Com he aconseguit aquest llibre?
El maig de 2017, vaig rebre un correu electrònic del meu antic professor de secundària anomenat George Rutter en què escrivia: "Tinc una còpia del gran llibre de Dirac en alemany (Die Prinzipien der Quantenmechanik), que va pertànyer a Alan Turing, i després de llegir el teu llibre , em va semblar evident que ets exactament la persona que ho necessita" Em va explicar que va rebre el llibre d'un altre professor meu (aleshores mort). , que sabia que era amic d'Alan Turing. George va acabar la seva carta amb la frase: "Si voleu aquest llibre, us el podria regalar la propera vegada que vingueu a Anglaterra».
Un parell d'anys més tard, el març del 2019, vaig arribar a Anglaterra, després de la qual cosa vaig organitzar una trobada amb George per esmorzar en un petit hotel d'Oxford. Vam menjar, xerrem i vam esperar que el menjar s'instal·lés. Aleshores va ser un bon moment per parlar del llibre. George va introduir la mà al seu maletí i va treure un volum acadèmic típic de mitjans del segle XX, de disseny més aviat modest.
Vaig obrir la coberta, preguntant-me si hi hauria alguna cosa a la part posterior que digués: "Propietat d'Alan Turing" o alguna cosa així. Però, malauradament, això no va ser així. Tanmateix, va anar acompanyat d'una nota de quatre pàgines força expressiva de Norman Routledge a George Rutter, escrita el 2002.
Vaig conèixer a Norman Rutledge quan era estudiant в a principis dels anys setanta. Va ser un professor de matemàtiques anomenat "Nutty Norman". Era un professor agradable en tots els sentits i explicava històries interminables sobre matemàtiques i tota mena de coses interessants. Va ser el responsable d'assegurar-se que l'escola rebés un ordinador (programat amb cinta perforada a tot l'escriptori) - era .
Aleshores, no sabia res dels antecedents de Norman (recordeu que això va ser molt abans d'Internet). Tot el que sabia era que era el "Dr. Rutledge". Va explicar històries sobre la gent de Cambridge amb força freqüència, però mai no va mencionar Alan Turing a les seves històries. Per descomptat, Turing encara no era molt famós (tot i que, segons resulta, ja n'havia sentit a parlar d'algú que el coneixia a (la mansió on es trobava el centre de xifratge durant la Segona Guerra Mundial)).
Alan Turing no es va fer famós fins al 1981, quan vaig començar jo , encara que aleshores encara en el context dels autòmats cel·lulars, i no .
Quan de sobte un dia, mentre buscava un catàleg de fitxes a la biblioteca , em vaig trobar amb un llibre , escrit per la seva mare Sarah Turing. El llibre contenia molta informació, incloent-hi els treballs científics inèdits de Turing sobre biologia. No obstant això, no vaig saber res sobre la seva relació amb Norman Routledge, ja que no s'esmentava res d'ell al llibre (tot i que, com vaig saber, Sarah Turing , i en Norman fins i tot va acabar escrivint ).
Deu anys més tard, molt curiós per Turing i els seus (aleshores inèdit) , Vaig visitar в . Aviat, després d'haver-me familiaritzat amb el que tenien de l'obra de Turing, i després d'haver-hi dedicat una estona, vaig pensar que també podria demanar veure la seva correspondència personal. Mentre la mirava, vaig descobrir d'Alan Turing a Norman Routledge.
En aquell moment es va publicar Andrew Hodges, que va fer tant per assegurar-se que Turing finalment es fes famós, va confirmar que Alan Turing i Norman Routledge eren realment amics, i també que Turing era l'assessor científic de Norman. Volia preguntar a Routledge sobre Turing, però aleshores en Norman ja estava jubilat i portava una vida aïllada. Tanmateix, quan vaig acabar el treball del llibre "” el 2002 (després dels meus deu anys de reclusió), el vaig localitzar i li vaig enviar una còpia del llibre amb el títol “Al meu últim professor de matemàtiques”. Després ell i jo una mica , i el 2005 vaig tornar a Anglaterra i vaig organitzar una trobada amb Norman per prendre un te en un hotel de luxe al centre de Londres.
Vam tenir una bona xerrada sobre moltes coses, inclòs Alan Turing. Norman va començar la nostra conversa dient-nos que en realitat coneixia a Turing, sobretot de manera superficial, fa 50 anys. Però tot i així tenia alguna cosa a explicar sobre ell personalment: "Era poc sociable". "Va riure molt". "Realment no podia parlar amb no matemàtics". "Sempre tenia por de molestar la seva mare". "Va sortir durant el dia i va córrer una marató". "No era massa ambiciós" Aleshores, la conversa va girar cap a la personalitat de Norman. Va dir que tot i que fa 16 anys que està jubilat, encara escriu articles per a ""de manera que, segons les seves paraules,"Acaba tots els teus treballs científics abans de passar a l'altre món", on, com va afegir amb un dèbil somriure, "totes les veritats matemàtiques seran revelades definitivament" Quan va acabar la festa del te, Norman es va posar la jaqueta de cuir i es va dirigir cap al seu ciclomotor, completament inconscient de en aquell dia.
Va ser l'última vegada que vaig veure a Norman que va morir el 2013.
Sis anys més tard estava assegut a esmorzar amb George Rutter. Portava amb mi una nota de Rutledge, escrita l'any 2002 amb la seva lletra distintiva:
Primer vaig lliscar la nota. Ella era expressiva com de costum:
Vaig rebre el llibre d'Alan Turing del seu amic i marmessor (al King's College era l'ordre del dia per regalar llibres de la col·lecció de becaris morts, i vaig triar una col·lecció de poemes dels llibres com a regal adequat (era degà i va saltar de la capella [el 1956])...
Més tard, en una breu nota, escriu:
Pregunteu on hauria d'anar a parar aquest llibre; al meu entendre, hauria d'anar a algú que aprecia tot allò relacionat amb l'obra de Turing, de manera que el seu destí depèn de vosaltres.
Stephen Wolfram em va enviar el seu impressionant llibre, però no m'hi vaig aprofundir prou...
Va concloure felicitant George Rutter per tenir el coratge de traslladar-se (temporalment, segons va resultar) a Austràlia després de retirar-se, dient que ell mateix "jugaria amb mudar-se a Sri Lanka com a exemple d'una existència barata i semblant a un lotus", però va afegir que "els fets que hi passen actualment indiquen que no hauria d'haver fet això"(aparentment significa a Sri Lanka).
Aleshores, què s'amaga a les profunditats del llibre?
