{"id":53444,"date":"2019-12-02T00:00:00","date_gmt":"2019-12-01T21:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/prohoster.info\/blog\/blog_prohoster\/shema-razdeleniya-sekreta-shamira"},"modified":"2020-02-18T14:01:21","modified_gmt":"2020-02-18T11:01:21","slug":"shema-razdeleniya-sekreta-shamira","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/prohoster.info\/de\/blog\/administrirovanie\/shema-razdeleniya-sekreta-shamira","title":{"rendered":"Schema zur Geheimenteilung von Shamir","gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"text"}]},"content":{"rendered":"

Betrachten wir das Szenario, in dem die Sicherheit des Bankschlie\u00dffachs gew\u00e4hrleistet werden muss. Es gilt als v\u00f6llig unzug\u00e4nglich ohne den Schl\u00fcssel, den Sie am ersten Arbeitstag erhalten. Ihr Ziel ist es, den Schl\u00fcssel sicher aufzubewahren.<\/p>\n

Angenommen, Sie haben beschlossen, den Schl\u00fcssel immer bei sich zu tragen und den Zugang zum Schlie\u00dffach nach Bedarf zu gew\u00e4hren. Aber Sie werden schnell feststellen, dass diese L\u00f6sung in der Praxis nicht gut skalierbar ist, da Sie jedes Mal physisch anwesend sein m\u00fcssen, um das Schlie\u00dffach zu \u00f6ffnen. Und was ist mit dem Urlaub, der Ihnen versprochen wurde? Au\u00dferdem stellt sich die noch beunruhigendere Frage: Was passiert, wenn Sie den einzigen Schl\u00fcssel verlieren?<\/p>\n

Mit dem Gedanken an den Urlaub haben Sie beschlossen, eine Kopie des Schl\u00fcssels zu machen und diese einem anderen Mitarbeiter anzuvertrauen. Doch Sie verstehen, dass dies auch nicht ideal ist. Indem Sie die Anzahl der Schl\u00fcssel verdoppeln, haben Sie auch die M\u00f6glichkeiten f\u00fcr Diebstahl des Schl\u00fcssels verdoppelt.<\/p>\n

Verzweifelt zerst\u00f6ren Sie das Duplikat und beschlie\u00dfen, den urspr\u00fcnglichen Schl\u00fcssel in zwei H\u00e4lften zu teilen. Jetzt denken Sie, dass zwei vertrauensw\u00fcrdige Personen mit den Teilen des Schl\u00fcssels physisch anwesend sein m\u00fcssen, um den Schl\u00fcssel zusammenzusetzen und das Schlie\u00dffach zu \u00f6ffnen. Das bedeutet, dass der Dieb zwei Teile stehlen m\u00fcsste, was doppelt so schwierig ist wie der Diebstahl eines einzelnen Schl\u00fcssels. Allerdings stellen Sie bald fest, dass dieses System nicht viel besser ist als nur ein Schl\u00fcssel, denn wenn jemand die H\u00e4lfte des Schl\u00fcssels verliert, kann der gesamte Schl\u00fcssel nicht wiederhergestellt werden.
\n<\/a><\/noindex>
\nDas Problem kann durch eine Reihe zus\u00e4tzlicher Schl\u00fcssel und Schl\u00f6sser gel\u00f6st werden, aber dieser Ansatz erfordert schnell viele<\/i> Schl\u00fcssel und Schl\u00f6sser. Sie beschlie\u00dfen, dass in einem idealen Schema der Schl\u00fcssel geteilt werden sollte, damit die Sicherheit nicht vollst\u00e4ndig von einer einzelnen Person abh\u00e4ngt. Sie kommen auch zu dem Schluss, dass es eine bestimmte Schwelle an Fragmenten geben sollte, damit bei Verlust eines Fragments (oder wenn die Person im Urlaub ist) der gesamte Schl\u00fcssel funktionsf\u00e4hig bleibt.<\/p>\n

Wie man ein Geheimnis teilt<\/h1>\n

\n\u00dcber diesen Typ von Schl\u00fcsselverwaltungssystem dachte Adi Shamir im Jahr 1979, als er seine Arbeit ver\u00f6ffentlichte \u201eWie man ein Geheimnis teilt\u201c<\/a><\/noindex>. In dem Artikel wird die sogenannte \"Schema Schwellenschema f\u00fcr die effektive Aufteilung eines geheimen Wertes (z. B. eines kryptografischen Schl\u00fcssels) in \"Schema Teile erkl\u00e4rt. Danach kann das Geheimnis leicht wiederhergestellt werden, wenn und nur wenn mindestens \"Schema aus \"Schema Teile zusammengebracht werden. \"Schema.<\/p>\n

