«Si en la jaula de un elefante lees la inscripción 'búfalo', no creas en tus ojos.» Kozma Prutkov

En el anterior artículo sobre diseño orientado a modelos. Se mostró por qué es necesaria un modelo del objeto y se demostró que sin este modelo, el diseño orientado a modelos solo puede considerarse como una purga de marketing, sin sentido y despiadada. Pero con la aparición del modelo del objeto, siempre surge la pregunta razonable entre ingenieros competentes: ¿Cuáles son las pruebas de que el modelo matemático del objeto corresponde al objeto real?

Uno de los ejemplos de respuesta a esta pregunta se presenta en el artículo sobre diseño orientado a modelos de accionamientos eléctricos. En este artículo, consideraremos un ejemplo de creación de un modelo para sistemas de climatización de aeronaves, complementando la práctica con algunas consideraciones teóricas generales.

Creación de un modelo confiable del objeto. Teoría

Para no alargarlo, hablaré de inmediato sobre el algoritmo de creación de un modelo para el diseño orientado a modelos. Solo tiene tres pasos simples:

Paso 1. Desarrollar un sistema de ecuaciones algebraico-diferenciales que describa el comportamiento dinámico del sistema modelado. Esto es sencillo si se conoce la física del proceso. Muchos científicos ya han desarrollado para nosotros las leyes físicas básicas de Newton, Bernoulli, Navier-Stokes y otros.

Paso 2. Destacar en el sistema resultante un conjunto de coeficientes empíricos y características del objeto de modelado que se pueden obtener de las pruebas.

Paso 3. Realizar pruebas en el objeto y ajustar el modelo según los resultados de los experimentos reales, de manera que corresponda a la realidad, con el nivel de detalle requerido.

Como ves, es simple, como contar hasta tres.

Ejemplo de implementación práctica

El sistema de climatización en un avión está relacionado con el sistema automático de mantenimiento de presión. La presión en el avión siempre debe ser superior a la presión externa, y la velocidad de cambio de presión debe ser tal que los pilotos y pasajeros no sufran sangrados nasales ni en los oídos. Por lo tanto, el sistema de control de entrada y salida de aire es crucial para la seguridad, y para su desarrollo en tierra se instalan costosos sistemas de prueba. En ellos se generan temperaturas y presiones correspondientes a la altitud de vuelo, recreando las condiciones de despegue y aterrizaje en aeródromos de diferentes alturas. Así, la cuestión del desarrollo y ajuste de los sistemas de control para el SКV cobra gran relevancia. ¿Cuánto tiempo estaremos probando el banco de pruebas para obtener un sistema de control satisfactorio? Evidentemente, si ajustamos el modelo de control al modelo del objeto, el ciclo de trabajo en el banco de pruebas puede ser significativamente reducido.

El sistema de climatización en aviación consiste en intercambiadores de calor similares a cualquier otro sistema térmico. La batería es una batería, incluso en África, pero de aire acondicionado. Sin embargo, debido a las restricciones en el peso de despegue y las dimensiones de las aeronaves, los intercambiadores de calor se fabrican lo más compactos y eficientes posible, para transferir la mayor cantidad de calor con el menor peso. Como resultado, la geometría se vuelve bastante peculiar. Por ejemplo, en el caso considerado, en la figura 1 se presenta un intercambiador de calor de placas, donde se utiliza una membrana entre las placas para mejorar el intercambio térmico. El fluido caliente y el frío alternan en los canales, mientras que la dirección del flujo es transversal. Un fluido se suministra a la sección frontal, el otro a la lateral.

Para resolver la tarea de control del SКV, necesitamos saber cuánto calor se transfiere de un medio a otro en un intercambiador de calor por unidad de tiempo. Esto determina la velocidad de cambio de temperatura, que es lo que regulamos.

Figura 1. Esquema del intercambiador de calor en aviación.

Problemas de modelado. Parte hidráulica.

A primera vista, la tarea es bastante simple, es necesario calcular el flujo másico a través de los canales del intercambiador de calor y el flujo térmico entre los canales.
El flujo masivo del fluido térmico en los canales se calcula mediante la fórmula de Bernoulli:

donde:
ΔP – la diferencia de presión entre dos puntos;
ξ – el coeficiente de fricción del fluido térmico;
L – la longitud del canal;
d – el diámetro hidráulico del canal;
ρ – la densidad del fluido térmico;
ω – la velocidad del fluido térmico en el canal.