Aleshores, què vaig fer amb la còpia del llibre alemany escrit per Paul Dirac que va pertànyer a Alan Turing? No llegeixo alemany, però sí edició en anglès (que és la seva llengua original) dels anys setanta. Tanmateix, un dia a l'esmorzar em va semblar correcte que hagués de recórrer amb cura el llibre pàgina per pàgina. Després de tot, aquesta és una pràctica habitual quan es tracta de llibres antics.
Cal destacar que em va cridar l'atenció l'elegància de la presentació de Dirac. El llibre es va publicar l'any 1931, però el seu pur formalisme (i, sí, malgrat la barrera de la llengua, podia llegir les matemàtiques del llibre) és gairebé el mateix que si estigués escrit avui. (Aquí no vull posar massa èmfasi en Dirac, però amic meu em va dir que, almenys al seu parer, l'exposició de Dirac és monosíl·lab. Norman Rutledge em va dir que era amic de Cambridge , que es va convertir en un teòric de grafs. Norman visitava la casa de Dirac amb força freqüència i deia que el "gran home" de vegades es va esvair personalment a un segon pla, mentre que el primer sempre estava ple de trencaclosques matemàtics. Jo mateix, malauradament, no vaig conèixer mai Paul Dirac, tot i que em van dir que després que finalment va marxar de Cambridge per a Florida, va perdre gran part de la seva duresa anterior i es va convertir en una persona bastant sociable).
Però tornem al llibre de Dirac, que va pertànyer a Turing. A la pàgina 9, vaig notar subratllats i petites notes als marges, escrites amb llapis. Vaig continuar fullejant les pàgines. Al cap d'uns quants capítols les notes van desaparèixer. Però aleshores, de sobte, vaig trobar una nota adjunta a la pàgina 127 que deia:
Va ser escrit en alemany amb una lletra alemanya estàndard. I sembla que ella podria tenir alguna cosa a veure . Vaig pensar que probablement algú havia estat propietari d'aquest llibre abans de Turing, i aquesta devia ser una nota escrita per aquesta persona.
Vaig continuar fullejant el llibre. No hi havia notes. I vaig pensar que no trobava res més. Però aleshores, a la pàgina 231, vaig descobrir un marcador de marca, amb el text imprès:
Acabaré descobrint alguna cosa més? Vaig continuar fullejant el llibre. Aleshores, al final del llibre, a la pàgina 259, a l'apartat de teoria relativista d'electrons, vaig descobrir el següent:
Vaig desplegar aquest paper:
De seguida em vaig adonar de què era barrejat amb , però com va acabar aquí aquesta fulla? Recordem que aquest llibre és un llibre sobre mecànica quàntica, però el fulletó adjunt tracta sobre la lògica matemàtica, o el que ara s'anomena teoria de la computació. Això és típic dels escrits de Turing. Em vaig preguntar si Turing va escriure personalment aquesta nota?
Fins i tot durant l'esmorzar, vaig buscar a Internet exemples de l'escriptura de Turing, però no vaig trobar cap exemple en forma de càlculs, de manera que no vaig poder treure conclusions sobre la identitat exacta de l'escriptura. I aviat vam haver d'anar. Vaig empaquetar el llibre amb cura, disposat a revelar el misteri de quina pàgina era i qui el va escriure, i me'l vaig emportar.
Sobre el llibre
Primer de tot, anem a parlar del llibre en si. "» Els camps de Dirac es van publicar en anglès l'any 1930 i aviat es van traduir a l'alemany. (El prefaci de Dirac és del 29 de maig de 1930; pertany al traductor - - 15 d'agost de 1930.) El llibre esdevingué una fita en el desenvolupament de la mecànica quàntica, establint sistemàticament un formalisme clar per a la realització de càlculs i, entre altres coses, explicant la predicció de Dirac de , que s'obrirà l'any 1932.
Per què Alan Turing tenia un llibre en alemany i no en anglès? No ho sé del cert, però en aquells temps l'alemany era la llengua principal de la ciència, i sabem que Alan Turing el podia llegir. (Després de tot, en nom del seu famós treballar « (Entscheidungsproblem)" era una paraula alemanya molt llarga, i a la part principal de l'article opera amb símbols gòtics força obscurs en forma de "lletres alemanyes" que va utilitzar en comptes de, per exemple, símbols grecs).
Alan Turing va comprar ell mateix aquest llibre o se li va regalar? No ho sé. A la coberta interior del llibre de Turing hi ha una notació a llapis "20/-", que era la notació estàndard per a "20 xílings", similar a 1 £. A la pàgina de la dreta hi ha un "26.9.30" esborrat, que presumiblement significa el 26 de setembre de 1930, possiblement la data en què es va comprar el llibre per primera vegada. A continuació, a l'extrem dret, hi ha el número esborrat "20". Potser torna a ser el preu. (Podria ser aquest el preu? , suposant que el llibre es vengués a Alemanya? En aquells dies, 1 Reichsmark valia aproximadament 1 xíling, el preu alemany probablement s'escriuria com "RM20", per exemple.) Finalment, a la contraportada interior hi ha "c 5/-" - potser això, (amb un gran descompte) preu d'un llibre usat.
Vegem les principals dates de la vida d'Alan Turing. Alan Turing (casualment, exactament 76 anys abans ). A la tardor de 1931 va ingressar al King's College de Cambridge. Va rebre el seu títol de batxiller després dels tres anys d'estudi estàndard el 1934.
A la dècada de 1920 i principis de la dècada de 1930, la mecànica quàntica era un tema candent, i Alan Turing s'hi va interessar. Dels seus arxius sabem que l'any 1932, tan bon punt es va publicar el llibre, va rebre "» John von Neumann (a ). També sabem que l'any 1935 Turing va rebre una missió d'un físic de Cambridge sobre el tema de l'estudi de la mecànica quàntica. (Fowler va suggerir calcular , que en realitat és un problema molt complex que requereix una anàlisi completa amb la teoria quàntica de camps interaccionant, que encara no està completament resolt).
I tanmateix, quan i com va aconseguir Turing el seu exemplar del llibre de Dirac? Tenint en compte que el llibre té un preu marcat, Turing probablement el va comprar de segona mà. Qui va ser el primer propietari del llibre? Les notes del llibre semblen tractar principalment de l'estructura lògica, assenyalant que alguna relació lògica s'ha de prendre com un axioma. Aleshores, què passa amb la nota inclosa a la pàgina 127?
