{"id":53777,"date":"2019-12-10T00:00:00","date_gmt":"2019-12-09T21:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/prohoster.info\/blog\/blog_prohoster\/privodim-uravnenie-linejnoj-regressii-v-matrichnyj-vid"},"modified":"2020-02-18T14:01:42","modified_gmt":"2020-02-18T11:01:42","slug":"privodim-uravnenie-linejnoj-regressii-v-matrichnyj-vid","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/prohoster.info\/de\/blog\/news\/privodim-uravnenie-linejnoj-regressii-v-matrichnyj-vid","title":{"rendered":"Wir bringen die Gleichung der linearen Regression in matrixform.","gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"text"}]},"content":{"rendered":"

\"Wir
\n
\nZiel des Artikels ist es, angehenden Data Scientists Unterst\u00fctzung zu bieten. In vorherigen Artikel<\/a><\/noindex> haben wir drei Methoden zur L\u00f6sung der Gleichung der linearen Regression anschaulich erkl\u00e4rt: analytische L\u00f6sung, Gradientenabstieg und stochastischer Gradientenabstieg. F\u00fcr die analytische L\u00f6sung haben wir die Formel angewendet \"Wir. In diesem Artikel werden wir, wie aus dem Titel hervorgeht, die Anwendung dieser Formel begr\u00fcnden oder mit anderen Worten selbst ableiten. <\/p>\n

Warum es sinnvoll ist, der Formel mehr Aufmerksamkeit zu schenken \"Wir? <\/p>\n

Mit der matrixbasierten Gleichung beginnt in den meisten F\u00e4llen die Einf\u00fchrung in die lineare Regression. Dabei fehlen h\u00e4ufig detaillierte Herleitungen, wie die Formel abgeleitet wurde.
\n<\/a><\/noindex>
\nZum Beispiel wird in den Machine Learning-Kursen von Yandex, wenn den Zuh\u00f6rern die Regularisierung vorgestellt wird, empfohlen, Funktionen aus der Bibliothek sklearn<\/i>, zu verwenden, ohne jedoch ein Wort \u00fcber die matrixbasierte Darstellung des Algorithmus zu verlieren. In diesem Moment k\u00f6nnten einige Zuh\u00f6rer den Wunsch versp\u00fcren, sich intensiver mit diesem Thema zu befassen \u2014 also Code zu schreiben, ohne fertige Funktionen zu nutzen. Dazu muss man zun\u00e4chst die Gleichung mit dem Regularisierer in matrixbasierter Form darstellen. Dieser Artikel wird genau denjenigen helfen, die solche F\u00e4higkeiten erwerben m\u00f6chten. Lass uns anfangen.<\/p>\n

Ausgangsbedingungen<\/h2>\n

<\/p>\n

Zielkennzahlen<\/h3>\n

\nWir haben eine Reihe von Werten der Zielkennzahl. Zum Beispiel k\u00f6nnte die Zielkennzahl der Preis eines bestimmten Verm\u00f6genswerts sein: \u00d6l, Gold, Weizen, Dollar usw. Dabei verstehen wir unter einer Reihe von Werten der Zielkennzahl die Anzahl der Beobachtungen. Solche Beobachtungen k\u00f6nnten beispielsweise die monatlichen Preise f\u00fcr \u00d6l \u00fcber ein Jahr hinweg sein, das hei\u00dft, wir h\u00e4tten 12 Werte f\u00fcr die Zielkennzahl. Lassen Sie uns beginnen, Bezeichnungen einzuf\u00fchren. Wir bezeichnen jeden Wert der Zielkennzahl als \"Wir. Insgesamt haben wir \"Wir Beobachtungen, und daher k\u00f6nnen wir unsere Beobachtungen als \"Wir.<\/p>\n

