Как ко мне попала эта книга?
В мае 2017 года я получил электронное письмо от моего старого учителя средней школы по имени Джордж Раттер, в котором он писал: «У меня есть копия большой книги Дирака на немецком языке (Die Prinzipien der Quantenmechanik), которая принадлежала Алану Тьюрингу, и после того как я прочел вашу книгу , мне показалось само собой разумеющимся, что вы именно тот человек, которому она нужна». Он объяснил мне, что получил книгу от другого (к тому времени умершего) моего школьного учителя , о котором я знал, что он был другом Алана Тьюринга. Джордж закончил свое письмо фразой: «Если вам нужна эта книга, я мог бы вручить ее вам в следующий раз, когда вы приедете в Англию».
Спустя пару лет в марте 2019 года я действительно прибыл в Англию, после чего договорился с Джорджем о встрече за завтраком в небольшом отеле в Оксфорде. Мы ели, болтали и ждали, пока еда уляжется. Затем настал подходящий момент для обсуждения книги. Джордж сунул руку в портфель и вытащил довольно скромно оформленный, типичный академический томик середины 1900-х годов.
Я открыл обложку, размышляя, не может ли на ней быть с обратной стороны надписи: «Собственность Алана Тьюринга» или чего-то в этом духе. Но, к сожалению, это оказалось не так. Тем не менее к ней была приложена достаточно выразительная записка на четырех листах от Нормана Рутледжа к Джорджу Раттеру, написанная в 2002 году.
Я знал Нормана Рутледжа, когда еще был учеником в в начале 1970-х годов. Он был учителем математики по прозвищу «Чокнутый Норман». Он был приятным во всех отношениях преподавателем и рассказывал бесконечные байки о математике и о всяких других занимательных вещах. Он был ответственным за то, чтобы школа получила компьютер (программируемый с помощью перфоленты шириной с парту) — это был .
В те времена я ничего не знал о прошлом Нормана (помните, что это было задолго до появления Интернета). Я знал только о том, что он был «Доктором Рутледжем». Он достаточно часто рассказывал истории о людях из Кембриджа, но в своих рассказах он никогда не упоминал Алана Тьюринга. Конечно, Тьюринг тогда еще не был достаточно знаменит (хотя, как выясняется, я уже слышал о нем от кого-то, кто знал его в (особняк в котором во время Второй мировой войны располагался шифровальный центр)).
Алан Тьюринг не был знаменит вплоть до 1981 года, когда я впервые , хотя тогда еще в контексте клеточных автоматов, а не .
Как вдруг однажды, просматривая каталог карточек в библиотеке , я наткнулся на книгу , написанную его мамой Сарой Тьюринг. В книге было много информации, в том числе о неопубликованных научных трудах Тьюринга по биологии. Однако я ничего не узнал о его отношениях с Норманом Рутледжем, так как в книге ничего не упоминалось о нем (хотя, как я выяснил, Сара Тьюринг , и Норман даже в итоге написал ).
Десять лет спустя, настроенный с крайним любопытством к Тьюрингу и его (тогда еще неопубликованным) , я посетил в . Вскоре, ознакомившись с тем, что у них было из работ Тьюринга, и потратив на это некоторое время, я подумал, что заодно могу попросить посмотреть также и его личную переписку. Просматривая её, я обнаружил от Алана Тьюринга к Норману Рутледжу.
К тому времени вышла в свет Эндрю Ходжеса, которая так много сделала для того, чтобы Тьюринг наконец стал знаменитым, в ней подтвердилось — Алан Тьюринг и Норман Рутледж действительно были друзьями, а также то, что Тьюринг был научным консультантом Нормана. Я хотел спросить Рутледжа о Тьюринге, но к тому времени Норман уже был на пенсии и вел уединенный образ жизни. Тем не менее, когда я завершил работу над книгой «» в 2002 году (после моего десятилетнего затворничества), я разыскал его и послал ему копию книги с подписью «Моему последнему учителю математики». Затем мы с ним немного , и в 2005 году я снова приехал в Англию и договорился встретиться с Норманом попить чайку в роскошном отеле в центре Лондона.
Мы мило побеседовали о многом, в том числе и об Алане Тьюринге. Норман начал нашу беседу с рассказа о том, что действительно знал Тьюринга, по большей части поверхностно, 50 лет тому назад. Но все же ему было что рассказать и о нем лично: «Он был нелюдим». «Он много хихикал». «Он не мог по-настоящему говорить с нематематиками». «Он всегда боялся расстроить свою мать». «Он уходил днем и пробегал марафон». «Он не был слишком амбициозным». Затем разговор вернулся к личности Нормана. Он сказал, что, несмотря на то, что он уже как 16 лет ушел на пенсию, он по-прежнему пишет статьи для «», чтобы, по его словам, «доделать все свои научные труды прежде чем перейти в мир иной», где, как он добавил с едва заметной улыбкой, «все математические истины обязательно будут раскрыты». Когда чаепитие закончилось, Норман надел свою кожаную куртку и направился к своему мопеду, совершенно не обращая внимания на в тот день.
Это был последний раз, когда я видел Нормана, он умер в 2013 году.
Шесть лет спустя я сидел за завтраком с Джорджем Раттером. Со мной была записка от Рутледжа, написанная им в 2002 году его характерным почерком:
Сначала я бегло прочитал записку. Она как обычно была экспрессивной:
Я получил книгу Алана Тьюринга от его друга и душеприказчика (в Королевском колледже было в порядке вещей раздавать книги из собрания умерших товарищей, и я выбрал собрание стихов из книг в качестве подходящего подарка (он был деканом и спрыгнул с часовни [в 1956 году])…
Позже в короткой записке он пишет:
Вы спрашиваете, куда, в конце концов, должна была попасть эта книга — по моему мнению, она должна попасть тому, кто ценит все, что связано с работами Тьюринга, так что ее судьба зависит от вас.
Стивен Вольфрам прислал мне свою впечатляющую книгу, но я недостаточно глубоко окунулся в нее…
В заключение он поздравил Джорджа Раттера с тем, что у него хватило смелости переехать (как оказалось, временно) в Австралию после ухода на пенсию, сказав, что он сам «поиграл бы в переезд в Шри-Ланку как пример дешевого и лотосоподобного существования», но добавил, что «события, происходящие сейчас там, указывают на то, что он не должен был этого делать» (по-видимому, имея в виду в Шри-Ланке).
