En 2012, el Premio Nobel de Economía fue otorgado a Lloyd Shapley y Alvin Roth. "Por la teoría de la distribución estable y la práctica de la organización de mercados". Aleksey Savvateev en 2012 intentó explicar de forma sencilla y clara la esencia de los méritos de los matemáticos. Les presento un resumen. .
Hoy habrá una conferencia teórica. Acerca de los experimentos , en particular con la donación, no lo diré.
Cuando se anunció que Cuando recibió el Premio Nobel, hubo una pregunta estándar: “¿¡Cómo!? ¿¡¿¡Áun está vivo!?!?" Su resultado más famoso lo obtuvo en 1953.
Formalmente, el bono se otorgaba por otra cosa. Por su artículo de 1962 sobre el “teorema de estabilidad matrimonial”: “La admisión a la universidad y la estabilidad del matrimonio”.
Sobre el matrimonio sostenible
Coincidencia de (coincidencia) - la tarea de encontrar una correspondencia.
Hay cierto pueblo aislado. Hay “m” jóvenes y “w” niñas. Necesitamos casarlos entre sí. (No necesariamente el mismo número, tal vez al final alguien se quede solo).
¿Qué suposiciones deben hacerse en el modelo? Que no es fácil volver a casarse al azar. Se está dando un cierto paso hacia la libre elección. Digamos que hay un aksakal sabio que quiere volver a casarse para que después de su muerte no comiencen los divorcios. (El divorcio es una situación en la que un marido quiere a una tercera mujer como esposa más que a su esposa).
Este teorema está en el espíritu de la economía moderna. Ella es excepcionalmente inhumana. La economía ha sido tradicionalmente inhumana. En economía, el hombre es sustituido por una máquina para maximizar los beneficios. Lo que les diré son cosas absolutamente locas desde el punto de vista moral. No te lo tomes en serio.
Los economistas ven el matrimonio de esta manera.
m1, m2,… mk - hombres.
w1, w2,... wL - mujeres.
Un hombre se identifica con la forma en que “ordena” a las chicas. También existe un “nivel cero”, por debajo del cual no se puede ofrecer a ninguna mujer como esposa, incluso si no hay otras.
Todo sucede en ambos sentidos, lo mismo para las chicas.
Los datos iniciales son arbitrarios. La única suposición/limitación es que no cambiamos nuestras preferencias.
Teorema: Independientemente de la distribución y el nivel de cero, siempre hay una manera de establecer una correspondencia uno a uno entre algunos hombres y algunas mujeres de modo que sea robusta ante todo tipo de escisiones (no sólo divorcios).
¿Qué amenazas podría haber?
Hay una pareja (m,w) que no está casada. Pero para w el marido actual es peor que m, y para m la esposa actual es peor que w. Ésta es una situación insostenible.
También existe la opción de que alguien estuvo casado con alguien que está “bajo cero”, en esta situación el matrimonio también se desmoronará.
Si una mujer está casada, pero prefiere un hombre soltero, para quien está por encima de cero.
Si dos personas no están casadas y ambas están "por encima de cero" el uno para el otro.
Se argumenta que, según los datos iniciales, existe un sistema matrimonial de este tipo, resistente a todo tipo de amenazas. En segundo lugar, el algoritmo para encontrar dicho equilibrio es muy sencillo. Comparemos con M*N.
Este modelo se generalizó y amplió a la "poligamia" y se aplicó en muchas áreas.
Procedimiento de Gale-Shapley
Si todos los hombres y todas las mujeres siguen las “prescripciones”, el sistema matrimonial resultante será sostenible.
Recetas.
Nos tomamos unos días según sea necesario. Dividimos cada día en dos partes (mañana y tarde).
La primera mañana, cada hombre acude a su mejor dama y llama a la ventana para pedirle que se case con él.
Por la tarde del mismo día, les toca el turno a las mujeres: ¿Qué puede descubrir una mujer? Que había una multitud debajo de su ventana, uno o ningún hombre. Los que hoy no tienen a nadie se saltan el turno y esperan. El resto, que tienen al menos uno, revisan a los hombres que se acercan para comprobar que están “por encima del nivel cero”. Tener al menos uno. Si no tienes suerte y todo está por debajo de cero, entonces todos deberían ser enviados. La mujer elige al más grande de los que vinieron, le dice que espere y envía al resto.
Antes del segundo día, la situación es la siguiente: algunas mujeres tienen un hombre, otras no tienen ninguno.
El segundo día, todos los hombres “libres” (enviados) deben acudir a la mujer de segunda prioridad. Si no existe tal persona, entonces el hombre es declarado soltero. Los hombres que ya están sentados con mujeres no están haciendo nada todavía.
Por la noche, las mujeres observan la situación. Si a alguien que ya estaba sentado se le unió una prioridad más alta, entonces la prioridad más baja se despide. Si los que vienen son inferiores a los que ya están disponibles, todos son despedidos. Las mujeres eligen el elemento máximo cada vez.
Repetimos.
Como resultado, cada hombre revisó la lista completa de sus mujeres y quedó solo o comprometido con alguna mujer. Entonces casaremos a todos.
¿Es posible ejecutar todo este proceso, pero que las mujeres corran hacia los hombres? El procedimiento es simétrico, pero la solución puede ser diferente. Pero la pregunta es ¿quién sale ganando con esto?
