2012an, Ekonomiako Nobel Saria Lloyd Shapley eta Alvin Roth-i eman zieten. "Banaketa egonkorraren teoriarako eta merkatuak antolatzeko praktikarako". Aleksey Savvateev 2012an saiatu zen matematikarien merituen funtsa argi eta garbi azaltzen. Laburpen bat aurkezten dizuet .
Gaur hitzaldi teorikoa izango da. Esperimentuei buruz , bereziki dohaintzarekin, ez dut esango.
Hori iragarri zenean Nobel saria jaso zuen, galdera estandar bat zegoen: βNola!? Bizirik al dago oraindik!?!?β Bere emaitzarik ospetsuena 1953an lortu zuen.
Formalki, hobaria beste zerbaitengatik ematen zen. 1962ko "ezkontzaren egonkortasunaren teorema"ri buruz egindako lanagatik: "College Admission and the Stability of Marriage".
Ezkontza iraunkorrari buruz
lotu (lotura) - korrespondentzia bat aurkitzeko zeregina.
Badago herri isolatu jakin bat. "m" gizon gazteak eta "w" neskak daude. Elkarrekin ezkondu behar ditugu. (Ez da zertan kopuru bera, agian azkenean norbait bakarrik geratuko da.)
Zein hipotesi egin behar dira ereduan? Ez dela erraza ausaz berriro ezkontzea. Aukera askearen bidean urrats jakin bat ematen ari da. Demagun badela aksakal jakintsu bat berriro ezkondu nahi duena, hil ondoren dibortzioak has ez daitezen. (Dibortzioa senarrak hirugarren emakume bat bere emaztea baino gehiago nahi duen egoera da.)
Teorema hau ekonomia modernoaren izpirituan dago. Bereziki gizagabea da. Ekonomia tradizionalki gizagabea izan da. Ekonomian, gizakia makina batek ordezkatzen du irabaziak maximizatzeko. Esango dizudana guztiz zoroak dira ikuspuntu moraletik. Ez hartu bihotzean.
Ekonomialariek horrela ikusten dute ezkontza.
m1, m2,β¦ mk - gizonak.
w1, w2,... wL - emakumeak.
Gizon bat neskei nola "agindu" duenarekin identifikatzen da. βZero mailaβ ere badago, zeinaren azpitik emakumeak ezin diren inola ere emazte gisa eskaini, nahiz eta besterik ez egon.
Dena bi noranzkoetan gertatzen da, berdin nesketan.
Hasierako datuak arbitrarioak dira. Suposizio/muga bakarra gure lehentasunak ez ditugula aldatzen da.
Teorema: Banaketa eta zero maila edozein dela ere, beti dago gizon batzuen eta emakume batzuen arteko bat-bateko korrespondentzia ezartzeko modua, zatiketa mota guztietarako sendoa izan dadin (ez bakarrik dibortzioetan).
Zein mehatxu egon daitezke?
Bada bikote bat (m,w) ezkonduta dagoena. Baina w-rentzat egungo senarra m baino okerragoa da, eta m-rentzat egungo emaztea w baino okerragoa da. Egoera jasanezina da.
Norbait "zero azpian" dagoen norbaitekin ezkondu zen aukera ere badago; egoera honetan, ezkontza ere hautsi egingo da.
Emakume bat ezkonduta badago, baina gizon ezkongabea nahiago du, zeinarentzat zero gainetik dagoen.
Bi pertsona biak ezkongabeak badira, eta biak elkarren artean "zeroaren gainetik" badaude.
Hasierako edozein datutarako ezkontza-sistema hori existitzen dela esaten da, mota guztietako mehatxuekiko erresistentea. Bigarrenik, oreka hori aurkitzeko algoritmoa oso erraza da. Konpara dezagun M*N-rekin.
Eredu hau orokortu eta "poligamira" zabaldu eta arlo askotan aplikatu zen.
Gale-Shapley prozedura
Gizon eta emakume guztiek "preskripzioak" jarraitzen badituzte, ondoriozko ezkontza sistema iraunkorra izango da.
Errezetak.
Beharrezko moduan egun batzuk hartzen ditugu. Egun bakoitza bi zatitan banatzen dugu (goizez eta arratsaldez).
Lehenengo goizean, gizon bakoitza bere emakume onenarengana joaten da eta leihoa jotzen du, berarekin ezkontzeko eskatuz.