Так что же скрывается в недрах книги?
Итак, что же я сделал с копией книги на немецком языке, написанной Полем Дираком, которая когда-то принадлежала Алану Тьюрингу. Я не читаю по-немецки, но у меня на английском языке (который является языком ее оригинала) издания 1970-х годов. Тем не менее, однажды за завтраком мне показалось правильным, что я должен внимательно просмотреть книгу постранично. В конце концов, это общепринятая практика, когда имеют дело с антикварными книгами.
Следует отметить, что меня поразила элегантность изложения Дирака. Книга была опубликована в 1931 году, но ее чистый формализм (и, да, несмотря на языковой барьер, я мог читать математику, которая изложена в книге) почти такой же, как если бы ее написали сегодня. (Я не хочу здесь слишком акцентироваться на Дираке, но мой друг сказал мне, что, по крайней мере, по его мнению изложение Дирака односложно. Норман Рутледж сказал мне, что он дружил в Кембридже с , который стал теоретиком в области графов. Норман довольно часто бывал в доме Дирака и рассказывал, что «великий человек» иногда лично отходил как бы на второй план, тогда как на первом всегда было множество математических головоломок. Я сам, к сожалению, никогда не встречал Поля Дирака, хотя мне сказали, что после того, как он, наконец, ушел из Кембриджа и отправился во Флориду, он утратил большую часть своей прежней жесткости и стал довольно общительным человеком).
Но вернемся к книге Дирака, которая принадлежала Тьюрингу. На странице 9 я заметил подчеркивания и небольшие пометки на полях, написанные простым карандашом. Я продолжал листать страницы. После нескольких глав пометки исчезли. Но затем, внезапно, я обнаружил вложенную в страницу 127 записку следующего содержания:
Она была написана на немецком языке стандартным немецким почерком. И похоже на то, что она как-то могла быть связана с . Я подумал, что, вероятно, кто-то владел данной книгой до Тьюринга, и это, должно быть, записка, написанная этим человеком.
Я продолжал листать книгу. Заметки отсутствовали. И я подумал, что больше не смогу ничего найти. Но затем, на странице 231 я обнаружил, фирменную закладку — с отпечатанным текстом:
Обнаружу ли я в итоге что-нибудь еще? Я продолжал листать книгу. Затем, в конце книги, на странице 259, в разделе, посвященном релятивистской теории электронов, я обнаружил следующее:
Я развернул этот лист бумаги:
Я сразу понял, что это с примесью , но как же этот лист тут оказался? Напомним, что данная книга является книгой о квантовой механике, но во вложенном листке речь идет о математической логике, или о том, что сейчас называется теорией вычислений. Это является типичным для трудов Тьюринга. Мне стало интересно, написал ли лично Тьюринг эту записку?
Даже во время завтрака я искал в Интернете образцы почерка Тьюринга, но не нашел примеров в виде расчетов, поэтому не смог сделать заключений о точной принадлежности почерка. И вскоре надо было идти. Я бережно упаковал книгу, готовую раскрыть тайну того, что это была за страница и кто ее написал, и взял ее с собой.
О книге
Прежде всего давайте обсудим саму книгу. «» Поля Дирака были опубликованы на английском языке в 1930 году и вскоре были переведены на немецкий язык. (Предисловие Дирака датировано 29 мая 1930 года; оно принадлежит переводчику — — 15 августа 1930 года.) Книга стала вехой в развитии квантовой механики, систематически устанавливая четкий формализм для выполнения вычислений, и среди прочего, объясняя предсказание Дирака о , который будет открыт в 1932 году.
Почему у Алана Тьюринга была книга на немецком, а не на английском? Я не знаю этого точно, но в те дни немецкий язык был ведущим языком науки, и мы знаем, что Алан Тьюринг умел на нем читать. (В конце концов, в названии его знаменитой работы « (Entscheidungsproblem)» было очень длинное немецкое слово — и в основной части статьи он оперирует довольно непонятными готическими символами в виде «немецких букв», которые он использовал, взамен, например, греческих символов).
Алан Тьюринг купил эту книгу сам или ему ее передали? Я не знаю. На внутренней стороне обложки книги Тьюринга есть карандашное обозначение «20/-», которое было стандартным обозначением «20 шиллингов», аналогично £1. На правой странице есть стёртое «26.9.30», предположительно означающее 26 сентября 1930 года — возможно, дату, когда книга была впервые приобретена. Затем, в крайнем правом углу, стертая цифра «20». Возможно, это снова цена. (Может ли это быть цена в , если предположить, что книга была продана в Германии? В те времена 1 рейхсмарка стоила примерно 1 шиллинг, немецкая цена, вероятно, была бы записана как, например, «20 RM».) Наконец, на внутренней стороне задней обложки есть «c 5/-» — может быть это, (с большой скидкой) цена за книгу, бывшую в употреблении.
Давайте рассмотрим основные даты жизни Алана Тьюринга. Алан Тьюринг (по совпадению, ровно за 76 лет до ). Осенью 1931 года он поступил в Королевский колледж в Кембридже. Он получил степень бакалавра после стандартных трех лет обучения, в 1934 году.
В 1920-х и начале 1930-х годов квантовая механика была животрепещущей темой, и Алан Тьюринг безусловно интересовался ей. Из его архивов мы знаем, что в 1932 году, как только книга была опубликована, он получил «» Джона фон Неймана (на ). Нам также известно, что в 1935 году Тьюринг получил задание от кембриджского физика по тематике изучения квантовой механики. (Фаулер предложил вычислить , что на самом деле является очень сложной задачей, требующей полноценного анализа с взаимодействующей квантовой теорией поля, которая до сих пор является не полностью решенной).
И все же, когда и как Тьюринг заполучил свой экземпляр книги Дирака? Учитывая, что на книге есть пробитая цена, Тьюринг предположительно купил ее уже подержанной. Кто же был первым владельцем книги? Заметки в книге, кажется, касаются в первую очередь логической структуры, отмечается, что некоторую логическую взаимосвязь следует считать аксиомой. Тогда как же насчет записки, вложенной на странице 127?