Teorema. Consideremos no sólo estas dos soluciones simétricas, sino el conjunto de todos los sistemas matrimoniales estables. El mecanismo propuesto original (los hombres corren y las mujeres aceptan/rechazan) da como resultado un sistema matrimonial que es mejor para cualquier hombre que cualquier otro y peor que cualquier otro para cualquier mujer.
Matrimonios del mismo sexo
Consideremos la situación del “matrimonio entre personas del mismo sexo”. Consideremos un resultado matemático que pone en duda la necesidad de legalizarlos. Un ejemplo ideológicamente incorrecto.
Consideremos cuatro homosexuales a, b, c, d.
prioridades para a: bcd
prioridades para b:cad
prioridades para c: abd
para d no importa cómo clasifique a los tres restantes.
Declaración: No existe un sistema matrimonial sostenible en este sistema.
¿Cuántos sistemas hay para cuatro personas? Tres. ab cd, ac bd, ad bc. Las parejas se desintegrarán y el proceso irá en ciclos.
Sistemas de "tres géneros".
Ésta es la pregunta más importante que abre todo un campo de las matemáticas. Esto lo hizo mi colega en Moscú, Vladimir Ivanovich Danilov. Para él, el "matrimonio" era beber vodka y los roles eran los siguientes: "el que sirve", "el que pronuncia el brindis" y "el que corta la salchicha". En una situación en la que hay 4 o más representantes de cada rol, es imposible resolverla por fuerza bruta. La cuestión de un sistema sostenible está abierta.
vector shapley
En el pueblo rural decidieron asfaltar la carretera. Necesito contribuir. ¿Cómo?
Shapley propuso una solución a este problema en 1953. Supongamos una situación de conflicto con un grupo de personas N={1,2…n}. Es necesario compartir los costos/beneficios. Supongamos que las personas juntas hicieran algo útil, lo vendieran y ¿cómo dividirían las ganancias?
Shapley sugirió que al dividir, deberíamos guiarnos por cuánto podrían recibir ciertos subconjuntos de estas personas. ¿Cuánto dinero podrían ganar todos los subconjuntos no vacíos de 2N? Y basándose en esta información, Shapley escribió una fórmula universal.
Ejemplo. Un solista, un guitarrista y un baterista tocan en un pasaje subterráneo de Moscú. Los tres ganan 1000 rublos por hora. ¿Cómo dividirlo? Posiblemente igualmente.
V(1,2,3)=1000
Asume que
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
No se puede determinar una división justa hasta que sepamos qué ganancias le esperan a una empresa determinada si se separa y actúa por su cuenta. Y cuando determinamos los números (ponemos el juego cooperativo en forma característica).
La superaditividad es cuando juntos ganan más que por separado, cuando es más rentable unirse, pero no está claro cómo dividir las ganancias. Se han roto muchas copias sobre esto.
Hay un juego. Tres empresarios encontraron simultáneamente un depósito por valor de 1 millón de dólares. Si los tres están de acuerdo, entonces serán un millón. Cualquier pareja puede matar (sacar del caso) y quedarse con el millón. Y nadie puede hacer nada solo. Este es un aterrador juego cooperativo sin solución. Siempre habrá dos personas que podrán eliminar a la tercera... La teoría de juegos cooperativos comienza con un ejemplo que no tiene solución.
Queremos una solución tal que ninguna coalición quiera bloquear la solución común. El conjunto de todas las divisiones que no se pueden bloquear es el núcleo. Sucede que el núcleo está vacío. Pero incluso si no está vacío, ¿cómo dividirlo?
Shapley sugiere dividir de esta manera. ¡Lanza una moneda con n! bordes. Escribimos a todos los jugadores en este orden. Digamos el primer baterista. Él entra y toma sus 100. Luego entra el “segundo”, digamos el solista. (Junto con el baterista pueden ganar 450, el baterista ya ha cobrado 100) El solista cobra 350. Entra el guitarrista (juntos 1000, -450), cobra 550. El último en muchas ocasiones gana. (Supermodularidad)
Si escribimos para todos los pedidos:
GSB - (ganar C) - (ganar D) - (ganar B)
SGB - (ganar C) - (ganar D) - (ganar B)
SBG - (ganar C) - (ganar D) - (ganar B)
BSG - (ganar C) - (ganar D) - (ganar B)
BGS - (ganancia C) - (ganancia D) - (ganancia B)
GBS - (ganar C) - (ganar D) - (ganar B)
Y para cada columna sumamos y dividimos entre 6 (promediando todos los pedidos) este es un vector de Shapley.
Shapley demostró el teorema (aproximadamente): hay una clase de juegos (supermodulares) en los que la siguiente persona en unirse a un equipo grande le aporta una ganancia mayor. El núcleo siempre no está vacío y es una combinación convexa de puntos (en nuestro caso, 6 puntos). El vector Shapley se encuentra en el centro del núcleo. Siempre se puede ofrecer como solución, nadie se opondrá.
En 1973 se demostró que el problema de las cabañas es supermodular.
Las n personas comparten el camino hacia la primera cabaña. Hasta el segundo - n-1 personas. Etc.
El aeropuerto tiene una pista. Diferentes empresas necesitan diferentes longitudes. Surge el mismo problema.
Creo que quienes otorgaron el Premio Nobel tenían en mente este mérito, y no sólo la tarea de margen.
Gracias!
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Fuente: habr.com