«Hvis du læser teksten 'bøffel' på elefantens bur, så tro ikke dine øjne» Kozyma Prutkov

I den forrige artiklen om modelbaseret design blev det vist, hvorfor en objektmodel er nødvendig, og det er bevist, at uden denne objektmodel kan man kun tale om modelbaseret design som en marketingpurr, meningsløs og ubarmhjertig. Men når objektsmodellen præsenteres, opstår der altid et rimeligt spørgsmål blandt kyndige ingeniører: hvilke beviser findes der for, at den matematiske model af objektet svarer til det virkelige objekt?

Et af eksemplerne på et svar på dette spørgsmål findes i artikkelen om modelbaseret design af elektriske drivsystemer. I denne artikel vil vi se på et eksempel på oprettelse af en model til luftkonditioneringssystemer i luftfart, blandet med nogle teoretiske overvejelser af generel karakter.

Oprettelse af en pålidelig objektmodel. Teori

For ikke at trække tiden ud, vil jeg straks fortælle om algoritmen til oprettelse af en model til modelbaseret design. Den består af tre enkle trin:

Trin 1. Udvikle et system af algebraiske-differentialligninger, der beskriver den dynamiske adfærd af det simulerede system. Dette er enkelt, hvis man kender fysikken bag processe. Mange forskere har allerede udviklet de grundlæggende fysiske love fra Newton, Bernoulli, Navier-Stokes og andre.

Trin 2. Identificere et sæt empiriske koefficienter og karakteristika for simuleringsobjektet, som kan opnås fra eksperimenter.

Trin 3. Udføre eksperimenter på objektet og justere modellen i henhold til resultaterne af de fysiske eksperimenter, så den svarer til virkeligheden med den ønskede detaljegrad.

Som du kan se, er det enkelt, lige som to tre.

Eksempel på praktisk implementering

Luftkonditioneringssystemet (LKS) i en flyvemaskine er forbundet med systemet til automatisk opretholdelse af tryk. Trykket i flyet skal altid være højere end det ydre tryk, og derved skal ændringshastigheden for trykket være sådan, at piloter og passagerer ikke får næse- eller ørepine. Derfor er styringssystemet for til- og fraløbet af luft vigtigt for sikkerheden, og til udviklingen af det etablerer man dyre testsystemer på jorden. Her skabes temperaturer og tryk, der simulerer flyvehøjder samt forhold ved start og landing på lufthavne med varierede højder. Spørgsmålet om udvikling og justering af styringssystemer for LKS er derfor presserende. Hvor lang tid vil vi tage for at teste testbænken, for at opnå et tilfredsstillende styringssystem? Det er tydeligt, at hvis vi tilpasser kontrolmodellen til objektmodellen, kan arbejdsprocessen på testbænken forkortes betydeligt.

Det aeronautiske luftkonditioneringssystem består af de samme varmevekslere som enhver anden thermisk system. En batteri er en batteri, uanset hvor du er, men det er en klimaanlæg. På grund af begrænsninger i startvægten og dimensionerne af fly er varmevekslerne lavet så kompakte og effektive som muligt, så de kan overføre så meget varme som muligt med en lavere vægt. I sidste ende bliver geometrien temmelig skæv. For eksempel i den beskrevne sag. I figur 1 præsenteres en pladevarmeveksler, som bruger en membran mellem pladerne for at forbedre varmeoverførslen. Den varme og kolde varmebærer skiftes i kanalerne, mens strømretningen er tværgående. Den ene varmebærer tilføres til forsiden, den anden til siden.

For at løse opgaven med at styre LKS skal vi vide, hvor meget varme der overføres fra et medium til et andet i en sådan varmeveksler pr. tidsenhed. Dette bestemmer hastigheden for temperaturændringen, som vi regulerer.

Figur 1. Diagram over det aeronautiske varmevekslesystem.

Problemer med modellering. Hydraulisk del

Ved første øjekast synes opgaven at være ganske simpel; det er nødvendigt at beregne massestrømmen gennem kanalerne i varmeveksleren og den termiske strøm mellem kanalerne.
Masseflow af varmeoverføringsvæsken i kanaler beregnes ved hjælp af Bernoullis formel:

hvor:
ΔP – trykfaldet mellem to punkter;
ξ – friktionskoefficienten for varmeoverføringsvæsken;
L – længden af kanalen;
d – den hydrauliske diameter af kanalen;
ρ – densiteten af varmeoverføringsvæsken;
ω – hastigheden af varmeoverføringsvæsken i kanalen.

