{"id":53777,"date":"2019-12-10T00:00:00","date_gmt":"2019-12-09T21:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/prohoster.info\/blog\/blog_prohoster\/privodim-uravnenie-linejnoj-regressii-v-matrichnyj-vid"},"modified":"2020-02-18T14:01:42","modified_gmt":"2020-02-18T11:01:42","slug":"privodim-uravnenie-linejnoj-regressii-v-matrichnyj-vid","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/prohoster.info\/fr\/blog\/news\/privodim-uravnenie-linejnoj-regressii-v-matrichnyj-vid","title":{"rendered":"Nous exprimons l'\u00e9quation de r\u00e9gression lin\u00e9aire sous forme matricielle","gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"text"}]},"content":{"rendered":"

\"Nous
\n
\nL'objectif de cet article est de soutenir les d\u00e9butants en data science. Dans l'article pr\u00e9c\u00e9dent<\/a><\/noindex> nous avons examin\u00e9 trois m\u00e9thodes pour r\u00e9soudre l'\u00e9quation de la r\u00e9gression lin\u00e9aire : la solution analytique, la descente de gradient et la descente de gradient stochastique. Pour la solution analytique, nous avons appliqu\u00e9 la formule \"Nous. Dans cet article, comme l'indique le titre, nous justifierons l'utilisation de cette formule ou, en d'autres termes, nous la d\u00e9montrerons nous-m\u00eames. <\/p>\n

Pourquoi est-il sens\u00e9 de pr\u00eater une attention particuli\u00e8re \u00e0 la formule \"Nous? <\/p>\n

C'est g\u00e9n\u00e9ralement avec l'\u00e9quation matricielle que l'on commence \u00e0 se familiariser avec la r\u00e9gression lin\u00e9aire. Toutefois, les explications d\u00e9taill\u00e9es sur la mani\u00e8re dont la formule a \u00e9t\u00e9 d\u00e9riv\u00e9e sont rares.
\n<\/a><\/noindex>
\nPar exemple, lors des cours de machine learning de Yandex, lorsque les participants sont introduits \u00e0 la r\u00e9gularisation, il leur est sugg\u00e9r\u00e9 d'utiliser des fonctions de la biblioth\u00e8que sklearn<\/i>, sans que jamais le terme de repr\u00e9sentation matricielle de l'algorithme ne soit mentionn\u00e9. \u00c0 ce moment-l\u00e0, certains participants peuvent ressentir l'envie d'explorer ce sujet plus en profondeur \u2014 de coder sans utiliser de fonctions toutes faites. Pour ce faire, il faut d'abord repr\u00e9senter l'\u00e9quation avec la r\u00e9gularisation sous forme matricielle. Cet article vise pr\u00e9cis\u00e9ment \u00e0 permettre \u00e0 ceux qui le souhaitent d'acqu\u00e9rir de telles comp\u00e9tences. Commen\u00e7ons.<\/p>\n

Conditions initiales<\/h2>\n

<\/p>\n

Indicateurs cibles<\/h3>\n

\nNous avons une s\u00e9rie de valeurs pour l'indicateur cible. Par exemple, l'indicateur cible peut \u00eatre le prix d'un actif quelconque : p\u00e9trole, or, bl\u00e9, dollar, etc. Par s\u00e9rie de valeurs de l'indicateur cible, nous entendons le nombre d'observations. Ces observations pourraient \u00eatre, par exemple, les prix mensuels du p\u00e9trole sur une ann\u00e9e, ce qui nous donnerait 12 valeurs de l'indicateur cible. Commen\u00e7ons par introduire des notations. D\u00e9signons chaque valeur de l'indicateur cible par \"Nous. Au total, nous avons \"Nous observations, ce qui signifie que nous pouvons repr\u00e9senter nos observations comme \"Nous.<\/p>\n

R\u00e9gressors<\/h3>\n

\nConsid\u00e9rons qu'il existe des facteurs qui expliquent, dans une certaine mesure, les valeurs de la variable cible. Par exemple, le taux de change dollar\/ruble est fortement influenc\u00e9 par le prix du p\u00e9trole, le taux de la R\u00e9serve f\u00e9d\u00e9rale, etc. Ces facteurs sont appel\u00e9s des r\u00e9gressors. Ainsi, pour chaque valeur de la variable cible, il doit correspondre une valeur du r\u00e9gressor, c'est-\u00e0-dire que si nous avons 12 variables cibles pour chaque mois de 2018, nous devons \u00e9galement avoir 12 valeurs de r\u00e9gressors pour la m\u00eame p\u00e9riode. Notons les valeurs de chaque r\u00e9gressor par \"Nous. Supposons que dans notre cas, il y a \"Nous r\u00e9gressors (c'est-\u00e0-dire \"Nous des facteurs qui influencent les valeurs de la variable cible). Ainsi, nos r\u00e9gressors peuvent \u00eatre repr\u00e9sent\u00e9s de la mani\u00e8re suivante : pour le 1er r\u00e9gressor (par exemple, le prix du p\u00e9trole) : \"Nous, pour le 2\u00e8me r\u00e9gressor (par exemple, le taux de la R\u00e9serve f\u00e9d\u00e9rale) : \"Nous, pour «\"Nous-\u00e8me» r\u00e9gressor : \"Nous<\/p>\n

