2012. aastal pälvisid Nobeli majandusauhinna Lloyd Shapley ja Alvin Roth. "Stabiilse jaotuse teooria ja turgude korraldamise praktika eest." Aleksei Savvatejev püüdis 2012. aastal lihtsalt ja selgelt selgitada matemaatikute teenete olemust. Esitan teie tähelepanu kokkuvõtte .
Täna toimub teoreetiline loeng. Eksperimentide kohta , eriti annetamisega, ma ei ütle.
Kui teatati, et sai Nobeli preemia, oli standardküsimus: “Kuidas!? Kas ta on veel elus!?!?" Tema kuulsaim tulemus saavutati 1953. aastal.
Formaalselt anti preemia millegi muu eest. Tema 1962. aasta töö "abielu stabiilsuse teoreemi" kohta: "Kolledži sisseastumine ja abielu stabiilsus".
Jätkusuutlikust abielust
Sobivad (sobitamine) - vastavuse leidmise ülesanne.
Seal on teatud eraldatud küla. Seal on “m” noormehed ja “w” tüdrukud. Peame nad omavahel abielluma. (Mitte tingimata sama number, võib-olla lõpuks jääb keegi üksi.)
Milliseid eeldusi tuleb mudelis teha? Et juhuslikult uuesti abielluda pole lihtne. Teatud samm astutakse vaba valiku suunas. Oletame, et on tark aksakal, kes tahab uuesti abielluda, et pärast tema surma lahutused ei algaks. (Abilahutus on olukord, kus mees soovib oma naiseks kolmandast isikust naist rohkem kui oma naiseks.)
See teoreem on kaasaegse majandusteaduse vaimus. Ta on erakordselt ebainimlik. Majandusteadus on traditsiooniliselt olnud ebainimlik. Majandusteaduses asendatakse inimene kasumi maksimeerimiseks masinaga. See, mida ma teile ütlen, on moraalsest vaatenurgast täiesti hullud asjad. Ära võta seda südamesse.
Majandusteadlased vaatavad abielu nii.
m1, m2,… mk - mehed.
w1, w2,... wL - naised.
Meest samastatakse sellega, kuidas ta tüdrukuid “tellib”. Samuti on olemas “nulltase”, millest allapoole ei saa naisi üldse naiseks pakkuda, isegi kui teisi pole.
Kõik toimub mõlemas suunas, tüdrukute puhul sama.
Algandmed on suvalised. Ainus eeldus/piirang on see, et me ei muuda oma eelistusi.
Teoreem: Sõltumata jaotusest ja nulltasemest on alati võimalus luua üks-ühele kirjavahetus mõne mehe ja mõne naise vahel, et see oleks vastupidav igat tüüpi lahkuminekutele (mitte ainult lahutuste puhul).
Millised ohud võivad olla?
On paar (m,w), kes ei ole abielus. Kuid w jaoks on praegune abikaasa halvem kui m ja m jaoks praegune naine halvem kui w. See on jätkusuutmatu olukord.
On ka variant, et keegi oli abielus kellegagi, kes on “alla nulli”, sellises olukorras laguneb ka abielu.
Kui naine on abielus, aga ta eelistab vallalist meest, kelle jaoks ta on üle nulli.
Kui kaks inimest on mõlemad vallalised ja mõlemad on teineteise jaoks "üle nulli".
Väidetakse, et igasuguste esialgsete andmete puhul on selline abielusüsteem olemas, mis on vastupidav igasugustele ohtudele. Teiseks on sellise tasakaalu leidmise algoritm väga lihtne. Võrdleme M*N-ga.
Seda mudelit üldistati ja laiendati "polügaamiaks" ning rakendati paljudes valdkondades.
Gale-Shapley protseduur
Kui kõik mehed ja naised järgivad "ettekirjutusi", on sellest tulenev abielusüsteem jätkusuutlik.
Retseptid.
Vajadusel võtame paar päeva aega. Jagame iga päeva kaheks osaks (hommik ja õhtu).