For kanaler af vilkårlig form beregnes den hydrauliske diameter ved hjælp af følgende formel:

hvor:
F – tværsnitsarealet;
P – den våde omkreds af kanalen.

Friktionskoefficienten beregnes ved hjælp af empiriske formler og afhænger af strømningshastigheden og egenskaberne af varmeoverføringsvæsken. For forskellige geometriske former opnås forskellige afhængigheder, for eksempel formel til turbulent strømning i glatte rør:

hvor:
Re – Reynolds tal.

For strømning i flade kanaler kan følgende formel anvendes:

Fra Bernoullis formel kan man beregne trykfaldet for en given hastighed, eller omvendt beregne varmeoverføringsvæskens hastighed i kanalen baseret på et givet trykfald.

Varmeoverførsel

Varmeflowet mellem varmeoverføringsvæsken og væggen beregnes efter følgende formel:

hvor:
α [W/(m²×grad)] – varmeoverførselskoefficienten;
F – tværsnitsarealet.

For opgaver med strømning af varmeoverførselsvæsker i rør er der udført et tilstrækkeligt antal undersøgelser, og der findes mange beregningsmetoder, som regel reduceres alt til empiriske afhængigheder for varmeoverførselskoefficienten α [W/(m²×grad)]

hvor:
Nu – Nusselt tal,
λ – varmeledningsevne for væsken [W/(m×grad)]
d – den hydrauliske (ækvivalente) diameter.

For beregning af Nusselt tallet (kriteriet) anvendes empiriske kriterier, for eksempel ser formlen til beregning af Nusselt tallet for et rundt rør således ud:

Her ser vi allerede Reynolds tallet, Prandtl tallet ved vægtemperaturen og væskens temperatur samt koefficienten for ujævnhed. (Kilde)

For pladeformede, profilerede varmevekslere ligner formlen denne ( Kilde ):

hvor:
n = 0,73 m = 0,43 for turbulent strømning,
friktionskoefficienten a – varierer mellem 0,065 og 0,6 afhængigt af antallet af plader og strømningsregimet.

Vi skal huske, at denne koefficient kun beregnes for ét punkt i strømmen. For det næste punkt har vi en anden væsketemperatur (den er blevet opvarmet eller afkølet), en anden vægtemperatur, og dermed ændrer alle Reynolds-tal og Prandtl-tal sig.

På dette tidspunkt vil enhver matematiker sige, at det er umuligt at beregne et system, hvor koefficienten ændrer sig med 10 gange, og han vil have ret.

Enhver praktisk ingeniør vil sige, at hver varmeveksler er forskellig ved fremstillingen, og det er umuligt at beregne systemer, og han vil også have ret.

Men hvad med modelorienteret design? Er alt håb ude?

Avancerede sælgere af vestlig software vil her forsøge at sælge dig supercomputere og 3D-beregningssystemer, som om 'uden det kan vi ikke'. Og det kræver, at man kører beregningen i 24 timer for at få temperaturfordelingen over 1 minut.

Det er tydeligt, at det ikke er vores valg; vi skal justere kontrolsystemet, hvis ikke i realtid, så i det mindste inden for en overskuelig tid.

Løsning ved at tage fejl

En varmeveksler fremstilles, der udføres en serie af tests, og der opstilles en tabel over effektivitet for den etablerede temperatur ved givne gennemstrømninger af varmemedier. Simpelt, hurtigt og pålideligt, da dataene er indhentet fra test.

Ulempen ved denne tilgang er, at der ikke er dynamiske egenskaber for objektet. Ja, vi ved, hvilken stabil varmeflow der vil være, men vi ved ikke, hvor lang tid det vil tage at etablere sig ved overgangen fra én driftstilstand til en anden.

Derfor, efter at have beregnet de nødvendige egenskaber, justerer vi kontrolsystemet direkte under testene, hvilket vi oprindeligt helst ville undgå.

Modelorienteret tilgang

For at skabe en model af en dynamisk varmeveksler er det nødvendigt at bruge testdata for at fjerne usikkerheder i de empiriske formler for beregning – Nusselt-tallet og hydraulisk modstand.

Løsningen er simpel, ligesom alt genialt. Vi tager den empiriske formel, udfører eksperimenter og bestemmer værdien af koefficienten a, og derved fjerner vi usikkerheden i formlen.

