«Kui sa elevandi puuri peal näed sildi „bufaal“, ära usu oma silmi» Kozma Prutkov

Eelmises osas artiklis mudelipõhisest projekteerimisest näidati, miks on objektimudel vajalik, ja tõestati, et ilma selle objektimudelita saab mudelipõhisest projekteerimisest rääkida ainult kui turunduslikust jöörist, mõttetust ja halastamatust. Kuid objekti mudeli ilmnemisel tekib teadlike inseneride seas alati mõistlik küsimus: millised on tõendid, et matemaatiline mudel vastab reaalsele objektile.

Üks näide vastusest sellele küsimusele on toodud artiklis, mis käsitleb mudelipõhist projekteerimist elektriülekandes. Käesolevas artiklis vaatleme näidet õhusüsteemide mudeli loomise kohta, segades praktikat mõningate üldteoreetiliste mõtetes.

Usaldusväärse objekti mudeli loomine. Teooria

Et mitte aega raisata, räägin kohe algoritmist, kuidas luua mudelit mudelipõhiseks projekteerimiseks. Sellel on vaid kolm lihtsat sammu:

Samm 1. Arendada algebriliste-diferenitsiaalvõrrandite süsteem, mis kirjeldab modelleeritava süsteemi dünaamilist käitumist. See on lihtne, kui teate protsessi füüsikat. Paljud teadlased on juba välja töötanud peamised füüsikaseadused Newtoni, Bernoulli, Navieri-Stokesi ja teiste Shantgele, Circuly ja Rabinovitši nimel.

Samm 2. Erakordsete süsteemide hulka empiiriliste koefitsientide ja modelleerimise objekti omaduste määramine, mida saab testide abil saada.

Samm 3. Viia läbi objekti katseid ja kohandada mudelit füüsiliste katsete tulemuste põhjal, nii et see vastaks reaalsusele vajaliku detailitasemega.

Nagu näete, on see lihtne, nagu kaks ja kolm.

Praktilise rakendamise näide

Tasuõhu süsteem (TÜS) lennukis on seotud automaatse rõhu säilitamise süsteemiga. Rõhk lennukis peab alati olema kõrgem kui välisrõhk ning rõhu muutumise kiirus peab olema selline, et pilootidel ja reisijatel ei tekiks ninast ega kõrvadest verd. Seetõttu on õhu sisse- ja väljavoolu juhtimissüsteem ohutuse seisukohalt äärmiselt tähtis, ning selle arendamiseks püstitatakse maapinnal kallid katsetamisüsteemid. Nendes luuakse lennukõrgusele vastavad temperatuurid ja rõhud ning jäljendatakse erinevate kõrgustega lennuvajaduste tõusmise ja maandumise režiime. Seetõttu kerkib üles küsimus TÜS juhtimissüsteemide arendamise ja häälestamise osas. Kui kaua me katsekerega aega veedame, et saavutada rahuldav juhtimissüsteem? Ilmselgelt, kui seadistame juhtimismudeli objekti mudeliga, võib katsekere töötsükkel olla oluliselt lühem.

Õhusüsteemi konditsioneer koosneb sama tüüpi soojusvahetitest nagu iga teine soojussüsteem. Soojusvaheti on soojusvaheti, sõltumata sellest, kus see asub. Kuid lennukite maksimaalse kaalu ja mõõtmete piirangu tõttu tehakse soojusvahetid võimalikult kompaktseks ja võimalikult efektiivseks, et edastada võimalikult palju soojust väiksema massiga. Lõpptulemusena muutub geomeetria üsna veidraiks, nagu antud juhul. Joonisel 1 on kujutatud plaadimooduliga soojusvaheti, mille plaatide vahel on soojusvaheduse parandamiseks kasutatud membraani. Kuum ja külm soojusvaheti vahelduvad kanalites, samas on voolu suund risti. Üks soojusvaheti siseneb esifassaadist, teine külgmistest avadest.