Bé, potser és una coincidència, però just a la pàgina 127 - Dirac parla de quàntica i posa les bases — que és la base de tot el formalisme quàntic modern. Què conté la nota? Conté una extensió de l'equació 14, que és l'equació per a l'evolució temporal de l'amplitud quàntica. L'autor de la nota va substituir la Dirac A per a l'amplitud per ρ, potser reflectint així una notació alemanya anterior (analogia de densitat de fluids). Aleshores, l'autor intenta ampliar l'acció amb poders de ℏ (, dividit per 2π, de vegades anomenat ).
Però no sembla que hi hagi molta informació útil que es pugui extreure del que hi ha a la pàgina. Si manteniu la pàgina a la llum, conté una petita sorpresa: una filigrana que diu "Z f. Physik. Chem. B":
Aquesta és la versió escurçada - una revista alemanya de química física, que es va començar a publicar el 1928. Potser la nota la va escriure un editor de revista? Aquí teniu un titular de revista de 1933. Convenientment, els editors estan llistats per ubicació, i un destaca: "Bourne · Cambridge".
Això és el que és qui n'és l'autor i molt més en la teoria de la mecànica quàntica (així com l'avi del cantant ). Per tant, aquesta nota pot haver estat escrita per Max Born? Però, malauradament, no és així, perquè la lletra no coincideix.
Què passa amb el marcador de la pàgina 231? Aquí està des de les dues bandes:
El marcador és estrany i força bonic. Però quan es va fer? A Cambridge n'hi ha , tot i que ara forma part de Blackwell. Durant més de 70 anys (fins a 1970), Heffers es va localitzar a l'adreça, tal com mostra el marcador, и .
Aquesta pestanya conté una clau important: aquest és el número de telèfon "Tel. 862". Com va succeir, l'any 1939 la majoria de Cambridge (inclòs Heffers) van canviar a números de quatre dígits, i certament el 1940 s'estaven imprimint els marcadors amb números de telèfon "moderns". (Els números de telèfon anglesos es van anar fent més llargs; quan vaig créixer a Anglaterra als anys 1960, els nostres números de telèfon eren "Oxford 56186" i "Kidmore End 2378". Una part del motiu pel qual recordo aquests números és perquè, per estrany que sigui ara, no semblava que sempre trucés al meu número quan responia a una trucada entrant).
El marcador es va imprimir d'aquesta forma fins al 1939. Però quant de temps abans? Hi ha bastants escanejos d'anuncis antics de Heffers en línia, que es remunten almenys a 1912 (juntament amb "Us demanem que compleixi les vostres sol·licituds...") completen "Telèfon 862" afegint "(2 línies)." També hi ha alguns punts d'interès amb dissenys similars que es poden trobar en llibres des del 1904 (tot i que no està clar si eren originals d'aquests llibres (és a dir, impresos al mateix temps). Per als propòsits de la nostra investigació, sembla que podem concloure que Aquest llibre prové de Heffer's (que, per cert, era la llibreria principal de Cambridge) en algun moment entre 1930 i 1939.
Pàgina de càlcul lambda
Així que ara sabem alguna cosa sobre quan es va comprar el llibre. Però, què passa amb la "pàgina de càlcul lambda"? Quan es va escriure això? Bé, naturalment, en aquell moment el càlcul lambda ja s'hauria d'haver inventat. I es va fer , matemàtic de , en la seva forma original el 1932 i en la seva forma definitiva el 1935. (Hi havia treballs de científics anteriors, però no utilitzaven la notació λ).
Hi ha una connexió complexa entre Alan Turing i el càlcul lambda. El 1935, Turing es va interessar per la "mecanització" de les operacions matemàtiques i va inventar la idea d'una màquina de Turing, utilitzant-la per resoldre problemes de matemàtiques fonamentals. Turing va enviar un article sobre aquest tema a una revista francesa (), però es va perdre al correu; i aleshores va resultar que el destinatari a qui el va enviar no hi era de totes maneres, ja que s'havia traslladat a la Xina.
Però el maig de 1936, abans que Turing pogués enviar el seu diari a qualsevol altre lloc, . Turing s'havia queixat anteriorment quan va desenvolupar la prova el 1934 , llavors vaig descobrir que hi havia un matemàtic noruec que ja ho havia fet l'any 1922.
No és difícil veure que les màquines de Turing i el càlcul lambda són efectivament equivalents en els tipus de càlculs que poden representar (i això és un principi). ). Tanmateix, Turing (i el seu professor ) estaven convençuts que l'enfocament de Turing era prou diferent perquè merés la seva pròpia publicació. El novembre de 1936 (i amb errors ortogràfics corregits el mes següent) a Es va publicar el famós article de Turing .
Per omplir una mica la cronologia: des de setembre de 1936 fins a juliol de 1938 (amb una pausa de tres mesos a l'estiu de 1937), Turing va estar a Princeton, després d'haver-hi anat amb l'objectiu de convertir-se en estudiant de postgrau de l'Alonzo Church. Durant aquest període a Princeton, Turing sembla que es va concentrar completament en la lògica matemàtica, escrivint-ne diverses , - i, molt probablement, no tenia cap llibre de mecànica quàntica amb ell.
Turing va tornar a Cambridge el juliol de 1938, però al setembre d'aquell any treballava a temps parcial , i un any després es va traslladar a Bletchley Park amb l'objectiu de treballar-hi a temps complet en temes relacionats amb la criptoanàlisi. Després del final de la guerra el 1945, Turing es va traslladar a Londres per treballar sobre el desenvolupament d'un projecte per crear . Va passar el curs 1947–8 a Cambridge, però després es va traslladar a Manchester per desenvolupar-se .
El 1951, Turing va començar a estudiar seriosament . (Per a mi personalment, aquest fet és una mica irònic, perquè em sembla que Turing sempre va creure inconscientment que els sistemes biològics s'havien de modelar per equacions diferencials, i no per quelcom discret com les màquines de Turing o els autòmats cel·lulars). També va tornar el seu interès a la física, i el 1954 fins i tot , Què: "Vaig intentar inventar una nova mecànica quàntica"(encara que va afegir:"però de fet no és un fet que funcioni"). Però, malauradament, tot va acabar bruscament el 7 de juny de 1954, quan Turing va morir sobtadament. (Suposo que no va ser un suïcidi, però això és una altra història.)
Per tant, tornem a la pàgina de càlcul lambda. Mantenim-lo a la llum i tornem a veure la marca d'aigua:
Sembla ser un tros de paper fet britànic i em sembla poc probable que s'hagués utilitzat a Princeton. Però podem datar-ho amb precisió? Bé, no sense una mica d'ajuda , sabem que el fabricant oficial del paper era Spalding & Hodge, Papermakers, Drury House Wholesale and Export Company, Russell Street, Drury Lane, Covent Garden, Londres. Això ens pot ajudar, però no gaire, ja que es pot suposar que la seva marca de paper Excelsior sembla haver estat inclosa als catàlegs de subministraments des dels anys 1890 fins al 1954.
