«Si tu lis sur la cage de l'éléphant l'inscription ‘bison’, ne crois pas tes yeux.» Kozma Prutkov

Dans l'article précédent sur la conception orientée modèle il a été montré pourquoi un modèle d'objet est nécessaire et il a été prouvé qu'en l'absence de ce modèle d'objet, il n'est possible de parler de conception orientée modèle que comme d'un charabia marketing, insensé et implacable. Mais dès qu'un modèle d'objet se présente, des questions légitimes surgissent toujours chez les ingénieurs compétents : quelles sont les preuves que le modèle mathématique de l'objet correspond à l'objet réel ?

Un des exemples de réponse à cette question est donné dans l'article sur la conception orientée modèle de pilotage électrique. Dans cet article, nous allons examiner un exemple de création d'un modèle pour des systèmes de conditionnement d'air aéronautiques, en enrichissant la pratique de quelques considérations théoriques générales.

Création d'un modèle fiable de l'objet. Théorie

Pour ne pas faire traîner, je vais directement expliquer l'algorithme de création d'un modèle pour la conception orientée modèle. Il se compose de trois étapes simples :

Étape 1. Développer un système d'équations algébriques-différentielles décrivant le comportement dynamique du système modélisé. C'est simple, si l'on connaît la physique du processus. De nombreux scientifiques ont déjà élaboré pour nous les lois physiques fondamentales au nom de Newton, Bernoulli, Navier-Stokes et d'autres Stangels, Circules et Rabinovitch.

Étape 2. Extraire dans le système obtenu un ensemble de coefficients empiriques et de caractéristiques de l'objet de modélisation, que l'on peut obtenir par des essais.

Étape 3. Réaliser des essais sur l'objet et ajuster le modèle en fonction des résultats d'expériences sur le terrain, de manière à ce qu'il corresponde à la réalité, avec le degré de détail souhaité.

Comme vous le voyez, c'est simple, juste deux trois étapes.

Exemple de réalisation pratique

Le système de climatisation (SKV) dans l'avion est lié au système de maintien automatique de la pression. La pression dans l’avion doit toujours être supérieure à la pression extérieure, tout en veillant à ce que le taux de changement de pression ne soit pas tel que les pilotes et les passagers ne souffrent de saignements de nez ou d’oreilles. Ainsi, le système de gestion de l'apport et de l'évacuation d'air est crucial pour la sécurité, et son développement nécessite des systèmes d'essai coûteux sur terre. Ces systèmes reproduisent les températures et les pressions typiques de l'altitude de vol, ainsi que les modes de décollage et d'atterrissage sur des aéroports à différentes altitudes. La question du développement et du réglage des systèmes de contrôle pour le SKV devient donc pressante. Combien de temps allons-nous faire fonctionner le banc d'essai pour obtenir un système de contrôle satisfaisant ? Il est évident que si nous calibrons le modèle de contrôle sur le modèle de l'objet, le cycle de travail sur le banc d'essai peut être considérablement réduit.

Le système de climatisation aéronautique se compose d'échangeurs de chaleur similaires à ceux de tout autre système thermique. Une batterie est une batterie, même dans la jungle, mais en raison des limites de poids et de dimensions des aéronefs, les échangeurs de chaleur sont conçus aussi compacts et efficaces que possible pour transmettre le maximum de chaleur avec un minimum de masse. Au final, la géométrie devient plutôt fantaisiste. Par exemple, dans le cas considéré, la Figure 1 présente un échangeur de chaleur à plaques, qui utilise une membrane entre les plaques pour améliorer le transfert de chaleur. Les fluides caloporteurs chaud et froid alternent dans les canaux, le flux étant transversal. Un fluide caloporteur est acheminé vers la section frontale, l'autre vers le côté.

Pour résoudre la tâche de gestion du SKV, nous devons savoir combien de chaleur est transférée d'un milieu à un autre dans un échangeur de chaleur en une unité de temps. Cela dépend de la vitesse de changement de température que nous régulons.

Figure 1. Schéma de l'échangeur de chaleur aéronautique.

Problèmes de modélisation. Partie hydraulique

À première vue, la tâche semble assez simple : il est nécessaire de calculer le débit massique dans les canaux de l'échangeur de chaleur et le flux thermique entre les canaux.
Le débit massique du fluide dans les canaux est calculé selon la formule de Bernoulli :

où :
ΔP – la différence de pression entre deux points ;
ξ – le coefficient de frottement du fluide ;
L – la longueur du canal ;
d – le diamètre hydraulique du canal ;
ρ – la densité du fluide ;
ω – la vitesse du fluide dans le canal.