Selleks, et lahendada soojuse reguleerimise ülesanne, peame teadma, kui palju soojust edastatakse ühest keskkonnast teise antud soojusvahetis ajaühikus. See määrab temperatuurimuutuse kiirus, mida me reguleerime.

Joonis 1. Lennunduse soojusvahetuse seade.

Modelleerimisprobleemid. Hüdrauliline osa

Esmapilgul tundub ülesanne piisavalt lihtne, tuleb arvutada massivoo soojusvahetis kanalites ja soojusvool kanalite vahel.
Kanalites oleva soojusvedeliku massivool arvutatakse Bernoulli valemi järgi:

kus:
ΔP – rõhu langus kahe punkti vahel;
ξ – soojusvedeliku hõõrdetegur;
L – kanali pikkus;
d – kanali hüdrauliline läbimõõt;
ρ – soojusvedeliku tihedus;
ω – soojusvedeliku kiirus kanalisse.

Kanalite ebaregulaarse kuju korral arvutatakse hüdrauliline läbimõõt järgmise valemi järgi:

kus:
F – läbilaskva lõike pindala;
P – kanali niisutatud perimeeter.

Hõõrdetegur arvutatakse empiiriliste valemite järgi ja sõltub voolukiirusest ja soojusvedeliku omadustest. Erinevate geomeetria puhul saadakse erinevad sõltuvused, näiteks turbulentse voolu valem siledates torudes:

kus:
Re – Reynolds'i arv.

Laminaarses voolus tasapinnalistes kanalites võib kasutada järgmist valemit:

Bernoulli valemist saab arvutada rõhulanguse antud kiirusel või vastupidi, arvutada soojusvedeliku kiirus kanalisse, teatud rõhulanguse põhjal.

Soojusvahetus

Soojusvoog soojusvedeliku ja seina vahel arvutatakse järgmise valemi alusel:

kus:
α [W/(m2×K)] – soojusülekkefaktor;
F – ristlõikepindala.

Torudes voolavate soojusvedelike ülesannete jaoks on tehtud piisavalt uurimistöid ning olemas on mitmeid arvutusmeetodeid, mis tavaliselt põhinevad empiirilistel seostel, soojusülekkefaktorile α [W/(m2×K)]

kus:
Nu – Nusselti number,
λ – vedeliku soojusjuhtivuse koefitsient [W/(m×K)]
d – hüdrauliline (ekvivalentne) läbimõõt.

Nusselti arvu (kriteeriumi) arvutamiseks kasutatakse empiirilisi kriteeriumi seoseid, näiteks Nusselti arvu arvutamiseks ümmargune toru kujutab endast järgmist valemit:

Siin näeme juba Reynoldsi arvu, Prandtl'i arvu seina ja vedeliku temperatuuri juures ning mitteühtluse koefitsienti. (Allikas)

Plaadikujuliste lokkis soojusvahetite valem on sarnane ( Allikas ):

kus:
n = 0.73 m = 0.43 turbulentses voolus,
koefitsient a – muutub vahemikus 0,065 kuni 0,6 sõltuvalt plaatide arvust ja voolurežiimist.

Arvestame, et seda koefitsienti arvutatakse ainult voolu ühes punktis. Järgmisel punktis on meil erinev vedeliku temperatuur (see on soojenenud või jahtunud), erinev seinte temperatuur ja vastavalt muutuvad kõik Reynolds'i ja Prandtl'i numbrid.

Iga matemaatik ütleks selles kohas, et süsteemi, kus koefitsient muutub 10 korda, täpselt arvutada ei ole võimalik, ja tal oleks õigus.

Iga praktikainsener ütleks, et iga soojusvaheti erineb tootmise käigus ja süsteeme ei ole võimalik täpselt arvutada, ja tal oleks samuti õigus.

Kuidas on lood mudelipõhise projekteerimisega? Kas kõik on kadunud?