Què diu aquesta pàgina?
Per tant, fem una ullada més de prop al que hi ha a banda i banda del tros de paper. Comencem amb les lambdas.
Aquí hi ha una manera de determinar , i són un concepte bàsic en lògica matemàtica, i ara en programació funcional. Aquestes funcions són força habituals en el llenguatge , i la seva tasca és bastant fàcil d'explicar. Per exemple, algú escriu f[x] per indicar una funció f, aplicat a l'argument x. I hi ha moltes funcions anomenades f tal com o o . Però què passa si algú vol f[x] era 2x+1? No hi ha un nom directe per a aquesta funció. Però hi ha una altra forma d'assignació, f[x]?
La resposta és sí: en canvi f estem escrivint Function[a,2a+1]. I en llenguatge Wolfram Function [a,2a+1][x] aplica funcions a l'argument x, produint 2x+1. Function[a,2a+1] és una funció "pura" o "anònima" que representa l'operació pura de multiplicar per 2 i sumar 1.
Per tant, λ en càlcul lambda és un anàleg exacte en l'idioma Wolfram -i per tant, per exemple, λa.(2 a+1) equivalent Function[a, 2a + 1]. (Val la pena assenyalar que una funció, per exemple, Function[b,2b+1] equivalent; "variables vinculades" a o b són simplement substitucions d'arguments de funció, i en el llenguatge Wolfram es poden evitar utilitzant definicions alternatives de funcions pures (2# +1)&).
A les matemàtiques tradicionals, les funcions es consideren normalment objectes que representen entrades (que també són nombres enters, per exemple) i sortides (que també són, per exemple, nombres enters). Però quin tipus d'objecte és aquest? (o λ)? Essencialment, és un operador d'estructura que pren expressions i les converteix en funcions. Això pot semblar una mica estrany des de la perspectiva de les matemàtiques tradicionals i la notació matemàtica, però si cal fer una manipulació de símbols arbitrària, és molt més natural, encara que al principi sembli una mica abstracte. (Cal tenir en compte que quan els usuaris aprenen el llenguatge Wolfram, sempre puc dir que han superat un cert llindar de pensament abstracte quan aconsegueixen una comprensió de ).
Les lambdas són només una part del que hi ha a la pàgina. Hi ha un altre concepte encara més abstracte: aquest . Penseu en la cadena més aviat obscura PI1IIx? Què podria significar això? Essencialment, es tracta d'una seqüència de combinadors, o d'alguna composició abstracta de funcions simbòliques.
La superposició habitual de funcions, força familiar en matemàtiques, es pot escriure en el llenguatge Wolfram com: f[g[x]] - que significa "aplicar" f al resultat de l'aplicació g к x" Però són realment necessaris els parèntesis per a això? En llenguatge Wolfram f@g@ x - una forma alternativa d'enregistrament. En aquesta publicació, ens basem en la definició del llenguatge Wolfram: l'operador @ està associat amb el costat dret, de manera que f@g@x equivalent f@(g@x).
Però què significarà la gravació? (f@g)@x? Això és equivalent f[g][x]. I si f и g fossin funcions ordinàries en matemàtiques, no tindria sentit, però si f - , Llavors f[g] pot ser una funció a la qual es pot aplicar x.
Tingueu en compte que encara hi ha certa complexitat aquí. EN f[х] - f és una funció d'un argument. I f[х] equival a escriure Function[a, f[a]][x]. Però què passa amb una funció amb dos arguments, per exemple f[x,y]? Això es pot escriure com Function[{a,b},f[a, b]][x, y]. Però què passa si Function[{a},f[a,b]]? Què és això? Aquí hi ha una "variable lliure". b, que simplement es passa a la funció. Function[{b},Function[{a},f[a,b]]] enllaçarà aquesta variable i després Function[{b},Function[{a},f [a, b]]][y][x] dóna f[x,y] de nou. (Especificar una funció perquè tingui un argument s'anomena "currying" en honor al lògic anomenat ).
Si hi ha variables lliures, llavors hi ha moltes complexitats diferents quant a com es poden definir les funcions, però si ens limitem als objectes o λ, que no tenen variables lliures, llavors bàsicament es poden especificar lliurement. Aquests objectes s'anomenen combinadors.
Els combinadors tenen una llarga història. Se sap que van ser proposats per primera vegada l'any 1920 per un estudiant - .
En aquella època, fa molt poc que es va descobrir que no calia utilitzar les expressions , и representar expressions en lògica proposicional estàndard: n'hi havia prou amb utilitzar un únic operador, que ara anomenarem (perquè, per exemple, si escrius com · llavors Or[a,b] prendrà la forma ). Schoenfinkel volia trobar la mateixa representació mínima de la lògica dels predicats, o, essencialment, la lògica que inclou les funcions.
Va sortir amb dos "combinadors" S i K. En el llenguatge Wolfram això s'escriurà com
K[x_][y_] → x i S[x_][y_][z_] → x[z][y[z]].
És destacable que va resultar possible utilitzar aquests dos combinadors per realitzar qualsevol càlcul. Per exemple,
S[K[S]][S[K[S[K[S]]]][S[K[K]]]]
es pot utilitzar com a funció per sumar dos nombres enters.
Tots aquests són objectes més aviat abstractes per dir-ho com a mínim, però ara que entenem què són les màquines de Turing i el càlcul lambda, podem veure que els combinadors de Schoenfinkel en realitat van anticipar el concepte de computació universal. (I el que és encara més notable és que les definicions de 1920 de S i K són mínimament simples, recorden , que vaig proposar als anys 1990, la versatilitat de la qual era ).
Però tornem a la nostra fulla i línia PI1IIx. Els símbols escrits aquí són combinadors i tots estan dissenyats per especificar una funció. Aquí la definició és que la superposició de funcions s'ha de deixar associativa, de manera que fgx no s'ha d'interpretar com a f@g@x o f@(g@x) o f[g[x]], sinó com a (f@g)@x o f[g][x]. Traduïm aquesta entrada a un formulari convenient per a l'ús de Wolfram Language: PI1IIx prendrà la forma p[i][un][i][i][x].
Per què escriure una cosa així? Per explicar-ho, hem de discutir el concepte de nombres de l'Església (anomenat així després d'Alonzo Church). Suposem que només estem treballant amb símbols i lambdas o combinadors. Hi ha alguna manera d'utilitzar-los per especificar nombres enters?
