En 2012, le prix Nobel d'économie a été décerné à Lloyd Shapley et Alvin Roth. "Pour la théorie de la distribution stable et la pratique de l'organisation des marchés." Aleksey Savvateev a tenté en 2012 d'expliquer simplement et clairement l'essence des mérites des mathématiciens. Je présente à votre attention un résumé .
Aujourd'hui, il y aura une conférence théorique. À propos des expériences , notamment avec don, je ne le dirai pas.
Lorsqu'il a été annoncé que reçu le prix Nobel, il y avait une question standard : « Comment !? Est-il toujours vivant!?!?" Son résultat le plus célèbre fut obtenu en 1953.
Formellement, la prime était accordée pour autre chose. Pour son article de 1962 sur le « théorème de la stabilité du mariage » : « Admission à l’université et stabilité du mariage ».
À propos du mariage durable
Des (correspondance) - la tâche de trouver une correspondance.
Il y a un certain village isolé. Il y a « m » jeunes hommes et « w » filles. Nous devons les marier l'un à l'autre. (Pas forcément le même numéro, peut-être qu'à la fin quelqu'un se retrouvera seul.)
Quelles hypothèses faut-il faire dans le modèle ? Que ce n’est pas facile de se remarier au hasard. Un certain pas est franchi vers le libre choix. Disons qu’il y a un aksakal sage qui veut se remarier pour qu’après sa mort les divorces ne commencent pas. (Le divorce est une situation dans laquelle un mari veut plus qu’une femme tierce comme épouse que son épouse.)
Ce théorème s’inscrit dans l’esprit de l’économie moderne. Elle est exceptionnellement inhumaine. L’économie a toujours été inhumaine. En économie, l’homme est remplacé par une machine pour maximiser les profits. Ce que je vais vous dire, ce sont des choses absolument folles d’un point de vue moral. Ne le prenez pas à cœur.
Les économistes voient le mariage de cette façon.
m1, m2,… mk - hommes.
w1, w2,... wL - femmes.
Un homme s'identifie à la façon dont il « commande » les filles. Il existe également un « niveau zéro », en dessous duquel les femmes ne peuvent pas du tout être proposées comme épouses, même s’il n’y en a pas d’autres.
Tout se passe dans les deux sens, pareil pour les filles.
Les données initiales sont arbitraires. La seule hypothèse/limite est que nous ne modifions pas nos préférences.
Théorème: Quels que soient la distribution et le niveau de zéro, il existe toujours un moyen d'établir une correspondance biunivoque entre certains hommes et certaines femmes afin qu'elle soit robuste à tous les types de ruptures (pas seulement aux divorces).
Quelles peuvent être les menaces ?
Il y a un couple (m,w) qui n'est pas marié. Mais pour w, le mari actuel est pire que m, et pour m, la femme actuelle est pire que w. C’est une situation intenable.
Il existe également la possibilité que quelqu'un ait été marié à quelqu'un dont le niveau est « en dessous de zéro » ; dans cette situation, le mariage s'effondrera également.
Si une femme est mariée, mais qu'elle préfère un homme célibataire, pour qui elle est au-dessus de zéro.
Si deux personnes sont toutes deux célibataires et que les deux sont « au-dessus de zéro » l’une pour l’autre.
On avance que pour toute donnée initiale, il existe un tel système matrimonial, résistant à tous les types de menaces. Deuxièmement, l’algorithme permettant de trouver un tel équilibre est très simple. Comparons avec M*N.
Ce modèle a été généralisé et étendu à la « polygamie » et appliqué dans de nombreux domaines.
Procédure Gale-Shapley
Si tous les hommes et toutes les femmes suivent les « prescriptions », le système matrimonial qui en résultera sera durable.
Ordonnances.
Nous prenons quelques jours selon les besoins. Nous divisons chaque journée en deux parties (matin et soir).
Le premier matin, chaque homme se rend chez sa meilleure femme et frappe à la fenêtre pour lui demander de l'épouser.
Le soir du même jour, c'est au tour des femmes : que peut découvrir une femme ? Qu'il y avait une foule sous sa fenêtre, soit un homme, soit aucun. Ceux qui n’ont personne aujourd’hui sautent leur tour et attendent. Les autres, qui en ont au moins un, vérifient les hommes qui viennent pour s’assurer qu’ils sont « au-dessus du niveau zéro ». En avoir au moins un. Si vous n'avez absolument pas de chance et que tout est en dessous de zéro, alors tout le monde devrait être envoyé. La femme choisit le plus grand de ceux qui sont venus, lui dit d'attendre et envoie le reste.
Avant le deuxième jour, la situation est la suivante : certaines femmes n’ont qu’un seul homme, d’autres n’en ont pas.
Le deuxième jour, tous les hommes « libres » (envoyés) doivent se rendre chez la femme de deuxième priorité. S'il n'y a pas de telle personne, alors l'homme est déclaré célibataire. Les hommes qui sont déjà assis avec les femmes ne font encore rien.
Le soir, les femmes observent la situation. Si quelqu'un qui était déjà assis est rejoint par une priorité supérieure, alors la priorité inférieure est renvoyée. Si ceux qui viennent sont inférieurs à ce qui est déjà disponible, tout le monde est renvoyé. Les femmes choisissent à chaque fois le maximum d’éléments.
Nous répétons.
En conséquence, chaque homme parcourait la liste complète de ses femmes et se retrouvait soit seul, soit engagé avec une femme. Ensuite, nous marierons tout le monde.
Est-il possible de diriger tout ce processus, mais que les femmes se tournent vers les hommes ? La procédure est symétrique, mais la solution peut être différente. Mais la question est : qui s’en sort le mieux ?
