SciPy, অপ্টিমাইজেশান

SciPy (উচ্চারিত সাই পাই) হল নম্পি পাইথন এক্সটেনশনের উপর ভিত্তি করে একটি গাণিতিক অ্যাপ্লিকেশন প্যাকেজ। SciPy-এর সাথে, আপনার ইন্টারেক্টিভ পাইথন সেশনটি MATLAB, IDL, Octave, R-Lab এবং SciLab-এর মতো একই সম্পূর্ণ ডেটা সায়েন্স এবং জটিল সিস্টেম প্রোটোটাইপিং পরিবেশে পরিণত হয়। আজ আমি সংক্ষেপে scipy.optimize প্যাকেজে কিছু সুপরিচিত অপ্টিমাইজেশান অ্যালগরিদম ব্যবহার করার বিষয়ে কথা বলতে চাই। ফাংশন ব্যবহারে আরও বিস্তারিত এবং আপ-টু-ডেট সাহায্য সর্বদা help() কমান্ড ব্যবহার করে বা Shift+Tab ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে।

ভূমিকা

প্রাথমিক উত্স অনুসন্ধান এবং পড়া থেকে নিজেকে এবং পাঠকদের বাঁচানোর জন্য, পদ্ধতির বর্ণনার লিঙ্কগুলি মূলত উইকিপিডিয়ায় থাকবে। একটি নিয়ম হিসাবে, এই তথ্য সাধারণ শর্তাবলী এবং তাদের আবেদনের শর্তাবলী বোঝার জন্য যথেষ্ট। গাণিতিক পদ্ধতির সারমর্ম বোঝার জন্য, আরও প্রামাণিক প্রকাশনার লিঙ্কগুলি অনুসরণ করুন, যা প্রতিটি নিবন্ধের শেষে বা আপনার প্রিয় সার্চ ইঞ্জিনে পাওয়া যাবে।

সুতরাং, scipy.optimize মডিউল নিম্নলিখিত পদ্ধতির বাস্তবায়ন অন্তর্ভুক্ত করে:

1. বিভিন্ন অ্যালগরিদম (নেল্ডার-মিড সিমপ্লেক্স, বিএফজিএস, নিউটন কনজুগেট গ্রেডিয়েন্টস, কোবাইলা и এসএলএসকিউপি)
2. গ্লোবাল অপ্টিমাইজেশান (উদাহরণস্বরূপ: বেসিনহপিং, পার্থক্য_বিবর্তন)
3. ন্যূনতম অবশিষ্টাংশ MNC (least_squares) এবং অরৈখিক ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র ব্যবহার করে বক্ররেখা ফিটিং অ্যালগরিদম (বক্র_ফিট)
4. একটি ভেরিয়েবলের স্কেলার ফাংশন মিনিমাইজ করা (minim_scalar) এবং রুট (root_scalar) অনুসন্ধান করা
5. বিভিন্ন অ্যালগরিদম (হাইব্রিড পাওয়েল, লেভেনবার্গ-মার্কোয়ার্ড বা বড় আকারের পদ্ধতি যেমন নিউটন-ক্রিলভ).

এই নিবন্ধে আমরা এই সম্পূর্ণ তালিকা থেকে শুধুমাত্র প্রথম আইটেম বিবেচনা করব।

বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের একটি স্কেলার ফাংশনের শর্তহীন ন্যূনতমকরণ

scipy.optimize প্যাকেজ থেকে ন্যূনতম ফাংশন বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের স্কেলার ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ এবং শর্তহীন ন্যূনতমকরণ সমস্যা সমাধানের জন্য একটি সাধারণ ইন্টারফেস প্রদান করে। এটি কীভাবে কাজ করে তা প্রদর্শন করার জন্য, আমাদের বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের একটি উপযুক্ত ফাংশন প্রয়োজন, যা আমরা বিভিন্ন উপায়ে ছোট করব।

এই উদ্দেশ্যে, N ভেরিয়েবলের রোজেনব্রক ফাংশনটি নিখুঁত, যার ফর্ম রয়েছে:

রোজেনব্রক ফাংশন এবং এর জ্যাকবি এবং হেসিয়ান ম্যাট্রিসিস (যথাক্রমে প্রথম এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভস) ইতিমধ্যে scipy.optimize প্যাকেজে সংজ্ঞায়িত করা সত্ত্বেও, আমরা নিজেরাই এটি সংজ্ঞায়িত করব।

import numpy as np

def rosen(x):
    """The Rosenbrock function"""
    return np.sum(100.0*(x[1:]-x[:-1]**2.0)**2.0 + (1-x[:-1])**2.0, axis=0)

