Nationale Forschungsuniversität „Hochschule für Wirtschaft“ (NIU WSHE) berichtet, dass der Mathematiker Ivan Remizov aus Nischni Nowgorod eine Möglichkeit für eine bedingt einfache Lösung von Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit variablen Koeffizienten gefunden hat. Fast zwei Jahrhunderte lang galten solche Gleichungen als unlösbar. Gleichzeitig spielen sie eine Schlüsselrolle in der Mathematik und den Naturwissenschaften, da sie zur Beschreibung dynamischer Prozesse verwendet werden.
Historisch war die Einschränkung mit den Ergebnissen des französischen Mathematikers Joseph Liouville verbunden, der bereits 1834 zeigte, dass Lösungen ähnlicher Gleichungen nicht durch eine endliche Anzahl standardmäßiger Operationen und elementarer Funktionen ausgedrückt werden können. Daher waren Mathematiker gezwungen, entweder nach speziellen Lösungen zu suchen oder Näherungen zu verwenden, was eine universelle Methode ausschloss und die Berechnungen erheblich erschwerte. Mit anderen Worten, es gab keine allgemeine Formel, in die man einfach „Ziffern“ einsetzen und eine Lösung erhalten konnte.
Ivan Remizov hat einen neuen Ansatz vorgeschlagen, der die Klasse der zulässigen mathematischen Operationen erweitert. Er hat nicht mit Liouville gestritten, sondern einfach ein weiteres mathematisches Werkzeug in die Gleichungen eingeführt – die Bestimmung des Grenzwertes einer Folge. Dafür nutzte der Mathematiker die Chenoweth-Theorie und die Laplace-Transformation. Dies ermöglichte ihm, eine universelle Formel zu entwickeln, die formal eine Lösung für jede Gleichung der 'unlösbaren' Klasse bietet und dabei die klassischen Einschränkungen der Theorie umgeht.
„Der Kern der Idee besteht darin, dass ein komplexer, ständig wechselnder Prozess in eine unendliche Anzahl einfacher Schritte unterteilt wird. Für jeden dieser Abschnitte wird eine eigene Approximation konstruiert – ein elementares Fragment, das das Verhalten des Systems an einem bestimmten Punkt beschreibt. Einzelne Stücke geben nur ein vereinfachtes Bild, aber wenn ihre Anzahl gegen Unendlich tendiert, verbinden sie sich nahtlos zu einem perfekt genauen Diagramm der Lösung“, wird im Pressebericht der Nationalen Forschungsuniversität NITU HSE erläutert.
»Differentialgleichungen zweiter Ordnung werden nicht nur zur Modellierung von Ereignissen der realen Welt verwendet, sondern auch zur Definition neuer Funktionen, die nicht anders angegeben werden können. Dazu gehören beispielsweise die sogenannten speziellen Funktionen von Mathieu und Hill, die entscheidend sind für das Verständnis der Bewegung von Satelliten in der Umlaufbahn oder von Protonen im Large Hadron Collider.«
In etwas komplexerer mathematischer Sprache kann man über die Entdeckung sagen, hier lesen auf der Website der National Research University Higher School of Economics (NIU VSHE). Die Arbeit ist veröffentlicht vollständig im "Wladikawkaser mathematischen Journal" veröffentlicht.
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Quelle: 3dnews.ru