Regressoren darstellen.<\/h3>\n

\nLassen Sie uns annehmen, dass es Faktoren gibt, die in gewissem Ma\u00dfe die Werte der Zielgr\u00f6\u00dfe erkl\u00e4ren. Beispielsweise hat der Kurs des Dollar\/Rubel-Paares starken Einfluss durch den \u00d6lpreis, den Leitzins der Fed usw. Solche Faktoren werden als Regressoren bezeichnet. Jedes Wert der Zielgr\u00f6\u00dfe sollte einem Wert des Regressors entsprechen, das hei\u00dft, wenn wir 12 Zielgr\u00f6\u00dfen f\u00fcr jeden Monat im Jahr 2018 haben, dann sollten wir auch 12 Werte der Regressoren f\u00fcr denselben Zeitraum haben. Bezeichnen wir die Werte jedes Regressors durch \"Wir. Nehmen wir in unserem Fall an, dass es \"Wir Regressoren gibt (d.h. \"Wir Faktoren, die die Werte der Zielgr\u00f6\u00dfe beeinflussen). Das bedeutet, dass unsere Regressoren wie folgt dargestellt werden k\u00f6nnen: f\u00fcr den 1. Regressor (zum Beispiel, der \u00d6lpreis): \"Wir, f\u00fcr den 2. Regressor (zum Beispiel, den Leitzins der Fed): \"Wir, f\u00fcr «\"Wir-ten» Regressoren: \"Wir<\/p>\n

Die Abh\u00e4ngigkeit der Zielgr\u00f6\u00dfen von den Regressoren<\/h3>\n

\nAngenommen, die Abh\u00e4ngigkeit der Zielgr\u00f6\u00dfe \"Wir von den Regressoren «\"Wir-tem» Beobachtungswert kann durch eine lineare Regression in der Form ausgedr\u00fcckt werden:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

\"Wir \u2014 «\"Wir-tes» Regressorenwert von 1 bis \"Wir,<\/p>\n

\"Wir \u2014 Anzahl der Regressoren von 1 bis \"Wir<\/p>\n

\"Wir \u2014 Steigungskoeffizienten, die den Betrag repr\u00e4sentieren, um den sich die berechnete Zielgr\u00f6\u00dfe im Durchschnitt \u00e4ndert, wenn sich der Regressor \u00e4ndert. <\/p>\n

Anders gesagt, f\u00fcr jeden (au\u00dfer \"Wir) Regressor bestimmen wir den \"eigenen\" Koeffizienten \"Wir, dann multiplizieren wir die Koeffizienten mit den Werten der Regressoren «\"Wir-tem» Beobachtungswert, sodass wir eine gewisse Ann\u00e4herung «\"Wir-tem» Zielwert erhalten.<\/p>\n

Folglich m\u00fcssen wir solche Koeffizienten finden \"Wir, bei denen die Werte unserer approximierenden Funktion \"Wir m\u00f6glichst nahe an den Werten der Zielgr\u00f6\u00dfen liegen.<\/p>\n

Bewertung der Qualit\u00e4t der approximierenden Funktion<\/h3>\n

\nWir werden die Bewertung der Qualit\u00e4t der approximierenden Funktion mit der Methode der kleinsten Quadrate bestimmen. Die Funktion zur Bewertung der Qualit\u00e4t sieht in diesem Fall wie folgt aus:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Wir m\u00fcssen solche Werte f\u00fcr die Koeffizienten $w$ finden, bei denen der Wert \"Wir am kleinsten ist.<\/p>\n

\u00dcbersetzen wir die Gleichung in matrixform<\/h2>\n

<\/p>\n

Vektorielle Darstellung<\/h3>\n

\nUm es uns zun\u00e4chst einfacher zu machen, sollten wir auf die Gleichung der linearen Regression achten und feststellen, dass der erste Koeffizient \"Wir multipliziert sich nicht mit einem Regressor. Wenn wir die Daten jedoch in matrize Form bringen, wird das oben genannte Umstand die Berechnungen erheblich komplizieren. In diesem Zusammenhang wird vorgeschlagen, einen weiteren Regressor f\u00fcr den ersten Koeffizienten einzuf\u00fchren. \"Wir und es auf eins setzen. Genauer gesagt, jede «\"Wir-te» Wert dieses Regressors setzen wir auf eins \u2014 denn bei der Multiplikation mit eins \u00e4ndert sich aus Sicht der Berechnungsergebnisse nichts, w\u00e4hrend sich aus Sicht der Regeln der Matrizenmultiplikation unsere M\u00fchen erheblich reduzieren werden. <\/p>\n

