গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে কীভাবে সবাই বিয়ে করতে পারে (একক-, দ্বি- এবং তিন-লিঙ্গের বিয়ে) এবং কেন পুরুষরা সবসময় জয়ী হয়

2012 সালে, অর্থনীতিতে নোবেল পুরস্কার লাভ করেন লয়েড শ্যাপলি এবং অ্যালভিন রথ। "স্থিতিশীল বন্টনের তত্ত্ব এবং বাজার সংগঠিত করার অনুশীলনের জন্য।" 2012 সালে আলেক্সি সাভাতেভ গণিতবিদদের যোগ্যতার সারাংশ সহজভাবে এবং স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করেছিলেন। আমি আপনার দৃষ্টিতে একটি সারসংক্ষেপ উপস্থাপন করছি ভিডিও লেকচার.

আজ একটি তাত্ত্বিক বক্তৃতা হবে। পরীক্ষা-নিরীক্ষা সম্পর্কে এলা রোটা, বিশেষ করে অনুদানের সাথে, আমি বলব না।

যখন ঘোষণা করা হলো যে লয়েড শেপলে (1923-2016) নোবেল পুরষ্কার প্রাপ্ত, একটি আদর্শ প্রশ্ন ছিল: "কিভাবে!? সে কি এখনো বেঁচে আছে!?!?" তার সবচেয়ে বিখ্যাত ফলাফল 1953 সালে প্রাপ্ত হয়েছিল।

আনুষ্ঠানিকভাবে, বোনাস অন্য কিছুর জন্য দেওয়া হয়েছিল। "বিবাহ স্থিতিশীলতা উপপাদ্য" এর উপর তার 1962 সালের গবেষণাপত্রের জন্য: "কলেজ ভর্তি এবং বিবাহের স্থিতিশীলতা।"

টেকসই বিবাহ সম্পর্কে

সমন্বয় (মিল) - একটি চিঠিপত্র খোঁজার টাস্ক.

একটি নির্দিষ্ট বিচ্ছিন্ন গ্রাম আছে। সেখানে "মি" যুবক এবং "ডাব্লু" মেয়েরা রয়েছে। আমাদের তাদের একে অপরের সাথে বিয়ে দিতে হবে। (অগত্যা একই সংখ্যা নয়, হয়তো শেষ পর্যন্ত কেউ একা থাকবে।)

কি অনুমান মডেল তৈরি করা প্রয়োজন? এলোমেলোভাবে পুনরায় বিয়ে করা সহজ নয়। স্বাধীন পছন্দের দিকে একটি নির্দিষ্ট পদক্ষেপ নেওয়া হচ্ছে। ধরা যাক একজন জ্ঞানী আকসাকাল আছেন যিনি পুনরায় বিয়ে করতে চান যাতে তার মৃত্যুর পর বিবাহবিচ্ছেদ শুরু না হয়। (তালাক এমন একটি পরিস্থিতি যখন একজন স্বামী তার স্ত্রীর চেয়ে তৃতীয় পক্ষের মহিলাকে তার স্ত্রী হিসাবে বেশি চায়।)

এই উপপাদ্যটি আধুনিক অর্থনীতির চেতনায়। সে ব্যতিক্রমী অমানবিক। অর্থনীতি ঐতিহ্যগতভাবে অমানবিক। অর্থনীতিতে, মানুষকে একটি যন্ত্র দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয় যাতে সর্বাধিক লাভ হয়। আমি আপনাকে যা বলব তা নৈতিক দৃষ্টিকোণ থেকে একেবারে পাগল জিনিস। এটা হৃদয়ে নিবেন না।

অর্থনীতিবিদরা বিয়েকে এভাবেই দেখেন।
m1, m2, … mk - পুরুষ।
w1, w2,... wL - মহিলা।

একজন পুরুষকে চিহ্নিত করা হয় কিভাবে সে মেয়েদের "আদেশ" দেয়। এছাড়াও একটি "শূন্য স্তর" রয়েছে, যার নীচে অন্য কেউ না থাকলেও মহিলাদেরকে স্ত্রী হিসাবে দেওয়া যাবে না।

