„Pokud na sloní kleci přečteš nápis „buvol“, nevěř svým očím“ Kozma Prutkov

V předchozím článek o modelově orientovaném projektování bylo ukázáno, proč je model objektu potřebný, a prokázáno, že bez tohoto modelu objektu lze o modelovém designu mluvit pouze jako o marketingovém nesmyslu, bezcenném a neúprosnějším. Ale při vzniku modelu objektu má urozený inženýr vždy rozumnou otázku: jaké jsou důkazy, že matematický model objektu odpovídá skutečnému objektu.

Jedním z příkladů odpovědi na tuto otázku je uveden v článku o modelově orientovaném projektování elektromotoru. V tomto článku se podíváme na příklad vytváření modelu pro letecké klimatizační systémy, obohacený o některé teoretické úvahy obecného charakteru.

Vytváření spolehlivého modelu objektu. Teorie

Abychom neprotahovali, hned vám povím o algoritmu pro vytváření modelu pro modelově orientované projektování. Má pouze tři jednoduché kroky:

Krok 1. Vyvinout systém algebro-diferenciálních rovnic popisujících dynamické chování modelovaného systému. To je snadné, pokud znáte fyziku procesu. Mnoho vědců již vyvinulo pro nás základní fyzikální zákony jménem Newton, Bernoulli, Navier-Stokes a dalších.

Krok 2. Vytáhnout v získaném systému sadu empirických koeficientů a charakteristik modelovaného objektu, které lze získat z experimentů.

Krok 3. Provést zkoušky objektu a nastavit model podle výsledků terénních experimentů, aby odpovídal realitě, s potřebnou mírou detailů.

Jak vidíte, je to jednoduché, přesně dva tři.

Příklad praktické realizace

Systém klimatizace (SKV) v letadle je spojen se systémem automatického udržování tlaku. Tlak v letadle musí být vždy vyšší než vnější tlak, přičemž rychlost změny tlaku by měla být taková, aby u pilotů a pasažérů nedocházelo k krvácení z nosu a uší. Proto je systém řízení přítoku a odtoku vzduchu důležitý pro bezpečnost a pro jeho vývoj na zemi se instalují nákladné testovací systémy. V těchto systémech se vytvářejí teploty a tlak vzletové výšky, reprodukují se režimy vzletu a přistání na letištích různé výšky. A otázka vývoje a ladění systémů řízení pro SKV nabývá na významu. Kolik času strávíme na zkušebním stendu, abychom získali uspokojivý řídící systém? Je zřejmé, že pokud nastavíme model řízení podle modelu objektu, může být cyklus prací na zkušebním stendu výrazně zkrácen.

Letecký systém klimatizace vzduchu se skládá z výměníků tepla, které jsou stejné jako v jakémkoli jiném tepelném systému. Baterie je baterie, i v Africe, jen klimatizovaná. Ale kvůli omezení vzletové hmotnosti a rozměrů letadel se výměníky tepla vyrábějí co nejkompaktnější a co nejefektivnější, aby se z menší hmotnosti předalo co nejvíce tepla. Výsledkem je, že geometrie se stává dost podivnou. Například v zvažovaném případě. Na obrázku 1 je zobrazen deskový výměník tepla, který má mezi deskami pro zlepšení přenosu tepla použitou membránu. Horký a studený chladicí prostředek se střídají v kanálech, přičemž směr proudění je příčný. Jeden chladicí prostředek se vede na čelní ploše, druhý na boční.

Pro vyřešení úkolu řízení SKV potřebujeme vědět, kolik tepla je přenášeno z jednoho média na druhé v takovém výměníku tepla za jednotku času. Na tom závisí rychlost změny teploty, kterou regulujeme.

Obrázek 1. Schéma leteckého tepelně-výměnného zařízení.

Problémy modelování. Hydraulická část

Na první pohled je úkol poměrně jednoduchý, je třeba spočítat hmotnostní tok v kanálech výměníku tepla a tepelný tok mezi kanály.
Hromadná spotřeba teplonositele v kanálech se vypočítává podle Bernoulliho vzorce:

kde:
ΔP – rozdíl tlaku mezi dvěma body;
ξ – koeficient tření teplonositele;
L – délka kanálu;
d – hydraulický průměr kanálu;
ρ – hustota teplonositele;
ω – rychlost teplonositele v kanálu.