Evolutsioonilised lääne tarkvara müüjad püüavad siin müüa teile SuperPC-sid ja 3D-arvutussüsteeme, öeldes, et "ilma selleta pole võimalik". Ning arvutust on vaja käivitada terveks päevaks, et saada temperatuurijagunemine ühe minuti jooksul.

Muidugi ei ole see meie variant, me peame süsteemi juhtimist katsetama, isegi kui mitte reaalajas, siis vähemalt ligikaudses ajavahemikus.

Lahendus katse-eksituse meetodil

Valmib soeülekande seade, viiakse läbi katsetused ning koostatakse ülevaatlik tabel kehtestatud temperatuuride efektiivsusest antud soeülekande mahtude korral. Lihtne, kiire ja usaldusväärne, kuna andmed on saadud katsetest.

Selle lähenemise puudus on see, et objektil puuduvad dünaamilised omadused. Jah, me teame, milline saab olema kehtestatud soojusvoog, kuid me ei tea, kui kaua kulub aega ühe töörežiimi üleminekuks teisele.

Seetõttu, arvutades vajalikud omadused, seadistame juhtimissüsteemi otse katsetel, millest me algselt sooviksime vältida.

Mudeli-põhine lähenemine

Dünaamilise soeülekande seadme mudeli loomiseks on vajalik kasutada katsetest saadud andmeid, et kõrvaldada teadmatus empiiriliste arvutuste valemites – Nusseldi arvu ja hüdraulilise takistuse osas.

Lahendus on lihtne, nagu kõik geniaalne. Me võtame empiirilise valemi, teeme katseid ja määrame koefitsiendi a väärtuse, kõrvaldades seega valemi teadmatused.

Kui meil on teada soojusülekande koefitsient, määratakse kõik muud parameetrid peamiste füüsikaseaduste kohaselt. Temperatuuride erinevus ja soojusülekande koefitsient määravad energia hulga, mis jõuab kanali kaudu teatud aja jooksul.

Teades energia vooluhulka, saab lahendada massi, energia ja impulsi säilivuse võrrandeid soojusvahetis hüdrauulises kanalis. Näiteks selline:

Meie juhul jääb määratlemata soojuse vool seina ja soojusvaheti vahel — Qwall. Üksikasjalikumalt saate vaadata siit…

Ja samuti seinakanali temperatuuride tuletise võrrand:

kus:
ΔQwall – sisenemise ja väljumise voolu erinevus kanali seina suhtes;
M – seinakanali mass;
Cpc – seina materjali soojusmahtuvus.

Mudeli täpsus

Nagu eelnevalt mainitud, on meie soojusvahetajas temperatuuride jaotus plaadi pinnal. Tasakaalu saavutades saame kasutada plaatide keskmist temperatuuri ja esitada kogu soojusvahetaja kui ühte koondpunkti, kus soojus edastatakse kogu soojusvahetaja pinnal ühe temperatuurierinevuse kaudu. Kuid üleminekuetappide korral ei pruugi see lähendus toimida. Teine äärmus on luua mitu sada tuhat punkti ja koormata Super-Üksus, mis ei ole samuti sobiv, kuna meie eesmärk on seadistada juhtimissüsteem reaalajas ning seda peab kindlasti olema kiirem.

Tekib küsimus, mitmeks osaks tuleks soojusvahetaja jagada, et saavutada vastuvõetav täpsus ja arvutuse kiirus?

Tavaliselt on mul juhuslikult käepärast amiinset soojusvahetaja mudelit. Soojusvahetaja koosneb torudest, kus voolab soojendav keskkond, ja torude vahel on kuumutatud. Probleemi lihtsustamiseks on kogu soojusvahetaja torusüsteem võimalik kujutada ühe ekvivalentse toruna ning toru ise diskreetsete arvutusruumide kogumina, kuhu igasse toimub soojusvahetuse punktimudeli arvutamine. Ühe ruumi mudeli skeem on toodud joonisel 2. Kuuma õhu kanal ja külma õhu kanal on ühendatud seina kaudu, mis tagab soojusvoo ülekande kanalite vahel.