Para un canal de forma arbitraria, el diámetro hidráulico se calcula mediante la fórmula:

donde:
F – el área de la sección transversal;
P – el perímetro húmedo del canal.

El coeficiente de fricción se calcula mediante fórmulas empíricas y depende de la velocidad del flujo y las propiedades del fluido térmico. Para diferentes geometrías se obtienen diferentes dependencias, por ejemplo, la fórmula para el flujo turbulento en tuberías lisas:

donde:
Re – el número de Reynolds.

Para el flujo en canales planos se puede utilizar la siguiente fórmula:

De la fórmula de Bernoulli se puede calcular la diferencia de presión para una velocidad dada, o viceversa, calcular la velocidad del fluido térmico en el canal, dada la diferencia de presión.

Intercambio de calor

El flujo de calor entre el fluido térmico y la pared se calcula mediante la fórmula:

donde:
α [W/(m2×grado)] – el coeficiente de transferencia de calor;
F – el área de la sección transversal.

Para problemas de flujo de fluidos térmicos en tuberías, se han realizado suficientes investigaciones y existen numerosos métodos de cálculo, y como regla general, todo se reduce a dependencias empíricas para el coeficiente de transferencia de calor α [W/(m2×grado)]

donde:
Nu – el número de Nusselt,
λ – el coeficiente de conductividad térmica del líquido [W/(m×grado)]
d – el diámetro hidráulico (equivalente).

Para calcular el número (criterio) de Nusselt se utilizan dependencias empíricas críticas, por ejemplo, la fórmula para calcular el número de Nusselt de una tubería redonda se presenta así:

Aquí ya vemos el número de Reynolds, el número de Prandtl a la temperatura de la pared y la temperatura del líquido, y el coeficiente de desigualdad. (Fuente)

Para intercambiadores de calor de placas corrugadas, la fórmula es similar ( Fuente ):

donde:
n = 0.73 m = 0.43 para flujo turbulento,
el coeficiente a – varía entre 0.065 y 0.6 dependiendo de la cantidad de placas y el régimen de flujo.

Tengamos en cuenta que este coeficiente se calcula solo para un punto en el flujo. Para el siguiente punto, tenemos otra temperatura del líquido (se ha calentado o enfriado), otra temperatura de la pared y, en consecuencia, todos los números de Reynolds y números de Prandtl cambian.

En este punto, cualquier matemático dirá que calcular con precisión un sistema en el que el coeficiente varía 10 veces es imposible, y tendrá razón.

Cualquier ingeniero práctico dirá que cada intercambiador de calor es diferente al fabricarse y que calcular sistemas es imposible, y también tendrá razón.

¿Y qué hay del diseño orientado a modelos? ¿Acaso todo está perdido?

Los vendedores avanzados de software occidental en este punto tratarán de venderte supercomputadoras y sistemas de cálculo 3D, del tipo 'sin eso, no hay manera'. Y necesitas ejecutar el cálculo durante un día para obtener la distribución de temperaturas en un minuto.

Es obvio que esta no es nuestra opción; necesitamos ajustar el sistema de control, si no en tiempo real, al menos en un futuro cercano.

Solución mediante prueba y error

Se fabrica el intercambiador de calor, se lleva a cabo una serie de pruebas y se establece una tabla de eficiencia de la temperatura establecida bajo diferentes flujos de los fluidos térmicos. Simple, rápido y fiable, ya que los datos se obtienen de pruebas.

La desventaja de este enfoque es que no hay características dinámicas del objeto. Sí, sabemos cuál será el flujo de calor establecido, pero no sabemos cuánto tiempo tardará en estabilizarse al pasar de un modo de operación a otro.

Por lo tanto, tras calcular las características necesarias, ajustamos el sistema de control directamente en las pruebas, algo que inicialmente nos gustaría evitar.

Enfoque orientado a modelos

Para crear un modelo de un intercambiador de calor dinámico, es necesario utilizar datos de pruebas para eliminar las incertidumbres en las fórmulas empíricas de cálculo: los números de Nusselt y la resistencia hidráulica.

La solución es simple, como todo lo genial. Tomamos una fórmula empírica, realizamos experimentos y determinamos el valor del coeficiente a, eliminando así la incertidumbre en la fórmula.