Når vi har et bestemt værdi for varmeoverførselskoefficienten, bestemmes alle andre parametre af de grundlæggende fysiske love om bevarelse. Temperaturforskellen og varmeoverførselskoefficienten bestemmer mængden af energi, der overføres til kanalen pr. tidsenhed.

Ved at kende energiflowet kan man løse bevarelsesligningerne for masse, energi og momentum for varmebæreren i den hydrauliske kanal. Et eksempel kunne være:

For vores tilfælde forbliver varmeflowet mellem væggen og varmebæreren — Qwall — ubestemt. Yderligere information kan findes her...

Og så er der temperaturderivatligningen for kanalvæggen:

hvor:
ΔQwall – forskellen mellem indgående og udgående flow til kanalvæggen;
M – massen af kanalvæggen;
Cpc – den specifikke varmekapacitet for materialet i væggen.

Modelens nøjagtighed

Som nævnt tidligere har vi i varmeveksleren en temperaturfordeling på overfladen af pladen. For en stationær værdi kan man tage gennemsnittet over pladerne og bruge det, hvilket giver en forsimplet fremstilling af hele varmeveksleren som et enkelt punkt, hvor varmeoverførslen sker ved en given temperaturforskel over hele varmevekslerens overflade. Men i overgangsregimer kan denne tilnærmelse være utilstrækkelig. Den anden yderlighed er at lave flere hundrede tusinde punkter og belaste en supercomputer, hvilket heller ikke er passende for os, da vi har til opgave at justere styringssystemet i realtid, og helst hurtigere.

Spørgsmålet opstår: hvor mange sektioner skal varmeveksleren opdeles i for at opnå acceptabel nøjagtighed og beregningshastighed?

Som tilfældet ofte er, havde jeg pludselig en model af en amin varmeveksler til rådighed. Varmeveksleren består af et rør, hvor den varme væske strømmer, og mellem rørene cirkulerer den opvarmede væske. For at forenkle opgaven kan hele rørsystemet for varmeveksleren betragtes som et enkelt ækvivalent rør, og selve røret kan repræsenteres som et sæt diskrete beregningsceller, hvor der udføres beregninger af den punktlige varmeoverførsel. Diagrammet for en cellemodel er vist på figur 2. Kanalene for varm og kold luft er forbundet gennem en væg, der sikrer overførsel af varmeflowet mellem kanalerne.

Figur 2. Model af varmevekslercellen.

Modellen af den rørformede varmeveksler kan let tilpasses. Man kan ændre kun én parameter – antallet af sektioner langs røret og se beregningsresultaterne ved forskellige opdelinger. Vi vil beregne flere varianter, startet med opdelingen i 5 punkter langs længden (figur 3) og op til 100 punkter langs længden (figur 4).

Figur 3. Stationær temperaturfordeling ved 5 beregningspunkter.

Figur 4. Stationær temperaturfordeling ved 100 beregningspunkter.

Resultatet af beregningerne viste, at den etablerede temperatur ved opdeling i 100 punkter er 67,7 grader. Og ved opdeling i 5 beregningspunkter er temperaturen 72,66 grader C.

Desuden vises beregningshastigheden nederst i vinduet i forhold til realtid.
Lad os se, hvordan den etablerede temperatur og beregningshastigheden ændrer sig afhængigt af antallet af beregningspunkter. Forskellen mellem de etablerede temperaturer ved beregninger med forskellige antal beregningsceller kan bruges til at vurdere nøjagtigheden af det opnåede resultat.

Tabel 1. Afhængighed af temperatur og beregningshastighed af antallet af beregningspunkter langs varmevekslerens længde.

Ved at analysere denne tabel kan følgende konklusioner drages:

• Beregningstiden falder proportionalt med antallet af beregningspunkter i modellen af varmeveksleren.
• Ændringen i beregningsnøjagtighed sker eksponentielt. Ved en stigning i antallet af punkter falder forbedringen ved hver efterfølgende stigning.

I tilfælde af en pladevarmeveksler med krydset strømning af varmeoverføringsmediet, som vist i figur 1, bliver oprettelsen af en ækvivalent model af elementære beregningsceller en smule mere kompleks. Vi skal forbinde cellerne på en måde, der organiserer den krydsende strømning. For 4 celler vil skemaet se sådan ud, som præsenteret i figur 5.