Pour un canal de forme arbitraire, le diamètre hydraulique est calculé par la formule :

où :
F – la surface de section transversale ;
P – le périmètre mouillé du canal.

Le coefficient de frottement est calculé selon des formules empiriques et dépend de la vitesse d'écoulement et des propriétés du fluide. Pour différentes géométries, on obtient différentes dépendances, par exemple, la formule pour l'écoulement turbulent dans des tuyaux lisses :

où :
Re – le nombre de Reynolds.

Pour l'écoulement dans des canaux plats, la formule suivante peut être utilisée :

À partir de la formule de Bernoulli, il est possible de calculer la différence de pression pour une vitesse donnée, ou inversement, de calculer la vitesse du fluide dans le canal, pour une différence de pression donnée.

Échange de chaleur

Le flux thermique entre le fluide et la paroi est calculé selon la formule :

où :
α [W/(m²×°C)] – le coefficient de transfert de chaleur ;
F – la surface de section transversale.

Pour les problèmes d'écoulement des fluides dans les tuyaux, un nombre suffisant de recherches a été mené et de nombreuses méthodes de calcul existent, et généralement tout se résume à des dépendances empiriques pour le coefficient de transfert de chaleur α [W/(m²×°C)]

où :
Nu – le nombre de Nusselt,
λ – le coefficient de conductivité thermique du liquide [W/(m×°C)]
d – le diamètre hydraulique (équivalent).

Pour le calcul du nombre (critère) de Nusselt, des dépendances empiriques sont utilisées, par exemple, la formule pour le calcul du nombre de Nusselt d'un tuyau rond est la suivante :

Ici, nous voyons déjà le nombre de Reynolds, le nombre de Prandtl aux températures de paroi et de liquide, et le coefficient d'irrégularité. (Source)

Pour les échangeurs de chaleur à plaques ondulées, la formule est similaire ( Source ):

où :
n = 0.73 m =0.43 pour l'écoulement turbulent,
le coefficient a – varie entre 0,065 et 0,6 selon le nombre de plaques et le régime d'écoulement.

Considérons que ce coefficient est calculé uniquement pour un point donné dans le flux. Pour le point suivant, nous avons une autre température du liquide (elle a été chauffée ou refroidie), une autre température de la paroi, et donc toutes les valeurs du nombre de Reynolds et du nombre de Prandtl varient.

À cet endroit, tout mathématicien dira qu'il est impossible de calculer précisément un système dans lequel le coefficient change de 10 fois, et il aura raison.

Tout ingénieur praticien dira que chaque échangeur de chaleur est différent lors de sa fabrication et qu'il est impossible de calculer les systèmes, et il aura aussi raison.

Mais qu'en est-il de la conception orientée modèle ? Tout est-il perdu ?

Des vendeurs avancés de logiciels occidentaux tenteront de vous vendre un supercalculateur et des systèmes de calcul 3D, du type « sans cela, ce n'est pas possible ». Il faut lancer un calcul sur une journée pour obtenir la répartition des températures pendant 1 minute.

Il est clair que ce n'est pas notre option, nous devons affiner le système de contrôle, que ce soit en temps réel ou au moins sur une période raisonnable.

Solution par essais et erreurs

Un échangeur de chaleur est fabriqué, une série d'essais est réalisée, et une table d'efficacité de la température établie est fournie en fonction des flux des fluides caloporteurs. Simple, rapide et fiable, car les données proviennent d'essais.

Le principal inconvénient de cette approche est qu'il n'y a pas de caractéristiques dynamiques de l'objet. Oui, nous savons quel sera le flux thermique établi, mais nous ne savons pas combien de temps il faudra pour s'établir lors de la transition d'un mode de fonctionnement à un autre.

C'est pourquoi, ayant calculé les caractéristiques nécessaires, nous réglons le système de contrôle directement sur les essais, ce que nous aimerions initialement éviter.

Approche orientée modèle

Pour créer un modèle d'échangeur de chaleur dynamique, il est nécessaire d'utiliser des données d'essais pour éliminer les incertitudes dans les formules empiriques de calcul – tels que le nombre de Nusselt et la résistance hydraulique.

La solution est simple, comme tout ce qui est génial. Nous prenons une formule empirique, réalisons des expériences et déterminons la valeur du coefficient a, éliminant ainsi l'incertitude dans la formule.

