L'any 2012 es va atorgar el Premi Nobel d'Economia a Lloyd Shapley i Alvin Roth. "Per a la teoria de la distribució estable i la pràctica de l'organització dels mercats". Aleksey Savvateev el 2012 va intentar explicar de manera senzilla i clara l'essència dels mèrits dels matemàtics. Us presento un resum .
Avui hi haurà una conferència teòrica. Sobre els experiments , en particular amb la donació, no ho diré.
Quan es va anunciar això va rebre el Premi Nobel, hi havia una pregunta estàndard: "Com!? Encara està viu!?!?" El seu resultat més famós es va obtenir el 1953.
Formalment, la bonificació es donava per una altra cosa. Per al seu article de 1962 sobre el "teorema d'estabilitat matrimonial": "Admissió a la universitat i l'estabilitat del matrimoni".
Sobre el matrimoni sostenible
Coincidència (coincidència) - la tasca de trobar una correspondència.
Hi ha un cert poble aïllat. Hi ha "m" homes joves i "w" noies. Hem de casar-los entre ells. (No necessàriament el mateix número, potser al final algú es quedarà sol.)
Quins supòsits s'han de fer en el model? Que no és fàcil tornar-se a casar a l'atzar. S'està fent un cert pas cap a la lliure elecció. Diguem que hi ha un aksakal savi que vol tornar a casar-se perquè després de la seva mort no comencin els divorcis. (El divorci és una situació en què un marit vol una dona de tercers com a dona més que la seva dona.)
Aquest teorema està en l'esperit de l'economia moderna. Ella és excepcionalment inhumana. L'economia ha estat tradicionalment inhumana. En economia, l'home és substituït per una màquina per maximitzar els beneficis. El que et diré són coses absolutament boges des del punt de vista moral. No t'ho prenguis al cor.
Els economistes miren el matrimoni d'aquesta manera.
m1, m2,... mk - homes.
w1, w2,... wL - dones.
Un home s'identifica amb com "ordena" les noies. També hi ha un "nivell zero", per sota del qual no es poden oferir dones com a esposes, encara que no n'hi hagi d'altres.
Tot passa en les dues direccions, el mateix per a les noies.
Les dades inicials són arbitràries. L'única hipòtesi/limitació és que no canviem les nostres preferències.
Teorema: Independentment de la distribució i del nivell de zero, sempre hi ha una manera d'establir una correspondència un a un entre alguns homes i algunes dones perquè sigui robusta a tot tipus de ruptures (no només divorcis).
Quines amenaces hi pot haver?
Hi ha una parella (m,w) que no està casada. Però per a w l'actual marit és pitjor que m, i per a m l'actual dona és pitjor que w. Aquesta és una situació insostenible.
També hi ha l'opció que algú estigués casat amb algú que es troba "per sota de zero" en aquesta situació, el matrimoni també es trencarà.
Si una dona està casada, però prefereix un home solter, per a qui està per sobre de zero.
Si dues persones són solteres i totes dues estan "per sobre de zero" l'una per a l'altra.
S'argumenta que per a qualsevol dada inicial existeix un sistema de matrimoni d'aquest tipus, resistent a tot tipus d'amenaces. En segon lloc, l'algorisme per trobar aquest equilibri és molt senzill. Comparem amb M*N.
Aquest model va ser generalitzat i ampliat a la "poligàmia" i aplicat en molts àmbits.
Procediment Gale-Shapley
Si tots els homes i totes les dones segueixen les "prescripcions", el sistema matrimonial resultant serà sostenible.
Prescripcions.
Portem uns dies segons calgui. Dividim cada dia en dues parts (matí i vespre).
El primer matí, cada home va a la seva millor dona i truca a la finestra, demanant-li que es casa amb ell.
Al vespre del mateix dia, el torn toca a les dones Què pot descobrir una dona? Que sota la seva finestra hi havia una multitud, un home o cap home. Els que avui no tenen ningú es salten el seu torn i esperen. La resta, que en tenen almenys un, comproven els homes que vénen per comprovar que estan "per sobre del nivell zero". Per tenir almenys un. Si no tens sort i tot està per sota de zero, s'hauria d'enviar tothom. La dona tria el més gran dels que han vingut, li diu que esperi i envia la resta.
Abans del segon dia, la situació és la següent: algunes dones tenen un home, altres no en tenen cap.
El segon dia, tots els homes "lliures" (enviats) han d'anar a la dona de segona prioritat. Si no hi ha aquesta persona, l'home es declara solter. Aquells homes que ja estan asseguts amb dones encara no fan res.
Al vespre, les dones miren la situació. Si algú que ja estava assegut s'ajuntava amb una prioritat més alta, s'enviarà la prioritat més baixa. Si els que vénen són inferiors al que ja està disponible, tothom és expulsat. Les dones trien l'element màxim cada vegada.
Repetim.
Com a resultat, cada home va revisar tota la llista de les seves dones i es va quedar sol o compromès amb alguna dona. Aleshores ens casarem tots.
És possible executar tot aquest procés, però que les dones corren cap als homes? El procediment és simètric, però la solució pot ser diferent. Però la pregunta és, qui està millor d'això?
Teorema. Considerem no només aquestes dues solucions simètriques, sinó el conjunt de tots els sistemes matrimonials estables. El mecanisme original proposat (els homes corren i les dones accepten/rebutgen) es tradueix en un sistema matrimonial que és millor per a qualsevol home que per a qualsevol altre i pitjor que qualsevol altre per a qualsevol dona.