Joonis 2. Soojusvahetaja ruumi mudel.

Torukujulise soojusvahetaja mudelit on lihtne kohandada. Saame muuta ainult ühte parameetrit – toru pikkuse osade arvu ja vaadata arvutuste tulemusi erinevate jagamiste korral. Teeme arvutusi mitme variandi kohta, alustades 5 punktiga toru pikkuses (joon. 3) ja kuni 100 punktini toru pikkuses (joon. 4).

Joonis 3. Statiivne temperatuurijaotus 5 arvutuspunkti.

Joonis 4. Temperatuuri jaotus 100 arvutuspunktil.

Arvutuste tulemusena selgus, et stabiliseerunud temperatuur 100 punkti puhul on 67,7 kraadi. 5 arvutuspunkti puhul on temperatuur 72,66 kraadi C.

Aknas kuvatakse ka arvutuse kiirus reaalse aja suhtes.
Vaadakem, kuidas stabiliseerunud temperatuur ja arvutuse kiirus muutuvad sõltuvalt arvutuspunktilt. Stabiliseerunud temperatuuride erinevust erinevate arvutustäppide arvudega saab kasutada saadud tulemuste täpsuse hindamiseks.

Tabel 1. Temperatuuri ja arvutuse kiirus sõltuvus arvutuspunktilt soojusvaheti pikkuses.

Analüüsides seda tabelit, saab teha järgmised järeldused:

• Arvutuse kiirus langeb proportsionaalselt mudeli arvutuspunktilt.
• Arvutuse täpsuse muutus toimub eksponentsiaalselt. Punktide arvu suurenemisel väheneb iga järgmise suurenemise täpsus.

Risti vooluhulp lehtede soojusvahetis, nagu joonisel 1, muudab ekvivalentse mudeli loomise elementaarsete arvutuslehtede abil veidi keerulisemaks. Me peame ühendama lehed nii, et ristvoolud oleksid korraldatud. Nelja lehe korral näeb skeem välja nagu joonisel 5.

Soojusvedeliku vool jaguneb kuuma ja külma haru kaheks kanalis, mis ühenduvad läbi soojusstruktuuride nii, et vedelik vahetaks kanalis soojuse erinevate kanalitega. Ristvoolu modelleerimisel voolab kuum soojusvedelik vasakult paremale (vt joonist 5) igas kanalis, vahetades järjestikku soojust külma soojusvedelikuga, mis voolab alt üles (vt joonist 5). Kõige kuumem koht asub vasakus ülemises nurgas, kuna kuum soojusvedelik vahetab soojust juba soojenenud külma kanali vedelikuga. Kõige külmem asub paremas alumises nurgas, kus külm soojusvedelik vahetab soojust kuuma vedelikuga, mis on juba esimeses osas jahtunud.

Joonis 5. Ristvoo mudel neljast arvutusruudust.

Selline mudel plaatsoojusvaheti jaoks ei arvesta soojuse ülekannet ruutude vahel soojusjuhtivuse tõttu ning ei arvesta soojusvaheti segunemist, kuna iga kanal on isoleeritud.

Kuid meie juhul ei vähenda viimane piirang täpsust, kuna soojusvaheti disainis eraldab volditud membraan voolu paljusid isoleeritud kanaleid soojusvahetaja (vt joonis 1). Vaatame, kuidas arvutuse täpsus muutub plaatsoojusvaheti modelleerimisel, kui arvutusruutude arvu suurendame.