Что ж, возможно это совпадение, но как раз на странице 127 — Дирак говорит о квантовом и закладывает основу для — что является основой всего современного квантового формализма. Что содержится в записке? Там содержится расширение уравнения 14, которое является уравнением для временной эволюции квантовой амплитуды. Автор записки заменил Дираковскую А для амплитуды на ρ, возможно, отражая тем самым более раннюю (аналогия плотности жидкости) немецкую запись. Затем автор пытается расширить действие по степеням ℏ (, деленная на 2π, которую иногда называют ).
Но, похоже, из того, что содержится на странице, можно мало что почерпнуть полезного. Если держать страницу на свету, в ней содержится небольшой сюрприз — водяной знак с надписью «Z f. Physik. Chem. B”:
Это сокращенная версия — немецкого журнала по физической химии, который стал издаваться с 1928 года. Возможно, записка была написана редактором журнала? Вот заголовок журнала за 1933 год. Удобно, что редакторы перечислены с указанием их местожительства, и один из них выделяется: „Борн · Кембридж“.
Это и есть который является автором и много чего еще другого в теории квантовой механики (а также дедушкой певицы ). Итак, эта записка, возможно, была написана Максом Борном? Но, к сожалению, это не так, потому что почерк не совпадает.
А как насчет закладки на странице 231? Вот она с двух сторон:
Закладка является странной и довольно красивой. Но когда она была изготовлена? В Кембридже существует , хотя теперь он является частью Блэквелла. В течение более 70 лет (до 1970 года) Хефферс находился по адресу, как показывает закладка, и .
В данной закладке находится важный ключ — это номер телефона „Тел. 862”. Так вышло, что в 1939 году большая часть Кембриджа (включая Хефферс) перешла на четырехзначные номера, и, безусловно, к 1940 году закладки печатались с «современными» телефонными номерами. (Английские телефонные номера постепенно становились все длиннее; когда я рос в Англии в 1960-х годах, наши телефонные номера были «Оксфорд 56186» и «Кидмор-Энд 2378». Отчасти я помню эти цифры потому, что, как бы странно это теперь не выглядело, я всегда называл свой номер при ответе на входящий звонок).
Закладка в таком виде печаталась до 1939 года. Но как задолго до этого? В Интернете можно найти довольно много сканов старых рекламных объявлений Heffers, по крайней мере, с 1912 года (наряду с «Мы просим вас удовлетворить ваши запросы…») они дописывают «Телефон 862», добавляя «(2 строки)». Также существует некоторые закладки с похожим оформлением, которые можно найти в книгах еще с 1904 года (хотя неясно, были ли они оригинальными для этих книг (то есть напечатанными в тоже время). В целях нашего расследования, кажется, мы можем сделать вывод, что данная книга пришла из магазина Хефферс (который, кстати, был главным книжным магазином в Кембридже) где-то между 1930 и 1939 годами.
Страница с лямбда-исчислениями
Итак, теперь мы знаем кое-что о том, когда же книга была куплена. Но как насчет «страницы с лямбда-исчислениями»? Когда это было написано? Ну, естественно к тому времени лямбда-исчисление должно было быть уже изобретено. И это было сделано , математиком из , в первоначальной форме в 1932 году и в окончательной форме в 1935 году. (Существовали работы ученых предшественников, но они не использовали обозначение λ).
Существует сложная связь между Аланом Тьюрингом и лямбда-исчислением. В 1935 году Тьюринг заинтересовался «механизацией» математических операций, и изобрел идею машины Тьюринга с использованием ее для решения задач основ математики. Тьюринг отправил статью на эту тему во французский журнал (), но она был утеряна на почте; а потом оказалось, что адресата, которому он послал ее, все равно не было на месте, поскольку он переехал Китай.
Но в мае 1936 года, еще до того как Тьюринг мог отправить свою статью куда-либо еще, . Тьюринг до этого уже сетовал на то, что когда в 1934 году он разработал доказательство , то обнаружил, что существует норвежский математик, который уже в 1922 году.
Нетрудно понять, что машины Тьюринга и лямбда-исчисление фактически эквивалентны в тех видах вычислений, которые они могут представлять (и это является началом ). Однако Тьюринг (и его учитель ) убедились, что подход Тьюринга был достаточно отличным для того, чтобы это заслуживало отдельной публикации. В ноябре 1936 года (а с исправленными опечатками в следующем месяце) в была опубликована знаменитая статья Тьюринга .
Чтобы немного восполнить временную шкалу: с сентября 1936 года по июль 1938 года (с перерывом в три месяца летом 1937 года) Тьюринг находился в Принстоне, поехав туда, с целью стать аспирантом Алонзо Черча. В этот период в Принстоне Тьюринг, по-видимому, полностью сконцентрировался на математической логике — написал несколько , — и, скорее всего, у него не было с собой книги по квантовой механике.
Тьюринг вернулся в Кембридж в июле 1938 года, но уже к сентябрю того же года он работал на полставки в , а год спустя он переехал в Блетчли-Парк, с целью работать там полный рабочий день над вопросами, связанными с криптоанализом. После окончания войны в 1945 году Тьюринг переехал в Лондон для того, чтобы работать в над разработкой проекта создания . 1947–8 учебный год он провел в Кембридже, но затем переехал в Манчестер для того, чтобы разработать .
В 1951 году Тьюринг начал серьезно заниматься . (Лично для меня данный факт является в некотором роде ироничным, потому как мне кажется, что Тьюринг всегда подсознательно считал, что биологические системы должны моделироваться дифференциальными уравнениями, а не чем-то дискретным, как машины Тьюринга или клеточные автоматы). Также он снова обратил свой интерес к физике, и к 1954 году даже , что: «я пытался изобрести новую квантовую механику» (хотя он добавил: «но на самом деле не факт, что получится»). Но, к сожалению, все внезапно оборвалось 7 июня 1954 года, когда Тьюринг внезапно умер. (Я полагаю, что это не было самоубийством, но это уже совсем другая история.)
Итак, вернемся к странице лямбда-исчисления. Поднесем ее к свету, и снова увидим водяной знак:
Видно, что это листок бумаги британского производства, и мне кажется маловероятным, чтобы его использовали в Принстоне. Но можем ли мы точно датировать его? Что ж, не без некоторой помощи , мы знаем, что официальным производителем бумаги были Spalding&Hodge, Papermakers, оптовые и экспортные компании «Друри Хауз», Рассел-стрит в районе Друри Лейн, Ковент-Гарден, Лондон. Это может нам помочь, но не очень сильно, так как можно предположить, что их марка бумаги Excelsior, кажется, была включена в каталоги поставки с 1890-х по 1954 год.