Flow of the heat transfer fluid is divided into hot and cold branches into two channels, which are connected through thermal structures so that while passing through the channel, the heat transfer fluid exchanges heat with different channels. Simulating the cross flow, the hot heat transfer fluid moves from left to right (see Fig. 5) in each channel, sequentially exchanging heat with the cold heat transfer fluid, which flows from bottom to top (see Fig. 5). The hottest point is located in the upper left corner, as the hot heat transfer fluid exchanges heat with the already heated fluid of the cold channel. The coldest point is in the lower right corner, where the cold heat transfer fluid exchanges heat with the hot fluid that has cooled down in the first section.

Figur 5. Model af tværstrøm fra 4 beregningsceller.

Denne model for pladevarmeveksleren tager ikke højde for varmeoverførsel mellem celler via varmeledning og tager ikke højde for blanding af varmeoverføring væsken, da hver kanal er isoleret.

Men i vores tilfælde reducerer den sidste begrænsning ikke præcisionen, da en bølget membran i designet af varmeveksleren opdeler strømmen i mange isolerede kanaler til varmeoverføringsmediet (se Fig. 1). Lad os se hvad der sker med beregningsnøjagtigheden ved modellering af pladevarmeveksleren, når antallet af beregningsceller øges.

Til analyse af nøjagtigheden bruger vi to varianter af opdelingen af varmeveksleren i beregningsceller:

1. Hver kvadratisk celle indeholder to hydrauliske (kolde og varme strømme) og én termisk element. (se Fig. 5)
2. Hver kvadratisk celle indeholder seks hydrauliske elementer (tre sektioner i varme og kolde strømme) og tre termiske elementer.

I det sidste tilfælde bruger vi to typer forbindelser:

• modstrømskold og varm strøm;
• samsvømmet kold og varm strøm.

Modstrøm øger effektiviteten sammenlignet med tværstrøm, mens samsvømmet strøm reducerer den. Ved et stort antal celler sker der en gennemsnitlig strøm, og det hele bliver tættere på den faktiske tværstrømmende omstrømning (se Fig. 6).

Figur 6. Model af tværstrøm fra fire celler med 3 elementer.

Figur 7 viser resultaterne for den stationære temperaturfordeling i varmeveksleren, når der tilføres luft med en temperatur på 150 °C gennem den varme linje, og 21 °C gennem den kolde linje, for forskellige opdelinger af modellen. Farven og tallene i cellen angiver den gennemsnitlige vægtemperatur i den beregnede celle.

Figur 7. Stationære temperaturer for forskellige beregningsskemaer.

Tabel 2 viser den stationære temperatur af den opvarmede luft efter varmeveksleren afhængigt af opdelingen af varmevekslermodellen i celler.

Tabel 2. Afhængighed af temperaturen af antallet af beregningsceller i varmeveksleren.

Når antallet af beregningsceller i modellen øges, stiger den endelige stationære temperatur. Forskellen mellem den stationære temperatur ved forskellige opdelinger kan betragtes som et mål for beregningens nøjagtighed. Det ses, at den temperatur stræber mod en grænse med et stigende antal beregningsceller, og stigningen i nøjagtighed er ikke proportional med antallet af beregningspunkter.

Spørgsmålet opstår, hvilken nøjagtighed har vi brug for i modellen?

Svaret på dette spørgsmål afhænger af formålet med vores model. Da denne artikel handler om modelorienteret design, skaber vi modellen til at justere styresystemet. Det betyder, at modellens nøjagtighed skal være sammenlignelig med nøjagtigheden af de sensorer, der bruges i systemet.

I vores tilfælde måles temperaturen med et termoelement, som har en nøjagtighed på ±2,5 °C. Enhver nøjagtighed over dette er nytteløs til formålene ved justering af styresystemet; vores faktiske styresystem vil simpelthen ikke 'se' det. Hvis vi antager, at den grænseoverskridende temperatur ved uendeligt mange opdelinger er 70 °C, vil en model, der giver os mere end 67,5 °C, være tilstrækkelig. Alle modeller med 3 punkter i beregningscellen og modeller der er større end 5x5 med et punkt i cellen. (Fremhævet i grønt i tabel 2)

Dynamiske driftsformer

For at vurdere den dynamiske driftsform, vil vi vurdere ændringen af temperaturen i de varmeste og koldeste punkter af væggen i varmeveksleren for forskellige beregningsskemaer. (se fig. 8)

Figur 8. Opvarmning af varmeveksleren. Modeller med dimensioner 2x2 og 10x10.