Jetzt, f\u00fcr eine gewisse Zeit, um das Material zu vereinfachen, nehmen wir an, dass wir nur einen «\"Wir-ten» Beobachtungswert haben. Dann stellen wir die Werte der Regressoren «\"Wir-ten» Beobachtungswert als Vektor dar. \"WirDer Vektor \"Wir hat die Dimension \"Wir, das hei\u00dft \"Wir Zeilen und 1 Spalte:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Die gesuchten Koeffizienten stellen wir als Vektor dar \"Wir, der die Dimension \"Wir:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Die lineare Regressionsgleichung f\u00fcr «\"Wir-ten» Beobachtungswert hat die Form: <\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Die Bewertungsfunktion der Qualit\u00e4t des linearen Modells hat die Form:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Wir weisen darauf hin, dass wir gem\u00e4\u00df den Regeln der Matrizenmultiplikation den Vektor \"Wir.<\/p>\n

transponieren mussten. Mathematisches Modell<\/h3>\n

\nDas Ergebnis der Vektormultiplikation wird eine Zahl sein: \"Wir, was zu erwarten war. Diese Zahl ist die Ann\u00e4herung an «\"Wir-ten» Zielwert. Aber wir ben\u00f6tigen eine Ann\u00e4herung nicht nur f\u00fcr einen Zielwert, sondern f\u00fcr alle. Dazu schreiben wir alle «\"Wir-ten» Regressoren im Matrixformat auf. \"Wir. Die erhaltene Matrix hat die Dimension \"Wir:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Jetzt wird die Gleichung der linearen Regression die Form annehmen:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Wir nennen die Werte der Zielwerte (alle \"Wir) den Vektor \"Wir mit der Dimension \"Wir:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Jetzt k\u00f6nnen wir die Gleichung zur Bewertung der Qualit\u00e4t des linearen Modells im matritzen Format aufschreiben:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Wirklich, aus dieser Formel ergibt sich sp\u00e4ter die bekannte Formel \"Wir<\/p>\n

Wie wird das durchgef\u00fchrt? Die Klammern werden ge\u00f6ffnet, die Differenzierung wird durchgef\u00fchrt, die erhaltenen Ausdr\u00fccke werden umgeformt usw., und genau damit werden wir uns jetzt besch\u00e4ftigen.<\/p>\n

Matrixumformungen<\/h2>\n

<\/p>\n

\u00d6ffnen wir die Klammern<\/h3>\n

\n\"Wir<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Bereiten wir die Gleichung f\u00fcr die Differenzierung vor.<\/h3>\n

\nDaf\u00fcr werden wir einige Umformungen vornehmen. In den folgenden Berechnungen wird es uns bequemer sein, wenn der Vektor \"Wir am Anfang jeder Multiplikation in der Gleichung dargestellt wird.<\/p>\n

Transformation 1<\/h4>\n

\n\"Wir<\/p>\n

Wie ist das passiert? Um diese Frage zu beantworten, gen\u00fcgt es, die Dimensionen der multiplizierten Matrizen anzusehen und zu erkennen, dass wir als Ergebnis eine Zahl oder anders erhalten. \"Wir.<\/p>\n

Lass uns die Dimensionen der Matrixausdr\u00fccke aufschreiben.<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Transformation 2<\/h4>\n

\n\"Wir<\/p>\n

Lass uns analog zur Transformation 1 weiterverfahren.<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung, die wir jetzt ableiten m\u00fcssen:
\n\"Wir<\/p>\n

Wir leiten die Funktion zur Qualit\u00e4tsbewertung des Modells ab.<\/h2>\n

\nWir differenzieren nach dem Vektor. \"Wir:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