О чем говорится в этой страничке?
Итак, давайте рассмотрим более подробно, что находится на двух сторонах листочка. Начнем с лямбд.
Здесь представлен способ определения , и они являются основным понятием в математической логике, а сейчас и в функциональном программировании. Эти функции достаточно распространены в языке , и их задание довольно легко объяснить. Например, кто-то пишет f[x], чтобы обозначить функцию f, примененную к аргументу x. И есть много именованных функций f таких как или или . Но что, если кто-то захочет, чтобы f[x] было 2x +1? Здесь нет непосредственного названия (имени) для этой функции. Но существует ли другая форма задания, f[x]?
Ответ да: вместо f мы пишем Function[a,2a+1]. А на языке Wolfram Function [a,2a+1][x] применяет функции к аргументу x, выдавая в итоге 2x+1. Function[a,2a+1] является «чистой» или «анонимной» функцией, которая представляет собой чистую операцию умножения на 2 и прибавления 1.
Итак, λ в лямбда-исчислении является точным аналогом в языке Wolfram Language — и поэтому, например, λa.(2 a+1) эквивалентно Function[a, 2a + 1]. (Стоит отметить, что функция, скажем, Function[b,2b+1] эквивалентна; «связанные переменные» a или b являются просто местами подстановки аргумента функции — а в языке Wolfram Language их можно избежать, используя альтернативные варианты определения чистой функции (2# +1)&).
В традиционной математике функции обычно рассматриваются как объекты, которые отображают входные данные (например, целые числа) и выходные данные (которые также являются, например, целыми числами). Но что это за объект (или λ )? По сути это есть структурный оператор, который принимает выражения и превращает их в функции. Это может показаться немного странным с точки зрения традиционной математики и математической формы записи, но если кому-то необходимо выполнять манипулирование произвольными символами, что гораздо более естественно, даже если сначала это кажется немного абстрактным. (Следует отметить, что когда пользователи изучают язык Wolfram Language, я всегда могу сказать, что они преодолели определенный порог абстрактного мышления, когда они получают представление о ).
Лямбды — это только часть того, что присутствует на странице. Есть и другая, еще более абстрактная концепция — это . Рассмотрим довольно неясную строку PI1IIx? Что это может значить? По сути, это последовательность комбинаторов, или, некая абстрактная композиция символьных функций.
Обычную суперпозицию функций, довольно знакомую по математике, на языке Wolfram Language можно записать в виде: f[g[x]] — что означает «применить f к результату применения g к x». Но действительно ли нужны для этого скобки? На языке Wolfram f@g@ x — альтернативная форма записи. В этой записи мы полагаемся на определение в языке Wolfram Language: оператор @ ассоциируется с правой частью, поэтому f@g@x эквивалентно f@(g@x).
Но что будет означать запись (f@g)@x? Это эквивалентно f[g][x]. И если бы f и g были обычными функциями в математике, это было бы бессмысленно, но если f — , то f[g] сама по себе может быть функцией, которая вполне может быть применена к x.
Отметим здесь есть еще некоторую сложность. В f[х] — f является функцией одного аргумента. И f[х] эквивалентно записи Function[a, f[a]][x]. Но как быть в случае функции двух аргументов, скажем, f[x,y]? Это может быть записано в виде Function[{a,b},f[a, b]][x, y]. Но как быть в случае Function[{a},f[a,b]]? Что это? Здесь присутствует «свободная переменная» b, которая просто передается в функцию. Function[{b},Function[{a},f[a,b]]] свяжет эту переменную, а затем Function[{b},Function[{a},f [a, b]]][y][x] дает f[x,y] снова. (Задание функции так, чтобы она имела один аргумент, называется «каррирование» в честь ученого логика по имени ).
Если существуют свободные переменные, то есть много различных сложностей относительно того, как функции могут быть заданы, но если мы ограничимся объектами или λ, которые не имеют свободных переменных, то они в основном могут быть заданы свободно. Такие объекты называются комбинаторами.
Комбинаторы имеют длинную историю. Известно, что они были впервые предложены в 1920 году учеником — .
В ту пору, только совсем недавно было обнаружено, что не нужно использовать выражения , и для представления выражений в стандартной логике высказываний: достаточно было использовать единственный оператор, который мы теперь будем называть (потому что, например, если писать как ·, то Or[a,b] примет вид ). Шенфинкель хотел найти такое же минимальное представление логики предикатов или, по сути, логики, включая функции.
Он придумал два «комбинатора» S и K. В языке Wolfram Language это запишется в виде
K[x_][y_] → x и S[x_][y_][z_] → x[z][y[z]].
Является примечательным, что оказалось возможным использовать эти два комбинатора для выполнения любых вычислений. Так, например,
S[K[S]][S[K[S[K[S]]]][S[K[K]]]]
можно использовать как функцию для добавления двух целых чисел.
Все это, мягко говоря, довольно абстрактные объекты, но теперь, когда мы понимаем, что такое машины Тьюринга и лямбда-исчисление, можно увидеть, что комбинаторы Шенфинкеля фактически предвосхитили концепцию универсальных вычислений. (И что еще более примечательно, определения S и K 1920 года минимально просты, и напоминают , которую я предложил в 1990-х годах, универсальность которой была ).
Но вернемся к нашему листочку и строке PI1IIx. Символы, записанные здесь, являются комбинаторами, и все они предназначены для задания функции. Здесь определение заключается в том, что суперпозиция функций должна быть левоассоциативной, так что fgx следует трактовать не как f@g@x или f@(g@x) или f[g[x]], а скорее, как (f@g)@x или f[g][x]. Переведем эту запись в вид, удобный для использования Wolfram Language: PI1IIx примет вид p[i][one][i][i][x].
Зачем писать что-то подобное? Для того, чтобы объяснить это, нам необходимо обсудить понятие цифр Черча (названных в честь Алонзо Черча). Допустим, мы просто работаем с символами и с лямбдами или комбинаторами. Существует ли способ использовать их для задания целых чисел?