Pro kanál libovolného tvaru se hydraulický průměr vypočítává podle vzorce:

kde:
F – plocha průřezu;
P – zvlhčený obvod kanálu.

Koeficient tření se vypočítává podle empirických vzorců a závisí na rychlosti toku a vlastnostech teplonositele. Pro různé geometrie platí různé závislosti, například vzorec pro turbulentní tok ve hladkých trubkách:

kde:
Re – Reynoldsovo číslo.

Pro tok v plochých kanálech lze použít následující vzorec:

Z Bernoulliho vzorce lze vypočítat rozdíl tlaku pro zadanou rychlost, nebo naopak vypočítat rychlost teplonositele v kanálu při zadaném rozdílu tlaku.

Tepelná výměna

Tepelný tok mezi teplonositelem a stěnou se vypočítává podle vzorce:

kde:
α [W/(m²×°C)] – koeficient tepelné výměny;
F – plocha průřezu.

Pro úlohy toku teplonositelů v trubkách bylo provedeno dostatečné množství výzkumů a existuje mnoho výpočtových metodik, a obvykle se všechny shrnují do empirických závislostí pro koeficient tepelné výměny α [W/(m²×°C)]

kde:
Nu – Nusseltovo číslo,
λ – koeficient tepelné vodivosti kapaliny [W/(m×°C)]
d – hydraulický (ekvivalentní) průměr.

Pro výpočet Nusseltova čísla se používají empirické kritériální závislosti, například vzorec pro výpočet Nusseltova čísla kulaté trubky vypadá takto:

Zde už vidíme další Reynoldsovo číslo, Prandtlovo číslo při teplotě stěny a teplotě kapaliny a koeficient nerovnoměrnosti. (Zdroj)

Pro plátkové vlnité výměníky tepla je vzorec podobný ( Zdroj ):

kde:
n = 0.73 m =0.43 pro turbulentní tok,
koeficient a – se mění v rozmezí 0,065 až 0,6 v závislosti na počtu desek a režimu toku.

Bereme v úvahu, že tento koeficient se počítá pouze pro jeden bod v toku. Pro další bod máme jinou teplotu kapaliny (ta se zahřála nebo ochladila), jinou teplotu stěny a podle toho se mění všechny hodnoty Reynoldsova čísla a Prandtlova čísla.

Na tomto místě by každý matematik řekl, že přesně spočítat systém, ve kterém se koeficient mění 10krát, není možné, a měl by pravdu.

Každý inženýr v praxi by řekl, že každý tepelný výměník se při výrobě liší a spočítat systémy není možné, a také by měl pravdu.

A co modelově orientované navrhování? Opravdu je vše ztraceno?

Pokročilí prodejci západního softwaru vám zde budou nabízet SuperEVM a 3D výpočtové systémy, typu „bez něj to nepůjde“. A je potřeba spustit výpočet na 24 hodin, abychom získali rozložení teplot během 1 minuty.

Je jasné, že to není náš přístup, potřebujeme ladit řídicí systém, pokud ne v reálném čase, tak alespoň v přiměřeném čase.

Řešení metodou pokusu a omylu.

Vyrobí se tepelný výměník, provádí se série zkoušek a vytváří se tabulka účinnosti ustálené teploty při daných průtocích teplonosných médií. Jednodušší, rychlé a spolehlivé, protože data jsou získána ze zkoušek.

Nevýhodou tohoto přístupu jsou chybějící dynamické charakteristiky objektu. Ano, víme, jaký bude ustálený tepelný tok, ale nevíme, za jak dlouho se ustálí při přechodu z jednoho na druhý pracovní režim.

Proto, spočítavše potřebné charakteristiky, ladíme řídicí systém přímo při zkouškách, čemuž bychom se zpočátku chtěli vyhnout.

Modelově orientovaný přístup.

Pro vytvoření modelu dynamického tepelně výměníku je třeba použít data z experimentů k odstranění nejistot v empirických vzorcích výpočtu – číslo Nusselt a hydraulický odpor.

Řešení je jednoduché, jako všechno geniální. Vezmeme empirický vzorec, provedeme experimenty a určujeme hodnotu koeficientu a, čímž eliminujeme nejistotu ve vzorci.