Aus sicherheitstechnischer Sicht ist eine wichtige Eigenschaft dieses Schemas, dass ein Angreifer absolut nichts erfahren sollte, wenn er nicht mindestens \"Schema Teile hat. Selbst das Vorhandensein von \"Schema Teilen sollte keine Informationen liefern. Wir nennen dieses Merkmal semantische Sicherheit<\/i>.<\/p>\n

Polynominterpolation<\/h1>\n

\nDas Shamir-Schema \"Schema basiert auf dem Konzept der Polynominterpolation<\/b>. Wenn Sie mit diesem Konzept nicht vertraut sind, ist es tats\u00e4chlich ziemlich einfach. Im Grunde genommen, wenn Sie jemals Punkte auf einem Diagramm gezeichnet haben und dann diese mit Linien oder Kurven verbunden haben, haben Sie es bereits verwendet!<\/p>\n

\"Schema
\nDurch zwei Punkte kann eine unbegrenzte Anzahl von Polynomen zweiten Grades gef\u00fchrt werden. Um eines von ihnen auszuw\u00e4hlen, ben\u00f6tigt man einen dritten Punkt. Illustration: Wikipedia<\/a><\/noindex><\/i> <\/p>\n

Betrachten wir ein Polynom ersten Grades, \"Schema. Wenn Sie diese Funktion auf einem Diagramm darstellen m\u00f6chten, wie viele Punkte ben\u00f6tigen Sie? Nun, wir wissen, dass es sich um eine lineare Funktion handelt, die eine Linie bildet, und daher sind mindestens zwei Punkte erforderlich. Lassen Sie uns nun eine polynomiale Funktion zweiten Grades betrachten, \"Schema. Das ist eine quadratische Funktion, daher ben\u00f6tigt man f\u00fcr die Erstellung des Diagramms mindestens drei Punkte. Wie sieht es mit einem Polynom dritten Grades aus? Mindestens vier Punkte. Und so weiter.<\/p>\n

Das wirklich Tolle an dieser Eigenschaft ist, dass wir, wenn wir den Grad der polynomialen Funktion und mindestens \"Schema Punkte ber\u00fccksichtigen, zus\u00e4tzliche Punkte f\u00fcr diese polynomiale Funktion ableiten k\u00f6nnen. Die Extrapolation dieser zus\u00e4tzlichen Punkte nennen wir Polynominterpolation<\/i>.<\/p>\n

Geheimnisbildung<\/h1>\n

\nM\u00f6glicherweise haben Sie bereits erkannt, dass hier das clevere Shamir-Schema ins Spiel kommt. Nehmen wir an, unser Geheimnis ist \"Schema sind \"Schema. Wir k\u00f6nnen \"Schema in einen Punkt auf einem Diagramm umwandeln \"Schema und eine polynomiale Funktion vom Grad \"Schemaerfinden, die diesem Punkt entspricht. Denken Sie daran, dass \"Schema unser Schwellenwert f\u00fcr erforderliche Teile sein wird, sodass wir, wenn wir den Schwellenwert auf drei Teile setzen, eine polynomiale Funktion zweiten Grades w\u00e4hlen m\u00fcssen.<\/p>\n

Unser Polynom wird die Form haben von \"Schema

\"Schema und \"Schema \u2013 zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlte positive ganze Zahlen. Wir erstellen lediglich ein Polynom vom Grad \"Schema, wobei der freie Koeffizient \"Schema\u00a0unser Geheimnis ist \"Schema, und jeder der folgenden \"Schema Es gibt einen zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlten positiven Koeffizienten. Wenn wir zu unserem urspr\u00fcnglichen Beispiel zur\u00fcckkehren und annehmen, dass \"Schema, dann erhalten wir die Funktion \"Schema.<\/p>\n

An diesem Punkt k\u00f6nnen wir Fragmente generieren, indem wir \"Schema einzigartige ganze Zahlen in \"Schema

\"Schema (weil das unser Geheimnis ist). In diesem Beispiel m\u00f6chten wir vier Fragmente mit einer Schwelle von drei verteilen, also generieren wir zuf\u00e4llig Punkte \"Schema und senden jeweils einen Punkt an jede der vier vertrauensw\u00fcrdigen Personen, den Schl\u00fcsselspeichern. Wir teilen den Leuten auch mit, dass \"Schema, da dies als \u00f6ffentliche Information angesehen wird und zur Wiederherstellung erforderlich ist. \"Schema.<\/p>\n

