{"id":37955,"date":"2019-10-31T22:20:47","date_gmt":"2019-10-31T19:20:47","guid":{"rendered":"https:\/\/prohoster.info\/blog\/linejnaya-regressiya-i-metody-eyo-vosstanovleniya\/"},"modified":"2019-10-31T22:20:47","modified_gmt":"2019-10-31T19:20:47","slug":"linejnaya-regressiya-i-metody-eyo-vosstanovleniya","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/prohoster.info\/de\/blog\/administrirovanie\/linejnaya-regressiya-i-metody-eyo-vosstanovleniya","title":{"rendered":"Lineare Regression und Methoden ihrer Wiederherstellung.","gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"text"}]},"content":{"rendered":"

\"Lineare
\nQuelle: xkcd<\/a><\/noindex><\/i><\/p>\n

Die lineare Regression ist einer der grundlegenden Algorithmen f\u00fcr viele Bereiche der Datenanalyse. Der Grund daf\u00fcr ist offensichtlich. Es handelt sich um einen sehr einfachen und verst\u00e4ndlichen Algorithmus, der seit vielen Jahrzehnten, wenn nicht Jahrhunderten, weit verbreitet ist. Die Idee besteht darin, eine lineare Abh\u00e4ngigkeit einer Variablen von einer Reihe anderer Variablen anzunehmen und dann zu versuchen, diese Abh\u00e4ngigkeit zu rekonstruieren.<\/p>\n

In diesem Artikel geht es jedoch nicht um die Anwendung der linearen Regression zur L\u00f6sung praktischer Aufgaben. Wir werden interessante Aspekte der Implementierung verteilter Algorithmen zu ihrer Rekonstruktion betrachten, mit denen wir w\u00e4hrend der Entwicklung des Machine-Learning-Moduls in Apache Ignite<\/a><\/noindex>. Ein wenig Grundlagenwissen in Mathematik, den Grundprinzipien des maschinellen Lernens und der verteilten Berechnungen wird helfen, zu verstehen, wie man die lineare Regression rekonstruieren kann, selbst wenn die Daten auf Tausenden von Knoten verteilt sind.
\n<\/a><\/noindex><\/p>\n

Worum geht es?<\/h3>\n

\nUnser Ziel ist es, eine lineare Abh\u00e4ngigkeit wiederherzustellen. Als Eingabedaten wird eine Menge von Vektoren bereitgestellt, von denen angenommen wird, dass sie unabh\u00e4ngige Variablen darstellen, und jeder dieser Vektoren ist mit einem bestimmten Wert einer abh\u00e4ngigen Variablen verkn\u00fcpft. Diese Daten k\u00f6nnen in Form von zwei Matrizen dargestellt werden:<\/p>\n

\"Lineare<\/p>\n

\nDa eine Abh\u00e4ngigkeit angenommen wird, und zwar eine lineare, dr\u00fccken wir unsere Annahme in Form des Produkts von Matrizen aus (zur Vereinfachung wird hier und im Folgenden angenommen, dass der freie Term der Gleichung verborgen ist hinter \"Lineare, und die letzte Spalte der Matrix \"Lineare enth\u00e4lt Einsen):<\/p>\n

\"Lineare<\/p>\n

\nDas sieht sehr nach einem System linearer Gleichungen aus, nicht wahr? Es scheint so, aber wahrscheinlich hat ein solches Gleichungssystem keine L\u00f6sungen. Der Grund daf\u00fcr ist das Rauschen, das in nahezu allen realen Daten vorhanden ist. Ein weiterer Grund kann das Fehlen einer linearen Abh\u00e4ngigkeit an sich sein, gegen die man versuchen k\u00f6nnte, durch Einf\u00fchrung zus\u00e4tzlicher Variablen vorzugehen, die nichtlinear von den urspr\u00fcnglichen abh\u00e4ngen. Betrachten wir folgendes Beispiel:
\n\"Lineare
\nQuelle: Wikipedia<\/a><\/noindex><\/i><\/p>\n

Dies ist ein einfaches Beispiel f\u00fcr lineare Regression, das die Abh\u00e4ngigkeit einer Variablen (auf der Achse \"Lineare) von einer anderen Variablen (entlang der Achse \"Lineare). Damit das entsprechende System linearer Gleichungen eine L\u00f6sung hat, m\u00fcssen alle Punkte genau auf einer Linie liegen. Das ist jedoch nicht der Fall. Und sie liegen nicht auf einer Linie genau wegen des Rauschens (oder weil die Annahme einer linearen Abh\u00e4ngigkeit fehlerhaft war). Daher ist es \u00fcblich, eine weitere Annahme einzuf\u00fchren, um die lineare Abh\u00e4ngigkeit aus realen Daten wiederherzustellen: Die Eingabedaten enthalten Rauschen, und dieses Rauschen hat eine normale Verteilung<\/a><\/noindex>. Man kann auch Annahmen \u00fcber andere Arten von Rauschverteilungen treffen, aber in der \u00fcberwiegenden Mehrheit der F\u00e4lle wird tats\u00e4chlich die normale Verteilung betrachtet, \u00fcber die hier weiter gesprochen wird.<\/p>\n