\n\"Wir<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Es sollten keine Fragen auftauchen, aber die Operationen zur Definition der Ableitungen in zwei anderen Ausdr\u00fccken werden wir n\u00e4her behandeln. \"Wir Differenzierung 1<\/p>\n

Lass uns die Differenzierung aufschl\u00fcsseln:<\/h3>\n

\nUm die Ableitung einer Matrix oder eines Vektors zu bestimmen, m\u00fcssen wir schauen, was sich darin verbirgt. Wir sehen uns an: \"Wir<\/p>\n

Bezeichnen wir das Produkt der Matrizen<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

\"Wir \"Wir<\/p>\n

durch die Matrix \"Wir . Die Matrix ist quadratisch und zudem symmetrisch. Diese Eigenschaften werden uns sp\u00e4ter n\u00fctzlich sein, wir merken sie uns. Die Matrix \"WirJetzt besteht unsere Aufgabe darin, die Vektoren richtig mit der Matrix zu multiplizieren und nicht \"zweimal zwei f\u00fcnf\" zu erhalten, also konzentrieren wir uns und seien wir \u00e4u\u00dferst vorsichtig. \"Wir Allerdings haben wir einen komplexen Ausdruck erhalten! Tats\u00e4chlich haben wir eine Zahl \u2014 ein Skalar \u2014 erhalten. Und jetzt, wirklich, gehen wir zur Differenzierung \u00fcber. Es ist notwendig, die Ableitung des erhaltenen Ausdrucks nach jedem Koeffizienten zu finden \"Wir hat die Dimension \"Wir:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

und als Ergebnis einen Vektor der Dimension<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

. Vorsichtshalber werde ich die Vorg\u00e4nge aufschreiben: \"Wir 1) Wir differenzieren nach \"Wir, das Ergebnis lautet:<\/p>\n

2) Wir differenzieren nach \"Wir3) Wir differenzieren nach \"Wir<\/p>\n

Als Ergebnis \u2014 der versprochene Vektor der Gr\u00f6\u00dfe \"Wir3) Wir differenzieren nach \"Wir<\/p>\n

Wenn man sich den Vektor genauer anschaut, kann man bemerken, dass die linken und entsprechenden rechten Elemente des Vektors so gruppiert werden k\u00f6nnen, dass letztendlich aus dem gegebenen Vektor der Vektor \"Wir3) Wir differenzieren nach \"Wir<\/p>\n

der Gr\u00f6\u00dfe \"Wir:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

(linkes Element der oberen Zeile des Vektors) \"Wir (rechtes Element der oberen Zeile des Vektors) kann dargestellt werden als \"Wir. Zum Beispiel, \"Wir \u2014 wie \"Wir und so weiter f\u00fcr jede Zeile. Lassen Sie uns gruppieren: \"Wir, und \"Wir Wir heben den Vektor \"Wir und erhalten als Ergebnis:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Jetzt schauen wir uns die entstandene Matrix an. Die Matrix stellt die Summe von zwei Matrizen dar \"Wir Erinnern wir uns, dass wir vorhin eine wichtige Eigenschaft der Matrix festgestellt haben<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

\u2014 sie ist symmetrisch. Basierend auf dieser Eigenschaft k\u00f6nnen wir mit Sicherheit sagen, dass der Ausdruck \"Wir:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

gleich ist \"Wir . Das l\u00e4sst sich leicht \u00fcberpr\u00fcfen, indem wir das Matrizenprodukt elementweise aufl\u00f6sen. \"Wir entspricht \"Wir. Es ist einfach zu \u00fcberpr\u00fcfen, indem man das Produkt der Matrizen elementweise aufschl\u00fcsselt. \"Wir. Wir werden das hier nicht tun, wer m\u00f6chte, kann die Pr\u00fcfung selbst durchf\u00fchren. <\/p>\n

Kehren wir zu unserem Ausdruck zur\u00fcck. Nach unseren Umwandlungen sieht es so aus, wie wir es uns gew\u00fcnscht haben:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

So, das erste Differenzieren haben wir geschafft. Wir gehen zum zweiten Ausdruck \u00fcber.<\/p>\n