Täpsuse analüüsimiseks kasutame kahte erinevat jagunemist soojusvaheti arvutusruutudeks:

1. Iga ruudukujuline rakk sisaldab kahte hüdraulilist elementi (külma ja kuuma voolu) ning ühte soojuselementi. (vt joonis 5)
2. Iga ruudukujuline rakk sisaldab kuut hüdraulilist elementi (kolm sektsiooni kuumas ja külmas voolus) ning kolme soojuselementi.

Viimasel juhul kasutame kahte tüüpi ühendusi:

• vastupidine külma ja kuuma voolu;
• soojuse ja külma voolu ühisvoog.

Kohtuv vool suurendab tõhusust võrreldes ristvooluga, samas kui kaasnev vool vähendab seda. Suure hulga rakkudega toimub voolu keskmistamine ja kõik läheneb tegelikule ristvoolu taastumisele (vt joonis 6).

Joonis 6. Ristvoolumängu mudel neljast rakust kolme elemendiga.

Joonisel 7 on toodud tulemused stabiilse jaotumise temperatuurist soojusvaheti puhul, kus kuuma õhu temperatuur on 150 °C ja külma õhu temperatuur 21 °C, erinevate mudeli jaotuste jaoks. Raku värv ja numbrid peegeldavad arvutatud raku keskmist seinatemperatuuri.

Joonis 7. Stabiilsed temperatuurid erinevate arvutusplaanide jaoks.

Tabelis 2 on esitatud sooja õhu stabiilne temperatuur pärast soojusvahetit sõltuvalt soojusvaheti mudeli rakulistest jaotustest.

Tabel 2. Temperatuuri sõltuvus soojusvaheti arvutuslike rakkude arvust.

Mudelisse arvutuspunktide arvu suurendamisel tõuseb lõplik tasakaalutemperatuur. Erinevust tasakaalutemperatuuri vahel erinevate jagunemiste korral saab pidada arvutuse täpsuse näitajaks. Nähtav on, et arvutuspunktide arvu suurenedes läheneb temperatuur piirväärtusele ja täpsuse kasv ei ole proportsionaalne arvutuspunkte arvu suurenemisega.

Tekib küsimus, milline täpsus mudelile vajalik on?

Vastus sellele küsimusele sõltub meie mudeli otstarbest. Kuna selles artiklis käsitletakse mudelipõhist projekteerimist, loome mudeli juhtimisseadmestiku kohandamiseks. See tähendab, et mudeli täpsus peaks olema võrreldav süsteemis kasutatavateandurite täpsusega.

Meie puhul mõõdetakse temperatuuri termopaari abil, mille täpsus on ±2.5 °C. Kõik täpsused, mis on kõrgemad, on süsteemi juhtimise kontekstis kasutu, meie reaalne juhtimissüsteem lihtsalt ei «näe» neid. Seega, kui eeldada, et piiritemperatuur lõpmatu lahutuste arvu juures on 70 °C, siis piisav täpsus on mudel, mis annab meile rohkem kui 67.5 °C. Kõik mudelid, kus arvutusruudus on 3 punkti ja mudelid, mis on suuremad kui 5x5 ühe punktiga ruudus. (Roheline tabelis 2)

Dünaamilised töörežiimid

Dünaamilise režiimi hindamiseks vaatleme temperatuuri muutumise protsessi kõige kuumemates ja külmemates punktides soojusvaheti seinas erinevate arvutusplaanide puhul. (vt joonis 8)

Joonis 8. Soojusvaheti soojendamine. Mudelid mõõtmetega 2x2 ja 10x10.

On näha, et üleminekuprotsessi aeg ja selle iseloom ei sõltu praktiliselt arvutusruudude arvust, vaid määratakse eksklusiivselt soojendatava metalli massist.

Seega järeldame, et soojusvaheti nõuetekohaseks modelleerimiseks temperatuurivahemikus 20 kuni 150 °C, juhtimisseadmestiku jaoks vajaliku täpsusega, piisab 10–20 arvutuspunktist.