Jakmile máme určitou hodnotu koeficientu tepelného přenosu, všechny ostatní parametry jsou určeny základními fyzikálními zákony zachování. Rozdíl teplot a koeficient tepelného přenosu určují množství energie přenášené do kanálu za jednotku času.

Znalostí toku energie můžeme řešit rovnice zachování hmotnosti, energie a hybnosti pro teplonositele v hydraulickém kanálu. Například takto:

Pro náš případ zůstává neurčitý tok tepla mezi stěnou a teplonositelem — Qwall. Podrobněji lze to nalézt zde…

A také rovnici časového gradientu teploty pro stěnu kanálu:

kde:
ΔQwall – rozdíl mezi vstupním a výstupním tokem na stěnu kanálu;
M – hmotnost stěny kanálu;
Cpc – měrná tepelná kapacita materiálu stěny.

Přesnost modelu

Jak bylo uvedeno výše, v tepelném výměníku máme rozložení teploty na povrchu desky. Pro stabilní hodnotu můžeme brát průměrnou hodnotu mezi deskami a použít ji, představujíc celý tepelný výměník jako jednu soustředěnou bod, ve kterém dochází k přenosu tepla přes celý povrch výměníku při jednom teplotním gradientu. Ale pro přechodné režimy může takové zjednodušení nefungovat. Druhá krajnost je udělat několik set tisíc bodů a zatížit Super EVM, což také není vhodné, protože úkol spočívá v nastavení řídicího systému v reálném čase, a lépe rychleji.

Vzniká otázka, na kolik částí je třeba rozdělit tepelný výměník, abychom dosáhli přijatelnou přesnost a rychlost výpočtu?

Jak to obvykle bývá, náhodou mám po ruce model aminového tepelného výměníku. Tepelný výměník představuje trubkové zařízení, ve kterém proudí ohřívací médium v trubkách, mezi vaky – předehřívaná. Pro zjednodušení úlohy můžeme celé trubkové zařízení výměníku představit jako jednu ekvivalentní trubku, a samotnou trubku jako soubor diskrétních výpočtových buněk, v každé z nichž probíhá výpočet bodového modelu tepelného přenosu. Schéma modelu jedné buňky je znázorněno na obrázku 2. Kanál teplého vzduchu a kanál studeného vzduchu jsou propojeny přes stěnu, která zajišťuje přenos tepelného toku mezi kanály.

Obrázek 2. Model buňky tepelného výměníku.

Model trubkového tepelného výměníku se snadno nastavuje. Můžete změnit pouze jeden parametr – počet úseků podél trubky a podívat se na výsledky výpočtů při různých rozděleních. Provedeme výpočet několika variant, počínaje rozdělením na 5 bodů podél (obr. 3) až po 100 bodů podél (obr. 4).

Obrázek 3. Stacionární rozložení teploty 5 výpočetních bodů.

Obrázek 4. Stacionární rozložení teploty 100 výpočetních bodů.

Z výsledků výpočtů vyplynulo, že ustálená teplota při rozdělení na 100 bodů činí 67,7 °C. A při rozdělení na 5 výpočetních bodů činí teplota 72,66 °C.

Také v dolní části okna se zobrazuje rychlost výpočtu vzhledem k reálnému času.
Podívejme se, jak se mění ustálená teplota a rychlost výpočtu v závislosti na počtu výpočetních bodů. Rozdíl ustálených teplot při výpočtech s různým množstvím výpočetních buněk lze použít k posouzení přesnosti získaného výsledku.

Tabulka 1. Závislost teploty a rychlosti výpočtu na počtu výpočetních bodů podél tepelného výměníku.

Analýzou této tabulky lze učinit následující závěry:

• Rychlost výpočtu klesá proporcionálně k počtu výpočetních bodů v modelu výměníku tepla.
• Změna přesnosti výpočtu probíhá exponenciálně. Při zvyšování počtu bodů se zpřesnění při každém dalším zvýšení snižuje.

V případě deskového tepelného výměníku s křížovým tokem teplonosné látky, jak je znázorněno na obrázku 1, se vytvoření ekvivalentního modelu z elementárních výpočetních buněk mírně komplikuje. Musíme spojit buňky tak, aby se uspořádal křížový tok. Pro 4 buňky bude schéma vypadat tak, jak je zobrazeno na obrázku 5.