Una vez que tenemos un valor específico del coeficiente de transferencia de calor, todos los demás parámetros se determinan según las leyes físicas fundamentales de conservación. La diferencia de temperaturas y el coeficiente de transferencia de calor determinan la cantidad de energía transferida al canal por unidad de tiempo.

Conociendo el flujo de energía, se pueden resolver las ecuaciones de conservación de masa, energía y momento para el fluido en el canal hidráulico. Por ejemplo, algo así:

En nuestro caso, queda indefinido el flujo de calor entre la pared y el fluido — Qwall. Se puede ver más en aquí...

Así como la ecuación de la derivada de temperatura para la pared del canal:

donde:
ΔQwall – la diferencia entre el flujo entrante y saliente en la pared del canal;
M – masa de la pared del canal;
Cpc – capacidad térmica del material de la pared.

Precisión del modelo

Como se mencionó anteriormente, en el intercambiador de calor tenemos una distribución de temperatura en la superficie de la placa. Para un valor en estado estable, se puede tomar el promedio de las placas y usarlo, representando todo el intercambiador de calor como un solo punto concentrado, en el que en un solo salto de temperatura se produce la transferencia de calor a través de toda la superficie del intercambiador. Pero para los regímenes transitorios, tal aproximación puede no funcionar. La otra extremo es crear cientos de miles de puntos y cargar una Supercomputadora, lo cual tampoco es adecuado, ya que el objetivo es ajustar el sistema de control en tiempo real, y mejor aún, más rápido.

Surge la pregunta, ¿en cuántas secciones debe dividirse el intercambiador de calor para obtener una precisión y velocidad de cálculo aceptables?

Curiosamente, tenía a mano un modelo de intercambiador de calor de amina. El aparato intercambiador de calor consiste en un tubo, en el que fluye el medio calefactor, entre las bolsas – el medio precalentado. Para simplificar la tarea, todo el intercambiador de calor se puede representar como un solo tubo equivalente, y el propio tubo como un conjunto de celdas de cálculo discretas, en cada una de las cuales se realiza el cálculo del modelo puntual de intercambio de calor. La esquema del modelo de una celda se muestra en la figura 2. El canal de aire caliente y el canal de aire frío están conectados a través de una pared, que proporciona la transferencia del flujo térmico entre los canales.

Figura 2. Modelo de celda del intercambiador de calor.

El modelo de intercambiador de calor tubular se ajusta fácilmente. Se puede cambiar un solo parámetro: la cantidad de secciones a lo largo del tubo y observar los resultados de los cálculos con diferentes divisiones. Realizaremos el cálculo de varias opciones, comenzando con una división en 5 puntos a lo largo (fig. 3) y hasta 100 puntos a lo largo (fig. 4).

Figura 3. Distribución estacionaria de temperatura en 5 puntos de cálculo.

Figura 4. Distribución estacionaria de temperatura en 100 puntos de cálculo.

Como resultado de los cálculos, se obtuvo que la temperatura estable al dividir en 100 puntos es de 67,7 grados. En cambio, al dividir en 5 puntos de cálculo, la temperatura es de 72,66 grados Celsius.

También en la parte inferior de la ventana se muestra la velocidad de cálculo en tiempo real.
Veamos cómo cambia la temperatura estable y la velocidad de cálculo en función del número de puntos de cálculo. La diferencia en las temperaturas estables durante los cálculos con diferentes cantidades de celdas de cálculo se puede utilizar para evaluar la precisión del resultado obtenido.

Tabla 1. Dependencia de la temperatura y la velocidad de cálculo respecto a la cantidad de puntos de cálculo a lo largo del intercambiador de calor.

Al analizar esta tabla, se pueden hacer las siguientes conclusiones:

• La velocidad de cálculo disminuye proporcionalmente a la cantidad de puntos de cálculo en el modelo del intercambiador de calor.
• El cambio en la precisión del cálculo ocurre de manera exponencial. Con el aumento en la cantidad de puntos, la mejora en cada incremento subsiguiente disminuye.

En el caso de un intercambiador de calor de placas con flujo cruzado del fluido, como se muestra en la figura 1, la creación de un modelo equivalente a partir de celdas de cálculo elementales se complica ligeramente. Necesitamos conectar las celdas de tal manera que se organice el flujo cruzado. Para 4 celdas, el esquema se verá así, como se presenta en la figura 5.