Matrimoni entre persones del mateix sexe
Considereu la situació del "matrimoni entre persones del mateix sexe". Considerem un resultat matemàtic que posa en dubte la necessitat de legalitzar-los. Un exemple ideològicament incorrecte.
Considereu quatre homosexuals a, b, c, d.
prioritats per a: bcd
prioritats per a b:cad
prioritats per a c: abd
per d no importa com classifica els tres restants.
Declaració: No hi ha un sistema matrimonial sostenible en aquest sistema.
Quants sistemes hi ha per a quatre persones? Tres. ab cd, ac bd, ad bc. Les parelles s'esfondran i el procés anirà en cicles.
Sistemes "de tres gèneres".
Aquesta és la pregunta més important que obre tot un camp de les matemàtiques. Ho va fer el meu col·lega de Moscou, Vladimir Ivanovich Danilov. Considerava el "matrimoni" com beure vodka i els papers eren els següents: "el que aboca", "el que parla el brindis" i "el que talla la botifarra". En una situació en què hi ha 4 o més representants de cada rol, és impossible resoldre-ho amb la força bruta. La qüestió d'un sistema sostenible és oberta.
Vector Shapley
Al poble de les cases van decidir asfaltar la carretera. Necessitat de xip. Com?
Shapley va proposar una solució a aquest problema el 1953. Suposem una situació de conflicte amb un grup de persones N={1,2…n}. Els costos/beneficis s'han de compartir. Suposem que les persones juntes van fer alguna cosa útil, la van vendre i com es divideixen els beneficis?
Shapley va suggerir que quan dividim, ens hauríem de guiar per quant podrien rebre determinats subconjunts d'aquestes persones. Quants diners podrien guanyar tots els 2N subconjunts no buits? I a partir d'aquesta informació, Shapley va escriure una fórmula universal.
Exemple. Un solista, guitarrista i bateria toquen en un passatge subterrani de Moscou. Els tres guanyen 1000 rubles per hora. Com dividir-lo? Possiblement igual.
V(1,2,3)=1000
Pretendrem això
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
No es pot determinar una divisió justa fins que no sabem quins guanys esperen a una empresa determinada si es separa i actua per si mateixa. I quan vam determinar els números (establir el joc cooperatiu en forma característica).
La superadditivitat és quan junts guanyen més que per separat, quan és més rendible unir-se, però no està clar com repartir els guanys. S'han trencat moltes còpies sobre això.
Hi ha un joc. Tres empresaris van trobar simultàniament un dipòsit per valor d'un milió de dòlars. Si tots tres estan d'acord, n'hi ha un milió. Qualsevol parella pot matar (treure de la caixa) i obtenir el milió sencer per si mateixa. I ningú pot fer res sol. Aquest és un joc cooperatiu espantós sense solució. Sempre hi haurà dues persones que podran eliminar la tercera... La teoria de jocs cooperatius comença amb un exemple que no té solució.
Volem una solució tal que cap coalició voldrà bloquejar la solució comuna. El conjunt de totes les divisions que no es poden bloquejar és el nucli. Passa que el nucli està buit. Però encara que no estigui buit, com es divideix?
Shapley suggereix dividir d'aquesta manera. Llança una moneda amb n! vores. Escrivim tots els jugadors en aquest ordre. Diguem el primer bateria. Entra i agafa els seus 100. Després entra el “segon”, diguem-ne el solista. (Junt amb el bateria poden guanyar 450, el bateria ja n'ha agafat 100) El solista en treu 350. Entra el guitarrista (junts 1000, -450), en treu 550. L'últim en guanya sovint. (Supermodularitat)
Si escrivim per a totes les comandes:
GSB - (guany C) - (guany D) - (guany B)
SGB - (guany C) - (guany D) - (guany B)
SBG - (guany C) - (guany D) - (guany B)
BSG - (guany C) - (guany D) - (guany B)
BGS - (guany C) - (guany D) - (guany B)
GBS - (guany C) - (guany D) - (guany B)
I per a cada columna sumem i dividim per 6, fent la mitjana de totes les comandes. aquest és un vector Shapley.
Shapley va demostrar el teorema (aproximadament): hi ha una classe de jocs (supermodulars), en què la següent persona que s'uneix a un equip gran li aporta una victòria més gran. El nucli sempre no és buit i és una combinació convexa de punts (en el nostre cas, 6 punts). El vector Shapley es troba al centre mateix del nucli. Sempre es pot oferir com a solució, ningú hi estarà en contra.
El 1973, es va demostrar que el problema de les cases rurals és supermodular.
Totes n persones comparteixen el camí cap a la primera cabana. Fins al segon - n-1 persones. Etc.
L'aeroport té una pista d'aterratge. Les diferents empreses necessiten diferents longituds. El mateix problema sorgeix.
Crec que els que van concedir el Premi Nobel tenien en compte aquest mèrit, i no només la tasca de marge.
Gràcies!
Ещё
- Canal "Matemàtiques - Simple":
- Canal "Savvateev sense fronteres": edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
- Públic "Les matemàtiques són senzilles":
- "Broma dels matemàtics" públic:
- Lloc web, totes les conferències hi ha +100 lliçons i més: savvateev.xyz
Font: www.habr.com