I 2012 blev Nobelprisen i økonomi tildelt Lloyd Shapley og Alvin Roth. "For teorien om stabil distribution og praksis med at organisere markeder." Aleksey Savvateev i 2012 forsøgte at enkelt og klart forklare essensen af matematikeres fordele. Jeg giver dig et resumé .
I dag vil der være et teoretisk foredrag. Om eksperimenter , især med donation, vil jeg ikke fortælle.
Da det blev annonceret modtog Nobelprisen, var der et standardspørgsmål: “Hvordan!? Er han stadig i live!?!?” Hans mest berømte resultat blev opnået i 1953.
Formelt blev bonussen givet til noget andet. For hans papir fra 1962 om "ægteskabsstabilitetsteorem": "College Admission and the Stability of Marriage."
Om bæredygtigt ægteskab
Matchende (matching) - opgaven med at finde en korrespondance.
Der er en vis isoleret landsby. Der er "m" unge mænd og "w" piger. Vi skal gifte dem med hinanden. (Ikke nødvendigvis det samme antal, måske i sidste ende vil nogen blive ladt alene.)
Hvilke antagelser skal der laves i modellen? At det ikke er nemt at gifte sig igen tilfældigt. Der tages et vist skridt mod frit valg. Lad os sige, at der er en klog asakal, der ønsker at gifte sig igen, så skilsmisser ikke begynder efter hans død. (Skilsmisse er en situation, hvor en mand ønsker en tredjepartskvinde som sin kone mere end sin kone.)
Denne teorem er i moderne økonomis ånd. Hun er usædvanlig umenneskelig. Økonomi har traditionelt været umenneskelig. I økonomi er mennesket erstattet af en maskine for at maksimere profitten. Det, jeg vil fortælle dig, er helt skøre ting fra et moralsk synspunkt. Tag det ikke til hjertet.
Økonomer ser på ægteskab på denne måde.
m1, m2,... mk - mænd.
w1, w2,... wL - kvinder.
En mand identificeres med, hvordan han "beordrer" piger. Der er også et "nulniveau", under hvilket kvinder slet ikke kan tilbydes som koner, selvom der ikke er andre.
Alt sker i begge retninger, det samme for piger.
De indledende data er vilkårlige. Den eneste antagelse/begrænsning er, at vi ikke ændrer vores præferencer.
Sætning: Uanset fordelingen og niveauet på nul, er der altid en måde at etablere en en-til-en korrespondance mellem nogle mænd og nogle kvinder, så den er robust over for alle typer splittelser (ikke kun skilsmisser).
Hvilke trusler kan der være?
Der er et par (m,w), der ikke er gift. Men for w er den nuværende mand værre end m, og for m er den nuværende kone værre end w. Dette er en uholdbar situation.
Der er også mulighed for, at nogen var gift med en, der er "under nul", i denne situation vil ægteskabet også falde fra hinanden.
Hvis en kvinde er gift, men hun foretrækker en ugift mand, for hvem hun er over nul.
Hvis to personer begge er ugifte, og begge er "over nul" for hinanden.
Det hævdes, at der for alle indledende data eksisterer et sådant ægteskabssystem, der er modstandsdygtigt over for alle typer trusler. For det andet er algoritmen til at finde en sådan ligevægt meget enkel. Lad os sammenligne med M*N.
Denne model blev generaliseret og udvidet til "polygami" og anvendt på mange områder.
Gale-Shapley procedure
Hvis alle mænd og alle kvinder følger "recepterne", vil det resulterende ægteskabssystem være bæredygtigt.
Recepter.
Vi tager et par dage efter behov. Vi deler hver dag op i to dele (morgen og aften).
Den første morgen går hver mand til sin bedste kvinde og banker på vinduet og beder hende om at gifte sig med ham.
Om aftenen samme dag går turen til kvinderne Hvad kan en kvinde opdage? At der var en menneskemængde under hendes vindue, enten en eller ingen mænd. Dem, der ikke har nogen i dag, springer deres tur over og venter. Resten, som har mindst én, tjekker de mænd, der kommer for at se, at de er "over niveau nul." At have mindst én. Hvis du er helt uheldig og alt er under nul, så skal alle sendes. Kvinden vælger den største person blandt dem, der kom, beder ham vente og sender resten.
Før den anden dag er situationen denne: nogle kvinder har én mand, nogle har ingen.
På andendagen skal alle "frie" (udsendte) mænd gå til andenprioritetskvinden. Hvis der ikke er en sådan person, er manden erklæret single. De mænd, der allerede sidder med kvinder, laver ikke noget endnu.
Om aftenen ser kvinderne på situationen. Hvis en, der allerede sad, fik følgeskab af en højere prioritet, så sendes den lavere prioritet væk. Hvis de, der kommer, er lavere end det, der allerede er til rådighed, bliver alle sendt afsted. Kvinder vælger det maksimale element hver gang.
Vi gentager.
Som et resultat gik hver mand igennem hele listen over sine kvinder og blev enten efterladt alene eller forlovet med en kvinde. Så får vi alle gift.
Er det muligt at køre hele denne proces, men for kvinder at løbe til mænd? Fremgangsmåden er symmetrisk, men løsningen kan være anderledes. Men spørgsmålet er, hvem er bedre stillet af dette?
Sætning. Lad os overveje ikke kun disse to symmetriske løsninger, men sættet af alle stabile ægteskabssystemer. Den oprindelige foreslåede mekanisme (mænd løber og kvinder accepterer/afslår) resulterer i et ægteskabssystem, der er bedre for enhver mand end nogen anden og værre end nogen anden for enhver kvinde.