Das Maximum-Likelihood-Verfahren<\/h3>\n

\nAlso haben wir das Vorhandensein von zuf\u00e4lligem, normalverteiltem Rauschen angenommen. Wie gehen wir in einer solchen Situation damit um? In der Mathematik gibt es hierf\u00fcr ein Konzept, das weit verbreitet ist das Maximum-Likelihood-Verfahren<\/a><\/noindex>. Kurz gesagt, es geht darum, der Likelihood-Funktion.<\/a><\/noindex> und diese dann zu maximieren.<\/p>\n

Kehren wir zur\u00fcck zur Wiederherstellung der linearen Abh\u00e4ngigkeit aus Daten mit normalem Rauschen. Beachten Sie, dass die angenommene lineare Abh\u00e4ngigkeit das mathematische Erwartungswert darstellt. \"Lineare eine normale Verteilung. Gleichzeitig ist die Wahrscheinlichkeit, dass \"Lineare einen bestimmten Wert annimmt, unter der Annahme, dass beobachtbare \"Lineare, folgenderma\u00dfen aus:<\/p>\n

\"Lineare<\/p>\n

\nNun setzen wir anstelle von \"Lineare und \"Lineare die ben\u00f6tigten Variablen ein:<\/p>\n

\"Lineare<\/p>\n

\nEs bleibt nur der Vektor zu finden \"Lineare, bei dem diese Wahrscheinlichkeit maximal ist. Um eine solche Funktion zu maximieren, ist es sinnvoll, sie zun\u00e4chst zu logarithmieren (der Logarithmus der Funktion erreicht sein Maximum an demselben Punkt wie die Funktion selbst):<\/p>\n

\"Lineare<\/p>\n

\nWas wiederum darauf hinausl\u00e4uft, die folgende Funktion zu minimieren:<\/p>\n

\"Lineare<\/p>\n

\n\u00dcbrigens nennt man dies die Methode der kleinsten Quadrate.<\/a><\/noindex>Oft werden alle oben genannten \u00dcberlegungen weggelassen und einfach diese Methode verwendet.<\/p>\n

QR-Zerlegung<\/h3>\n

\nDas Minimum der oben genannten Funktion kann gefunden werden, wenn der Punkt gefunden wird, an dem der Gradient dieser Funktion gleich null ist. Der Gradient wird folgenderma\u00dfen dargestellt:<\/p>\n

\"Lineare<\/p>\n

\nQR-Zerlegung<\/a><\/noindex> ist ein matrixbasierter Ansatz zur L\u00f6sung von Minimierungsproblemen, der in der Methode der kleinsten Quadrate verwendet wird. Daher schreiben wir die Gleichung in Matrixform um:<\/p>\n

\"Lineare<\/p>\n

\nAlso zerlegen wir die Matrix \"Lineare in Matrizen \"Lineare und \"Lineare und f\u00fchren eine Reihe von Transformationen durch (der Algorithmus der QR-Zerlegung wird hier nicht behandelt, nur seine Anwendung auf die gegebene Aufgabe):<\/p>\n

\"Lineare<\/p>\n

\nDie Matrix \"Lineare ist orthogonale. Dies erm\u00f6glicht es uns, das Produkt zu eliminieren \"Lineare:<\/p>\n

\"Lineare<\/p>\n

\nUnd wenn wir \"Lineare findet man \"Lineareersetzen, dann erhalten wir \"Lineare. Da \"Lineare eine obere Dreiecksmatrix ist, sieht das folgenderma\u00dfen aus:<\/p>\n

\"Lineare<\/p>\n

\nDies kann mit der Substitutionsmethode gel\u00f6st werden. Das Element \"Lineare liegt vor als \"Lineare, das vorherige Element \"Lineare liegt vor als \"Lineare usw.<\/p>\n

Hier sei darauf hingewiesen, dass die Komplexit\u00e4t des resultierenden Algorithmus aufgrund der Verwendung der QR-Zerlegung gleich ist \"Lineare. Dabei ist es, obwohl die Matrixmultiplikation gut parallelisiert werden kann, nicht m\u00f6glich, eine effiziente verteilte Version dieses Algorithmus zu schreiben.<\/p>\n

Gradientenabstieg<\/h3>\n

\nWenn es um die Minimierung einer bestimmten Funktion geht, sollte man immer die Methode des (stochastischen) Gradientenabstiegs im Hinterkopf behalten. Dies ist eine einfache und effektive Minimierungsmethode, die auf der iterativen Berechnung des Gradienten der Funktion an einem Punkt basiert und anschlie\u00dfend eine Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung des Gradienten vornimmt. Jeder solche Schritt bringt die L\u00f6sung dem Minimum n\u00e4her. Der Gradient sieht dabei weiterhin so aus:<\/p>\n

