🥇Mathématiques et le jeu « Set »

Celui qui trouve ici un « set » recevra un chocolat de ma part.

Le set est un jeu génial auquel nous avons joué il y a environ 5 ans. Cris, hurlements, prise de photos des combinaisons.

Les règles du jeu stipulent qu'il a été inventé en 1991 par la généticienne Marsha Falco, qui prenait des notes lors de recherches sur l'épilepsie chez les chiens de berger allemands en 1974. Pour ceux dont le cerveau est assez épuisé par les mathématiques, il surgit après un certain temps une suspicion qu'il y a là des échos de planimétrie et de tracé de droites à travers des points. (Pour deux cartes données, il existe une et une seule carte qui forme un set avec elles.)

Marsha Falco semble demander : « Alors, tu n'as pas trouvé le « set » ? »

Rappelons les règles

Le set est un jeu de cartes. Chaque carte a quatre paramètres, chacun pouvant prendre trois valeurs (au total 3 x 3 x 3 x 3 = 81 cartes).

Les types et valeurs des paramètres sont :

forme ::= ellipse | losange | « spaghettis »
couleur ::= rouge | vert | violet
remplissage ::= blanc | rayé | plein
quantité ::= 1 | 2 | 3

Objectif du jeu est de trouver des combinaisons spéciales de trois cartes. Trois cartes sont appelées « set » si pour chacun des quatre attributs les cartes sont soit toutes identiques, soit tout toutes différentes.

En d'autres termes, on peut dire que trois cartes ne formeront pas un set si deux cartes ont une même valeur pour un paramètre, tandis que la troisième en a une différente. On peut voir que pour n'importe quelles deux cartes, il y aura toujours une troisième (et une seule) avec laquelle elles composeront un set.

Déroulement du jeu : le meneur de jeu place 12 cartes sur la table. Quand quelqu'un trouve un set, il crie « Set ! » et prend ensuite tranquillement les cartes qui composent le set. Si cependant, il n'y a pas de set parmi les cartes exposées (cela semble souvent être le cas), le meneur de jeu place trois cartes supplémentaires.

Le nombre maximum de cartes sans set est de 20. Le tour continue jusqu'à ce que la pioche soit épuisée. Gagne celui qui a constitué le plus de sets.

Des mathématiciens se sont penchés sur la question et ont proposé une combinaison de 20 cartes. Ceux qui se sentent comme Chuck Norris peuvent oublier cette image et essayer de constituer un « solitaire » sans set par eux-mêmes.
Ou vérifier s'il n'y a tout de même pas un « set » ici ?

20 cartes sans set

Il est facile de vérifier qu'il n'y a pas de « set » par couleur.

Ces mêmes cartes, mais l'agencement montre qu'il n'y a pas de sets selon le paramètre « remplissage ».

Par quantité.

Par forme.

Pas de set par différence de caractéristiques.

Un problème ouvert de mathématiques

Combien de cartes peut-on poser sans former un seul « set » ? Le critère a trois valeurs.

avec 1 « critère » — 2 cartes
2 critères — 4 cartes
3 critères — 9 cartes
4 critères — 20 cartes
5 critères — 45 cartes
6 critères — 112 cartes
7 critères — je ne sais pas

Et pour « n→∞ » ?