Dès que nous avons établi une certaine valeur du coefficient de transfert de chaleur, tous les autres paramètres sont déterminés par les lois fondamentales de la conservation. La différence de températures et le coefficient de transfert de chaleur déterminent la quantité d'énergie transférée dans le canal par unité de temps.

En connaissant le flux d'énergie, il est possible de résoudre les équations de conservation de la masse d'énergie et de l'impulsion pour le fluide caloporteur dans le canal hydraulique. Par exemple, cela :

Dans notre cas, le flux de chaleur entre la paroi et le fluide caloporteur — Qwall — reste incertain. Vous pouvez consulter plus de détails ici…

Ainsi que l'équation de la variation de température pour la paroi du canal :

où :
ΔQwall – la différence entre le flux entrant et sortant vers la paroi du canal ;
M – la masse de la paroi du canal ;
Cpc – capacité thermique du matériau de la paroi.

Précision du modèle

Comme mentionné précédemment, dans l'échangeur de chaleur, nous avons une distribution de température sur la surface de la plaque. Pour une valeur stationnaire, on peut prendre la moyenne des plaques et l'utiliser, représentant l'ensemble de l'échangeur de chaleur comme un seul point concentré, où un seul gradient de température permet le transfert de chaleur à travers toute la surface de l'échangeur. Mais pour les régimes transitoires, cette approximation peut ne pas fonctionner. L'autre extrême consiste à créer plusieurs centaines de milliers de points et à surcharger un supercalculateur, ce qui ne nous convient pas non plus, car l'objectif est de régler le système de contrôle en temps réel, et nous avons plutôt besoin de vitesse.

La question se pose alors : en combien de sections faut-il diviser l'échangeur de chaleur pour obtenir une précision et une vitesse de calcul acceptables ?

Par coïncidence, j'avais sous la main un modèle d'échangeur de chaleur à amine. L'appareil d'échange de chaleur est constitué d'un tube dans lequel circule le fluide chaud, et entre les tubes, le fluide préchauffé. Pour simplifier la tâche, l'ensemble de l'échangeur de chaleur peut être représenté comme un seul tube équivalent, et ce tube comme un ensemble de cellules de calcul discrètes, chacune étant le lieu d'un calcul de modèle ponctuel d'échange thermique. Le schéma du modèle d'une seule cellule est présenté à la Figure 2. Le canal d'air chaud et le canal d'air froid sont reliés par une paroi, qui assure le transfert du flux de chaleur entre les canaux.

Figure 2. Modèle de cellule de l'échangeur de chaleur.

Le modèle de l'échangeur de chaleur à tubes est facilement configurable. On peut modifier un seul paramètre - le nombre de sections le long du tube et voir les résultats des calculs selon différentes subdivisions. Nous allons effectuer le calcul de plusieurs options, en commençant par une subdivision en 5 points le long du tube (fig. 3) et en allant jusqu'à 100 points le long (fig. 4).

Figure 3. Distribution stationnaire de la température à 5 points de calcul.

Figure 4. Distribution stationnaire de la température à 100 points de calcul.

Suite aux calculs, il en ressort que la température stabilisée avec une subdivision en 100 points est de 67,7 °C. Avec une subdivision en 5 points de calcul, la température est de 72,66 °C.

En outre, dans le bas de la fenêtre, la vitesse de calcul par rapport au temps réel est affichée.
Examinons comment la température stabilisée et la vitesse de calcul varient en fonction du nombre de points de calcul. La différence des températures stabilisées lors des calculs avec différents nombres de cellules de calcul peut être utilisée pour évaluer la précision du résultat obtenu.

Tableau 1. Dépendance de la température et de la vitesse de calcul par rapport au nombre de points de calcul le long de l'échangeur de chaleur.

En analysant ce tableau, on peut tirer les conclusions suivantes :

• La vitesse de calcul diminue proportionnellement au nombre de points de calcul dans le modèle de l'appareil d'échange de chaleur.
• Le changement de la précision des calculs est exponentiel. Avec l'augmentation du nombre de points, la précision de chaque augmentation suivante diminue.

Dans le cas d'un échangeur de chaleur à plaques avec flux croisés du fluide caloporteur, comme illustré à la figure 1, la création d'un modèle équivalent à partir de cellules de calcul élémentaires devient légèrement plus complexe. Nous devons connecter les cellules de manière à organiser le flux croisé. Pour 4 cellules, le schéma ressemblera à ce qui est présenté à la figure 5.