Què tal si només diem que el número n correspon Function[x, Nest[f,x,n]]? O, en altres paraules, que (en notació més curta):
1 és f[#]&
2 és f[f[#]]&
3 és f[f[f[#]]]& i així successivament.
Tot això pot semblar una mica més fosc, però el motiu pel qual és interessant és que ens permet fer-ho tot completament simbòlic i abstracte, sense haver de parlar explícitament d'alguna cosa com els nombres enters.
Amb aquest mètode per especificar nombres, imagineu, per exemple, afegint dos nombres: el 3 es pot representar com f[f[f[#]]]& i 2 és f[f[#]]&. Podeu sumar-los simplement aplicant un d'ells a l'altre:
Però quin és l'objecte? f? Pot ser qualsevol cosa! En cert sentit, "anar a lambda" fins i tot i representar nombres mitjançant funcions que prenen f com a argument. En altres paraules, representem 3, per exemple, com Function[f,f[f[f[#]]] &] o Function[f,Function[x,f[f[f[x]]]]. (Quan i com cal anomenar les variables és el frec en el càlcul lambda).
Considereu un fragment del document de Turing de 1937 , que configura objectes exactament com acabem de comentar:
Aquí és on la gravació pot resultar una mica confús. x Turing és nostre f, I el seu x' (la mecanògrafa s'ha equivocat introduint un espai) - aquest és el nostre x. Però aquí s'utilitza exactament el mateix enfocament.
Per tant, mirem la línia just després del plec a la part davantera del paper. Això I1IIYI1IIx. Segons la notació Wolfram Language, això seria i[one][i][i][y][i][one][i][i][x]. Però aquí i és la funció d'identitat, per tant i[one] simplement es mostra 01:00. mentrestant, 01:00 és la representació numèrica de Church per a 1 o Function[f,f[#]&]. Però amb aquesta definició one[а] s'està convertint a[#]& и one[a][b] s'està convertint a[b]. (A propòsit, i[а][b]O Identity[а][b] és també а[b]).
Estarà molt més clar si anotem les regles de substitució i и 01:00, en lloc d'aplicar directament el càlcul lambda. El resultat serà el mateix. Aplicant aquestes regles de manera explícita, obtenim:
I això és exactament el mateix que es presenta a la primera entrada abreujada:
Mirem ara de nou la fulla, a la seva part superior:
Aquí hi ha alguns objectes "E" i "D" força confusos i confusos, però amb aquests entenem "P" i "Q", de manera que podem escriure l'expressió i avaluar-la (tingueu en compte que aquí, després d'una certa confusió amb el el darrer símbol: el “científic misteriós” posa […] i (...) per representar l'aplicació de la funció):
Per tant, aquesta és la primera abreviatura que es mostra. Per veure'n més, connectem les definicions de Q:
Obtenim exactament la següent reducció mostrada. Què passa si substituïm expressions per P?
Aquí teniu el resultat:
I ara, utilitzant el fet que i és una funció que produeix l'argument en si, obtenim:
Oooops! Però aquesta no és la següent línia gravada. Hi ha algun error aquí? Poc clar. Perquè, al cap i a la fi, a diferència de la majoria dels altres casos, no hi ha cap fletxa que indiqui que la línia següent segueixi de l'anterior.
Hi ha una mica de misteri aquí, però passem al final del full:
Aquí 2 és el número de l'Església, determinat, per exemple, pel patró two[a_] [b_] → a[a[b]]. Tingueu en compte que aquesta és en realitat la forma de la segona línia si es considera a Function[r,r[р]] и b как q. Per tant, esperem que el resultat del càlcul sigui el següent:
Tanmateix, l'expressió interior а[b] es pot escriure com a x (probablement diferent de la x escrita anteriorment al tros de paper) - al final obtenim el resultat final:
Per tant, podem desxifrar poc del que està passant en aquest tros de paper, però almenys un misteri que encara queda és el que se suposa que és Y.
De fet, en la lògica combinatòria hi ha un combinador Y estàndard: l'anomenat . Formalment, es defineix pel fet que Y[f] ha de ser igual f[Y[f]], o, en altres paraules, que Y[f] no canvia quan s'aplica f, per tant és un punt fix per f. (El combinador Y està associat amb #0 en la llengua Wolfram.)
Actualment, el combinador Y s'ha fet famós gràcies a , anomenat així (que fa molt de temps que n'és fan и i va implementar la primera botiga web basada en aquest llenguatge). Una vegada em va dir personalment "ningú entén què és un combinador Y" (Cal tenir en compte que Y Combinator és exactament el que permet a les empreses evitar transaccions de punt fix...)
El combinador Y (com a combinador de punt fix) s'ha inventat diverses vegades. Turing en va inventar una implementació el 1937, que va anomenar Θ. Però la lletra "Y" de la nostra pàgina és el famós combinador de punt fix? Potser no. Aleshores, quina és la nostra "Y"? Considereu aquesta abreviatura:
Però clarament aquesta informació no és suficient per determinar sense ambigüitats què és Y. És clar que Y no només funciona amb un argument; Sembla que hi ha almenys dos arguments implicats, però no està clar (almenys per a mi) quants arguments pren com a entrada i què fa.
Finalment, tot i que podem donar sentit a moltes parts del document, hem de dir que a escala global no queda clar què s'hi va fer. Tot i que hi ha moltes explicacions relacionades amb el que hi ha al full aquí, és bastant bàsic en el càlcul lambda i l'ús de combinadors.
Presumiblement, es tracta d'un intent de crear un "programa" senzill, utilitzant càlcul lambda i combinadors per fer alguna cosa. Però per molt que això sigui típic de l'enginyeria inversa, ens costa dir quin hauria de ser aquest "alguna cosa" i quin és l'objectiu general "explicable".
Hi ha una característica més presentada al full que val la pena comentar aquí: l'ús de diferents tipus de parèntesis. Les matemàtiques tradicionals fan servir principalment parèntesis per a tot - i aplicacions de funcions (com en f (x)), i agrupacions de membres (com en (1+x) (1-x), o, menys evidentment, a(1-x)). (A Wolfram Language, separem els diferents usos dels parèntesis, entre claudàtors per definir funcions f [x] - i els parèntesis només s'utilitzen per agrupar).
Quan va aparèixer el càlcul lambda, hi havia moltes preguntes sobre l'ús dels parèntesis. Alan Turing escriuria més tard una obra sencera (inèdita) titulada”, però ja el 1937 va sentir que necessitava descriure les definicions modernes (més aviat hackers) del càlcul lambda (que, per cert, va aparèixer a causa de l'Església).