Как насчет того, чтобы просто сказать, что число n соответствует Function[x, Nest[f,x,n]]? Или, другими словами, что (в более коротких обозначениях):
1 — это f[#]&
2 — это f[f[#]]&
3 — это f[f[f[#]]]& и так далее.
Все это может показаться несколько более неясным, но причина, по которой это представляет интерес, в том, что она позволяет нам делать все полностью символьным и абстрактным, без необходимости явно говорить о чем-то типа целых чисел.
При таком методе задания чисел, представим себе, например, добавление двух чисел: 3 можно представить в виде f[f[f[#]]]& и 2 — это f[f[#]]&. Можно сложить их, просто применив одно из них к другому:
Но что же из себя представляет объект f? Это может быть все что угодно! В некотором смысле, «переходить к lambda» до конца и представлять числа с помощью функций, которые принимают f в качестве аргумента. Другими словами, представим 3, например, как Function[f,f[f[f[#]]] &] или Function[f,Function[x,f[f[f[x]]]]. (когда и как вам необходимо называть переменные — загвоздка в лямбда-исчислении).
Рассмотрим фрагмент статьи Тьюринга 1937 года , которая настраивает объекты именно так, как мы только что обсуждали:
Здесь запись может несколько сбить с толку. x Тьюринга — это наша f, а его x’ (наборщик совершил ошибку вставив пробел) — это наш x. Но здесь используется точно такой же подход.
Итак, давайте посмотрим на строку сразу после сгиба в передней части листка. Это I1IIYI1IIx. По форме записи Wolfram Language это будет i[one][i][i][y][i][one][i][i][x]. Но здесь i — тождественная функция, поэтому i[one] выдает просто one. Между тем, one — это числовое представление Черча для 1 или Function[f,f[#]&]. Но с этим определением one[а] становится a[#]& и one[a][b] становится a[b]. (Кстати, i[а][b], или Identity[а][b] также является а[b]).
Будет намного понятнее, если мы запишем правила замены для i и one, вместо прямого применения лямбда-исчисления. Результат будет такой же. Примените эти правила явно, мы получим:
И это точно то же самое, что представлено на первой сокращенной записи:
Давайте теперь посмотрим на листок снова, в его верхнюю часть:
Здесь присутствуют довольно запутанные и непонятные объекты «E» и «D», но под ними имеется в виду «P» и «Q», поэтому мы можем выписать выражение и вычислить его (обратите внимание, что здесь — после некоторой путаницы с самым последним символом — «таинственный ученый» ставит […] и (…) для представления приложения функции):
Итак, это первое показанное сокращение. Чтобы увидеть больше, давайте подставим определения для Q:
Мы получаем точно следующее показанное сокращение. Что будет если подставить выражения для P?
Вот результат:
И теперь, используя тот факт, что i — это функция, выдающая на выходе сам аргумент, мы получаем:
Оооопс! Но это же не следующая записанная строка. Есть ли тут ошибка? Непонятно. Потому что, в конце концов, в отличие от большинства других случаев, нет стрелки, указывающей, что следующая строка следует из предыдущей.
Здесь какая-то загадка, но давайте перейдем к нижней части листка:
Здесь 2 — это число Черча, определяемое, например, шаблоном two[a_] [b_] → a[a[b]]. Обратите внимание, что это на самом деле форма второй строки, если a рассматривать как Function[r,r[р]] и b как q. Итак, мы ожидаем, что результат вычислений будет следующим:
Тем не менее, лежащее внутри выражение а[b] может быть записано как x (вероятно, отличается от x ранее записанного на листке) — в итоге получим окончательный результат:
Итак, мы можем расшифровать немногое из того, что происходит на этом листке, но по крайней мере одна загадка, которая до сих пор остается, — это то, чем должен быть Y.
На самом деле в комбинаторной логике есть стандартный Y-комбинатор: так называемый . Формально он определяется тем, что Y[f] должно быть равно f[Y[f]], или, другими словами, что Y[f] не изменяется при применении f, так что это фиксированная точка для f. (Комбинатор Y связан с #0 в языке Wolfram Language.)
В настоящее время Y-комбинатор прославился так благодаря , названному так (который долгое время был фанатом и и реализовал самый первый веб-магазин на базе этого языка). Он однажды сказал мне лично «никто не понимает, что такое Y комбинатор». (Следует отметить, что Y Combinator — это именно то, что позволяет компаниям избегать операций с фиксированной точкой…)
Y комбинатор (как комбинатор с фиксированной точкой) был изобретен несколько раз. Тьюринг действительно придумал его реализацию в 1937 году, которую он назвал Θ. Но является ли буква «Y» на нашей странице знаменитым комбинатором с фиксированной точкой? Возможно, что и нет. Так что же такое наше «Y»? Рассмотрим данное сокращение:
Но этой информации явно недостаточно, для того чтобы однозначно определить, что такое Y. Ясно, что Y оперирует не только одним аргументом; кажется, что дело как минимум в двух аргументах, но здесь неясно (по крайней мере мне), сколько аргументов он принимает на вход и что делает.
Наконец, хотя мы и можем осмыслить многие части листка, мы должны сказать, что в глобальном масштабе неясно, что на нем было сделано. Даже при том, что здесь требуется множество объяснений того, что тут представлено на листке, это довольно элементарно в лямбда-исчислении и с использованием комбинаторов.
Предположительно, здесь представлена попытка создать простую «программу» — с использованием лямбда-исчисления и комбинаторов для того, чтобы что-то сделать. Но насколько это характерно для обратной разработки, нам трудно сказать, каким должно быть это «что-то» и что из себя представляет общая «объяснимая» цель.
Есть еще одна особенность, представленная на листке, которую стоит здесь прокомментировать — это применение различных типов скобок. В традиционной математике в основном используются круглые скобки для всего — и приложения функции (как в f(x)), и группировки членов (как в (1+x) (1-x), или, что менее очевидно, a(1-х)). (В Wolfram Language мы разделяем различные варианты использования скобок — в квадратных скобках для определения функций f [x] — и круглые же скобки используются только для группировки).
Когда только появилось лямбда-исчисление, было много вопросов о использовании скобок. Позже Алан Тьюринг напишет целый (неопубликованный) труд под названием «», но уже в 1937 году он почувствовал, что ему необходимо описать современные (довольно хакерские) определения для лямбда-исчисления (которые, кстати, появились из-за Черча).
