Im Jahr 2012 wurde der Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften an Lloyd Shapley und Alvin Roth verliehen. „Für die Theorie der stabilen Verteilung und die Praxis der Marktorganisation.“ Aleksey Savvateev versuchte 2012, das Wesen der Verdienste von Mathematikern einfach und klar zu erklären. Ich präsentiere Ihnen eine Zusammenfassung .
Heute gibt es einen theoretischen Vortrag. Über Experimente , insbesondere bei Spenden, verrate ich nicht.
Als das bekannt gegeben wurde Als ich den Nobelpreis erhielt, gab es eine Standardfrage: „Wie!?“ Lebt er noch!?!?" Sein berühmtestes Ergebnis stammt aus dem Jahr 1953.
Formal wurde der Bonus für etwas anderes gewährt. Für seine Arbeit von 1962 zum „Theorem der Ehestabilität“: „Hochschulzulassung und die Stabilität der Ehe“.
Über nachhaltige Ehe
Abstimmung (Matching) – die Aufgabe, eine Korrespondenz zu finden.
Es gibt ein gewisses isoliertes Dorf. Es gibt „m“ junge Männer und „w“ Mädchen. Wir müssen sie miteinander verheiraten. (Nicht unbedingt die gleiche Zahl, vielleicht bleibt am Ende jemand in Ruhe.)
Welche Annahmen müssen im Modell getroffen werden? Dass es nicht einfach ist, willkürlich wieder zu heiraten. Es wird ein gewisser Schritt hin zur freien Wahl getan. Nehmen wir an, es gibt einen weisen Aksakal, der wieder heiraten möchte, damit es nach seinem Tod nicht zu Scheidungen kommt. (Bei einer Scheidung handelt es sich um eine Situation, in der ein Ehemann lieber eine fremde Frau als seine Ehefrau haben möchte.)
Dieser Satz entspricht dem Geist der modernen Ökonomie. Sie ist außergewöhnlich unmenschlich. Die Wirtschaft war traditionell unmenschlich. In der Ökonomie wird der Mensch durch eine Maschine ersetzt, um den Gewinn zu maximieren. Was ich Ihnen sagen werde, sind aus moralischer Sicht absolut verrückte Dinge. Nimm es dir nicht zu Herzen.
Ökonomen betrachten die Ehe auf diese Weise.
m1, m2,… mk – Männer.
w1, w2,... wL – Frauen.
Ein Mann wird damit identifiziert, wie er Mädchen „befiehlt“. Es gibt auch ein „Nullniveau“, unterhalb dessen Frauen überhaupt nicht als Ehefrauen angeboten werden können, auch wenn es keine anderen gibt.
Alles passiert in beide Richtungen, bei Mädchen gleich.
Die Ausgangsdaten sind willkürlich. Die einzige Annahme/Einschränkung besteht darin, dass wir unsere Präferenzen nicht ändern.
Satz: Unabhängig von der Verteilung und dem Nullniveau gibt es immer eine Möglichkeit, eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen einigen Männern und einigen Frauen herzustellen, so dass sie allen Arten von Trennungen (nicht nur Scheidungen) standhält.
Welche Bedrohungen könnte es geben?
Es gibt ein Paar (m,w), das nicht verheiratet ist. Aber für w ist der aktuelle Ehemann schlechter als m, und für m ist die aktuelle Ehefrau schlechter als w. Dies ist eine unhaltbare Situation.
Es besteht auch die Möglichkeit, dass jemand mit jemandem verheiratet war, der „unter Null“ ist; in dieser Situation wird die Ehe ebenfalls scheitern.
Wenn eine Frau verheiratet ist, bevorzugt sie aber einen unverheirateten Mann, für den sie über Null steht.
Wenn zwei Personen beide unverheiratet sind und beide füreinander „über Null“ sind.
Es wird argumentiert, dass es seit jeher ein solches Ehesystem gibt, das allen Arten von Bedrohungen standhält. Zweitens ist der Algorithmus zum Finden eines solchen Gleichgewichts sehr einfach. Vergleichen wir mit M*N.
Dieses Modell wurde verallgemeinert und zur „Polygamie“ erweitert und in vielen Bereichen angewendet.
Gale-Shapley-Verfahren
Wenn alle Männer und alle Frauen die „Vorschriften“ befolgen, wird das daraus resultierende Ehesystem nachhaltig sein.
Rezepte.
