаждаща течност тече отляво надясно (виж Фиг. 5) във всеки канал, последователно обменяйки топлина с каналите на студената охлаждаща течност, която тече отдолу нагоре (виж Фиг. 5). Най-горещата точка е в горния ляв ъгъл, тъй като горещата охлаждаща течност обменя топлина с вече загрятата охлаждаща течност на студения канал. А най-студеният е долу вдясно, където студената охлаждаща течност обменя топлина с горещата охлаждаща течност, която вече е охладена в първата секция.

Фигура 5. Модел на напречен поток от 4 изчислителни клетки.

Този модел за пластинчат топлообменник не взема предвид преноса на топлина между клетките поради топлопроводимост и не взема предвид смесването на охлаждащата течност, тъй като всеки канал е изолиран.

Но в нашия случай последното ограничение не намалява точността, тъй като в конструкцията на топлообменника гофрираната мембрана разделя потока на много изолирани канали по протежение на охлаждащата течност (виж фиг. 1). Нека да видим какво се случва с точността на изчислението при моделиране на пластинчат топлообменник с увеличаване на броя на изчислителните клетки.

За да анализираме точността, използваме две опции за разделяне на топлообменника на проектни клетки:

1. Всяка квадратна клетка съдържа два хидравлични (студен и горещ поток) и един термичен елемент. (вижте фигура 5)
2. Всяка квадратна клетка съдържа шест хидравлични елемента (три секции в топъл и студен поток) и три термични елемента.

В последния случай използваме два вида връзка:

• противоток на студени и горещи потоци;
• паралелен поток на студен и горещ поток.

Насрещният поток увеличава ефективността в сравнение с напречния поток, докато насрещният поток я намалява. При голям брой клетки се получава осредняване на потока и всичко се доближава до реалния напречен поток (вижте Фигура 6).

Фигура 6. Четириклетъчен, 3-елементен модел на напречен поток.

Фигура 7 показва резултатите от стационарното стационарно разпределение на температурата в топлообменника при подаване на въздух с температура 150 °C по горещата линия и 21 °C по студената линия за различни варианти за разделяне на модела. Цветът и числата в клетката отразяват средната температура на стената в клетката за изчисление.

Фигура 7. Температури в стационарно състояние за различни проектни схеми.

Таблица 2 показва постоянната температура на нагрятия въздух след топлообменника в зависимост от разделянето на модела на топлообменника на клетки.

Таблица 2. Зависимост на температурата от броя на проектните клетки в топлообменника.

Размер на модела	Стабилна температура 1 елемент на клетка	Стабилна температура 3 елемента на клетка
2 × 2	62,7	67.7
3 × 3	64.9	68.5
4 × 4	66.2	68.9
8 × 8	68.1	69.5
10 × 10	68.5	69.7
20 × 20	69.4	69.9
40 × 40	69.8	70.1

Тъй като броят на изчислителните клетки в модела се увеличава, крайната стационарна температура се увеличава. Разликата между температурата в стационарно състояние за различните дялове може да се счита за индикатор за точността на изчислението. Вижда се, че с увеличаване на броя на изчислителните клетки температурата клони към границата и увеличаването на точността не е пропорционално на броя на изчислителните точки.

Възниква въпросът каква точност на модела ни е необходима?

Отговорът на този въпрос зависи от предназначението на нашия модел. Тъй като тази статия е за дизайн, базиран на модел, ние създаваме модел за конфигуриране на системата за управление. Това означава, че точността на модела трябва да бъде сравнима с точността на сензорите, използвани в системата.

В нашия случай температурата се измерва с термодвойка, чиято точност е ±2.5°C. Всякаква по-висока точност за целите на настройка на система за управление е безполезна, нашата реална система за управление просто „няма да я види“. По този начин, ако приемем, че граничната температура за безкраен брой дялове е 70 °C, тогава модел, който ни дава повече от 67.5 °C, ще бъде достатъчно точен. Всички модели с 3 точки в изчислителна клетка и модели по-големи от 5x5 с една точка в клетка. (Маркирани в зелено в таблица 2)

Динамични режими на работа

За да оценим динамичния режим, ще оценим процеса на промяна на температурата в най-горещите и най-студените точки на стената на топлообменника за различни варианти на конструктивни схеми. (виж Фиг. 8)

Фигура 8. Загряване на топлообменника. Модели с размери 2х2 и 10х10.