Théorème. Considérons non seulement ces deux solutions symétriques, mais l’ensemble de tous les systèmes matrimoniaux stables. Le mécanisme initialement proposé (les hommes se présentent et les femmes acceptent/refusent) aboutit à un système de mariage qui est meilleur pour tout homme que tout autre et pire que tout autre pour n'importe quelle femme.
Mariage de même sexe
Considérons la situation du « mariage homosexuel ». Considérons un résultat mathématique qui met en doute la nécessité de les légaliser. Un exemple idéologiquement incorrect.
Considérons quatre homosexuels a, b, c, d.
priorités pour un : bcd
priorités pour b:cad
priorités pour c : abd
pour d, la manière dont il classe les trois autres n'a pas d'importance.
Déclaration: Il n’y a pas de système de mariage durable dans ce système.
Combien y a-t-il de systèmes pour quatre personnes ? Trois. ab cd, ac bd, ad bc. Les couples se désintégreront et le processus se déroulera par cycles.
Systèmes « trigenres ».
C’est la question la plus importante qui ouvre tout un domaine des mathématiques. C'est ce qu'a fait mon collègue de Moscou, Vladimir Ivanovitch Danilov. Il considérait le « mariage » comme le fait de boire de la vodka et les rôles étaient les suivants : « celui qui verse », « celui qui porte un toast » et « celui qui coupe la saucisse ». Dans une situation où il y a 4 représentants ou plus pour chaque rôle, il est impossible de résoudre par la force brute. La question d’un système durable est ouverte.
Vecteur Shapley
Dans le village de chalets, ils ont décidé d'asphalter la route. Il faut participer. Comment?
Shapley a proposé une solution à ce problème en 1953. Supposons une situation de conflit avec un groupe de personnes N={1,2…n}. Les coûts/bénéfices doivent être partagés. Supposons que les gens fassent ensemble quelque chose d’utile, le vendent et comment diviser les bénéfices ?
Shapley a suggéré que lors de la division, nous devrions être guidés par la quantité que certains sous-ensembles de ces personnes pourraient recevoir. Combien d’argent tous les 2N sous-ensembles non vides pourraient-ils gagner ? Et sur la base de ces informations, Shapley a écrit une formule universelle.
Exemple. Un soliste, un guitariste et un batteur jouent dans un passage souterrain de Moscou. Tous les trois gagnent 1000 XNUMX roubles de l'heure. Comment le diviser ? Peut-être également.
V(1,2,3)=1000
Faisons comme si
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
Une division équitable ne peut être déterminée tant que nous ne savons pas quels gains attendent une entreprise particulière si elle se sépare et agit seule. Et quand nous avons déterminé les nombres (définir le jeu coopératif sous une forme caractéristique).
La superadditivité, c'est quand ensemble ils gagnent plus que séparément, quand il est plus rentable de s'unir, mais on ne sait pas comment diviser les gains. De nombreuses copies ont été cassées à ce sujet.
Il y a un jeu. Trois hommes d'affaires ont découvert simultanément un gisement d'une valeur d'un million de dollars. Si les trois sont d’accord, alors ils sont un million. N'importe quel couple peut tuer (se retirer de l'affaire) et obtenir le million entier pour lui-même. Et personne ne peut rien faire seul. Il s'agit d'un jeu coopératif effrayant sans solution. Il y aura toujours deux personnes qui pourront éliminer la troisième... La théorie des jeux coopératifs commence par un exemple qui n'a pas de solution.
Nous voulons une solution telle qu’aucune coalition ne veuille bloquer la solution commune. L'ensemble de toutes les divisions qui ne peuvent pas être bloquées constitue le noyau. Il arrive que le noyau soit vide. Mais même s’il n’est pas vide, comment diviser ?
Shapley suggère de diviser de cette façon. Lancez une pièce avec n ! bords. Nous écrivons tous les joueurs dans cet ordre. Disons le premier batteur. Il entre et prend ses 100. Puis arrive le « second », disons le soliste. (Avec le batteur, ils peuvent gagner 450, le batteur en a déjà pris 100) Le soliste en prend 350. Le guitariste entre (ensemble 1000, -450), en prend 550. Le dernier gagne assez souvent. (Supermodularité)
Si nous écrivons pour toutes les commandes :
GSB - (gagner C) - (gagner D) - (gagner B)
SGB - (gagner C) - (gagner D) - (gagner B)
SBG - (gagner C) - (gagner D) - (gagner B)
BSG - (gagner C) - (gagner D) - (gagner B)
BGS - (gain C) - (gain D) - (gain B)
GBS - (gagner C) - (gagner D) - (gagner B)
Et pour chaque colonne, nous additionnons et divisons par 6 - en faisant la moyenne de toutes les commandes - c'est un vecteur Shapley.
Shapley a démontré le théorème (approximativement) : il existe une classe de jeux (supermodulaires) dans laquelle la prochaine personne à rejoindre une grande équipe lui apporte une victoire plus importante. Le noyau est toujours non vide et est une combinaison convexe de points (dans notre cas, 6 points). Le vecteur Shapley se trouve au centre même du noyau. Cela peut toujours être proposé comme solution, personne ne s’y opposera.
En 1973, il a été prouvé que le problème des chalets est supermodulaire.
Toutes les personnes partagent la route menant au premier chalet. Jusqu'à la deuxième - n-1 personnes. Etc.
L'aéroport dispose d'une piste. Différentes entreprises ont besoin de différentes longueurs. Le même problème se pose.
Je pense que ceux qui ont décerné le prix Nobel avaient ce mérite en tête, et pas seulement la tâche de marge.
Je vous remercie!
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Source: habr.com