Egun bereko arratsaldean, txanda emakumeei ematen zaie.Zer aurki dezake emakume batek? Bere leiho azpian jendetza zegoela, gizon bat edo ez. Gaur inor ez dutenek txanda saltatu eta itxaron. Gainerakoek, gutxienez bat dutenek, etortzen diren gizonak egiaztatzen dituzte Β«zero mailaren gainetikΒ» daudela ikusteko. Gutxienez bat edukitzea. Zorte txarra baduzu eta dena zero azpitik badago, denak bidali beharko lirateke. Etorri zirenetatik handiena aukeratzen du emakumeak, itxaroteko esaten dio eta gainerakoak bidaltzen ditu.
Bigarren egunaren aurretik, egoera hau da: emakume batzuek gizon bat dute, beste batzuek ez.
Bigarren egunean, "libre" (bidalitako) gizon guztiek lehentasunezko bigarren emakumearengana joan behar dute. Horrelako pertsonarik ez badago, gizona ezkongabetzat hartuko da. Dagoeneko emakumeekin eserita dauden gizon horiek ez dute ezer egiten oraindik.
Arratsaldean, emakumeek egoerari begira. Jada eserita zegoen norbaiti lehentasun handiago batekin batzen bazaio, orduan lehentasun baxuagoa bidaliko da. Etortzen direnak dagoeneko eskuragarri dagoena baino baxuagoak badira, denak bidaltzen dituzte. Emakumeek elementu maximoa aukeratzen dute bakoitzean.
Errepikatzen dugu.
Ondorioz, gizon bakoitzak bere emakumeen zerrenda osoa aztertu zuen eta bakarrik edo emakume batekin engaiatu zen. Orduan denak ezkonduko ditugu.
Posible al da prozesu hau guztia aurrera eramatea, baina emakumeak gizonezkoengana joatea? Prozedura simetrikoa da, baina irtenbidea ezberdina izan daiteke. Baina galdera da, nor dago hobe honetatik?
Teorema. Kontuan ditzagun bi soluzio simetriko hauek ez ezik, ezkontza-sistema egonkor guztien multzoa ere. Jatorrizko proposatutako mekanismoak (gizonek exekutatzen dute eta emakumeek onartzen dute/ukatzen dute) ezkontza sistema bat lortzen du, edozein gizonentzat beste edozeinentzat baino hobea eta beste edozein baino okerragoa dena edozein emakumerentzat.
Sexu bereko ezkontzak
Demagun "sexu berekoen arteko ezkontza" egoera. Har dezagun horiek legeztatzeko beharra zalantzan jartzen duen emaitza matematiko bat. Adibide ideologikoki okerra.
Demagun lau homosexual a, b, c, d.
lehentasunak a: bcd
lehentasunak b:cad
lehentasunak c: abd
izan ere, berdin dio gainerako hirurak nola sailkatzen dituen.
Adierazpena: Sistema honetan ez dago ezkontza sistema iraunkorrik.
Zenbat sistema daude lau lagunentzako? Hiru. ab cd, ac bd, ad bc. Bikoteak hautsi egingo dira eta prozesua zikloka joango da.
"Hiru genero" sistemak.
Hauxe da matematika arlo oso bat zabaltzen duen galderarik garrantzitsuena. Hau Moskuko nire lankideak, Vladimir Ivanovich Danilov-ek egin zuen. "Ezkontza" vodka edatea bezala ikusten zuen eta rolak hauek ziren: "iurtzen duena", "tostada esaten duena" eta "txistorra mozten duena". Rol bakoitzeko 4 ordezkari edo gehiago dauden egoera batean, ezinezkoa da indar gordinaren bidez konpontzea. Sistema jasangarri baten galdera irekia da.
Shapley bektorea
Txabola herrian errepidea asfaltatzea erabaki zuten. Txip sartu behar da. Nola?
Shapleyk arazo honi irtenbide bat proposatu zion 1953an. Demagun N={1,2β¦n} pertsona talde batekin gatazka-egoera bat. Kostuak/onurak partekatu behar dira. Demagun jendeak elkarrekin zerbait erabilgarria egin duela, saldu eta nola banatu irabaziak?
Shapley-k iradoki zuen banatzean, pertsona horien azpimultzo jakin batzuek zenbat jaso dezaketen gidatu behar ginela. Zenbat diru irabaz dezakete hutsik ez diren 2N azpimultzo guztiek? Eta informazio horretan oinarrituta, Shapleyk formula unibertsal bat idatzi zuen.