সবকিছু উভয় দিকেই ঘটে, মেয়েদের জন্য একই।

প্রাথমিক তথ্য নির্বিচারে হয়. একমাত্র অনুমান/সীমাবদ্ধতা হল আমরা আমাদের পছন্দ পরিবর্তন করি না।

উপপাদ্য: বণ্টন এবং শূন্যের স্তর নির্বিশেষে, কিছু পুরুষ এবং কিছু মহিলাদের মধ্যে এক-থেকে-এক চিঠিপত্র স্থাপন করার একটি উপায় সর্বদা থাকে যাতে এটি সমস্ত ধরণের বিভাজনের জন্য শক্তিশালী হয় (শুধু বিবাহবিচ্ছেদ নয়)।

কি হুমকি হতে পারে?

এমন এক দম্পতি (m,w) আছে যারা বিবাহিত নয়। কিন্তু w এর জন্য বর্তমান স্বামী m এর চেয়ে খারাপ এবং m জন্য বর্তমান স্ত্রী w এর চেয়ে খারাপ। এটি একটি অস্থিতিশীল পরিস্থিতি।

এমনও বিকল্প রয়েছে যে কেউ "শূন্যের নীচে" এমন কাউকে বিয়ে করেছে; এই পরিস্থিতিতে, বিয়েটিও ভেঙে যাবে।

যদি একজন মহিলা বিবাহিত হন তবে তিনি অবিবাহিত পুরুষকে পছন্দ করেন, যার জন্য তিনি শূন্যের উপরে।

যদি দুজন মানুষ অবিবাহিত হয় এবং উভয়েই একে অপরের জন্য "শূন্যের উপরে" হয়।

এটি যুক্তি দেওয়া হয় যে কোনও প্রাথমিক তথ্যের জন্য এই ধরনের বিবাহ ব্যবস্থা বিদ্যমান, সমস্ত ধরণের হুমকির বিরুদ্ধে প্রতিরোধী। দ্বিতীয়ত, এই ধরনের ভারসাম্য খোঁজার জন্য অ্যালগরিদম খুবই সহজ। আসুন M*N এর সাথে তুলনা করি।

এই মডেলটিকে সাধারণীকরণ করা হয়েছিল এবং "বহুবিবাহ" পর্যন্ত প্রসারিত করা হয়েছিল এবং অনেক ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়েছিল।

গেল-শ্যাপলি পদ্ধতি

যদি সমস্ত পুরুষ এবং সমস্ত মহিলা "প্রেসক্রিপশন" অনুসরণ করে, ফলস্বরূপ বিবাহ ব্যবস্থা টেকসই হবে।

প্রেসক্রিপশন।
প্রয়োজনে আমরা কয়েকদিন সময় নিই। আমরা প্রতিটি দিনকে দুটি ভাগে ভাগ করি (সকাল এবং সন্ধ্যা)।

প্রথম সকালে, প্রত্যেক পুরুষ তার সেরা মহিলার কাছে যায় এবং জানালায় টোকা দেয়, তাকে বিয়ে করতে বলে।

একই দিন সন্ধ্যায়, পালা মহিলাদের দিকে। একজন মহিলা কী আবিষ্কার করতে পারে? যে তার জানালার নীচে ভিড় ছিল, হয় একজন বা কোন পুরুষ। যাদের আজ কেউ নেই তারা তাদের পালা এড়িয়ে অপেক্ষা করুন। বাকিদের, যাদের অন্তত একজন আছে, যারা আসে তাদের পরীক্ষা করে দেখেন যে তারা "শূন্য স্তরের উপরে।" অন্তত একটি আছে. আপনি যদি সম্পূর্ণ অভাগা হন এবং সবকিছু শূন্যের নিচে থাকে, তাহলে সবাইকে পাঠানো উচিত। মহিলাটি যারা এসেছিল তাদের মধ্যে সবচেয়ে বড়টি বেছে নেয়, তাকে অপেক্ষা করতে বলে এবং বাকিদের পাঠায়।

দ্বিতীয় দিনের আগে, পরিস্থিতি এই: কিছু মহিলার একটি পুরুষ আছে, কিছু কেউ নেই.