Wir nehmen uns je nach Bedarf ein paar Tage Zeit. Wir teilen jeden Tag in zwei Teile (Morgen und Abend).
Am ersten Morgen geht jeder Mann zu seiner besten Frau, klopft ans Fenster und bittet sie, ihn zu heiraten.
Am Abend desselben Tages sind die Frauen an der Reihe: Was kann eine Frau entdecken? Dass sich unter ihrem Fenster eine Menschenmenge befand, entweder ein Mann oder keiner. Wer heute niemanden hat, überspringt seinen Zug und wartet. Der Rest, der mindestens einen hat, überprüft die Männer, die kommen, um sicherzustellen, dass sie „über Level Null“ sind. Mindestens einen haben. Wenn Sie völliges Pech haben und alles unter Null liegt, sollten alle geschickt werden. Die Frau wählt den größten der Gekommenen aus, sagt ihm, er solle warten, und schickt den Rest.
Vor dem zweiten Tag ist die Situation so: Manche Frauen haben einen Mann, manche haben keinen.
Am zweiten Tag müssen alle „freien“ (geschickten) Männer zur Frau mit zweiter Priorität gehen. Wenn es keine solche Person gibt, wird der Mann als ledig erklärt. Die Männer, die bereits mit Frauen zusammensitzen, tun noch nichts.
Abends schauen sich die Frauen die Situation an. Wenn jemand, der bereits saß, von einer höheren Priorität dazugekommen ist, wird die niedrigere Priorität weggeschickt. Wenn diejenigen, die kommen, weniger haben, als bereits vorhanden ist, werden alle weggeschickt. Frauen wählen jedes Mal das maximale Element.
Wir wiederholen.
Infolgedessen ging jeder Mann die gesamte Liste seiner Frauen durch und wurde entweder allein gelassen oder mit einer Frau verlobt. Dann heiraten wir alle.
Ist es möglich, diesen gesamten Prozess durchzuführen, wenn Frauen nicht vor Männern laufen? Das Verfahren ist symmetrisch, die Lösung kann jedoch unterschiedlich sein. Aber die Frage ist, wem geht es besser?
Satz. Betrachten wir nicht nur diese beiden symmetrischen Lösungen, sondern die Gesamtheit aller stabilen Ehesysteme. Der ursprünglich vorgeschlagene Mechanismus (Männer treten an und Frauen akzeptieren/lehnen ab) führt zu einem Ehesystem, das für jeden Mann besser ist als jeder andere und schlechter als jeder andere für jede Frau.
Gleichgeschlechtliche Ehe
Betrachten Sie die Situation mit der „gleichgeschlechtlichen Ehe“. Betrachten wir ein mathematisches Ergebnis, das Zweifel an der Notwendigkeit ihrer Legalisierung aufkommen lässt. Ein ideologisch falsches Beispiel.
Betrachten Sie vier Homosexuelle a, b, c, d.
Prioritäten für a: bcd
Prioritäten für b:cad
Prioritäten für c: abd
Für d spielt es keine Rolle, wie er die restlichen drei einordnet.
Aussage: In diesem System gibt es kein nachhaltiges Ehesystem.
Wie viele Systeme gibt es für vier Personen? Drei. ab cd, ac bd, ad bc. Die Paare werden auseinanderfallen und der Prozess wird in Zyklen verlaufen.
„Drei-Geschlechter“-Systeme.
Dies ist die wichtigste Frage, die ein ganzes Feld der Mathematik eröffnet. Dies wurde von meinem Kollegen in Moskau, Wladimir Iwanowitsch Danilow, durchgeführt. Er betrachtete „Ehe“ als das Trinken von Wodka und die Rollen waren wie folgt: „derjenige, der einschenkt“, „derjenige, der den Toast ausspricht“ und „derjenige, der die Wurst schneidet“. In einer Situation, in der es vier oder mehr Vertreter jeder Rolle gibt, ist eine Lösung mit roher Gewalt unmöglich. Die Frage nach einem nachhaltigen System ist offen.
Shapley-Vektor
Im Bauerndorf beschlossen sie, die Straße zu asphaltieren. Muss mich einmischen. Wie?
Shapley schlug 1953 eine Lösung für dieses Problem vor. Nehmen wir eine Konfliktsituation mit einer Gruppe von Menschen N={1,2…n} an. Kosten/Nutzen müssen geteilt werden. Angenommen, Menschen haben gemeinsam etwas Nützliches getan, es verkauft und wie soll der Gewinn aufgeteilt werden?