স্বচ্ছতার জন্য, দুটি ভেরিয়েবলের রোজেনব্রক ফাংশনের মান 3D-এ আঁকুন।

অঙ্কন কোড

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
from matplotlib.ticker import LinearLocator, FormatStrFormatter

# Настраиваем 3D график
fig = plt.figure(figsize=[15, 10])
ax = fig.gca(projection='3d')

# Задаем угол обзора
ax.view_init(45, 30)

# Создаем данные для графика
X = np.arange(-2, 2, 0.1)
Y = np.arange(-1, 3, 0.1)
X, Y = np.meshgrid(X, Y)
Z = rosen(np.array([X,Y]))

# Рисуем поверхность
surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap=cm.coolwarm)
plt.show()

সর্বনিম্ন 0 এ যে অগ্রিম জেনে , আসুন বিভিন্ন scipy.optimize পদ্ধতি ব্যবহার করে রোজেনব্রক ফাংশনের ন্যূনতম মান কীভাবে নির্ধারণ করা যায় তার উদাহরণ দেখি।

নেল্ডার-মিড সিমপ্লেক্স পদ্ধতি

0-মাত্রিক স্থানে একটি প্রাথমিক বিন্দু x5 থাকুক। অ্যালগরিদম ব্যবহার করে এর সবচেয়ে কাছের রোজেনব্রক ফাংশনের ন্যূনতম পয়েন্টটি খুঁজে বের করা যাক নেল্ডার-মিড সিমপ্লেক্স (অ্যালগরিদম পদ্ধতি প্যারামিটারের মান হিসাবে নির্দিষ্ট করা হয়):

from scipy.optimize import minimize
x0 = np.array([1.3, 0.7, 0.8, 1.9, 1.2])
res = minimize(rosen, x0, method='nelder-mead',
    options={'xtol': 1e-8, 'disp': True})
print(res.x)

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 339
         Function evaluations: 571
[1. 1. 1. 1. 1.]

সিমপ্লেক্স পদ্ধতি হল একটি সুস্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত এবং মোটামুটি মসৃণ ফাংশন কমানোর সবচেয়ে সহজ উপায়। এটির জন্য একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ গণনা করার প্রয়োজন নেই; এটি শুধুমাত্র এর মানগুলি নির্দিষ্ট করার জন্য যথেষ্ট। নেল্ডার-মিড পদ্ধতিটি সহজ মিনিমাইজেশন সমস্যার জন্য একটি ভাল পছন্দ। যাইহোক, যেহেতু এটি গ্রেডিয়েন্ট অনুমান ব্যবহার করে না, এটি ন্যূনতম খুঁজে পেতে আরও বেশি সময় নিতে পারে।

পাওয়েল পদ্ধতি

আরেকটি অপ্টিমাইজেশান অ্যালগরিদম যেখানে শুধুমাত্র ফাংশনের মান গণনা করা হয় পাওয়েলের পদ্ধতি. এটি ব্যবহার করার জন্য, আপনাকে মিনিম ফাংশনে মেথড = 'পাওয়েল' সেট করতে হবে।

x0 = np.array([1.3, 0.7, 0.8, 1.9, 1.2])
res = minimize(rosen, x0, method='powell',
    options={'xtol': 1e-8, 'disp': True})
print(res.x)

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 19
         Function evaluations: 1622
[1. 1. 1. 1. 1.]

Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) অ্যালগরিদম

একটি সমাধান দ্রুত অভিসারী প্রাপ্ত করার জন্য, পদ্ধতি বিএফজিএস উদ্দেশ্য ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট ব্যবহার করে। গ্রেডিয়েন্ট একটি ফাংশন হিসাবে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে বা প্রথম অর্ডার পার্থক্য ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে। যাই হোক না কেন, BFGS পদ্ধতিতে সাধারণত সিমপ্লেক্স পদ্ধতির চেয়ে কম ফাংশন কলের প্রয়োজন হয়।

আসুন বিশ্লেষণাত্মক আকারে রোজেনব্রক ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি:

এই অভিব্যক্তিটি প্রথম এবং শেষ ব্যতীত সমস্ত ভেরিয়েবলের ডেরিভেটিভের জন্য বৈধ, যা এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

আসুন পাইথন ফাংশনটি দেখি যা এই গ্রেডিয়েন্টটি গণনা করে:

def rosen_der (x):
    xm = x [1: -1]
    xm_m1 = x [: - 2]
    xm_p1 = x [2:]
    der = np.zeros_like (x)
    der [1: -1] = 200 * (xm-xm_m1 ** 2) - 400 * (xm_p1 - xm ** 2) * xm - 2 * (1-xm)
    der [0] = -400 * x [0] * (x [1] -x [0] ** 2) - 2 * (1-x [0])
    der [-1] = 200 * (x [-1] -x [-2] ** 2)
    return der