দ্বিতীয় দিনে, সমস্ত "মুক্ত" (প্রেরিত) পুরুষদের দ্বিতীয় অগ্রাধিকারের মহিলার কাছে যেতে হবে। যদি এমন কোন ব্যক্তি না থাকে, তাহলে পুরুষটিকে অবিবাহিত ঘোষণা করা হয়। যারা আগে থেকেই নারীদের সাথে বসে আছেন তারা এখনো কিছু করছেন না।

সন্ধ্যায় নারীদের অবস্থা দেখে। যদি ইতিমধ্যে বসে থাকা কেউ একটি উচ্চ অগ্রাধিকার দ্বারা যোগদান করা হয়, তাহলে নিম্ন অগ্রাধিকার বিদায় করা হয়. যারা আসে তারা যদি ইতিমধ্যে পাওয়া যায় তার চেয়ে কম হয়, সবাইকে বিদায় করা হয়। মহিলারা প্রতিবার সর্বোচ্চ উপাদানটি বেছে নেয়।

আমরা পুনরাবৃত্তি।

ফলস্বরূপ, প্রতিটি পুরুষ তার মহিলাদের সম্পূর্ণ তালিকার মধ্য দিয়ে যায় এবং হয় একা ফেলে যায় বা কোনও মহিলার সাথে জড়িত থাকে। তারপর সবাইকে বিয়ে করব।

এই পুরো প্রক্রিয়া চালানো সম্ভব, কিন্তু মহিলাদের জন্য পুরুষদের দৌড়? পদ্ধতিটি প্রতিসম, কিন্তু সমাধান ভিন্ন হতে পারে। কিন্তু প্রশ্ন হল, এর থেকে ভালো কে?

উপপাদ্য। আসুন আমরা শুধুমাত্র এই দুটি প্রতিসম সমাধান নয়, সমস্ত স্থিতিশীল বিবাহ ব্যবস্থার সেট বিবেচনা করি। মূল প্রস্তাবিত প্রক্রিয়া (পুরুষরা দৌড়ায় এবং মহিলারা মেনে নেয়/অস্বীকার করে) এমন একটি বিবাহ ব্যবস্থায় পরিণত হয় যা যে কোনও পুরুষের জন্য অন্য যে কোনও পুরুষের চেয়ে ভাল এবং যে কোনও মহিলার জন্য অন্য কোনওটির চেয়ে খারাপ।

সম-লিঙ্গের বিবাহ

"সমকামী বিবাহ" এর পরিস্থিতি বিবেচনা করুন। আসুন একটি গাণিতিক ফলাফল বিবেচনা করি যা তাদের বৈধ করার প্রয়োজনীয়তার উপর সন্দেহ জাগিয়েছে। আদর্শগতভাবে ভুল উদাহরণ।

চারটি সমকামী a, b, c, d বিবেচনা করুন।

একটি জন্য অগ্রাধিকার: bcd
b:cad-এর জন্য অগ্রাধিকার
গ: abd এর জন্য অগ্রাধিকার
d এর জন্য বাকি তিনজনকে তিনি কীভাবে র‌্যাঙ্ক করেন তা বিবেচ্য নয়।

বিবৃতি: এই ব্যবস্থায় টেকসই বিবাহ ব্যবস্থা নেই।

চার জনের জন্য কত সিস্টেম আছে? তিন. ab cd, ac bd, ad bc. দম্পতিরা আলাদা হয়ে যাবে এবং প্রক্রিয়াটি চক্রে যাবে।