Dünaamilise mudeli seadistamine eksperimendi põhjal

Olles saanud matemaatilise mudeli ja eksperimentaalsed andmed soojusvaheti puhumise kohta, peame lihtsalt tegema lihtsa korrektsiooni, s.t. sisestama intensiivistamisteguri mudelisse, et arvutus vastaks eksperimentaalsetele tulemustele.

Veelgi enam, kasutades mudeli loomise graafilist keskkonda, teeme seda automaatselt. Joonisel 9 on kujutatud algorytmi intensiivistamistegurite valimiseks soojusvahetuse jaoks. Sisendina kasutatakse eksperimendi käigus saadud andmeid, ühendatakse soojusvaheti mudel ning väljundina saadakse vajalikud tegurid iga režiimi jaoks.

Joonis 9. Algorytmi intensiivistamisteguri valimine eksperimentaalsete tulemuste põhjal.

Nii määratleme Nusselti arvu koefitsiendi ja kõrvaldame arvutuste määramatuse. Erinevates töörežiimides ja temperatuuridel võivad korrektsioonikoefitsiendid varieeruda, kuid sarnaste töörežiimide (normaalse töö) korral on need üsna sarnased. Näiteks selle soojusvaheti puhul varieerub koefitsient erinevates režiimides vahemikus 0.492 kuni 0.655.

Kasutades koefitsienti 0.6, on uuritud töörežiimides arvutuse viga väiksem kui termopaari viga, seega on soojusvaheti matemaatiline mudel juhtimisseadmestiku jaoks täielikult adekvaatne reaalsele mudelile.

Soojendusvaheti mudeli häälestamise tulemused

Soojuse vahetuse kvaliteedi hindamiseks kasutatakse spetsiaalset omadust – efektiivsust:

kus:
effгор – soojusvaheti efektiivsus kuuma soojusvedaja osas;
Tгорin – temperatuur soojusvaheti sissetuleku juures kuuma soojusvedaja liikumisteel;
Tгорout – temperatuur, mis väljub soojusvahetist kuuma soojusvedaja liikumisteel;
Tхолin – sissene tuleva temperatuur soojusvahetis külma soojusvedaja liinil.

Tabelis 3 on toodud soojusvaheti efektiivsuse kõrvalekalde väärtused eksperimentaalsetest erinevates kuuma ja külma liinide vooluhulkades.

Tabel 3. Soojusvaheti efektiivsuse arvutamise vead%

Meie puhul võib valitud koefitsiendi kasutada kõigis meid huvitavates töörežiimides. Kui madalate vooluhulkade korral, kus viga on suurem, vajalik täpsus ei saavutata, saame kasutada muutuva intensiivsuse koefitsienti, mis sõltub hetke vooluhulgast.

Näiteks, joonisel 10 arvutatakse intensiivsuse koefitsient antud valemi alusel vastavalt hetke vooluhulgale kanali rakudes.

Joonis 10. Muutuva intensiivsuse koefitsient soojusvahetuses.

Järeldused

• Füüsikaseaduste tundmine võimaldab luua objekti dünaamilisi mudeleid mudelipõhiseks projekteerimiseks.
• Mudel peab olema valideeritud ja kalibreeritud katseandmete alusel.
• Mudelite arendusvahendid peavad võimaldama arendajal mudelit seadistada objektikatsed tulemuste põhjal.
• Kasutage õiget mudelipõhist lähenemist ja teil on õnne!

Boonus neile, kes lugesid lõpuni. Video virtuaalse süsteemi mudeli töödest.

Ainult registreeritud kasutajad saavad küsitluses osaleda. Logige sisse, palun.

Millest rääkida edasi?

• 76,2%Kuidas tõestada, et programmi mudel vastab seadme programmile.

• 23,8%Kuidas kasutada arvutusi SuperEVM-il mudelipõhiseks projekteerimiseks.

Hääletas 21 kasutajat. Hoidus 1 kasutaja.

Allikas: habr.com