Tok teplonositele se dělí na horkou a studenou větev do dvou kanálů, které se spojí přes tepelné struktury tak, aby při průchodu kanálem teplonositel vyměňoval teplo s různými kanály. Při modelování příčného toku jde horký teplonositel zleva doprava (viz obr. 5) v každém kanálu a postupně vyměňuje teplo s kanály studeného teplonositele, který jde zdola nahoru (viz obr. 5). Nejvyšší teplota se nachází v levém horním rohu, protože horký teplonositel vyměňuje teplo s již ohřátým studeným teplonositelem. A nejnižší teplota je v pravém dolním rohu, kde studený teplonositel vyměňuje teplo s horkým teplonositelem, který se již na první části ochladil.

Obrázek 5. Model příčného toku ze 4 výpočtových buněk.

Tento model pro deskový výměník tepla nezohledňuje přenos tepla mezi buňkami pomocí tepelné vodivosti a nezohledňuje míchání teplonositele, protože každý kanál je izolovaný.

V našem případě však poslední omezení nemění přesnost, protože konstrukce výměníku tepla obsahuje vlnovou membránu, která dělí tok na mnoho izolovaných kanálů pro teplonositel (viz obr. 1). Podívejme se, co se děje s přesností výpočtu při modelování deskového výměníku tepla při zvyšování počtu výpočtových buněk.

Pro analýzu přesnosti používáme dvě varianty dělení výměníku tepla na výpočtové buňky:

1. Každá čtvercová buňka obsahuje dva hydraulické (studené a horké toky) a jeden tepelný prvek. (viz obrázek 5)
2. Každá čtvercová buňka obsahuje šest hydraulických prvků (po třech úsecích v horkém a studeném toku) a tři tepelné prvky.

V posledním případě používáme dva typy spojení:

• proti sobě jdoucí tok studeného a horkého toku;
• současný tok studeného a horkého toku.

Proti sobě jdoucí tok zvyšuje účinnost ve srovnání s příčným tokem, zatímco současný tok ji snižuje. Při velkém počtu buněk dochází k průměrování podle toku a vše se blíží skutečnému příčnému obtečení (viz obrázek 6).

Obrázek 6. Model příčného toku ze čtyř buněk s 3 prvky.

Na obrázku 7 jsou uvedeny výsledky ustáleného stacionárního rozložení teploty v tepelném výměníku při dodávce vzduchu s teplotou 150 °C po horké lince a 21 °C po studené lince pro různé možnosti rozdělení modelu. Barvou a čísly na buňce je znázorněna průměrná teplota stěny v vypočítané buňce.

Obrázek 7. Ustálené teploty pro různé výpočtové schémata.

V tabulce 2 je uvedena ustálená teplota ohřátého vzduchu po tepelném výměníku v závislosti na rozdělení modelu tepelného výměníku na buňky.

Tabulka 2. Závislost teploty na počtu výpočtových buněk v tepelném výměníku.

Se zvyšujícím se počtem výpočtových buněk v modelu dochází k nárůstu konečné ustálené teploty. Rozdíl mezi ustálenou teplotou při různých děleních lze považovat za ukazatel přesnosti výpočtu. Je vidět, že s rostoucím počtem výpočtových buněk se teplota blíží mezní hodnotě a nárůst přesnosti není proporcionální počtu výpočtových bodů.

Objevuje se otázka, jaká přesnost modelu je pro nás potřebná?

Odpověď na tuto otázku závisí na účelu našeho modelu. Vzhledem k tomu, že v tomto článku se jedná o modelově orientované navrhování, vytváříme model pro nastavení řídicího systému. To znamená, že přesnost modelu by měla být srovnatelná s přesností snímačů používaných v systému.

V našem případě je teplota měřena termočlánkem, jehož přesnost činí ±2.5 °C. Jakákoliv přesnost nad tuto hodnotu pro účely nastavení řídicího systému je zbytečná, náš skutečný řídicí systém ji jednoduše „neuzří“. Pokud tedy přijmeme, že mezní teplota při nekonečném počtu dělení je 70 °C, bude dostatečná přesnost modelu, který nám poskytne více než 67.5 °C. Všechny modely se 3 body v výpočtové buňce a modely větší než 5x5 s jedním bodem v buňce. (Vyčleněné zeleně v tabulce 2)

Dynamické režimy práce

Pro hodnocení dynamického režimu zhodnotíme proces změny teploty v nejteplejších a nejchladnějších bodech stěny tepelného výměníku pro různé varianty výpočtových schémat. (viz obr. 8)

Obrázek 8. Ohřev tepelného výměníku. Modely rozměrnosti 2x2 a 10x10.