Вижда се, че времето на преходния процес и самият му характер практически не зависят от броя на изчислителните клетки и се определят изключително от масата на нагрятия метал.

Така заключаваме, че за справедливо моделиране на топлообменника в режими от 20 до 150 °C, с точността, изисквана от системата за управление на SCR, са достатъчни около 10 - 20 проектни точки.

Създаване на динамичен модел въз основа на експеримент

Имайки математически модел, както и експериментални данни за прочистване на топлообменника, всичко, което трябва да направим, е да направим проста корекция, а именно да въведем фактор на интензификация в модела, така че изчислението да съвпадне с експерименталните резултати.

Освен това, използвайки средата за създаване на графичен модел, ние ще направим това автоматично. Фигура 9 показва алгоритъм за избор на коефициенти на интензификация на топлообмена. Данните, получени от експеримента, се подават на входа, моделът на топлообменника се свързва и на изхода се получават необходимите коефициенти за всеки режим.

Фигура 9. Алгоритъм за избор на коефициента на интензификация въз основа на експерименталните резултати.

Така определяме същия коефициент за число на Нуселт и елиминираме несигурността във формулите за изчисление. За различни режими на работа и температури стойностите на корекционните фактори могат да се променят, но за подобни режими на работа (нормална работа) те се оказват много близки. Например, за даден топлообменник за различни режими коефициентът варира от 0.492 до 0.655

Ако приложим коефициент 0.6, тогава в изследваните режими на работа грешката на изчислението ще бъде по-малка от грешката на термодвойката, така че за системата за управление математическият модел на топлообменника ще бъде напълно адекватен на реалния модел.

Резултати от настройката на модела на топлообменника

За да се оцени качеството на топлопреминаването, се използва специална характеристика - ефективност:

където:
EFFгорещ – ефективност на топлообменника за горещ охладител;
Tпланиниin – температура на входа на топлообменника по пътя на потока на горещата охлаждаща течност;
Tпланиниот – температура на изхода на техния топлообменник по пътя на потока на горещия охладител;
Tзалаin – температура на входа на топлообменника по пътя на потока на студения охладител.

Таблица 3 показва отклонението на ефективността на модела на топлообменника от експерименталния при различни скорости на потока по топлата и студената линия.

Таблица 3. Грешки при изчисляване на ефективността на топлопреминаване в %

В нашия случай избраният коефициент може да се използва във всички режими на работа, които ни интересуват. Ако при ниски дебити, където грешката е по-голяма, не се постигне необходимата точност, можем да използваме променлив фактор на интензификация, който ще зависи от текущия дебит.

Например, на Фигура 10, коефициентът на интензификация се изчислява с помощта на дадена формула в зависимост от текущия дебит в каналните клетки.

Фигура 10. Променлив коефициент на подобряване на топлообмена.

Данни

• Познаването на физическите закони ви позволява да създавате динамични модели на обект за моделно базирано проектиране.
• Моделът трябва да бъде проверен и настроен въз основа на тестови данни.
• Инструментите за разработка на модел трябва да позволяват на разработчика да персонализира модела въз основа на резултатите от тестването на обекта.
• Използвайте правилния моделен подход и ще бъдете щастливи!

Бонус за тези, които са приключили с четенето. Видео от работата на виртуален модел на системата SCR.

В анкетата могат да участват само регистрирани потребители. Впиши се, Моля те.

За какво да говоря след това?

• 76,2%Как да докажем, че програмата в модела съответства на програмата в хардуера.16

• 23,8%Как да използваме суперкомпютърни изчисления за проектиране, базирано на модели.5

21 потребители гласуваха. 1 потребител се въздържа.

Източник: www.habr.com