"তিন-লিঙ্গ" সিস্টেম।
এটি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন যা গণিতের একটি সম্পূর্ণ ক্ষেত্র খুলে দেয়। এটি মস্কোতে আমার সহকর্মী ভ্লাদিমির ইভানোভিচ ড্যানিলভ দ্বারা করা হয়েছিল। তিনি "বিয়ে"কে ভদকা পান করা হিসাবে দেখেছিলেন এবং ভূমিকাগুলি নিম্নরূপ ছিল: "যে ঢেলে দেয়," "যে টোস্ট বলে" এবং "যে সসেজ কাটে।" এমন একটি পরিস্থিতিতে যেখানে প্রতিটি ভূমিকার 4 বা তার বেশি প্রতিনিধি রয়েছে, পাশবিক শক্তি দ্বারা সমাধান করা অসম্ভব। একটি টেকসই ব্যবস্থার প্রশ্নটি একটি উন্মুক্ত।

শ্যাপলি ভেক্টর

কুটির গ্রামে তারা রাস্তা ডামার করার সিদ্ধান্ত নেয়। ভিতরে চিপ করা প্রয়োজন. কিভাবে?

শ্যাপলি 1953 সালে এই সমস্যার সমাধানের প্রস্তাব করেছিলেন। ধরা যাক একদল লোকের সাথে সংঘর্ষের পরিস্থিতি N={1,2…n}। খরচ/সুবিধা শেয়ার করা প্রয়োজন। ধরুন, লোকেরা একসাথে দরকারী কিছু করেছে, তা বিক্রি করে লাভ কীভাবে ভাগ করবে?

শ্যাপলি পরামর্শ দিয়েছিলেন যে বিভাজন করার সময়, এই লোকেরা কতটা নির্দিষ্ট উপসেট পেতে পারে তার দ্বারা আমাদের পরিচালিত হওয়া উচিত। সমস্ত 2N অ-খালি উপসেট কত টাকা উপার্জন করতে পারে? এবং এই তথ্যের উপর ভিত্তি করে, শ্যাপলি একটি সর্বজনীন সূত্র রচনা করেছিলেন।

একটি উদাহরণ। মস্কোর একটি ভূগর্ভস্থ প্যাসেজে একক, গিটারিস্ট এবং ড্রামার বাজাচ্ছেন। তাদের তিনজন প্রতি ঘন্টায় 1000 রুবেল উপার্জন করে। এটা কিভাবে ভাগ? সম্ভবত সমানভাবে।
V(1,2,3)=1000

এর ভান করা যাক
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100

একটি ন্যায্য বিভাজন নির্ধারণ করা যাবে না যতক্ষণ না আমরা জানি যে একটি প্রদত্ত কোম্পানি যদি এটি ভেঙে যায় এবং নিজে থেকে কাজ করে তাহলে কী লাভ অপেক্ষা করছে। এবং যখন আমরা সংখ্যা নির্ধারণ করি (চরিত্রিক আকারে সমবায় খেলা সেট করুন)।

সুপারঅ্যাডিটিভিটি হল যখন তারা একসাথে আলাদাভাবে বেশি উপার্জন করে, যখন এটি একত্রিত করা বেশি লাভজনক হয়, কিন্তু কীভাবে জয়কে ভাগ করতে হয় তা পরিষ্কার নয়। এ নিয়ে অনেক কপি ভাঙা হয়েছে।

একটা খেলা আছে। তিন ব্যবসায়ী একযোগে $1 মিলিয়ন মূল্যের আমানত খুঁজে পেয়েছেন। যদি তিনজন একমত হয়, তাহলে তাদের সংখ্যা এক লাখ। যে কোন দম্পতি হত্যা করতে পারে (কেস থেকে সরাতে) এবং নিজেদের জন্য পুরো মিলিয়ন পেতে পারে। আর কেউ একা কিছু করতে পারে না। এটি একটি ভীতিকর কো-অপ গেম যার কোন সমাধান নেই। সর্বদা দুইজন লোক থাকবে যারা তৃতীয়টিকে নির্মূল করতে পারে... কোঅপারেটিভ গেম থিওরি এমন একটি উদাহরণ দিয়ে শুরু হয় যার কোনো সমাধান নেই।

আমরা এমন একটি সমাধান চাই যাতে কোনো জোটই অভিন্ন সমাধানে বাধা দিতে চাইবে না। ব্লক করা যায় না এমন সমস্ত বিভাগের সেট হল কার্নেল। এটা হয় যে কোর খালি হয়. কিন্তু খালি না থাকলেও ভাগ করবেন কীভাবে?