গ্রেডিয়েন্ট ক্যালকুলেশন ফাংশনটি মিনিম ফাংশনের jac প্যারামিটারের মান হিসাবে নির্দিষ্ট করা হয়েছে, যেমনটি নীচে দেখানো হয়েছে।

res = minimize(rosen, x0, method='BFGS', jac=rosen_der, options={'disp': True})
print(res.x)

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 25
         Function evaluations: 30
         Gradient evaluations: 30
[1.00000004 1.0000001  1.00000021 1.00000044 1.00000092]

কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট অ্যালগরিদম (নিউটন)

অ্যালগরিদম নিউটনের কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট এটি একটি পরিবর্তিত নিউটনের পদ্ধতি।
নিউটনের পদ্ধতিটি দ্বিতীয় ডিগ্রির বহুপদী দ্বারা স্থানীয় এলাকায় একটি ফাংশন আনুমানিক করার উপর ভিত্তি করে:

যেখানে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের ম্যাট্রিক্স (হেসিয়ান ম্যাট্রিক্স, হেসিয়ান)।
যদি হেসিয়ান ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট হয়, তাহলে এই ফাংশনের স্থানীয় ন্যূনতম পাওয়া যাবে দ্বিঘাত ফর্মের শূন্য গ্রেডিয়েন্টকে শূন্যের সাথে সমান করে। ফলাফল অভিব্যক্তি হবে:

বিপরীত হেসিয়ান কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনা করা হয়। রোজেনব্রক ফাংশনটি ছোট করতে এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করার একটি উদাহরণ নীচে দেওয়া হয়েছে। নিউটন-সিজি পদ্ধতি ব্যবহার করতে, আপনাকে অবশ্যই একটি ফাংশন নির্দিষ্ট করতে হবে যা হেসিয়ান গণনা করে।
বিশ্লেষণাত্মক আকারে রোজেনব্রক ফাংশনের হেসিয়ান সমান:

যেখানে и , ম্যাট্রিক্স সংজ্ঞায়িত করুন .

ম্যাট্রিক্সের অবশিষ্ট অ-শূন্য উপাদানগুলি সমান:

উদাহরণস্বরূপ, একটি পঞ্চ-মাত্রিক স্থান N = 5-এ, রোজেনব্রক ফাংশনের জন্য হেসিয়ান ম্যাট্রিক্স একটি ব্যান্ডের আকার ধারণ করে:

যে কোডটি কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট (নিউটন) পদ্ধতি ব্যবহার করে রোজেনব্রক ফাংশনটি ছোট করার জন্য কোড সহ এই হেসিয়ান গণনা করে:

def rosen_hess(x):
    x = np.asarray(x)
    H = np.diag(-400*x[:-1],1) - np.diag(400*x[:-1],-1)
    diagonal = np.zeros_like(x)
    diagonal[0] = 1200*x[0]**2-400*x[1]+2
    diagonal[-1] = 200
    diagonal[1:-1] = 202 + 1200*x[1:-1]**2 - 400*x[2:]
    H = H + np.diag(diagonal)
    return H

res = minimize(rosen, x0, method='Newton-CG', 
               jac=rosen_der, hess=rosen_hess,
               options={'xtol': 1e-8, 'disp': True})
print(res.x)

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 24
         Function evaluations: 33
         Gradient evaluations: 56
         Hessian evaluations: 24
[1.         1.         1.         0.99999999 0.99999999]

হেসিয়ান এবং একটি নির্বিচারী ভেক্টরের পণ্য ফাংশনের সংজ্ঞা সহ একটি উদাহরণ

বাস্তব-বিশ্বের সমস্যায়, সমগ্র হেসিয়ান ম্যাট্রিক্স কম্পিউটিং এবং সংরক্ষণের জন্য উল্লেখযোগ্য সময় এবং মেমরি সংস্থান প্রয়োজন হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, হেসিয়ান ম্যাট্রিক্স নিজেই নির্দিষ্ট করার কোন প্রয়োজন নেই, কারণ ন্যূনতমকরণ পদ্ধতির জন্য কেবলমাত্র হেসিয়ানের গুণফলের সমান একটি ভেক্টর প্রয়োজন যার সাথে অন্য আরবিট্রারি ভেক্টর। সুতরাং, একটি গণনাগত দৃষ্টিকোণ থেকে, অবিলম্বে একটি ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করা অনেক বেশি পছন্দনীয় যেটি একটি নির্বিচারে ভেক্টরের সাথে হেসিয়ানের গুণফলের ফলাফল প্রদান করে।