Shapley schlug vor, dass wir uns bei der Aufteilung davon leiten lassen sollten, wie viel bestimmte Untergruppen dieser Menschen erhalten könnten. Wie viel Geld könnten alle 2N nicht leeren Teilmengen verdienen? Und basierend auf diesen Informationen schrieb Shapley eine universelle Formel.
Beispiel. Ein Solist, ein Gitarrist und ein Schlagzeuger spielen in einer unterirdischen Passage in Moskau. Die drei verdienen 1000 Rubel pro Stunde. Wie teilt man es auf? Möglicherweise gleichermaßen.
V(1,2,3)=1000
Nimm das an
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
Eine gerechte Aufteilung kann erst dann festgestellt werden, wenn wir wissen, welche Vorteile ein bestimmtes Unternehmen erwartet, wenn es sich löst und selbstständig handelt. Und als wir die Zahlen ermittelten (das kooperative Spiel in eine charakteristische Form bringen).
Von Superadditivität spricht man, wenn sie zusammen mehr verdienen als einzeln, wenn es profitabler ist, sich zu vereinen, es aber nicht klar ist, wie die Gewinne aufgeteilt werden sollen. Viele Exemplare wurden darüber zerbrochen.
Es gibt ein Spiel. Drei Geschäftsleute fanden gleichzeitig eine Kaution im Wert von 1 Million US-Dollar. Wenn die drei zustimmen, dann sind es eine Million. Jedes Paar kann töten (aus dem Fall entfernen) und die ganze Million für sich bekommen. Und niemand kann etwas alleine schaffen. Dies ist ein gruseliges Koop-Spiel ohne Lösung. Es wird immer zwei Personen geben, die den dritten eliminieren können ... Die kooperative Spieltheorie beginnt mit einem Beispiel, für das es keine Lösung gibt.
Wir wollen eine solche Lösung, dass keine Koalition die gemeinsame Lösung blockieren will. Die Menge aller Abteilungen, die nicht blockiert werden können, ist der Kernel. Es kommt vor, dass der Kern leer ist. Aber selbst wenn es nicht leer ist, wie kann man es teilen?
Shapley schlägt eine solche Aufteilung vor. Wirf eine Münze mit n! Kanten. Wir schreiben alle Spieler in dieser Reihenfolge aus. Sagen wir, der erste Schlagzeuger. Er kommt herein und nimmt seine 100. Dann kommt der „Zweite“, sagen wir der Solist. (Zusammen mit dem Schlagzeuger können sie 450 verdienen, der Schlagzeuger hat bereits 100 genommen) Der Solist erhält 350. Der Gitarrist steigt ein (zusammen 1000, -450), erhält 550. Der Letzte von ihnen gewinnt ziemlich oft. (Supermodularität)
Wenn wir für alle Bestellungen ausschreiben:
GSB – (Sieg C) – (Sieg D) – (Sieg B)
SGB – (Sieg C) – (Sieg D) – (Sieg B)
SBG – (Sieg C) – (Sieg D) – (Sieg B)
BSG – (Sieg C) – (Sieg D) – (Sieg B)
BGS – (Gewinn C) – (Gewinn D) – (Gewinn B)
GBS – (Sieg C) – (Sieg D) – (Sieg B)
Und für jede Spalte addieren und dividieren wir durch 6 – als Mittelwert über alle Bestellungen – Dies ist ein Shapley-Vektor.
Shapley hat den Satz (ungefähr) bewiesen: Es gibt eine Klasse von Spielen (supermodular), bei denen die nächste Person, die sich einem großen Team anschließt, einen größeren Gewinn einbringt. Der Kernel ist immer nicht leer und eine konvexe Kombination von Punkten (in unserem Fall 6 Punkte). Der Shapley-Vektor liegt genau im Zentrum des Kerns. Es kann immer als Lösung angeboten werden, niemand wird dagegen sein.
Im Jahr 1973 wurde bewiesen, dass das Problem bei Cottages supermodular ist.
Alle n Personen teilen sich den Weg zur ersten Hütte. Bis zur Sekunde - n-1 Personen. Usw.
Der Flughafen verfügt über eine Landebahn. Unterschiedliche Unternehmen benötigen unterschiedliche Längen. Es entsteht das gleiche Problem.
Ich denke, dass diejenigen, die den Nobelpreis verliehen haben, dieses Verdienst im Sinn hatten und nicht nur die Aufgabe der Marge.
Vielen Dank!
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