Esimesel hommikul läheb iga mees oma parima naise juurde ja koputab aknale, paludes tal endaga abielluda.
Sama päeva õhtul pöördub pööre naiste poole Mida saab naine avastada? Et tema akna all oli rahvast, kas üks mees või mitte. Need, kellel täna kedagi pole, jätavad oma korra vahele ja ootavad. Ülejäänud, kellel on vähemalt üks, kontrollivad mehi, kes tulevad, et näha, et nad on "üle nulltaseme". Et oleks vähemalt üks. Kui teil on täiesti ebaõnne ja kõik on alla nulli, siis tuleks kõik saata. Naine valib tulnutest suurima, käsib oodata ja saadab ülejäänud.
Enne teist päeva on olukord selline: mõnel naisel on üks mees, mõnel mitte.
Teisel päeval peavad kõik “vabad” (saadetud) mehed minema teise prioriteediga naise juurde. Kui sellist inimest pole, kuulutatakse mees vallaliseks. Need mehed, kes juba istuvad naistega, ei tee veel midagi.
Õhtul vaatavad naised olukorda. Kui keegi, kes juba istus, liitus kõrgema prioriteediga, saadetakse madalama prioriteediga minema. Kui tulijad on juba olemasolevast madalamad, saadetakse kõik minema. Naised valivad iga kord maksimaalse elemendi.
Kordame.
Selle tulemusena käis iga mees läbi terve oma naiste nimekirja ja jäi kas üksi või kihlus mõne naisega. Siis me abiellume kõik.
Kas kogu seda protsessi on võimalik juhtida, aga naised jooksevad meeste juurde? Protseduur on sümmeetriline, kuid lahendus võib olla erinev. Kuid küsimus on selles, kes on sellest parem?
Teoreem. Vaatleme mitte ainult neid kahte sümmeetrilist lahendust, vaid kõigi stabiilsete abielusüsteemide kogumit. Algse väljapakutud mehhanismi (mehed jooksevad ja naised nõustuvad/keelduvad) tulemuseks on abielusüsteem, mis on parem ühelegi mehele kui ühelegi teisele ja halvem kui ühelegi teisele naisele.
Samasoolised abielud
Mõelge olukorrale "samasooliste abieluga". Vaatleme matemaatilist tulemust, mis seab kahtluse alla nende legaliseerimise vajaduse. Ideoloogiliselt vale näide.
Vaatleme nelja homoseksuaali a, b, c, d.
prioriteedid: bcd
prioriteedid b:cad jaoks
c prioriteedid: abd
d jaoks pole vahet, kuidas ta ülejäänud kolm järjestab.
Avaldus: Selles süsteemis pole jätkusuutlikku abielusüsteemi.
Mitu süsteemi on nelja inimese jaoks? Kolm. ab cd, ac bd, ad bc. Paarid lagunevad ja protsess kulgeb tsüklitena.
"Kolme soo" süsteemid.
See on kõige olulisem küsimus, mis avab terve matemaatika valdkonna. Seda tegi minu kolleeg Moskvast Vladimir Ivanovitš Danilov. Ta käsitles "abielu" kui viina joomist ja rollid olid järgmised: "see, kes valab", "see, kes räägib röstsaia" ja "see, kes lõikab vorsti". Olukorras, kus iga rolli esindajaid on 4 või enam, on toore jõuga lahendamine võimatu. Jätkusuutliku süsteemi küsimus on lahtine.
Shapley vektor
Suvilakülas otsustati tee asfalteerida. Vaja sisse lüüa. Kuidas?
Shapley pakkus sellele probleemile lahenduse 1953. aastal. Oletame konfliktiolukorra inimrühmaga N={1,2…n}. Kulud/tulud tuleb jagada. Oletame, et inimesed tegid koos midagi kasulikku, müüsid selle maha ja kuidas kasumit jagada?