Adibidea. Bakarlari, gitarrista eta bateria-jotzaile batek Moskuko lurpeko pasabide batean jotzen dute. Hirurek 1000 errublo irabazten dituzte orduko. Nola banatu? Baliteke berdin.
V(1,2,3)=1000
Itxura dezagun hori
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
Banaketa justua ezin da zehaztu enpresa jakin bati zer irabazi zain dauden jakin arte, hausten bada eta bere kabuz jarduten badu. Eta zenbakiak zehazten ditugunean (joko kooperatiboa forma ezaugarrietan ezarri).
Superadditibitatea da elkarrekin bereizita baino gehiago irabazten dutenean, batzea errentagarriagoa denean, baina irabaziak nola banatu argi ez dagoenean. Horren inguruan kopia asko hautsi dira.
Joko bat dago. Hiru enpresaburuk aldi berean milioi bat dolarreko gordailua aurkitu zuten. Hirurak ados badaude, milioi bat dira. Edozein bikote hil dezake (kasutik kendu) eta beretzat milioi osoa lor dezake. Eta inork ezin du ezer egin bakarrik. Hau irtenbiderik gabeko kooperatiba-joko beldurgarria da. Hirugarrena ezaba dezaketen bi pertsona egongo dira beti... Joko kooperatiboaren teoria irtenbiderik ez duen adibide batekin hasten da.
Halako konponbidea nahi dugu, koaliziorik ez den konponbide komuna blokeatu nahi izango. Blokeatu ezin diren zatiketa guztien multzoa nukleoa da. Gertatzen da muina hutsik dagoela. Baina hutsik ez badago ere, nola banatu?
Modu honetan banatzea proposatzen du Shapleyk. Bota txanpon bat n-rekin! ertzak. Jokalari guztiak ordena honetan idazten ditugu. Demagun lehen bateria-jolea. Sartu eta bere 100 hartzen du. Gero βsegundoaβ sartzen da, demagun bakarlaria. (Bateria-jolearekin batera 450 irabaz ditzakete, bateria-jotzaileak 100 hartu ditu dagoeneko) Bakarlariak 350 hartzen ditu. Gitarra-jotzaileak sartzen da (batera 1000, -450), 550 hartzen ditu. Sarritan azkenak irabazten du. (Supermodularitatea)
Eskaera guztietarako idazten badugu:
GSB - (Irabazi C) - (Irabazi D) - (Irabazi B)
SGB ββββ- (irabazi C) - (irabazi D) - (irabazi B)
SBG - (Irabazi C) - (Irabazi D) - (Irabazi B)
BSG - (Irabazi C) - (Irabazi D) - (Irabazi B)
BGS - (C irabazia) - (D irabazia) - (B irabazia)
GBS - (Irabazi C) - (Irabazi D) - (Irabazi B)
Eta zutabe bakoitzeko 6rekin batu eta zatitzen dugu - eskaera guztien batez bestekoa eginez - hau Shapley bektore bat da.
Shapleyk teorema frogatu zuen (gutxi gorabehera): Joko klase bat dago (supermodularra), zeinetan talde handi batean sartzen den hurrengo pertsonak garaipen handiagoa ematen dionean. Nukleoa beti ez da hutsik eta puntuen konbinazio ganbila da (gure kasuan, 6 puntu). Shapley bektorea nukleoaren erdigunean dago. Konponbide gisa beti eskain daiteke, ez da inor kontra egongo.
1973an frogatu zen txabolen arazoa supermodularra dela.
N pertsona guztiek partekatzen dute lehen txabolarako bidea. Bigarren arte - n-1 pertsona. Etab.
Aireportuak pista bat dauka. Enpresa ezberdinek luzera desberdinak behar dituzte. Arazo bera sortzen da.
Uste dut Nobel saria eman zutenek meritu hori izan zutela buruan, eta ez bakarrik marjina egitekoa.
Eskerrik asko!
ΠΡΡ
- "Matematika - Sinplea" kanala:
- "Savvateev mugarik gabeko" kanala: edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
- Publikoa "Matematika erraza da":
- "Matematikarien txantxa" publikoa:
- Webgunea, hitzaldi guztiak bertan +100 ikasgai eta gehiago: savvateev.xyz
Iturria: www.habr.com