در سال 2012، جایزه نوبل اقتصاد به لوید شاپلی و آلوین راث تعلق گرفت. "برای تئوری توزیع پایدار و عملکرد سازماندهی بازارها." آلکسی ساواتف در سال 2012 سعی کرد به سادگی و به وضوح جوهر شایستگی ریاضیدانان را توضیح دهد. خلاصه ای را تقدیم شما می کنم .
امروز یک سخنرانی تئوری برگزار خواهد شد. درباره آزمایشات ، به ویژه با اهدا، من نمی گویم.
زمانی که اعلام شد که دریافت جایزه نوبل، یک سوال استاندارد وجود داشت: "چطور!؟ آیا او هنوز زنده است!؟!؟» معروف ترین نتیجه او در سال 1953 به دست آمد.
به طور رسمی، پاداش برای چیز دیگری داده شد. برای مقاله او در سال 1962 در مورد "قضیه ثبات ازدواج": "پذیرش دانشگاه و ثبات ازدواج".
درباره ازدواج پایدار
تطابق (تطبیق) - وظیفه یافتن مکاتبات.
یک روستای منزوی وجود دارد. مردان جوان "m" و دختران "w" وجود دارند. ما باید آنها را با یکدیگر ازدواج کنیم. (الزام یک عدد نیست، شاید در نهایت کسی تنها بماند.)
چه فرضیاتی باید در مدل ایجاد شود؟ اینکه ازدواج مجدد تصادفی آسان نیست. گام خاصی به سمت انتخاب آزاد برداشته می شود. فرض کنید یک آکساکال عاقل وجود دارد که می خواهد دوباره ازدواج کند تا بعد از مرگش طلاق شروع نشود. (طلاق به حالتی گفته می شود که شوهر بیش از همسر خود، زن شخص ثالث را به عنوان همسر خود می خواهد.)
این قضیه در روح اقتصاد مدرن است. او فوق العاده غیر انسانی است. اقتصاد به طور سنتی غیرانسانی بوده است. در علم اقتصاد، انسان با ماشینی جایگزین می شود تا سود را به حداکثر برساند. آنچه من به شما خواهم گفت از نظر اخلاقی چیزهای کاملاً دیوانه کننده ای است. به دل نگیرید
اقتصاددانان اینگونه به ازدواج نگاه می کنند.
m1, m2,… mk - مردان.
w1, w2,... wL - زنان.
یک مرد با نحوه "فرمان دادن" دختران شناخته می شود. همچنین یک "سطح صفر" وجود دارد که در زیر آن به هیچ وجه نمی توان زنان را به عنوان همسر پیشنهاد کرد، حتی اگر دیگری وجود نداشته باشد.
همه چیز در هر دو جهت اتفاق می افتد، برای دختران یکسان است.
داده های اولیه دلخواه است. تنها فرض/محدودیت این است که ما ترجیحات خود را تغییر نمی دهیم.
قضیه: صرف نظر از توزیع و سطح صفر، همیشه راهی برای برقراری مکاتبات یک به یک بین برخی از مردان و برخی از زنان وجود دارد تا در برابر انواع انشعاب ها (نه فقط طلاق) قوی باشد.
چه تهدیداتی ممکن است وجود داشته باشد؟
یک زوج (m,w) هستند که ازدواج نکرده اند. اما برای w شوهر فعلی بدتر از m است و برای m همسر فعلی بدتر از w است. این یک وضعیت ناپایدار است.
این گزینه نیز وجود دارد که فردی با فردی که «زیر صفر» است ازدواج کرده باشد، در این شرایط ازدواج نیز از هم می پاشد.
اگر زن متاهل باشد، اما مرد مجردی را ترجیح دهد که برای او بالای صفر باشد.
اگر دو نفر هر دو مجرد باشند و هر دو برای یکدیگر «بالای صفر» باشند.
استدلال می شود که برای هر داده اولیه چنین سیستم ازدواجی وجود دارد که در برابر انواع تهدیدها مقاوم است. ثانیاً، الگوریتم برای یافتن چنین تعادلی بسیار ساده است. بیایید با M*N مقایسه کنیم.
این مدل تعمیم یافت و به «چندهمسری» گسترش یافت و در بسیاری از زمینه ها به کار رفت.
رویه گیل-شپلی
اگر همه مردان و همه زنان از "نسخه ها" پیروی کنند، نظام ازدواج حاصل پایدار خواهد بود.
نسخه ها.
در صورت نیاز چند روز وقت می گیریم. هر روز را به دو قسمت (صبح و عصر) تقسیم می کنیم.
صبح اول هر مردی نزد بهترین زنش می رود و پنجره را می زند و از او می خواهد که با او ازدواج کند.