Je zřejmé, že délka přechodného procesu a jeho charakter prakticky nezávisí na počtu výpočtových buněk, ale je určena výhradně hmotností ohřívaného kovu.

Tímto tedy uzavíráme, že pro přesné modelování tepelného výměníku v režimech od 20 do 150 °C, s přesností potřebnou pro řídicí systém SKV, stačí zhruba 10 – 20 výpočtových bodů.

Nastavení dynamického modelu na základě experimentu

Mít matematický model a také data experimentu ohledně proplachování tepelného výměníku nám umožňuje provést jednoduchou korekci, a to zavést koeficient zintenzivnění do modelu tak, aby výpočet odpovídal výsledkům experimentu.

Navíc, pomocí grafického prostředí pro vytváření modelu, to provedeme automaticky. Na Obrázku 9 je představena algoritmus pro výběr koeficientů zintenzivnění tepelného přenosu. Na vstupu jsou data získaná z experimentu, připojí se model tepelného výměníku a na výstupu získáme potřebné koeficienty pro každou z režimů.

Obrázek 9. Algoritmus výběru koeficientu zintenzivnění podle výsledků experimentu.

Tímto způsobem určíme onen koeficient pro číslo Nusselt a odstraníme nejednoznačnost ve výpočtových vzorcích. Pro různé režimy práce a teploty se hodnoty korekčních koeficientů mohou měnit, avšak pro podobné provozní režimy (normální provoz) se ukazují jako velmi blízké. Například pro tento tepelný výměník se hodnoty koeficientu pohybují od 0.492 do 0.655.

Pokud použijeme koeficient 0.6, pak v zkoumaných provozních režimech bude chyba výpočtu menší než chyba termočlánku, tím pádem bude matematický model tepelného výměníku pro řídicí systém zcela adekvátní skutečnému modelu.

Výsledky nastavení modelu tepelného výměníku

Pro hodnocení kvality tepelného přenosu se používá speciální charakteristika – účinnost:

kde:
effhor – účinnost tepelného výměníku podle horkého teplonositele;
Thorin – teplota na vstupu do tepelného výměníku po trase pohybu horkého teplonositele;
Thorout – teplota na výstupu z tepelného výměníku po trase pohybu horkého teplonositele;
Tchladin – teplota na vstupu do výměníku tepla podle směru pohybu studeného chladiva.

V tabulce 3 jsou uvedeny hodnoty odchylky účinnosti modelu výměníku tepla od experimentálních hodnot při různých průtocích v horké a studené linii.

Tabulka 3. Chyby výpočtu účinnosti přenosu tepla v %

V našem případě může být zvolený koeficient použit ve všech nás zajímajících režimech práce. Pokud při nízkých průtocích, kde je odchylka větší, požadovaná přesnost není dosažena, můžeme použít proměnlivý koeficient intenzifikace, který bude záviset na aktuálním průtoku.

Například na obrázku 10 je koeficient intenzifikace vypočítán podle daného vzorce v závislosti na aktuálním průtoku v buňkách kanálu.

Obrázek 10. Proměnlivý koeficient intenzifikace přenosu tepla.

Závěry

• Znalost fyzikálních zákonů umožňuje vytvářet dynamické modely objektu pro modelově orientované navrhování.
• Model musí být verifikován a kalibrován podle údajů z testů.
• Nástroje pro vývoj modelů by měly umožnit návrháři upravit model podle výsledků zkoušek objektu.
• Použijte správný modelově orientovaný přístup a budete mít štěstí!

Bonus pro ty, kteří dočetli. Video fungování virtuálního modelu systému SKV.

Pouze registrovaní uživatelé se mohou účastnit ankety. Přihlaste se, prosím.

O čem vyprávět dál?

• 76,2%Jak dokázat, že program v modelu odpovídá programu v hardwaru.

• 23,8%Jak využít výpočty na superpočítači pro modelově orientované navrhování.

Hlasovalo 21 uživatelů. Zdrželo se 1 uživatel.

Zdroj: habr.com