\"Lineare<\/p>\n

Diese Methode l\u00e4sst sich gut parallelisieren und verteilt dank der linearen Eigenschaften des Gradientoperators. Es ist zu beachten, dass in der oben genannten Formel unter dem Summenzeichen unabh\u00e4ngige Summanden stehen. Mit anderen Worten, wir k\u00f6nnen den Gradient unabh\u00e4ngig f\u00fcr alle Indizes berechnen. \"Lineare von eins bis \"Lineare, gleichzeitig den Gradienten f\u00fcr die Indizes von \"Lineare bis zu \"Linearezu berechnen. Anschlie\u00dfend werden die berechneten Gradienten addiert. Das Ergebnis der Addition ist dasselbe, als h\u00e4tten wir den Gradienten direkt f\u00fcr die Indizes von eins bis \"Lineareberechnet. Somit kann, wenn die Daten auf mehrere Teile verteilt sind, der Gradient unabh\u00e4ngig f\u00fcr jeden Teil berechnet und die Ergebnisse dieser Berechnungen zur Erzielung des endg\u00fcltigen Ergebnisses summiert werden:<\/p>\n

\"Lineare<\/p>\n

Aus der Sicht der Implementierung passt dies in das Paradigma MapReduce<\/a><\/noindex>. Bei jedem Schritt des Gradientenabstiegs wird jedem Datenknoten ein Auftrag zur Berechnung des Gradienten zugewiesen, dann werden die berechneten Gradienten zusammengef\u00fchrt, und das Ergebnis ihrer Summierung wird zur Verbesserung des Ergebnisses verwendet.<\/p>\n

Trotz der Einfachheit der Implementierung und der M\u00f6glichkeit, im MapReduce-Paradigma ausgef\u00fchrt zu werden, hat der Gradientabstieg auch seine Nachteile. Insbesondere ist die Anzahl der Schritte, die zur Erreichung der Konvergenz erforderlich sind, im Vergleich zu anderen, spezialisierteren Methoden erheblich h\u00f6her.<\/p>\n

LSQR<\/h3>\n

\nLSQR<\/a><\/noindex> ist ein weiterer Ansatz zur L\u00f6sung des Problems, der sowohl zur Wiederherstellung linearer Regressionen als auch zur L\u00f6sung von Systemen linearer Gleichungen geeignet ist. Sein Hauptmerkmal ist, dass es die Vorteile von Matrixmethoden und iterativen Ans\u00e4tzen vereint. Implementierungen dieser Methode sind in Bibliotheken zu finden SciPy<\/a><\/noindex>als auch in MATLAB<\/a><\/noindex>. Eine Beschreibung dieser Methode wird hier nicht gegeben (sie kann in dem Artikel gefunden werden LSQR: An algorithm for sparse linear equations and sparse least squares<\/a><\/noindex>). Stattdessen wird ein Ansatz demonstriert, der es erm\u00f6glicht, LSQR f\u00fcr den Einsatz in einer verteilten Umgebung anzupassen.<\/p>\n

Die Grundlage der LSQR-Methode ist die bidiagonalization<\/a><\/noindex>. Dies ist ein iterativer Prozess, wobei jede Iteration aus den folgenden Schritten besteht:
\n\"Lineare
\n
\nDoch wenn man davon ausgeht, dass die Matrix \"Lineare Wenn die Daten horizontal partitioniert sind, kann jede Iteration in zwei Schritte von MapReduce unterteilt werden. Dadurch wird die Daten\u00fcbertragung w\u00e4hrend jeder Iteration minimiert (nur Vektoren mit einer L\u00e4nge, die der Anzahl der Unbekannten entspricht):<\/p>\n

\"Lineare
\n
\nDieser Ansatz wird bei der Implementierung der linearen Regression in Apache Ignite ML<\/a><\/noindex>.<\/p>\n

Fazit<\/h3>\n

\nEs gibt viele Algorithmen zur Wiederherstellung der linearen Regression, aber nicht alle k\u00f6nnen unter allen Bedingungen angewendet werden. Das QR-Zerlegungsverfahren eignet sich hervorragend f\u00fcr die genaue L\u00f6sung bei kleinen Datens\u00e4tzen. Der Gradientenabstieg l\u00e4sst sich einfach umsetzen und erm\u00f6glicht eine schnelle Ann\u00e4herung an die L\u00f6sung. LSQR kombiniert die besten Eigenschaften der beiden vorherigen Algorithmen, da er verteilbar ist, schneller konvergiert als der Gradientenabstieg und im Gegensatz zur QR-Zerlegung eine vorzeitige Beendigung des Algorithmus zur Suche nach einer Approximationsl\u00f6sung zul\u00e4sst.
\n
Quelle: habr.com<\/a><\/p>","protected":false,"gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"html"}]},"excerpt":{"rendered":"

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