Shapley soovitas, et jagamisel peaksime juhinduma sellest, kui palju nende inimeste teatud alamhulgad võiksid saada. Kui palju raha võiksid teenida kõik 2N mittetühja alamhulka? Ja selle teabe põhjal kirjutas Shapley universaalse valemi.
Näide. Moskvas maa-aluses käigus mängivad solist, kitarrist ja trummar. Nad teenivad kolmekesi 1000 rubla tunnis. Kuidas seda jagada? Võimalik, et võrdselt.
V(1,2,3)=1000
Teeskleme seda
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
Õiglast jagunemist ei saa kindlaks teha enne, kui me ei tea, milline kasu ootab konkreetset ettevõtet, kui see lahkub ja tegutseb iseseisvalt. Ja kui määrasime numbrid (seadke ühismäng iseloomulikul kujul).
Superadditiivsus on see, kui nad teenivad koos rohkem kui eraldi, kui on kasulikum ühineda, kuid pole selge, kuidas võitu jagada. Selle kohta on palju koopiaid purustatud.
Mäng on olemas. Kolm ärimeest leidsid korraga ühe miljoni dollari väärtuses hoiuse. Kui kolmik on nõus, siis on neid miljon. Iga paar võib tappa (korpusest eemaldada) ja kogu miljoni endale saada. Ja üksi ei saa keegi midagi teha. See on hirmutav koostöömäng, millel pole lahendust. Alati on kaks inimest, kes suudavad kolmanda kõrvaldada... Koostöömänguteooria algab näitega, millel pole lahendust.
Tahame sellist lahendust, et ükski koalitsioon ei tahaks ühist lahendust blokeerida. Kõikide jaotuste komplekt, mida ei saa blokeerida, on tuum. Juhtub, et tuum on tühi. Kuid isegi kui see pole tühi, kuidas jagada?
Shapley soovitab niimoodi jagada. Viska n-ga münt! servad. Kirjutame kõik mängijad välja selles järjekorras. Oletame, et esimene trummar. Ta tuleb sisse ja võtab oma 100. Siis tuleb sisse “teine”, oletame, et solist. (Koos trummariga saavad nad teenida 450, trummar on juba võtnud 100) Solist võtab 350. Kitarrist siseneb (kokku 1000, -450), võtab 550. Päris sageli võidab viimane. (Supermodulaarsus)
Kui kirjutame välja kõikide tellimuste jaoks:
GSB – (võit C) – (võit D) – (võit B)
SGB - (võit C) - (võit D) - (võit B)
SBG – (võit C) – (võit D) – (võit B)
BSG – (võit C) – (võit D) – (võit B)
BGS – (võimendus C) – (võimendus D) – (võimendus B)
GBS – (võit C) – (võit D) – (võit B)
Ja iga veeru jaoks lisame ja jagame 6-ga - kõigi tellimuste keskmistamine - see on Shapley vektor.
Shapley tõestas teoreemi (ligikaudne): On olemas mängude klass (supermodulaarne), kus järgmine suure meeskonnaga liituja toob sellele suurema võidu. Tuum ei ole alati tühi ja see on kumer punktide kombinatsioon (meie puhul 6 punkti). Shapley vektor asub tuuma keskpunktis. Seda saab alati lahendusena välja pakkuda, keegi ei ole selle vastu.
1973. aastal tõestati, et suvilate probleem on supermoodul.
Kõik n inimest jagavad teed esimesse suvilasse. Kuni teiseni - n-1 inimest. Jne.
Lennujaamas on lennurada. Erinevad ettevõtted vajavad erinevat pikkust. Sama probleem tekib.
Arvan, et Nobeli preemia andjad pidasid silmas seda teenet, mitte ainult marginaali ülesannet.
Tänan!
Ещё
- Kanal "Math - Simple":
- Kanal “Piirideta Savvatejev”: edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
- Avalik "Matemaatika on lihtne":
- Avalik "matemaatikute nali":
- Veebileht, kõik loengud seal +100 õppetundi ja rohkemgi: savvateev.xyz
Allikas: www.habr.com