হেস ফাংশন বিবেচনা করুন, যা প্রথম আর্গুমেন্ট হিসাবে মিনিমাইজেশন ভেক্টর এবং দ্বিতীয় আর্গুমেন্ট হিসাবে একটি নির্বিচারী ভেক্টর নেয় (ফাংশনের অন্যান্য আর্গুমেন্টের সাথে ছোট করা হবে)। আমাদের ক্ষেত্রে, একটি নির্বিচারে ভেক্টর দিয়ে রোজেনব্রক ফাংশনের হেসিয়ানের গুণফল গণনা করা খুব কঠিন নয়। যদি p একটি নির্বিচারে ভেক্টর, তারপর পণ্য দেখতে:

যে ফাংশনটি হেসিয়ানের গুণফল গণনা করে এবং একটি নির্বিচারী ভেক্টরকে মিনিমাইজ ফাংশনে হেসস্প আর্গুমেন্টের মান হিসাবে পাস করা হয়:

def rosen_hess_p(x, p):
    x = np.asarray(x)
    Hp = np.zeros_like(x)
    Hp[0] = (1200*x[0]**2 - 400*x[1] + 2)*p[0] - 400*x[0]*p[1]
    Hp[1:-1] = -400*x[:-2]*p[:-2]+(202+1200*x[1:-1]**2-400*x[2:])*p[1:-1] 
    -400*x[1:-1]*p[2:]
    Hp[-1] = -400*x[-2]*p[-2] + 200*p[-1]
    return Hp

res = minimize(rosen, x0, method='Newton-CG',
               jac=rosen_der, hessp=rosen_hess_p,
               options={'xtol': 1e-8, 'disp': True})

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 24
         Function evaluations: 33
         Gradient evaluations: 56
         Hessian evaluations: 66

কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট ট্রাস্ট অঞ্চল অ্যালগরিদম (নিউটন)

হেসিয়ান ম্যাট্রিক্সের দুর্বল কন্ডিশনিং এবং ভুল অনুসন্ধানের দিকনির্দেশ নিউটনের কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট অ্যালগরিদমকে অকার্যকর হতে পারে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, অগ্রাধিকার দেওয়া হয় বিশ্বাস অঞ্চল পদ্ধতি (ট্রাস্ট-অঞ্চল) সংযোজিত নিউটন গ্রেডিয়েন্ট।

হেসিয়ান ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা সহ উদাহরণ:

res = minimize(rosen, x0, method='trust-ncg',
               jac=rosen_der, hess=rosen_hess,
               options={'gtol': 1e-8, 'disp': True})
print(res.x)

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 20
         Function evaluations: 21
         Gradient evaluations: 20
         Hessian evaluations: 19
[1. 1. 1. 1. 1.]

হেসিয়ান এবং একটি নির্বিচারী ভেক্টরের পণ্য ফাংশন সহ উদাহরণ:

res = minimize(rosen, x0, method='trust-ncg', 
                jac=rosen_der, hessp=rosen_hess_p, 
                options={'gtol': 1e-8, 'disp': True})
print(res.x)

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 20
         Function evaluations: 21
         Gradient evaluations: 20
         Hessian evaluations: 0
[1. 1. 1. 1. 1.]

ক্রিলোভ টাইপ পদ্ধতি

ট্রাস্ট-এনসিজি পদ্ধতির মতো, ক্রিলোভ-টাইপ পদ্ধতিগুলি বড় আকারের সমস্যা সমাধানের জন্য উপযুক্ত কারণ তারা শুধুমাত্র ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর পণ্য ব্যবহার করে। তাদের সারমর্ম হল একটি আত্মবিশ্বাসের অঞ্চলে একটি সমস্যা সমাধান করা যা একটি কাটা ক্রিলোভ সাবস্পেস দ্বারা সীমাবদ্ধ। অনিশ্চিত সমস্যাগুলির জন্য, এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করা ভাল, যেহেতু এটি বিশ্বাস-এনসিজি পদ্ধতির তুলনায়, প্রতি সাব-প্রবলেম প্রতি ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর পণ্যের ছোট সংখ্যার কারণে ননলাইনার পুনরাবৃত্তির একটি ছোট সংখ্যক ব্যবহার করে। উপরন্তু, ট্রাস্ট-এনসিজি পদ্ধতি ব্যবহার করার চেয়ে দ্বিঘাত উপ-সমস্যার সমাধান আরও সঠিকভাবে পাওয়া যায়।
হেসিয়ান ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা সহ উদাহরণ:

res = minimize(rosen, x0, method='trust-krylov',
               jac=rosen_der, hess=rosen_hess,
               options={'gtol': 1e-8, 'disp': True})

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 19
         Function evaluations: 20
         Gradient evaluations: 20
         Hessian evaluations: 18

print(res.x)

    [1. 1. 1. 1. 1.]