Ægteskaber af samme køn
Overvej situationen med "ægteskab af samme køn." Lad os overveje et matematisk resultat, der sår tvivl om behovet for at legalisere dem. Et ideologisk forkert eksempel.
Overvej fire homoseksuelle a, b, c, d.
prioriteter for a: bcd
prioriteter for b:cad
prioriteter for c: abd
for d er det lige meget, hvordan han rangerer de resterende tre.
Udmelding: Der er ikke noget bæredygtigt ægteskabssystem i dette system.
Hvor mange systemer er der til fire personer? Tre. ab cd, ac bd, ad bc. Parrene vil falde fra hinanden, og processen vil gå i cyklusser.
"Tre-køns" systemer.
Dette er det vigtigste spørgsmål, der åbner et helt felt af matematik. Dette blev gjort af min kollega i Moskva, Vladimir Ivanovich Danilov. Han betragtede "ægteskab" som at drikke vodka, og rollerne var som følger: "den der skænker", "den der taler toast" og "den der skærer pølsen." I en situation, hvor der er 4 eller flere repræsentanter for hver rolle, er det umuligt at løse med rå magt. Spørgsmålet om et bæredygtigt system er åbent.
Shapley vektor
I sommerhusbyen besluttede de at asfaltere vejen. Skal chip ind. Hvordan?
Shapley foreslog en løsning på dette problem i 1953. Lad os antage en konfliktsituation med en gruppe mennesker N={1,2…n}. Omkostninger/fordele skal deles. Antag at folk sammen gjorde noget nyttigt, sælger det og hvordan deler man overskuddet?
Shapley foreslog, at når vi deler, skulle vi lade os styre af, hvor meget visse undergrupper af disse mennesker kunne modtage. Hvor mange penge kan alle 2N ikke-tomme undersæt tjene? Og baseret på disse oplysninger skrev Shapley en universel formel.
Eksempel. En solist, guitarist og trommeslager spiller i en underjordisk passage i Moskva. De tre af dem tjener 1000 rubler i timen. Hvordan deler man det op? Muligvis lige meget.
V(1,2,3)=1000
Lad os lade som om
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
En retfærdig opdeling kan ikke bestemmes, før vi ved, hvilke gevinster der venter en given virksomhed, hvis den bryder ud og handler på egen hånd. Og da vi bestemte tallene (sæt samarbejdsspillet i karakteristisk form).
Superadditivitet er, når de sammen tjener mere end hver for sig, når det er mere rentabelt at forene, men det er ikke klart, hvordan gevinsterne skal fordeles. Mange kopier er blevet brudt om dette.
Der er et spil. Tre forretningsmænd fandt samtidig et depositum på 1 million dollars. Hvis de tre er enige, så er der en million af dem. Ethvert par kan dræbe (fjerne fra sagen) og få hele millionen for sig selv. Og ingen kan gøre noget alene. Dette er et skræmmende co-op spil uden nogen løsning. Der vil altid være to personer, der kan eliminere den tredje... Kooperativ spilteori begynder med et eksempel, der ikke har nogen løsning.
Vi ønsker en sådan løsning, at ingen koalition vil blokere for den fælles løsning. Sættet af alle divisioner, der ikke kan blokeres, er kernen. Det sker, at kernen er tom. Men selvom det ikke er tomt, hvordan deler man så?
Shapley foreslår at dele på denne måde. Kast en mønt med n! kanter. Vi skriver alle spillerne ud i denne rækkefølge. Lad os sige den første trommeslager. Han kommer ind og tager sine 100. Så kommer "anden" ind, lad os sige solisten. (Sammen med trommeslageren kan de tjene 450, trommeslageren har allerede taget 100) Solisten tager 350. Guitaristen kommer ind (tilsammen 1000, -450), tager 550. Den sidste vinder ret ofte. (Supermodularitet)
Hvis vi skriver ud for alle ordrer:
GSB - (sejr C) - (sejr D) - (sejr B)
SGB - (sejr C) - (sejr D) - (sejr B)
SBG - (sejr C) - (sejr D) - (sejr B)
BSG - (sejr C) - (sejr D) - (sejr B)
BGS - (forstærkning C) - (forstærkning D) - (forøgelse B)
GBS - (sejr C) - (sejr D) - (sejr B)
Og for hver kolonne tilføjer og dividerer vi med 6 - gennemsnit over alle ordrer - dette er en Shapley-vektor.
Shapley beviste sætningen (omtrent): Der er en klasse af spil (supermodulære), hvor den næste person, der slutter sig til et stort hold, bringer en større gevinst til det. Kernen er altid ikke-tom og er en konveks kombination af punkter (i vores tilfælde 6 punkter). Shapley-vektoren ligger i centrum af kernen. Det kan altid tilbydes som en løsning, ingen vil være imod det.
I 1973 blev det bevist, at problemet med sommerhuse er supermodulært.
Alle n personer deler vejen til det første sommerhus. Op til den anden - n-1 personer. Etc.
Lufthavnen har en landingsbane. Forskellige virksomheder har brug for forskellige længder. Det samme problem opstår.
Jeg tror, at dem, der tildelte Nobelprisen, havde denne fortjeneste i tankerne, og ikke kun marginopgaven.
Tak!
Ещё
- Kanal "Math - Simple":
- Kanal "Savvateev uden grænser": edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
- Offentlig "Matematik er simpel":
- Offentlig "matematiker joke":
- Hjemmeside, alle foredrag der +100 lektioner og mere: savvateev.xyz
Kilde: www.habr.com