D\u00e9pendance des variables cibles par rapport aux r\u00e9gressors<\/h3>\n

\nSupposons que la d\u00e9pendance de la variable cible \"Nous des r\u00e9gressors «\"Nous-\u00e8me» observation peut \u00eatre exprim\u00e9e \u00e0 travers l'\u00e9quation de r\u00e9gression lin\u00e9aire de la forme :<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

, o\u00f9 \"Nous \u2014 «\"Nous-\u00e8me» valeur du r\u00e9gressor de 1 \u00e0 \"Nous,<\/p>\n

\"Nous \u2014 le nombre de r\u00e9gressors de 1 \u00e0 \"Nous<\/p>\n

\"Nous \u2014 les coefficients angulaires, qui repr\u00e9sentent la magnitude par laquelle la variable cible calcul\u00e9e changera en moyenne avec le changement du r\u00e9gressor. <\/p>\n

En d'autres termes, pour chaque r\u00e9gressor (sauf \"Nous) nous d\u00e9terminons notre propre coefficient \"Nous, puis nous multiplions les coefficients par les valeurs des r\u00e9gressors «\"Nous-\u00e8me» observation, ce qui nous donne une certaine approximation «\"Nous-\u00e8me» indicateur cible.<\/p>\n

Par cons\u00e9quent, nous devons trouver des coefficients \"Nous, pour lesquels les valeurs de notre fonction d'approximation \"Nous seront situ\u00e9es aussi pr\u00e8s que possible des valeurs des variables cibles.<\/p>\n

\u00c9valuation de la qualit\u00e9 de la fonction d'approximation<\/h3>\n

\nNous allons d\u00e9terminer l'\u00e9valuation de la qualit\u00e9 de la fonction d'approximation par la m\u00e9thode des moindres carr\u00e9s. La fonction d'\u00e9valuation de qualit\u00e9 prendra alors la forme suivante :<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

Nous devons trouver des valeurs de coefficients $w$, pour lesquelles la valeur \"Nous sera minimale.<\/p>\n

Transformons l'\u00e9quation en forme matricielle<\/h2>\n

<\/p>\n

Repr\u00e9sentation vectorielle<\/h3>\n

\nPour commencer, afin de nous faciliter la t\u00e2che, il convient de pr\u00eater attention \u00e0 l'\u00e9quation de r\u00e9gression lin\u00e9aire et de noter que le premier coefficient \"Nous ne se multiplie par aucun r\u00e9gresseur. Cependant, lorsque nous convertirons les donn\u00e9es en format matriciel, cette circonstance compliquera s\u00e9rieusement les calculs. \u00c0 cet \u00e9gard, il est propos\u00e9 d'introduire un autre r\u00e9gresseur pour le premier coefficient \"Nous et l'\u00e9galiser \u00e0 un. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, chaque «\"Nous-\u00e8me» valeur de ce r\u00e9gressor doit \u00eatre \u00e9gal\u00e9e \u00e0 1 \u2014 car en multipliant par 1, d'un point de vue des r\u00e9sultats des calculs, rien ne changera, et en ce qui concerne les r\u00e8gles de multiplication des matrices, nos efforts seront consid\u00e9rablement r\u00e9duits. <\/p>\n

Maintenant, pour un certain temps, afin de simplifier le mat\u00e9riel, supposons que nous n'ayons qu'une seule «\"Nous-\u00e8me» observation. Ensuite, imaginons les valeurs des r\u00e9gressors «\"Nous-\u00e8me» observation comme un vecteur \"Nous. Le vecteur \"Nous a une dimension de \"Nous, c'est-\u00e0-dire \"Nous lignes et 1 colonne :<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

Nous allons repr\u00e9senter les coefficients recherch\u00e9s sous forme de vecteur \"Nous, ayant une dimension de \"Nous:<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

L'\u00e9quation de la r\u00e9gression lin\u00e9aire pour «\"Nous-\u00e8me» observation prendra la forme : <\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

La fonction d'\u00e9valuation de la qualit\u00e9 du mod\u00e8le lin\u00e9aire prendra la forme :<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

Notons qu'en accordance avec les r\u00e8gles de multiplication des matrices, nous avons d\u00fb transposer le vecteur \"Nous.<\/p>\n