Он сказал, что f, примененное к g, должно быть написано {f}(g), если только f не является единственным символом, в этом случае это может быть f(g). Затем он сказал, что лямбда (как в Function[a, b]) должна быть записана как λ a[b] или, как вариант, λ a.b.
Однако, возможно, к 1940 году вся идея использования {…} и […] для обозначения разных объектов была отброшена, в основном в пользу скобок в стандартном математическом стиле.
Взгляните на верхнюю часть страницы:
В таком виде это понять сложно. В определениях Черча квадратные скобки предназначены для группировки, с открывающей скобкой, которая заменяет точку. С применением этого определения становится ясно, что Q (в итоге помеченный как D), заключенный в скобки в конце, — это то, к чему применяется вся начальная лямбда.
На самом деле квадратная скобка здесь не ограничивает тело лямбды; вместо этого она фактически представляет собой другое применение функции, и здесь нет явного указания, где заканчивается тело лямбды. В конце видно, что «таинственный ученый» изменил закрывающую квадратную скобку на круглую, тем самым эффективно применив определение Черча — и заставляя тем самым вычислять выражение, так как показано на листке.
Так что же все-таки означает этот небольшой кусочек? Я думаю, что это наводит на мысли, что страница была написана в 1930-х годах, или не слишком большое время спустя, так как условные обозначения для скобок до того времени еще не устаканились.
Так чей же это все-таки был почерк?
Итак, до этого мы говорили о том, что написано на странице. Но как насчет того, кто же это все-таки писал?
Наиболее очевидным кандидатом на эту роль был бы сам Алан Тьюринг, так как, в конце концов, страница была внутри его книги. С точки зрения содержания, кажется, нет ничего несовместимого с тем, что Алан Тьюринг мог бы написать это — даже в тот момент, когда он впервые начал разбирался с лямбда-исчислением после того как получил статью Черча в начале 1936 года.
Как насчет почерка? Принадлежит ли он Алану Тьюрингу? Рассмотрим несколько сохранившихся образцов, которые, как нам известно точно, были написаны рукой Алана Тьюринга:
Представленный текст явно выглядит совсем иначе, но как насчет обозначений, используемых в тексте? По крайней мере, на мой взгляд, это не выглядит так явно — и можно предположить, что любое различие может быть вызвано именно тем, что существующие образцы (представленные в архивах) написаны, так сказать, «на чистовую», в то время как наша страница — это именно отражение работы мысли.
Для нашего расследования оказалось удобным то, что в архиве Тьюринга есть страница, на которой он выписал , необходимую для обозначений. И при сравнении этих символов побуквенно, они выглядят для меня довольно схожими (эти записи были выполнены во Тьюринга когда он занимался , отсюда появилась и пометка «площадь листа»):
Мне захотелось исследовать это глубже, поэтому я отправил образцы , профессиональному эксперту по почерку (и автору задач на основе рукописного ввода), с которой мне довелось однажды познакомиться — просто представив наш листок как «образец «A» и существующий образец почерка Тьюринга как «образец «B». Ее ответ был окончательным и отрицательным: «Стиль письма совершенно другой. Что касается личности, то автор образца «B» обладает более быстрым и интуитивным стилем мышления, чем автор образца «A»».
Я еще не был в этом полностью убежден, но решил, что пришло время для поиска других вариантов.
Так что, если получается, что Тьюринг не написал этого, то кто тогда это сделал? Норман Рутледж сказал мне, что он получил книгу от Робина Ганди, который был душеприказчиком Тьюринга. Поэтому я отправил «Образец «C»» от Ганди:
Но первоначальный вывод Шейлы состоял в том, что три образца, вероятно, были написаны тремя разными людьми, снова отметив, что образец «В» был получен от «самого быстрого мыслителя — того, кто, скорее всего, наиболее охотно ищет необычные решения проблем». (Я нахожу приятным, что современный специалист по почерку дал бы такую оценку почерку Тьюринга, учитывая то, как активно в школьных заданиях Тьюринга 1920-х годов все жаловались на его почерк).
Что ж, в этот момент казалось, что и Тьюринг, и Ганди были исключены из списка «подозреваемых». Так кто же мог написать это? Я начал думать о людях, которым Тьюринг мог одалживать свою книгу. Конечно, они при этом должны быть способны делать вычисления с применением лямбда-исчисления.
Я предположил, что человек должен быть из Кембриджа или, по крайней мере, из Англии, учитывая водяной знак на бумаге. Я принял за рабочую гипотезу, что 1936 году или около того был подходящим временем для написания этого. Так кого же в те времена знал и с кем общался Тьюринг? За данный период времени мы получили список всех студентов и преподавателей математики в Королевском колледже. (Было 13 известных студентов, которые учились с 1930 по 1936 год.)
И из них самым многообещающим кандидатом казался . Он был того же возраста, что и Тьюринг, давний его друг, и он также интересовался основами математики — в 1933 году он даже публиковал статью о том, что сейчас мы называем : 0.12345678910111213… (получено путем 1, 2, 3, 4 ,…, 8, 9, 10, 11, 12,…, и одно из очень немногих чисел, в том смысле, что каждый возможный блок цифр встречается с одинаковой вероятностью).
В 1937 году он даже использовал гамма-матрицы Дирака, как было упомянуто в книге Дирака, для решения . (Случилось так, что спустя годы я стал большим поклонником гамма-матричных вычислений).
Начав изучать математику, Чамперноун попал под влияние (также в Королевском колледже) и в конце концов стал выдающимся экономистом, особенно занимаясь работой по неравенству в доходах. (Тем не менее, в 1948 году он также работал с Тьюрингом над созданием — шахматной программы, которая стала практически первой в мире, реализованной на компьютере).
Но где же я мог найти образец почерка Чамперноуна? Вскоре я нашел его сына Артура Чамперноуна в LinkedIn, который, как ни странно, имел степень по математической логике и работал на Microsoft. Он сказал, что его отец довольно много говорил с ним о работе Тьюринга, хотя не упомянул комбинаторов. Он прислал мне образец почерка своего отца (фрагмент об алгоритмическом сочинении музыки):
Можно сразу сказать, что почерки не совпали (завитушки и хвостики в буквах f в почерке Чамперноуна и т. д.)