Ell va dir que f, aplicat a g, s'ha d'escriure {F g), Si només f no és l'únic personatge, en aquest cas podria ser-ho F g). Llavors va dir lambda (com en Function[a, b]) s'ha d'escriure com a λ a[b] o, alternativament, λ a.b.
Tanmateix, potser el 1940 s'havia abandonat tota la idea d'utilitzar {...} i […] per representar diferents objectes, en gran part a favor dels parèntesis d'estil matemàtic estàndard.
Fes una ullada a la part superior de la pàgina:
En aquesta forma és difícil d'entendre. En les definicions de Church, els claudàtors estan pensats per agrupar-se, amb un claudàtor obert que substitueix el punt. Utilitzant aquesta definició, queda clar que la Q (etiquetada eventualment D) tancada entre parèntesis al final és a què s'aplica tota la lambda inicial.
El claudàtor aquí no delimita realment el cos de la lambda; en canvi, en realitat representa un altre ús de la funció i no hi ha cap indicació explícita d'on acaba el cos de la lambda. Al final, es pot veure que el "científic misteriós" ha canviat el claudàtor de tancament per un claudàtor rodó, aplicant així de manera efectiva la definició de Church i, per tant, forçant l'expressió a calcular-se tal com es mostra al full.
Aleshores, què vol dir aquesta petita peça? Crec que això suggereix que la pàgina va ser escrita als anys 1930, o no gaire després, ja que les convencions per als parèntesis encara no s'havien establert fins a aquell moment.
Llavors, de qui era aquesta escriptura?
Així doncs, abans hem parlat del que hi ha escrit a la pàgina. Però què passa amb qui ho va escriure realment?
El candidat més evident per a aquest paper seria el mateix Alan Turing, ja que, al cap i a la fi, la pàgina estava dins del seu llibre. Pel que fa al contingut, sembla que no hi ha res incompatible amb la idea que Alan Turing l'hagués pogut escriure, fins i tot quan es va familiaritzar amb el càlcul lambda després de rebre el document de Church a principis de 1936.
Què passa amb l'escriptura a mà? Pertany a Alan Turing? Vegem alguns exemples supervivents que sabem amb seguretat que van ser escrits de la mà d'Alan Turing:
El text presentat, òbviament, té un aspecte molt diferent, però què passa amb la notació utilitzada al text? Almenys, al meu entendre, no sembla tan obvi -i es pot suposar que qualsevol diferència pot ser causada precisament pel fet que les mostres existents (presentades als arxius) estan escrites, per dir-ho així, "a la superfície, ” mentre que la nostra la pàgina és precisament un reflex del treball del pensament.
Va resultar convenient per a la nostra investigació que l'arxiu de Turing conté una pàgina on va escriure , necessari per a la notació. I en comparar aquests símbols lletra per lletra, em semblen bastant semblants (aquestes notes es van fer a Turing quan estava estudiant , d'aquí l'etiqueta "àrea de fulles"):
Volia explorar-ho més, així que vaig enviar mostres , un expert en grafia professional (i autor de problemes basats en l'escriptura) a qui vaig tenir el plaer de conèixer una vegada, simplement presentant el nostre article com a "Mostra 'A'" i una mostra existent de l'escriptura de Turing com a "Mostra 'B'". La seva resposta va ser definitiva i negativa: "L'estil d'escriptura és completament diferent. Pel que fa a la personalitat, l'autor de la mostra "B" té un estil de pensament més ràpid i intuïtiu que l'autor de la mostra "A".».
Encara no n'estava del tot convençut, però vaig decidir que era hora de mirar altres opcions.
Així que si resulta que Turing no ho va escriure, qui ho va fer? Norman Routledge em va dir que va rebre el llibre de Robin Gandy, que era l'executor de Turing. Així que vaig enviar "Mostra "C"" de Gandhi:
Però la conclusió inicial de Sheila va ser que les tres mostres probablement van ser escrites per tres persones diferents, i va tornar a assenyalar que la mostra "B" venia de "el pensador més ràpid: aquell que probablement estigui més disposat a buscar solucions inusuals als problemes" (Em sembla refrescant que un expert en grafia moderna faci aquesta valoració de l'escriptura de Turing, tenint en compte com tothom es queixava de la seva grafia a les tasques escolars de Turing dels anys vint).
Bé, en aquest punt semblava que tant Turing com Gandhi havien estat descartats com a "sospitosos". Aleshores, qui podria haver escrit això? Vaig començar a pensar en les persones a les quals Turing podria haver prestat el seu llibre. Per descomptat, també han de ser capaços de fer càlculs mitjançant càlcul lambda.
Vaig suposar que la persona havia de ser de Cambridge, o almenys d'Anglaterra, donada la marca d'aigua del paper. Vaig prendre com a hipòtesi de treball que el 1936 més o menys era un bon moment per escriure això. Aleshores, amb qui Turing coneixia i es comunicava en aquell moment? Durant aquest període de temps, hem obtingut una llista de tots els estudiants i professors de matemàtiques del King's College. (Hi havia 13 estudiants coneguts que van estudiar entre 1930 i 1936.)
I d'ells, semblava el candidat més prometedor . Tenia la mateixa edat que Turing, el seu amic de molt de temps, i també estava interessat en els conceptes bàsics de les matemàtiques; el 1933 fins i tot va publicar un article sobre el que ara anomenem. : 0.12345678910111213… (obtingut per 1, 2, 3, 4,..., 8, 9, 10, 11, 12,... i un dels pocs nombres en el sentit que cada possible bloc de dígits es produeix amb la mateixa probabilitat).
El 1937, fins i tot va utilitzar les matrius gamma de Dirac, com s'esmenta al llibre de Dirac, per resoldre . (Tal com passa, anys més tard em vaig convertir en un gran fan dels càlculs de matrius gamma).
Després d'haver començat a estudiar matemàtiques, Champernowne va quedar sota la influència (també al King's College) i finalment es va convertir en un economista distingit, especialment treballant sobre la desigualtat d'ingressos. (No obstant això, el 1948 també va treballar amb Turing per crear - un programa d'escacs, que es va convertir pràcticament en el primer del món a implementar-se en un ordinador).