Wiederherstellung des Geheimnisses<\/h1>\n

\nWir haben bereits das Konzept der polynomialen Interpolation und deren Grundlage f\u00fcr das Shamir-Schema besprochen. \"SchemaWenn drei beliebige der vier vertrauensw\u00fcrdigen Personen wiederherstellen m\u00f6chten \"Schema, m\u00fcssen sie nur interpolieren \"Schema mit ihren einzigartigen Punkten. Sie k\u00f6nnen dazu ihre Punkte \"Schema festlegen und das Interpolationspolynom von Lagrange anhand der folgenden Formel berechnen. Wenn Programmierung f\u00fcr Sie verst\u00e4ndlicher ist als Mathematik, ist Pi im Grunde genommen der Operator for<\/code>, der alle Ergebnisse multipliziert, und Sigma ist das for<\/code>, das alles addiert.<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nBei \"Schema Wir k\u00f6nnen das wie folgt l\u00f6sen und unsere urspr\u00fcngliche polynomial Funktion zur\u00fcckgeben:<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nDa wir wissen, dass \"Schema, erfolgt die Wiederherstellung \"Schema einfach:<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

<\/p>\n

Verwendung von unsicherer ganzzahliger Arithmetik<\/h1>\n

\nObwohl wir die Hauptidee von Shamir erfolgreich angewendet haben \"Schema, haben wir ein Problem, das wir bis zu diesem Zeitpunkt ignoriert haben. Unsere polynomiale Funktion verwendet unsichere ganzzahlige Arithmetik. Denken Sie daran, dass f\u00fcr jeden zus\u00e4tzlichen Punkt, den der Angreifer auf dem Graphen unserer Funktion erh\u00e4lt, weniger M\u00f6glichkeiten f\u00fcr andere Punkte bleiben. Sie k\u00f6nnen dies selbst sehen, wenn Sie einen Graphen mit zunehmender Anzahl an Punkten f\u00fcr die polynomial Funktion mit ganzzahliger Arithmetik erstellen. Es ist kontraproduktiv f\u00fcr unser angegebenes Sicherheitsziel, weil ein Angreifer absolut nichts wissen sollte, bis er mindestens \"Schema Fragmente hat.<\/p>\n

Um zu demonstrieren, wie schwach das Schema mit ganzzahliger Arithmetik ist, betrachten wir ein Szenario, in dem der Angreifer zwei Punkte erhalten hat \"Schema und die \u00f6ffentliche Information kennt, dass \"Schema. Aus dieser Information kann er ableiten \"Schema, die gleich zwei betr\u00e4gt, und bekannte Werte in die Formel einf\u00fcgen \"Schema und \"Schema.<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\n Dann kann der Angreifer herausfinden \"Schema, indem er berechnet \"Schema:<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nDa wir definiert haben \"Schema als zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlte positive ganze Zahlen, gibt es eine begrenzte Anzahl m\u00f6glicher \"Schema. Mit diesen Informationen kann der Angreifer ableiten \"Schema, da alles, was gr\u00f6\u00dfer als 5 ist, dazu f\u00fchrt, dass \"Schema negativ wird. Das stellt sich als wahr heraus, da wir definiert haben \"Schema<\/p>\n

Dann kann der Angreifer m\u00f6gliche Werte berechnen \"Schema, indem er ersetzt \"Schema in \"Schema:<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nMit einer begrenzten Auswahl an Optionen f\u00fcr \"Schema wird klar, wie einfach es ist, Werte zu erraten und zu \u00fcberpr\u00fcfen \"Schema. Hier gibt es insgesamt f\u00fcnf Optionen.<\/p>\n

Das Problem mit unsicherer ganzzahliger Arithmetik l\u00f6sen<\/h1>\n

\nUm diese Schwachstelle zu beseitigen, schl\u00e4gt Shamir vor, modulare Arithmetik zu verwenden, indem er \"Schema auf \"Schema

\"Schema und \"Schema \u2013 die Menge aller Primzahlen.<\/p>\n

Erinnern wir uns schnell, wie die modulare Arithmetik funktioniert. Uhren mit Zeigern sind ein bereits bekanntes Konzept. Sie verwenden Uhren, die \"Schema. Sobald der Stundenzeiger vorbei an zw\u00f6lf ist, kehrt er zur\u00fcck zu eins. Eine interessante Eigenschaft dieses Systems ist, dass wir einfach durch Blick auf die Uhr nicht ableiten k\u00f6nnen, wie viele Umdrehungen der Stundenzeiger gemacht hat. Wenn wir jedoch wissen, dass der Stundenzeiger viermal an 12 vorbeigekommen ist, k\u00f6nnen wir die Anzahl der vergangenen Stunden mit einer einfachen Formel vollst\u00e4ndig bestimmen \"Schema

\"Schema\u00a0\u2013 das ist unser Teiler (hier \"Schema), \"Schema\u00a0\u2013 der Quotient (wie oft der Teiler ohne Rest in die urspr\u00fcngliche Zahl passt, hier \"Schema), und \"Schema\u00a0\u2013 der Rest, der normalerweise vom Modulo-Operator zur\u00fcckgegeben wird (hier \"Schema). Das Wissen um all diese Werte erm\u00f6glicht es uns, die Gleichung f\u00fcr \"Schemazu l\u00f6sen, aber wenn wir den Quotienten weglassen, k\u00f6nnen wir den Ausgangswert niemals wiederherstellen.<\/p>\n