El flujo del fluido calefactor se divide en una rama caliente y una fría en dos canales, y los canales se conectan a través de estructuras térmicas de manera que, al pasar por el canal, el fluido intercambia calor con diferentes canales. Al modelar el flujo cruzado, el fluido caliente se mueve de izquierda a derecha (ver figura 5) en cada canal, intercambiando calor con los canales del fluido frío, que va de abajo hacia arriba (ver figura 5). El punto más caliente se encuentra en la esquina superior izquierda, ya que el fluido caliente intercambia calor con el fluido frío ya calentado en el canal frío. El punto más frío está en la esquina inferior derecha, donde el fluido frío intercambia calor con el fluido caliente, que ya se ha enfriado en la primera sección.

Figura 5. Modelo de flujo transversal de 4 celdas de cálculo.

Este modelo para el intercambiador de calor de placas no tiene en cuenta la transferencia de calor entre las celdas debido a la conductividad térmica y no considera la mezcla del fluido, ya que cada canal está aislado.

Pero en nuestro caso, esta última limitación no disminuye la precisión, ya que en la construcción del intercambiador de calor, una membrana plegada divide el flujo en muchos canales aislados para el fluido (ver figura 1). Veamos qué ocurre con la precisión del cálculo al modelar un intercambiador de calor de placas aumentando la cantidad de celdas de cálculo.

Para analizar la precisión, usamos dos opciones de segmentación del intercambiador de calor en celdas de cálculo:

1. Cada celda cuadrada contiene dos elementos hidráulicos (flujos frío y caliente) y un elemento térmico. (ver figura 5)
2. Cada celda cuadrada contiene seis elementos hidráulicos (tres tramos en los flujos caliente y frío) y tres elementos térmicos.

En el último caso, usamos dos tipos de conexión:

• flujo opuesto de los flujos frío y caliente;
• flujo paralelo de los flujos frío y caliente.

El flujo opuesto aumenta la eficiencia en comparación con el flujo cruzado, mientras que el flujo paralelo la disminuye. Con un gran número de celdas, se promedia el flujo y todo se asemeja a un verdadero perfil de flujo transversal (ver figura 6).

Figura 6. Modelo de flujo transversal de cuatro celdas con 3 elementos.

En la figura 7 se presentan los resultados de la distribución estacionaria de temperatura en el intercambiador de calor cuando se suministra aire a 150 °C por la línea caliente y a 21 °C por la línea fría, para diferentes variantes de partición del modelo. El color y los números en la celda reflejan la temperatura media de la pared en la celda de cálculo.

Figura 7. Temperaturas estacionarias para diferentes esquemas de cálculo.

En la tabla 2 se muestra la temperatura estacionaria del aire calentado después del intercambiador de calor en función de la partición del modelo del intercambiador de calor en celdas.

Tabla 2. Dependencia de la temperatura del número de celdas de cálculo en el intercambiador de calor.

Al aumentar el número de celdas de cálculo en el modelo, se produce un aumento de la temperatura estacionaria final. La diferencia entre la temperatura estacionaria en diferentes particiones se puede considerar como un indicador de la precisión del cálculo. Se observa que al aumentar el número de celdas de cálculo, la temperatura tiende a un límite, y el aumento de precisión no es proporcional al número de puntos de cálculo.

Surge la pregunta, ¿qué precisión del modelo necesitamos?

La respuesta a esta pregunta depende del propósito de nuestro modelo. Dado que en este artículo se trata de diseño orientado a modelos, creamos el modelo para ajustar el sistema de control. Esto significa que la precisión del modelo debe ser comparable a la precisión de los sensores utilizados en el sistema.

En nuestro caso, la temperatura se mide con un termopar cuya precisión es ±2.5 °C. Cualquier precisión superior para el propósito del ajuste del sistema de control es inútil, nuestro sistema de control real simplemente no la «verá». Así, si asumimos que la temperatura límite con un número infinito de particiones es de 70 °C, entonces una precisión adecuada sería un modelo que nos dé más de 67.5 °C. Todos los modelos con 3 puntos en la celda de cálculo y modelos más grandes de 5x5 con un punto en la celda. (Destacados en verde en la tabla 2)

Modos de operación dinámicos

Para evaluar el modo dinámico, evaluaremos el proceso de cambio de temperatura en los puntos más caliente y más frío de la pared del intercambiador de calor para diferentes opciones de esquemas de cálculo. (ver figura 8)

Figura 8. Calentamiento del intercambiador de calor. Modelos de dimensionalidad 2x2 y 10x10.