Det er tydeligt, at varigheden af overgangsprocessen og dens karakter stort set ikke afhænger af antallet af beregningsceller og udelukkende bestemmes af massen af det opvarmede metal.

Dermed konkluderer vi, at for en præcis modellering af varmeveksleren i temperaturer fra 20 til 150 °C, som krævet af kontrolsystemet SKV, er det tilstrækkeligt med cirka 10 - 20 beregningspunkter.

Indstilling af den dynamiske model baseret på eksperimenter

Med en matematisk model samt data fra eksperimentet vedrørende gennemblæsning af varmeveksleren, skal vi blot foretage en simpel justering ved at indføre en intensitetskoefficient i modellen, sådan at beregningen stemmer overens med eksperimentelle resultater.

Desuden vil vi, ved hjælp af et grafisk miljø til modeloprettelse, gøre dette automatisk. Figur 9 viser algoritmen for udvælgelse af intensitetskoefficienter for varmeoverførsel. Data, der er indhentet fra eksperimentet, bruges som input, modellen for varmeveksleren tilsluttes, og de nødvendige koefficienter for hvert af driftsmodi genereres som output.

Figur 9. Algoritme til fastlæggelse af intensitetskoefficienten baseret på eksperimentelle resultater.

Dermed bestemmer vi den specifikke koefficient for antallet af Nusselt og eliminerer usikkerheden i beregningsformlerne. Værdierne for korrigerende koefficienter kan ændre sig afhængigt af forskellige driftsforhold og temperaturer, men for lignende driftsforhold (normal drift) viser de sig at være ret tæt på hinanden. For eksempel er koefficienten for denne varmeveksler for forskellige driftsforhold mellem 0.492 og 0.655.

Hvis vi anvender en koefficient på 0.6, så vil beregningsfejlen i de undersøgte driftsforhold være mindre end thermocouple-fejlen; således vil den matematiske model for varmeveksleren være fuldstændig representativ for den faktiske model i kontrolsystemet.

Resultater af indstillingen af varmevekslermodellen

For at vurdere kvaliteten af varmeoverførslen anvendes en specialkarakteristik - effektivitet:

hvor:
effvarm - effektiviteten af varmeveksleren for den varme varmebærer;
Tvarmin – temperaturen ved indgangen til varmeveksleren i retning af den varme varmebærer;
Tvarmud – temperaturen ved udgangen fra varmeveksleren i retning af den varme varmebærer;
Tkoldin – temperaturen ved indgangen til varmeveksleren i koldt medie.

Tabel 3 viser afvigelserne for modelens effektivitet i forhold til den eksperimentelle ved forskellige strømningshastigheder i de varme og kolde linjer.

Tabel 3. Fejlberegning af varmevekslingseffektivitet i %

I vores tilfælde kan den valgte koefficient anvendes i alle de relevante driftsformer. Hvis den nødvendige nøjagtighed ikke opnås ved lave strømningshastigheder, hvor fejlen er større, kan vi anvende en variabel intensitetskoefficient, der afhænger af den aktuelle strømningshastighed.

For eksempel beregnes intensitetskoefficienten i figur 10 efter den angivne formel afhængigt af den aktuelle strømningshastighed i kanalen.

Figur 10. Variabel intensitetskoefficient for varmeveksling.

Konklusioner

• Kendskab til fysiske love muliggør oprettelse af dynamiske modeller af objekter til modelorienteret design.
• Modellen skal verificeres og tilpasses på baggrund af testdata.
• Værktøjer til modellering skal gøre det muligt for udvikleren at tilpasse modellen baseret på testresultaterne.
• Brug den rette modelorienterede tilgang, så vil du være heldig!

Bonus til dem, der læste til slut. Video af den virtuelle model af SCV-systemet.

Kun registrerede brugere kan deltage i undersøgelsen. Log ind, please.

Hvad skal vi tale om næste gang?

• 76,2%Hvordan kan man bevise, at programmet i modellen svarer til programmet i hardwaren.16

• 23,8%Hvordan man bruger beregninger på supercomputere til modelorienteret design.5

21 brugere stemte, 1 bruger undlod at stemme.

Kilde: habr.com