Так кто же еще это мог быть? Я всегда восхищался , во многом наставником Алана Тьюринга. Ньюман впервые заинтересовал Тьюринга «механизацией математики», был его давним другом, а спустя годы стал его начальником в компьютерном проекте в Манчестере. (Несмотря на его интерес к вычислениям, Ньюман, кажется, всегда видел себя в первую очередь топологом, хотя его выводы были подкреплены ошибочным доказательством, которое он вывел из ).
Не составило труда найти образец почерка Ньюмена — и снова нет, определенно почерки не совпадали.
«След» книги
Итак, затея с идентификацией почерка провалилась. И я решил, что следующим шагом, который нужно сделать, будет попытка проследить немного подробнее, что на самом деле происходило с книгой, которую я держал в руках.
Итак, во-первых, какова была более подробная история с Норманом Рутледжем? Он учился в Королевском колледже в Кембридже в 1946 году и познакомился с Тьюрингом (да, оба они были лицами нетрадиционной сексуальной ориентации). Он закончил колледж в 1949 году, затем начал писать кандидатскую диссертацию с Тьюрингом в качестве научного консультанта. Он получил докторскую степень в 1954 году, работая над математической логикой и теорией рекурсии. Он получил именную стипендию в Королевском колледже, а к 1957 году стал там заведующим кафедры математики. Он мог бы заниматься этим всю свою жизнь, но у него были широкие интересы (музыка, искусство, архитектура, рекреационная математика, генеалогия и т. д.). В 1960 году он изменил направление научной работы и стал учителем в Итоне, где работали (и учились) многие поколения студентов (в том числе и я сам), сталкиваясь с его эклектичными, а иногда и даже странными знаниями.
Мог ли Норман Рутледж написать сам эту загадочную страницу? Он знал лямбда-исчисление (хотя, по совпадению, он упомянул об этом, когда мы пили чай в 2005 году, что он всегда находил его «запутанным»). Однако, его характерный почерк сразу исключает его как возможного «таинственного ученого».
Может ли страница быть как-то связана со студентом Нормана, возможно, с тех пор, как он был еще в Кембридже? Я сомневаюсь. Потому что я не думаю, что Норман когда-либо изучал лямбда-исчисление или что-то подобное. При написании этой статьи я обнаружил, что Норман в 1955 году написал труд о создании логики на «электронных компьютерах» (и создании конъюнктивных нормальных форм, как сейчас делает встроенная функция ). Во времена моего знакомства с Норманом, он очень увлекался написанием утилит для реальных компьютеров (его инициалы были «NAR», и он назвал свои программы «NAR…», например, «NARLAB» — программа для создания текстовых меток с использованием перфорированных отверстий «узоров» на бумажной ленте). Но он никогда не рассуждал о теоретических моделях вычислений.
Давайте прочитаем заметку Нормана внутри книги немного более внимательно. Первое, что мы заметим, это то, что он говорит о «предложении книг из библиотеки скончавшегося лица». И из формулировки это звучит так, как будто все произошло довольно быстро после того, как человек умер, предполагая, что Норман получил книгу вскоре после смерти Тьюринга в 1954 году, и то что у Ганди она отсутствовала значительно долгое время. Далее Норман говорит, что на самом деле он получил четыре книги, две по чистой математике и две по теоретической физике.
Затем он сказал, что отдал «другую из книг по физике (вроде как, )» «Себагу Монтефиоре, приятному молодому человеку, которого вы, возможно, помните [Джордж Раттер]». Хорошо, так кто же он такой? Я откопал свой редко используемый Список членов . (Я должен сообщить, что, открыв его, я не мог не заметить его правил с 1902 года, первое из которых под заголовком «Права членов» звучало забавно: «Одеваться в цвета Ассоциации»).
Следует добавить, что я, вероятно, никогда бы не вступил в это сообщество и не получил бы эту книгу, если бы не настояние моего друга из Итона по имени , который с 12 лет планировал, как однажды он станет премьер-министром, но, к сожалению, умер в возрасте 21 года).
Но в любом случае, было всего пять из перечисленных людей, по фамилии Себаг-Монтефиоре с большим разбросом по датам обучения. Нетрудно было понять, что подходящим был . Тесен мир, как оказалось, его семья владела Блетчли Парк, прежде чем продать его британскому правительству в 1938 году. А в 2000 году Себаг-Монтефиоре написал — вот, по всей вероятности, почему в 2002 году Норман решил отдать ему книгу, которой владел Тьюринг.
Хорошо, а как насчет других книг, которые Норман получил от Тьюринга? Не имея другого способа выяснить, что с ними произошло, я заказал копию завещания Нормана. Последний пункт завещания был явно в стиле Нормана:
В завещании было сказано, что книги Нормана следует оставить в Королевском колледже. И хотя полное собрание его книг, кажется, нигде не найдено, две принадлежащие Тьюрингу книги по чистой математике, которые он упомянул в своей заметке, теперь должным образом находятся в архиве библиотеки Королевского колледжа.
Следующий вопрос: что случилось с другими книгами Тьюринга? Я посмотрел на завещание Тьюринга, в котором, оказалось, что все они были оставлены Робину Ганди.
Ганди был студентом-математиком из Королевского колледжа в Кембридже, который на последнем курсе колледжа — в 1940 году — подружился с Аланом Тьюрингом. В начале войны Ганди работал на радио и на радаре, но в 1944 году он был назначен в то же подразделение, что и Тьюринг, и работал над шифрованием речи. А после войны Ганди вернулся в Кембридж, вскоре получив докторскую степень, а Тьюринг стал его советником.
Работа в вооруженных силах, очевидно, привела его к заинтересованности вопросами в области физики, и его диссертация, выполненная в 1952 году, была озаглавлена . То, что Ганди, похоже, пытался сделать, — это, возможно, охарактеризовать физические теории в терминах математической логики. Он рассуждает о и , но не о машинах Тьюринга. И из того, что нам известно сейчас, я думаю, можно сделать вывод, что он скорее упустил суть. И действительно, с начала 1980-х годов утверждала, что физические процессы следует рассматривать как “различные вычисления» — например, как машины Тьюринга или клеточные автоматы, а не как теоремы, которые следует выводить. (Ганди довольно красиво обсуждает порядок типов, участвующих в физических теориях, говоря, например, что «я считаю, что порядок любого вычисляемого десятичного числа в двоичной форме меньше восьми»). Он говорил, что «одна из причин, почему современная квантовая теория поля настолько сложна, это только потому, что она имеет дело с объектами довольно сложного типа — функционалами функций…», что в конечном итоге говорит о том, что «мы вполне могли бы взять наибольший тип общего пользования в качестве показателя математического прогресса».)