عصر همان روز نوبت به زنان می رسد، زن چه چیزی می تواند کشف کند؟ اینکه زیر پنجره‌اش جمعیتی بود، یا یک نفر یا هیچ مردی. کسانی که امروز کسی را ندارند نوبت خود را می گذرانند و منتظر می مانند. بقیه، که حداقل یکی دارند، مردانی را که می‌آیند بررسی می‌کنند تا ببینند «بالای سطح صفر هستند». برای داشتن حداقل یکی. اگر کاملاً بدشانس هستید و همه چیز زیر صفر است، پس همه باید اعزام شوند. زن از بین کسانی که آمده اند بزرگ ترین را انتخاب می کند و به او می گوید صبر کن و بقیه را می فرستد.
قبل از روز دوم، وضعیت اینگونه است: برخی از زنان یک مرد دارند، برخی دیگر هیچ.
در روز دوم، همه مردان «آزاد» (ارسال شده) باید به سراغ زن اولویت دوم بروند. اگر چنین شخصی وجود نداشته باشد، مرد مجرد اعلام می شود. آن مردانی که از قبل با زنان نشسته اند، هنوز کاری انجام نمی دهند.
عصر، زنان به اوضاع نگاه می کنند. اگر فردی که قبلاً نشسته بود با اولویت بالاتری همراه شد، اولویت پایین تر فرستاده می شود. اگر کسانی که می آیند کمتر از آنچه در حال حاضر موجود است باشند، همه را ترک می کنند. زنان هر بار حداکثر عنصر را انتخاب می کنند.
ما تکرار میکنیم.
در نتیجه، هر مردی تمام لیست زنان خود را مرور کرد و یا تنها ماند یا با یک زن نامزد کرد. بعد همه با هم ازدواج می کنیم.
آیا می توان کل این فرآیند را اجرا کرد، اما زنان به سمت مردان فرار کنند؟ این روش متقارن است، اما راه حل ممکن است متفاوت باشد. اما سوال اینجاست که چه کسی از این کار بهتر است؟
قضیه. اجازه دهید نه تنها این دو راه حل متقارن، بلکه مجموعه تمام سیستم های ازدواج پایدار را در نظر بگیریم. مکانیسم پیشنهادی اولیه (مردان اجرا می‌شوند و زنان می‌پذیرند/امتناع می‌کنند) منجر به نظام ازدواجی می‌شود که برای هر مردی بهتر از هر مرد دیگری و بدتر از هر زن دیگری است.
ازدواج های هم جنس
وضعیت «ازدواج همجنس‌گرایان» را در نظر بگیرید. بیایید یک نتیجه ریاضی را در نظر بگیریم که لزوم قانونی کردن آنها را مورد تردید قرار می دهد. یک نمونه از نظر ایدئولوژیک نادرست.
چهار همجنس گرا a، b، c، d را در نظر بگیرید.
اولویت ها برای a: bcd
اولویت های b:cad
اولویت های ج: ابد
برای d مهم نیست که او سه نفر باقی مانده را چگونه رتبه بندی می کند.
بیانیه: در این نظام نظام ازدواج پایدار وجود ندارد.
چند سیستم برای چهار نفر وجود دارد؟ سه. ab cd، ac bd، ad bc. زوج ها از هم می پاشند و این روند به صورت چرخه ای پیش می رود.
سیستم های "سه جنسیتی".
این مهم ترین سوالی است که کل رشته ریاضی را باز می کند. این کار توسط همکار من در مسکو، ولادیمیر ایوانوویچ دانیلوف انجام شد. او «ازدواج» را نوشیدن ودکا می دانست و نقش ها به این صورت بود: «کسی که می ریزد»، «کسی که نان تست می گوید» و «کسی که سوسیس را برش می دهد». در شرایطی که برای هر نقش 4 یا بیشتر نماینده وجود دارد، حل آن با زور غیرممکن است. مسئله یک سیستم پایدار یک مسئله باز است.
وکتور شیپلی
در روستای کلبه تصمیم گرفتند جاده را آسفالت کنند. نیاز به چیپ چگونه؟
شپلی در سال 1953 راه حلی برای این مشکل ارائه کرد. بیایید یک موقعیت درگیری با گروهی از افراد N={1,2…n} را فرض کنیم. هزینه ها / منافع باید به اشتراک گذاشته شود. فرض کنید افراد با هم کار مفیدی انجام داده اند، آن را بفروشند و چگونه سود را تقسیم کنند؟
شپلی پیشنهاد کرد که هنگام تقسیم، ما باید بر اساس میزان دریافت زیرمجموعه های خاصی از این افراد هدایت شویم. همه 2N زیرمجموعه غیر خالی چقدر می توانند درآمد کسب کنند؟ و بر اساس این اطلاعات، شپلی یک فرمول جهانی نوشت.