Le flux du fluide caloporteur se divise en une branche chaude et une branche froide en deux canaux, ces canaux étant connectés via des structures thermiques, permettant ainsi un échange de chaleur entre différents canaux lors du passage du fluide. En modélisant l'écoulement transversal, le fluide chaud se déplace de gauche à droite (voir fig. 5) dans chaque canal, échangeant successivement sa chaleur avec le fluide caloporteur froid qui monte de bas en haut (voir fig. 5). Le point le plus chaud se situe en haut à gauche, car le fluide chaud échange de la chaleur avec le fluide caloporteur déjà réchauffé du canal froid. Et le point le plus froid se trouve en bas à droite, où le fluide froid échange de la chaleur avec le fluide chaud, déjà refroidi sur la première section.

Figure 5. Modèle de flux transversal de 4 cellules de calcul.

Ce modèle pour un échangeur de chaleur à plaques ne prend pas en compte le transfert de chaleur entre les cellules par conduction thermique et ne prend pas en compte le mélange des fluides, chaque canal étant isolé.

Cependant, dans notre cas, cette dernière restriction n'affecte pas la précision, car dans la conception de l'échangeur de chaleur, un diaphragme ondulé sépare le flux en de nombreux canaux isolés pour le fluide caloporteur (voir fig. 1). Voyons ce qui se passe avec la précision du calcul lors de la modélisation d'un échangeur de chaleur à plaques avec un nombre accru de cellules de calcul.

Pour analyser la précision, nous utilisons deux options de division de l'échangeur de chaleur en cellules de calcul :

1. Chaque cellule carrée contient deux éléments hydrauliques (flux chaud et froid) et un élément thermique. (voir figure 5)
2. Chaque cellule carrée contient six éléments hydrauliques (trois sections pour les flux chauds et froids) et trois éléments thermiques.

Dans le dernier cas, nous utilisons deux types de connexions :

• l'écoulement opposé des flux froid et chaud ;
• l'écoulement parallèle des flux froid et chaud.

L'écoulement opposé augmente l'efficacité par rapport à l'écoulement transversal, tandis que l'écoulement parallèle la diminue. Avec un grand nombre de cellules, il y a une moyenne par flux et tout devient proche d'un véritable écoulement transversal (voir figure 6).

Figure 6. Modèle de flux transversal de quatre cellules avec 3 éléments.

La figure 7 montre les résultats de la distribution stationnaire de la température dans l'échangeur de chaleur avec l'air chaud à 150 °C et l'air froid à 21 °C, pour différentes configurations du modèle. La couleur et les chiffres dans la cellule reflètent la température moyenne de la paroi dans la cellule de calcul.

Figure 7. Températures stationnaires pour différents schémas de calcul.

Le tableau 2 présente la température du vent réchauffé après l'échangeur de chaleur en fonction de la décomposition du modèle de l'échangeur de chaleur en cellules.

Tableau 2. Dépendance de la température par rapport au nombre de cellules de calcul dans l'échangeur de chaleur.

Avec l'augmentation du nombre de cellules de calcul dans le modèle, la température stationnaire finale augmente. La différence entre la température stationnaire avec différentes décompositions peut être considérée comme un indicateur de précision du calcul. On constate qu'avec l'augmentation du nombre de cellules de calcul, la température tend vers la limite, et l'accroissement de la précision n'est pas proportionnel au nombre de points de calcul.

Une question se pose : quelle précision du modèle avons-nous besoin ?

La réponse à cette question dépend de l'objectif de notre modèle. Puisque cet article porte sur la conception orientée modèle, notre modèle est créé pour régler le système de contrôle. Cela signifie que la précision du modèle doit être comparable à celle des capteurs utilisés dans le système.

Dans notre cas, la température est mesurée par une thermocouple ayant une précision de ±2,5 °C. Toute précision supérieure à cela pour les besoins de réglage du système de contrôle est inutile, car notre système de gestion réel ne la remarquera tout simplement pas. Ainsi, si l'on suppose que la température limite avec un nombre infini de décompositions est de 70 °C, un modèle qui nous donne plus de 67,5 °C sera d'une précision suffisante. Tous les modèles avec 3 points dans la cellule de calcul et les modèles supérieurs à 5x5 avec un point par cellule. (Mettre en évidence en vert dans le tableau 2)

Modes de fonctionnement dynamiques

Pour évaluer le mode dynamique, nous allons examiner le processus de variation de la température aux points les plus chauds et les plus froids de la paroi de l'échangeur de chaleur pour différents schémas de calcul. (voir fig. 8)

Figure 8. Réchauffement de l'échangeur de chaleur. Modèles de dimensions 2x2 et 10x10.