হেসিয়ান এবং একটি নির্বিচারী ভেক্টরের পণ্য ফাংশন সহ উদাহরণ:

res = minimize(rosen, x0, method='trust-krylov',
               jac=rosen_der, hessp=rosen_hess_p,
               options={'gtol': 1e-8, 'disp': True})

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 19
         Function evaluations: 20
         Gradient evaluations: 20
         Hessian evaluations: 0

print(res.x)

    [1. 1. 1. 1. 1.]

আত্মবিশ্বাস অঞ্চলে আনুমানিক সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম

সমস্ত পদ্ধতি (নিউটন-সিজি, ট্রাস্ট-এনসিজি এবং ট্রাস্ট-ক্রিলভ) বড় আকারের সমস্যা সমাধানের জন্য উপযুক্ত (হাজার হাজার ভেরিয়েবল সহ)। এটি এই কারণে যে অন্তর্নিহিত কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট অ্যালগরিদম বিপরীত হেসিয়ান ম্যাট্রিক্সের একটি আনুমানিক সংকল্প বোঝায়। হেসিয়ানের সুস্পষ্ট প্রসারণ ছাড়াই সমাধানটি পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে পাওয়া যায়। যেহেতু আপনাকে শুধুমাত্র একটি হেসিয়ান এবং একটি নির্বিচারী ভেক্টরের পণ্যের জন্য একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে হবে, এই অ্যালগরিদমটি বিশেষ করে স্পারস (ব্যান্ড তির্যক) ম্যাট্রিক্সের সাথে কাজ করার জন্য ভাল। এটি কম মেমরি খরচ এবং উল্লেখযোগ্য সময় সাশ্রয় প্রদান করে।

মাঝারি আকারের সমস্যার জন্য, হেসিয়ান সংরক্ষণ এবং ফ্যাক্টরিংয়ের খরচ গুরুত্বপূর্ণ নয়। এর মানে হল যে ট্রাস্ট অঞ্চলের উপ-সমস্যাগুলি প্রায় ঠিকভাবে সমাধান করে কম পুনরাবৃত্তিতে একটি সমাধান পাওয়া সম্ভব। এটি করার জন্য, কিছু অরৈখিক সমীকরণ প্রতিটি দ্বিঘাত উপসমস্যার জন্য পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে সমাধান করা হয়। এই জাতীয় সমাধানের জন্য সাধারণত হেসিয়ান ম্যাট্রিক্সের 3 বা 4টি চোলেস্কি পচন প্রয়োজন। ফলস্বরূপ, পদ্ধতিটি কম পুনরাবৃত্তিতে একত্রিত হয় এবং অন্যান্য বাস্তবায়িত আত্মবিশ্বাস অঞ্চল পদ্ধতির তুলনায় কম উদ্দেশ্যমূলক ফাংশন গণনার প্রয়োজন হয়। এই অ্যালগরিদম শুধুমাত্র সম্পূর্ণ হেসিয়ান ম্যাট্রিক্স নির্ধারণ করে এবং হেসিয়ানের পণ্য ফাংশন এবং একটি নির্বিচারী ভেক্টর ব্যবহার করার ক্ষমতা সমর্থন করে না।

রোজেনব্রক ফাংশন মিনিমাইজেশন সহ উদাহরণ:

res = minimize(rosen, x0, method='trust-exact',
               jac=rosen_der, hess=rosen_hess,
               options={'gtol': 1e-8, 'disp': True})
res.x

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 13
         Function evaluations: 14
         Gradient evaluations: 13
         Hessian evaluations: 14

array([1., 1., 1., 1., 1.])

আমরা সম্ভবত সেখানে থামব. পরের প্রবন্ধে আমি শর্তসাপেক্ষ মিনিমাইজেশন, আনুমানিক সমস্যা সমাধানে ন্যূনতমকরণের প্রয়োগ, একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন মিনিমাইজ করা, আরবিট্রারি মিনিমাইজার এবং scipy.optimize ব্যবহার করে সমীকরণের একটি সিস্টেমের শিকড় খুঁজে বের করার বিষয়ে সবচেয়ে আকর্ষণীয় বিষয়গুলি বলার চেষ্টা করব। প্যাকেজ

উত্স: https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/

উত্স: www.habr.com