Ганди несколько раз упоминает Тьюринга в диссертации, отмечая во введении, что он обязан А. М. Тьюрингу, который «впервые обратил его несколько расфокусированное внимание на исчисление Черча» (т. е. лямбда-исчисление), хотя на самом деле его диссертация имеет несколько лямбда-доказательств.
После защиты диссертации Ганди обратился к более чистой математической логике и более трех десятилетий писал статьи со скоростью по одной в год и эти статьи достаточно успешно котировались в сообществе международной математической логики. В 1969 году он переехал в Оксфорд, и я думаю, что, наверное, я встречался с ним в юности, хотя я не и помню об этом.
Ганди, видимо, весьма боготворил Тьюринга и в последующие годы часто говорил о нем. Тут возникает вопрос о полном сборнике трудов Тьюринга. Вскоре после смерти Тьюринга Сара Тьюринг и Макс Ньюман попросили Ганди — как его душеприказчика — организовать публикацию неопубликованных работ Тьюринга. Шли годы и отражают разочарование Сары Тьюринг по этому вопросу. Но почему-то Ганди, казалось, даже никогда и не планировал собрать бумаги Тьюринга воедино.
Ганди умер в 1995 году, так и не собрав вместе завершенные работы. — литературный критик и биограф , с которым Тьюринг познакомился в Королевском колледже, — был литературным агентом Тьюринга, и, наконец, он приступил к работе над собранием произведений Тьюринга. Наиболее спорным казалось, был том посвященный математической логике, и для него он привлек первого серьезного аспиранта Робина Ганди, некоего , который нашел письма к Ганди о собранных работах, которые не были начаты на протяжении 24 лет. ( наконец появилось в 2001 году — через 45 лет после их выхода).
Но как же насчет книг, которыми лично владел Тьюринг? В продолжении попыток проследить их, моей следующей остановкой стала семья Тьюринга, и, в частности, младший сын брата Тьюринга, (который на самом деле является сэром Дермотом Тьюрингом, по причине того, что он был , этот титул перешел к нему не по линии Алана в cемье Тьюрингов). Дермот Тьюринг (который недавно написал ) рассказал мне о «бабушке Тьюринга» (она же Сара Тьюринг), ее дом, по-видимому, имел общий вход в сад с его семьей, и о многих других вещах об Алане Тьюринге. Он сказал мне, что в семье их никогда не было личных книг Алана Тьюринга.
Поэтому я вернулся к чтению завещаний и обнаружил, что душеприказчиком Ганди был его ученик Майк Йейтс. Мне стало известно, что Майк Йейтс уволился с должности профессора 30 лет назад, и теперь живет в Северном Уэльсе. Он сказал, что за те десятилетия, когда он работал над математической логикой и теорией вычислений, он никогда по-настоящему не касался компьютера — но, наконец, сделал это, когда вышел на пенсию (и, это произошло, вскоре после того, как он обнаружил программу ). Он сказал, как замечательно, что Тьюринг стал настолько знаменитым, и что, когда он прибыл в Манчестер всего через три года после смерти Тьюринга, никто не говорил о Тьюринге, даже Макс Ньюман, когда он читал курс по логике. Впрочем, позже Ганди расскажет о том, насколько он проникся имея дело с собранием работ Тьюринга, и в конечном итоге оставил все их Майку.
Что Майк знал о книгах Тьюринга? Он нашел один рукописный блокнот Тьюринга, который Ганди не передал в Королевский колледж, потому что (странно) Ганди использовал его в качестве маскировки для записей о своих снах, которые он хранил. (Тьюринг также сохранил записи своих снов, которые были уничтожены после его смерти.) Майк сказал, что блокнот был недавно продан на аукционе примерно за 1 миллион долларов. И что в противном случае он и не подумал бы, что среди вещей Ганди были материалы Тьюринга.
Казалось, что все наши возможности иссякли, но Майк попросил меня взглянуть на тот загадочный лист бумаги. И тотчас же он сказал: «Это почерк Робина Ганди!» Он сказал, что видел столько всего за эти годы. И он был уверен. Он сказал, что не знает много о лямбда-исчислении, и не мог действительно прочитать страницу, но он был уверен, что это написал Робин Ганди.
Мы вернулись к нашему эксперту по почеркам с большим количеством образцов, и она согласилась, что да, то, что было там, соответствовало почерку Ганди. Итак, мы наконец выяснили: Робин Ганди написал тот таинственный листок бумаги. Это не было написано Аланом Тьюрингом; это написал его ученик Робин Ганди.
Конечно, некоторые загадки еще остаются. Предположительно Тьюринг одолжил Ганди книгу, но когда? По форме записи лямбда-исчисления кажется, что это было около 1930-х годов. Но, основываясь на комментариях к диссертации Ганди, вероятно, ничего не делал бы с лямбда-исчислением до конца 1940-х годов. Тогда возникает вопрос, почему Ганди написал это. Кажется, это не имеет прямого отношения к его диссертации, поэтому, возможно, это было, когда он впервые пытался разобраться в лямбда-исчислении.
Я сомневаюсь, что мы когда-нибудь узнаем правду, но, конечно, было интересно пытаться выяснить ее. Здесь я должен сказать, что весь этот пройденный путь сделал многое для того, чтобы расширить мое понимание того, насколько сложными могут быть истории подобных книг прошлых веков, которыми, в частности, я владею. Это заставляет меня думать, что мне лучше убедиться в том, что я просмотрел все их страницы — просто для того, чтобы узнать, что там может быть любопытного…
Выражаю благодарность за помощь: Джонатану Горарду (частные исследования в Кембридже), Дане Скотт (математическая логика) и Мэтью Шудзику (математическая логика).
О переводеПеревод поста Стивена Вольфрама ««.
Выражаю огромную благодарность и за помощь в переводе и подготовке публикации.
Хотите научиться программировать на языке Wolfram Language?
Смотрите еженедельные .
. Готовый .
на Wolfram Language.
Источник: habr.com