Es kann gezeigt werden, wie dies die Sicherheit unseres Schemas verbessert, indem wir das Schema auf unser vorheriges Beispiel anwenden und \"Schema. Unsere neue polynomialfunktion \"Schema, und die neuen Punkte \"Schema. Jetzt k\u00f6nnen die Schl\u00fcsselhalter die polynomialen Interpolation erneut verwenden, um unsere Funktion wiederherzustellen, nur dass die Operationen Addition und Multiplikation jetzt mit Reduktion modulo durchgef\u00fchrt werden m\u00fcssen \"Schema (z.B. \"Schema).<\/p>\n

Angenommen, in diesem neuen Beispiel hat der Angreifer zwei dieser neuen Punkte herausgefunden, \"Schema, und \u00f6ffentliche Informationen \"Schema. Diesmal leitet der Angreifer basierend auf allen ihm vorliegenden Informationen die folgenden Funktionen ab, in denen \"Schema\u00a0eine Menge aller positiven ganzen Zahlen und \"Schema den Modulkoeffizienten darstellt. \"Schema.<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nJetzt findet unser Angreifer wieder \"Schema, indem er berechnet, \"Schema:<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nDann versucht er erneut, abzuleiten, \"Schema, indem er ersetzt \"Schema in \"Schema:<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nDiesmal hat er ein ernsthaftes Problem. In der Formel fehlen Werte \"Schema, \"Schema und \"Schema. Da es unendlich viele Kombinationen dieser Variablen gibt, kann er keine zus\u00e4tzlichen Informationen erhalten.<\/p>\n

Sicherheits\u00fcberlegungen<\/h1>\n

\nDas Shamir-Schema zur Geheimnisaufteilung bietet Sicherheit aus informationstheoretischer Sicht<\/i>. Das bedeutet, dass die Mathematik auch gegen einen Angreifer mit unbegrenzter Rechenleistung robust ist. Das Schema hat jedoch mehrere bekannte Probleme.<\/p>\n

Zum Beispiel erzeugt das Shamir-Schema keine pr\u00fcfbaren Fragmente,<\/i>das hei\u00dft, Menschen k\u00f6nnen problemlos gef\u00e4lschte Fragmente vorlegen und die Wiederherstellung des richtigen Geheimnisses st\u00f6ren. Ein feindlicher Fragmentverwalter mit ausreichenden Informationen kann sogar ein anderes Fragment erzeugen und \"Schema nach Belieben ver\u00e4ndern. Dieses Problem wird durch pr\u00fcfbare Geheimnisaufteilungsschemata<\/i>, wie das Feldman-Schema, gel\u00f6st.<\/p>\n

Ein weiteres Problem ist, dass die L\u00e4nge jedes Fragments der L\u00e4nge des entsprechenden Geheimnisses entspricht, sodass die L\u00e4nge des Geheimnisses leicht ermittelt werden kann. Dieses Problem wird durch triviales Padding<\/i> des Geheimnisses mit beliebigen Zahlen auf eine feste L\u00e4nge gel\u00f6st.<\/p>\n

Schlie\u00dflich ist es wichtig zu beachten, dass unsere Bedenken hinsichtlich der Sicherheit \u00fcber das Schema selbst hinausgehen k\u00f6nnen. In realen kryptografischen Anwendungen besteht oft die Bedrohung von Seitenkanalangriffen, bei denen ein Angreifer versucht, n\u00fctzliche Informationen aus der Laufzeitleistung der Anwendung, dem Caching, Abst\u00fcrzen usw. zu extrahieren. Wenn dies Bedenken aufwirft, sollten w\u00e4hrend der Entwicklung Schutzma\u00dfnahmen wie Funktionen und Suchen mit konstanter Laufzeit in Betracht gezogen werden, um das Speichern von Daten auf der Festplatte zu verhindern und eine Reihe anderer Faktoren zu bedenken, die \u00fcber diesen Artikel hinausgehen.<\/p>\n

Demo<\/h1>\n

\nAuf dieser Seite<\/a><\/noindex> Es gibt eine interaktive Demo des Shamir-G geheimnisaufteilungsschemas. Die Demo basiert auf der Bibliothek ssss-js<\/a><\/noindex>, die selbst ein JavaScript-Port des beliebten Programms ist ssss<\/a><\/noindex>Bitte beachten Sie, dass die Berechnung gro\u00dfer Werte \"Schema, \"Schema und \"Schema eine gewisse Zeit in Anspruch nehmen kann.
\n
Quelle: habr.com<\/a><\/p>","protected":false,"gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"html"}]},"excerpt":{"rendered":"

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