به عنوان مثال. یک نوازنده، نوازنده گیتار و درامر در یک پاساژ زیرزمینی در مسکو می نوازند. این سه نفر در ساعت 1000 روبل درآمد دارند. چگونه آن را تقسیم کنیم؟ احتمالاً به همان اندازه.
V(1,2,3،1000،XNUMX)=XNUMX
بیایید اینگونه وانمود کنیم
V(1,2،600،XNUMX)=XNUMX
V(1,3،450،XNUMX)=XNUMX
V(2,3،400،XNUMX)=XNUMX
V(1،300،XNUMX)=XNUMX
V(2،200،XNUMX)=XNUMX
V(3،100،XNUMX)=XNUMX
یک تقسیم عادلانه را نمی توان تعیین کرد مگر اینکه بدانیم در صورت جدا شدن و اقدام به تنهایی چه دستاوردهایی در انتظار یک شرکت معین است. و زمانی که اعداد را تعیین کردیم (بازی مشارکتی را به شکل مشخصه تنظیم کنید).
Superadditivity زمانی است که آنها با هم بیشتر از مجزا درآمد دارند، زمانی که متحد شدن سود بیشتری دارد، اما نحوه تقسیم برنده ها مشخص نیست. نسخه های زیادی در این مورد شکسته شده است.
یک بازی وجود دارد. سه تاجر به طور همزمان سپرده ای به ارزش یک میلیون دلار پیدا کردند. اگر این سه نفر موافق باشند، یک میلیون نفر هستند. هر زوجی می توانند بکشند (از پرونده حذف کنند) و کل میلیون را برای خود بگیرند. و هیچ کس به تنهایی نمی تواند کاری انجام دهد. این یک بازی co-op ترسناک بدون راه حل است. همیشه دو نفر خواهند بود که می توانند سومی را حذف کنند... نظریه بازی تعاونی با مثالی شروع می شود که راه حلی ندارد.
ما چنین راه حلی می خواهیم که هیچ ائتلافی نخواهد راه حل مشترک را مسدود کند. مجموعه ای از تمام بخش هایی که نمی توان آنها را مسدود کرد، هسته است. این اتفاق می افتد که هسته خالی است. اما حتی اگر خالی نباشد چگونه تقسیم کنیم؟
شاپلی تقسیم کردن به این روش را پیشنهاد می کند. یک سکه با n پرتاب کنید! لبه ها. همه بازیکنان را به این ترتیب می نویسیم. بیایید بگوییم اولین درامر. او وارد می شود و 100ش را می گیرد. سپس «دوم» وارد می شود، مثلاً تکنواز. (به همراه درامر آنها می توانند 450 کسب کنند، درامر قبلاً 100 گرفته است) نوازنده 350 می گیرد. گیتاریست وارد می شود (با هم 1000، -450)، 550 می گیرد. آخرین نفر در اغلب اوقات برنده می شود. (Supermodularity)
اگر برای همه سفارشات بنویسیم:
GSB - (برد C) - (برد D) - (برد B)
SGB - (برد C) - (برد D) - (برد B)
SBG - (برد C) - (برد D) - (برد B)
BSG - (برد C) - (برد D) - (برد B)
BGS - (افزایش C) - (افزایش D) - (افزایش B)
GBS - (برد C) - (برد D) - (برد B)
و برای هر ستون اضافه می کنیم و بر 6 تقسیم می کنیم - میانگین کل سفارشات - این یک بردار Shapley است.
شپلی قضیه را ثابت کرد (تقریبا): یک کلاس از بازی ها (سوپر ماژولار) وجود دارد که در آن نفر بعدی که به یک تیم بزرگ ملحق می شود، برد بزرگتری برای آن به ارمغان می آورد. هسته همیشه خالی نیست و ترکیبی محدب از نقاط است (در مورد ما 6 نقطه). بردار شپلی در مرکز هسته قرار دارد. همیشه می تواند به عنوان راه حل ارائه شود، هیچ کس مخالف آن نخواهد بود.
در سال 1973 ثابت شد که مشکل کلبه ها سوپر ماژولار است.
همه n نفر جاده را به سمت اولین کلبه مشترک دارند. تا دوم - n-1 نفر. و غیره.
فرودگاه دارای باند پرواز است. شرکت های مختلف به طول های مختلف نیاز دارند. همین مشکل پیش می آید.
من فکر می کنم کسانی که جایزه نوبل را دریافت کردند، این شایستگی را در ذهن داشتند، نه فقط وظیفه حاشیه.
با تشکر از شما!
هنوز
- کانال "ریاضی - ساده":
- کانال "Savvateev بدون مرز": eduex.ru، brainsex.ru، studfuck.ru
- عمومی "ریاضیات ساده است":
- عمومی "شوخی ریاضیدانان":
- وب سایت، همه سخنرانی ها + 100 درس و بیشتر: savvateev.xyz
منبع: www.habr.com