Però, on podria trobar una mostra de l'escriptura de Champernowne? Aviat vaig trobar el seu fill Arthur Champernowne a LinkedIn, que, curiosament, era llicenciat en lògica matemàtica i treballava per a Microsoft. Va dir que el seu pare li va parlar bastant sobre l'obra de Turing, tot i que no esmentava els combinadors. Em va enviar una mostra de l'escriptura del seu pare (un fragment sobre composició musical algorítmica):
Es pot dir immediatament que les cal·ligrafies no coincideixen (rínxols i cues a les lletres f de l'escriptura de Champernowne, etc.)
Aleshores, qui més podria ser? Sempre he admirat , en molts aspectes un mentor d'Alan Turing. Newman va interessar primer Turing "mecanització de les matemàtiques"va ser el seu amic de molt de temps, i anys més tard es va convertir en el seu cap en un projecte informàtic a Manchester. (Malgrat el seu interès pels càlculs, Newman sempre sembla haver-se vist a si mateix principalment com un topòleg, tot i que les seves conclusions estaven recolzades per una prova errònia que va derivar de ).
No va ser difícil trobar una mostra de l'escriptura de Newman, i de nou, no, les lletres definitivament no coincidien.
"Trace" del llibre
Per tant, la idea d'identificar l'escriptura a mà va fallar. I vaig decidir que el següent pas a fer era intentar rastrejar amb una mica més de detall què estava passant realment amb el llibre que tenia a les mans.
Per tant, primer de tot, quina va ser la història més llarga amb Norman Rutledge? Va assistir al King's College de Cambridge el 1946 i va conèixer Turing (sí, tots dos eren gais). Es va graduar a la universitat el 1949, després va començar a escriure la seva tesi doctoral amb Turing com a assessor. Es va doctorar el 1954, treballant en la lògica matemàtica i la teoria de la recursivitat. Va rebre una beca personal al King's College i el 1957 es va convertir en cap del departament de matemàtiques allà. Ho podria haver fet tota la vida, però tenia amplis interessos (música, art, arquitectura, matemàtiques recreatives, genealogia, etc.). El 1960 va canviar la seva direcció acadèmica i es va convertir en professor a Eton, on generacions d'estudiants (inclòs jo mateix) van treballar (i estudiar) i es van exposar als seus coneixements eclèctics i fins i tot estranys de vegades.
Norman Routledge podria haver escrit ell mateix aquesta misteriosa pàgina? Sabia el càlcul lambda (tot i que, casualment, ho va esmentar quan preníem el te l'any 2005 que sempre li semblava "confús"). Tanmateix, la seva escriptura característica l'exclou immediatament com a possible "científic misteriós".
La pàgina podria estar connectada d'alguna manera amb un estudiant de Norman, potser de quan encara era a Cambridge? Ho dubto. Perquè crec que en Norman no va estudiar mai càlcul lambda ni res semblant. Mentre escrivia aquest article, vaig descobrir que Norman havia escrit un article l'any 1955 sobre la creació de lògica en "ordinadors electrònics" (i la creació de formes normals conjuntives, com ara fa la funció integrada). ). Quan vaig conèixer Norman, li va interessar molt escriure utilitats per a ordinadors reals (les seves inicials eren "NAR", i va anomenar els seus programes "NAR...", per exemple, "NARLAB", un programa per crear etiquetes de text amb punxades. "patrons" de forats "a la cinta de paper). Però mai va parlar de models teòrics de computació.
Llegim una mica més de prop la nota de Norman dins del llibre. El primer que notarem és que parla de "oferint llibres de la biblioteca de la persona difunta" I per la redacció sembla que tot va passar amb força rapidesa després de la mort de l'home, cosa que suggereix que Norman va rebre el llibre poc després de la mort de Turing el 1954, i que Gandhi l'havia trobat a faltar durant molt de temps. Norman continua dient que en realitat va rebre quatre llibres, dos sobre matemàtiques pures i dos sobre física teòrica.
Llavors va dir que va donar "un altre d'un llibre de física (una mena de, )»«A Sebag Montefiore, un jove simpàtic que potser recordeu [George Rutter]" D'acord, qui és ell? Vaig desenterrar la meva llista de membres que s'utilitzava poc . (He d'informar que en obrir-lo no vaig poder evitar fixar-me en les seves regles des de 1902, la primera de les quals, sota l'epígraf "Drets dels membres", sonava divertida: "Vesteix amb els colors de l'Associació").
Cal afegir que probablement mai no m'hauria unit a aquesta societat ni hagués rebut aquest llibre si no hagués estat per la instància d'un amic d'Eton anomenat , que havia estat planejant des dels 12 anys per convertir-se un dia en primer ministre, però tristament va morir als 21 anys).
Però, en tot cas, només hi havia cinc de les persones que figuraven amb el cognom Sebag-Montefiore, amb un ampli ventall de dates de formació. No va ser difícil entendre que era adequat . Món petit, segons resulta, la seva família era propietaria de Bletchley Park abans de vendre'l al govern britànic el 1938. I l'any 2000, va escriure Sebag-Montefiore Per això, amb tota probabilitat, el 2002 Norman va decidir donar-li el llibre que Turing tenia.
D'acord, què passa amb els altres llibres que Norman va rebre de Turing? No tenint cap altra manera d'esbrinar què els va passar, vaig demanar una còpia del testament de Norman. L'última clàusula del testament era clarament a l'estil de Norman:
El testament deia que els llibres de Norman s'havien de deixar al King's College. I encara que la seva col·lecció completa de llibres sembla que no es troba enlloc, els dos llibres de Turing sobre matemàtiques pures, que va esmentar a la seva nota, ara estan degudament arxivats a la Biblioteca del King's College.
Següent pregunta: què va passar amb els altres llibres de Turing? Vaig mirar el testament de Turing, que va resultar que els deixava tots a Robin Gandy.
Gandhi era un estudiant de matemàtiques al King's College de Cambridge, que es va fer amic d'Alan Turing en el seu darrer any de universitat el 1940. A l'inici de la guerra, Gandhi va treballar a la ràdio i el radar, però el 1944 va ser assignat a la mateixa unitat que Turing i va treballar en el xifratge de la parla. I després de la guerra, Gandhi va tornar a Cambridge, aviat es va doctorar, i Turing es va convertir en el seu assessor.