শ্যাপলি এইভাবে ভাগ করার পরামর্শ দেন। এন দিয়ে একটি মুদ্রা টস! প্রান্ত আমরা এই ক্রমে সমস্ত খেলোয়াড়কে লিখি। প্রথম ড্রামারের কথাই ধরা যাক। সে আসে এবং তার 100 নেয়। তারপর "দ্বিতীয়" আসে, একক কথা বলা যাক। (একসাথে ড্রামারের সাথে তারা 450 উপার্জন করতে পারে, ড্রামার ইতিমধ্যে 100 নিয়েছে) একাকী 350 নেয়। গিটারিস্ট প্রবেশ করে (একত্রে 1000, -450), লাগে 550। প্রায়ই শেষেরটি জিতে যায়। (সুপারমডুলারিটি)

যদি আমরা সমস্ত আদেশের জন্য লিখি:
জিএসবি - (সি জয়) - (ডি জয়) - (বি জয়)
এসজিবি - (সি জয়) - (ডি জয়) - (বি জেতা)
SBG - (সি জয়) - (ডি জয়) - (বি জয়)
বিএসজি - (সি জয়) - (ডি জয়) - (বি জয়)
BGS - (লাভ C) - (লাভ D) - (লাভ B)
জিবিএস - (সি জেতা) - (ডি জিতে) - (বি জেতা)

এবং প্রতিটি কলামের জন্য আমরা যোগ করি এবং 6 দ্বারা ভাগ করি - সমস্ত অর্ডারের গড় - এটি একটি শ্যাপলি ভেক্টর.

শ্যাপলি উপপাদ্যটি প্রমাণ করেছেন (প্রায়): গেমের একটি ক্লাস রয়েছে (সুপারমডুলার), যেখানে পরবর্তী ব্যক্তি একটি বড় দলে যোগদানের জন্য একটি বড় জয় নিয়ে আসে। কার্নেল সবসময় খালি থাকে না এবং এটি বিন্দুগুলির একটি উত্তল সংমিশ্রণ (আমাদের ক্ষেত্রে, 6 পয়েন্ট)। শ্যাপলি ভেক্টর নিউক্লিয়াসের একেবারে কেন্দ্রে অবস্থিত। এটি সর্বদা একটি সমাধান হিসাবে দেওয়া যেতে পারে, কেউ এর বিরুদ্ধে হবে না।

1973 সালে, এটি প্রমাণিত হয়েছিল যে কুটিরগুলির সমস্যাটি সুপারমডুলার।

সমস্ত n মানুষ প্রথম কুটির রাস্তা ভাগ. দ্বিতীয় পর্যন্ত - n-1 জন। ইত্যাদি।

বিমানবন্দরের একটি রানওয়ে আছে। বিভিন্ন কোম্পানির বিভিন্ন দৈর্ঘ্য প্রয়োজন। একই সমস্যা দেখা দেয়।

আমি মনে করি যারা নোবেল পুরস্কারে ভূষিত হয়েছেন তাদের এই যোগ্যতার কথা মাথায় ছিল, শুধু মার্জিনের কাজ নয়।

ধন্যবাদ!

আরও দেখান

• চ্যানেল "গণিত - সরল": youtube.com/punkmathematics
• চ্যানেল "সীমানা ছাড়াই Savvateev": edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
• পাবলিক "গণিত সহজ": vk.com/alexei_savvateev
• পাবলিক "গণিতবিদদের রসিকতা": vk.com/bsu_mmf_jokes
• ওয়েবসাইট, সেখানে সমস্ত বক্তৃতা +100 পাঠ এবং আরও অনেক কিছু: savvateev.xyz

উত্স: www.habr.com