Es evidente que el tiempo del proceso de transición y su naturaleza prácticamente no dependen de la cantidad de celdas de cálculo, y se determinan exclusivamente por la masa del metal calentado.

Por lo tanto, concluimos que para una modelización precisa del intercambiador de calor en el rango de 20 a 150 °C, con la precisión necesaria para el sistema de control, son suficientes aproximadamente de 10 a 20 puntos de cálculo.

Ajuste del modelo dinámico según el experimento

Teniendo el modelo matemático, así como los datos experimentales sobre la purga del intercambiador de calor, solo nos queda hacer una simple corrección, es decir, introducir un coeficiente de intensificación en el modelo, de tal forma que el cálculo coincida con los resultados del experimento.

Además, utilizando un entorno gráfico para crear el modelo, haremos esto automáticamente. En la figura 9 se presenta el algoritmo para seleccionar los coeficientes de intensificación del intercambio de calor. Se introducen datos obtenidos del experimento, se conecta el modelo del intercambiador de calor y se obtienen los coeficientes necesarios para cada uno de los modos.

Figura 9. Algoritmo para la selección del coeficiente de intensificación según los resultados del experimento.

Así, determinamos el coeficiente para el número de Nusselt y eliminamos la incertidumbre en las fórmulas de cálculo. Para diferentes modos de operación y temperaturas, los valores de los coeficientes de corrección pueden variar, sin embargo, para modos de operación similares (explotación normal) resultan ser muy cercanos. Por ejemplo, para este intercambiador, los coeficientes en diferentes modos oscilan entre 0.492 y 0.655.

Si aplicamos un coeficiente de 0.6, en los modos de operación analizados, el error de cálculo será menor que el error del termopar, por lo tanto, para el sistema de control, el modelo matemático del intercambiador de calor será completamente adecuado al modelo real.

Resultados del ajuste del modelo del intercambiador de calor

Para evaluar la calidad del intercambio de calor se utiliza una característica especial: la eficacia:

donde:
effcal – eficacia del intercambiador de calor para el fluido caliente;
Tcalin – temperatura de entrada en el intercambiador de calor según el camino del fluido caliente;
Tcalsalida – temperatura de salida del intercambiador de calor según el camino del fluido caliente;
Tfríoin – la temperatura de entrada en el intercambiador de calor en el trayecto del fluido refrigerante.

La tabla 3 presenta los valores de desviación de la eficiencia del modelo de intercambiador de calor con respecto al experimental en distintos caudales de las líneas caliente y fría.

Tabla 3. Errores en el cálculo de la eficiencia del intercambio de calor en %

En nuestro caso, el coeficiente seleccionado puede ser utilizado en todos los modos de operación que nos interesan. Si, en caso de caudales bajos, donde el error es mayor, no se alcanza la precisión necesaria, podemos utilizar un coeficiente de intensificación variable, que dependerá del caudal actual.

Por ejemplo, en la figura 10, el coeficiente de intensificación se calcula según una fórmula determinada en función del caudal actual en las celdas del canal.

Figura 10. Coeficiente de intensificación variable del intercambio de calor.

Conclusiones

• El conocimiento de las leyes físicas permite crear modelos dinámicos del objeto para el diseño orientado a modelos.
• El modelo debe ser verificado y ajustado según los datos de las pruebas.
• Las herramientas de desarrollo de modelos deben permitir al desarrollador ajustar el modelo según los resultados de las pruebas del objeto.
• ¡Usa el enfoque orientado a modelos correcto y serás feliz!

Bono para quienes han leído hasta aquí. Video del funcionamiento del modelo virtual del sistema SKV.

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¿De qué hablar a continuación?

• 76,2%¿Cómo demostrar que el programa en el modelo corresponde al programa en el hardware?

• 23,8%¿Cómo utilizar cálculos en Supercomputadoras para el diseño orientado a modelos?

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Fuente: habr.com