Differenzierung 2<\/h3>\n

\n\"Wir<\/p>\n

Wir gehen den ausgetretenen Pfad. Er wird viel k\u00fcrzer sein als der vorherige, also gehen Sie nicht zu weit vom Bildschirm weg.<\/p>\n

Lassen Sie uns die Vektoren und die Matrix_element f\u00fcr Element aufschl\u00fcsseln:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Vor\u00fcbergehend entfernen wir die Zwei aus den Berechnungen \u2014 sie spielt keine gro\u00dfe Rolle, sp\u00e4ter setzen wir sie wieder ein. Multiplizieren wir die Vektoren mit der Matrix. Zuerst multiplizieren wir die Matrix \"Wir mit dem Vektor \"Wir, hier gibt es keine Einschr\u00e4nkungen. Wir erhalten einen Vektor der Gr\u00f6\u00dfe \"Wir:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

F\u00fchren wir die n\u00e4chste Operation durch \u2014 multiplizieren wir den Vektor \"Wir mit dem erhaltenen Vektor. Das Ergebnis wird eine Zahl sein:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Die werden wir differenzieren. Das Ergebnis wird einen Vektor der Dimension \"Wir:<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Erinnerst du dich an etwas? Genau! Das ist das Produkt der Matrix \"Wir mit dem Vektor \"Wir. <\/p>\n

So wurde die zweite Differenzierung erfolgreich abgeschlossen.<\/p>\n

Zum Abschluss<\/h2>\n

\nJetzt wissen wir, wie die Gleichheit zustande kam \"Wir.<\/p>\n

Zum Schluss beschreiben wir den schnellen Weg der Umwandlungen grundlegender Formeln.<\/p>\n

Bewerten wir die Qualit\u00e4t des Modells gem\u00e4\u00df der Methode der kleinsten Quadrate:<\/b>
\n\"Wir<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Wir differenzieren den erhaltenen Ausdruck:<\/b>
\n\"Wir \"Wir<\/p>\n

\"Wir<\/p>\n

Literatur<\/h2>\n

\nInternetquellen:<\/b><\/u><\/p>\n

1) habr.com\/ru\/post\/278513<\/a><\/noindex><\/i>
\n2) habr.com\/ru\/company\/ods\/blog\/322076<\/a><\/noindex><\/i>
\n3) habr.com\/ru\/post\/307004<\/a><\/noindex><\/i>
\n4) nabatchikov.com\/blog\/view\/matrix_der<\/a><\/noindex><\/i><\/p>\n

Lehrb\u00fccher, Aufgabensammlungen:<\/b><\/u><\/p>\n

1) Vorlesungsnotizen zur h\u00f6heren Mathematik: vollst\u00e4ndiger Kurs \/ D.T. Pismennyi \u2013 4. Aufl. \u2013 Moskau: Iris-Press, 2006
\n2) Angewandte Regressionsanalyse \/ N. Draper, G. Smith \u2013 2. Aufl. \u2013 Moskau: Finanzen und Statistik, 1986 (\u00dcbersetzung aus dem Englischen)
\n3) Aufgaben zur L\u00f6sung von Matrixgleichungen:
\nfunction-x.ru\/matrix_equations.html<\/a><\/noindex>
\nmathprofi.ru\/deistviya_s_matricami.html<\/a><\/noindex><\/i>
\n
Quelle: habr.com<\/a><\/p>","protected":false,"gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"html"}]},"excerpt":{"rendered":"

\u0426\u0435\u043b\u044c \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 \u2014 \u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0434\u0435\u0440\u0436\u043a\u0438 \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u044e\u0449\u0438\u043c \u0434\u0430\u0442\u0430\u0441\u0430\u0439\u043d\u0442\u0438\u0441\u0442\u0430\u043c. \u0412 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0435\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043c\u044b \u043d\u0430 \u043f\u0430\u043b\u044c\u0446\u0430\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u043b\u0438 \u0442\u0440\u0438 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0430 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0435\u0433\u0440\u0435\u0441\u0441\u0438\u0438: \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435, 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