Il est clair que le temps du processus de transition et sa nature dépendent en grande partie de la masse du métal chauffé, et non du nombre de points de calcul.

Ainsi, nous concluons que pour modéliser correctement l'échangeur de chaleur dans des régimes allant de 20 à 150 °C, avec la précision requise par le système de contrôle SKV, 10 à 20 points de calcul suffisent.

Réglage du modèle dynamique selon l'expérience

Ayant un modèle mathématique, ainsi que des données expérimentales sur le soufflage de l'échangeur de chaleur, nous devons effectuer une simple correction, à savoir, introduire un coefficient d'intensification dans le modèle, de sorte que le calcul concorde avec les résultats de l'expérience.

De plus, en utilisant l'environnement graphique de création de modèles, nous le ferons automatiquement. La figure 9 présente l'algorithme de sélection des coefficients d'intensification de l'échange de chaleur. Les données obtenues de l'expérience sont soumises en entrée, le modèle de l'échangeur de chaleur est connecté, et en sortie, nous obtenons les coefficients nécessaires pour chacun des régimes.

Figure 9. Algorithme de sélection du coefficient d'intensification en fonction des résultats de l'expérience.

Ainsi, nous définissons ce coefficient pour le nombre de Nusselt et éliminons l'incertitude dans les formules de calcul. Pour différents régimes de fonctionnement et températures, les valeurs des coefficients de correction peuvent varier, mais pour des régimes de fonctionnement similaires (exploitation normale), elles se révèlent très proches. Par exemple, pour cet échangeur de chaleur, pour différents régimes, le coefficient varie de 0,492 à 0,655.

Si nous appliquons le coefficient 0,6, alors dans les régimes de fonctionnement étudiés, l'erreur de calcul sera inférieure à l'erreur de la thermocouple, donc pour le système de contrôle, le modèle mathématique de l'échangeur de chaleur sera totalement adéquat par rapport au modèle réel.

Résultats du réglage du modèle de l'échangeur de chaleur

Pour évaluer la qualité de l'échange de chaleur, une caractéristique spéciale est utilisée : l'efficacité :

où :
effchaud – efficacité de l'échangeur de chaleur pour le fluide caloporteur chaud ;
deschaudin – température à l'entrée de l'échangeur de chaleur selon le parcours du fluide caloporteur chaud ;
deschaudsortie – température à la sortie de l'échangeur de chaleur selon le parcours du fluide caloporteur chaud ;
desfroidin – température à l'entrée de l'échangeur de chaleur pour le circuit de circulation du fluide froid.

Le tableau 3 présente les valeurs de déviation de l'efficacité du modèle d'échangeur de chaleur par rapport à l'expérimental pour différents débits dans les lignes chaude et froide.

Tableau 3. Erreurs de calcul de l'efficacité de l'échange de chaleur en %

Dans notre cas, le coefficient choisi peut être utilisé dans tous les modes de fonctionnement qui nous intéressent. Si, à faibles débits où l'erreur est plus importante, la précision requise n'est pas atteinte, nous pouvons utiliser un coefficient d'intensification variable, qui dépendra du débit actuel.

Par exemple, sur la figure 10, le coefficient d'intensification est calculé selon la formule donnée en fonction du débit actuel dans les cellules du canal.

Figure 10. Coefficient d'intensification variable de l'échange de chaleur.

Conclusions

• La connaissance des lois physiques permet de créer des modèles dynamiques de l'objet pour la conception orientée modèle.
• Le modèle doit être vérifié et ajusté en fonction des données d'expérimentation.
• Les outils de développement de modèles doivent permettre au développeur d'ajuster le modèle en fonction des résultats des essais de l'objet.
• Utilisez la bonne approche orientée modèle et vous serez heureux !

Bonus pour ceux qui ont lu jusqu'ici. Vidéo du fonctionnement du modèle virtuel du système de SCV.

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De quoi parler ensuite ?

• 76,2%Comment prouver que le programme dans le modèle correspond au programme dans le matériel.

• 23,8%Comment utiliser les calculs sur un supercalculateur pour la conception orientée modèle.

21 utilisateurs ont voté. 1 utilisateur s'est abstenu.

Source : habr.com