El seu treball a l'exèrcit sembla que el va portar a interessar-se per la física, i la seva tesi, finalitzada el 1952, es titulava . El que semblava que Gandhi intentava fer era potser caracteritzar les teories físiques en termes de lògica matemàtica. En parla и , però no sobre les màquines de Turing. I pel que sabem ara, crec que podem concloure que més aviat va perdre el punt. I de fet, ha defensat des de principis dels anys vuitanta que els processos físics s'han de considerar com a "diversos càlculs" —per exemple, com a màquines de Turing o autòmats cel·lulars— més que no pas com a teoremes a deduir. (Gandhi parla molt bé de l'ordre dels tipus implicats en les teories físiques, dient per exemple que "Crec que l'ordre de qualsevol nombre decimal computable en forma binària és inferior a vuit"). Ell va dir que "Una de les raons per les quals la teoria quàntica de camps moderna és tan complexa és només perquè tracta objectes d'un tipus força complex: funcionals de funcions...", que en última instància vol dir que"Podríem prendre el tipus d'ús comú més gran com a mesura del progrés matemàtic".)
Gandhi esmenta Turing diverses vegades a la tesi, assenyalant a la introducció que està en deute amb A. M. Turing, que "primer va cridar la seva atenció una mica desenfocada cap al càlcul de l'Església” (és a dir, càlcul lambda), encara que de fet la seva tesi té diverses proves lambda.
Després de defensar la seva tesi, Gandhi va recórrer a una lògica matemàtica més pura i durant més de tres dècades va escriure articles a un ritme d'un per any, i aquests articles van ser citats amb força èxit a la comunitat de lògica matemàtica internacional. El 1969 es va traslladar a Oxford i crec que l'he d'haver conegut quan era jove, encara que no en tinc cap record.
Aparentment, Gandhi va idolatrar molt a Turing i va parlar sovint d'ell els anys posteriors. Això planteja la qüestió de la col·lecció completa d'obres de Turing. Poc després de la mort de Turing, Sarah Turing i Max Newman van demanar a Gandhi -com el seu marmessor- que organitzés la publicació de les obres inèdites de Turing. Van passar els anys i reflecteix la frustració de Sarah Turing per aquest tema. Però d'alguna manera Gandhi semblava que mai no havia planejat reunir els papers de Turing.
Gandhi va morir el 1995 sense reunir les obres acabades. - crític literari i biògraf , a qui Turing va conèixer al King's College, va ser l'agent literari de Turing, i finalment va començar a treballar en les obres col·leccionades de Turing. El més controvertit semblava ser el volum sobre lògica matemàtica, pel qual va atreure el seu primer estudiant graduat seriós, Robin Gandy, un cert , que va trobar cartes a Gandhi sobre obres col·leccionades que feia 24 anys que no s'havien començat. ( finalment va aparèixer el 2001, 45 anys després del seu llançament).
Però, què passa amb els llibres que Turing tenia personalment? Continuant intentant rastrejar-los, la meva següent parada va ser la família Turing, i en particular el fill petit del germà de Turing, (que en realitat és Sir Dermot Turing, pel fet que ho era , aquest títol no li va passar per Alan a la família Turing). Dermot Turing (que va escriure recentment ) em va parlar de "l'àvia de Turing" (també coneguda com Sarah Turing), sembla que la seva casa compartia una entrada al jardí amb la seva família i moltes altres coses sobre Alan Turing. Em va dir que els llibres personals d'Alan Turing mai havien estat a la seva família.
Així que vaig tornar a llegir els testaments i vaig descobrir que l'executor de Gandhi era el seu alumne Mike Yates. Vaig saber que Mike Yates es va retirar com a professor fa 30 anys i ara viu al nord de Gal·les. Va dir que durant les dècades que va treballar en la lògica matemàtica i la teoria computacional, mai va tocar un ordinador, però finalment ho va fer quan es va jubilar (i això va passar poc després de descobrir el programa). ). Va dir com de meravellós era que Turing s'hagués fet tan famós, i que quan va arribar a Manchester només tres anys després de la mort de Turing, ningú parlava de Turing, ni tan sols Max Newman quan impartia un curs de lògica. No obstant això, Gandy més tard parlarà de quant s'entusiasmava tractar amb la col·lecció d'obres de Turing, i finalment les va deixar totes a Mike.
Què sabia Mike dels llibres de Turing? Va trobar un dels quaderns escrits a mà de Turing, que Gandhi no va regalar al King's College perquè (estranyament) Gandhi el va utilitzar com a disfressa per als apunts que guardava sobre els seus somnis. (Turing també va guardar notes dels seus somnis, que van ser destruïts després de la seva mort.) Mike va dir que el quadern es va vendre recentment a una subhasta per un milió de dòlars. I que d'altra manera no hauria pensat que entre les coses de Gandhi hi havia materials de Turing.
Semblava que totes les nostres opcions s'havien esgotat, però en Mike em va demanar que mirés aquell misteriós tros de paper. I de seguida va dir: "Aquesta és l'escriptura de Robin Gandy!» Va dir que havia vist tantes coses al llarg dels anys. I estava segur. Va dir que no en sabia gaire de càlcul lambda i que realment no podia llegir la pàgina, però estava segur que Robin Gandy l'havia escrit.
Vam tornar a la nostra experta en grafia amb més mostres i ella va acceptar que sí, el que hi havia coincideix amb l'escriptura de Gandhi. Així que finalment ho vam descobrir: Robin Gandy va escriure aquell misteriós tros de paper. No l'ha escrit Alan Turing; va ser escrit pel seu alumne Robin Gandy.
Per descomptat, encara queden alguns misteris. Turing suposadament va prestar el llibre a Gandhi, però quan? La forma de la notació de càlcul lambda fa que sembli com si fos al voltant dels anys trenta. Però a partir dels comentaris sobre la tesi de Gandhi, probablement no faria res amb el càlcul lambda fins a finals dels anys quaranta. Aleshores sorgeix la pregunta per què Gandhi va escriure això. Això no sembla estar directament relacionat amb la seva tesi, de manera que pot ser que va ser quan va intentar esbrinar el càlcul lambda per primera vegada.
Dubto que mai sabrem la veritat, però segur que va ser divertit intentar esbrinar-ho. Aquí he de dir que tot aquest viatge ha fet molt per ampliar la meva comprensió de com de complexes poden ser les històries de llibres similars dels segles passats, que, en particular, sóc propietari. Això em fa pensar que millor m'asseguro de mirar totes les seves pàgines, només per veure què hi pot ser interessant...
Gràcies per l'assistència a: Jonathan Gorard (Estudis Privats de Cambridge), Dana Scott (Lògica Matemàtica) i Matthew Szudzik (Lògica Matemàtica).
Sobre la traduccióTraducció de la publicació de Stephen Wolfram "".
Expresso el meu profund agraïment и d'ajuda en la traducció i la preparació de la publicació.
Vols aprendre a programar en Wolfram Language?
Veure setmanalment .
. A punt .
sobre Wolfram Language.
Font: www.habr.com