Repr\u00e9sentation matricielle<\/h3>\n

\nComme r\u00e9sultat de la multiplication des vecteurs, nous obtiendrons un nombre : \"Nous, ce qui \u00e9tait \u00e0 pr\u00e9voir. Ce nombre est l'approximation «\"Nous-\u00e8me» indicateur cible. Mais ce dont nous avons besoin, c'est d'une approximation non d'une seule valeur de l'indicateur cible, mais de toutes. Pour cela, nous allons inscrire tous les «\"Nous-\u00e8mes» r\u00e9gressors au format matrice. \"NousMaintenant, l'\u00e9quation de la r\u00e9gression lin\u00e9aire prendra la forme : \"Nous:<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

D\u00e9signons les valeurs des indicateurs cibles (tous les \"<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

\") par le vecteur \"Nousde dimension \"Nous Maintenant, nous pouvons \u00e9crire au format matriciel l'\u00e9quation d'\u00e9valuation de la qualit\u00e9 du mod\u00e8le lin\u00e9aire : \"Nous:<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

En fait, cette formule d\u00e9rive de la formule que nous connaissons<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

Comment cela se fait-il ? Les parenth\u00e8ses sont ouvertes, la diff\u00e9rentiation est effectu\u00e9e, les expressions obtenues sont transform\u00e9es, etc., et c'est pr\u00e9cis\u00e9ment ce \u00e0 quoi nous allons nous atteler maintenant. \"Nous<\/p>\n

Transformations matricielles<\/p>\n

Ouvrons les parenth\u00e8ses<\/h2>\n

<\/p>\n

Pr\u00e9parons l'\u00e9quation pour la diff\u00e9rentiation<\/h3>\n

\n\"Nous<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

Pour cela, nous allons effectuer certaines transformations. Dans les calculs suivants, il sera plus pratique que le vecteur<\/h3>\n

\nsoit repr\u00e9sent\u00e9 au d\u00e9but de chaque produit de l'\u00e9quation. \"Nous Transformation 1<\/p>\n

Conversion 1<\/h4>\n

\n\"Nous<\/p>\n

Comment cela s'est-il produit ? Pour r\u00e9pondre \u00e0 cette question, il suffit de regarder les tailles des matrices multipli\u00e9es et de constater qu'\u00e0 la sortie, nous obtenons un nombre ou autrement \"Nous.<\/p>\n

R\u00e9digeons les dimensions des expressions matricielles.<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

Transformation 2<\/h4>\n

\n\"Nous<\/p>\n

D\u00e9crivons de mani\u00e8re similaire \u00e0 la transformation 1<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

\u00c0 la sortie, nous obtenons une \u00e9quation que nous devons diff\u00e9rencier :
\n\"Nous<\/p>\n

Diff\u00e9rencions la fonction d'\u00e9valuation de la qualit\u00e9 du mod\u00e8le<\/h2>\n

\nNous allons diff\u00e9rencier par rapport au vecteur \"Nous:<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

\n\"Nous<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

Il ne devrait pas y avoir de questions sur le pourquoi \"Nous mais nous examinerons en d\u00e9tail les op\u00e9rations concernant la d\u00e9finition des d\u00e9riv\u00e9es dans deux autres expressions.<\/p>\n

Diff\u00e9rentiation 1<\/h3>\n

\nD\u00e9veloppons la diff\u00e9rentiation : \"Nous<\/p>\n

Pour d\u00e9finir la d\u00e9riv\u00e9e d'une matrice ou d'un vecteur, il faut voir ce qui se cache \u00e0 l'int\u00e9rieur. Regardons :<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

\"Nous \"Nous<\/p>\n

D\u00e9signons le produit des matrices \"Nous par matrice \"Nous. La matrice \"Nous est carr\u00e9e et de plus, elle est sym\u00e9trique. Ces propri\u00e9t\u00e9s nous seront utiles par la suite, souvenons-nous-en. La matrice \"Nous a une dimension de \"Nous:<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

Maintenant, notre t\u00e2che est de multiplier correctement les vecteurs par la matrice sans obtenir \"deux fois deux fait cinq\", donc concentrons-nous et soyons extr\u00eamement attentifs.<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

Cependant, nous avons un expression sophistiqu\u00e9e ! En r\u00e9alit\u00e9, nous avons obtenu un nombre \u2014 un scalaire. Et maintenant, nous passons v\u00e9ritablement \u00e0 la diff\u00e9rentiation. Il est n\u00e9cessaire de trouver la d\u00e9riv\u00e9e de l'expression obtenue par rapport \u00e0 chaque coefficient \"Nous et d'obtenir en sortie un vecteur de dimension \"Nous. Au cas o\u00f9, je vais d\u00e9finir les proc\u00e9dures des actions :<\/p>\n

1) nous allons diff\u00e9rencier par rapport \u00e0 \"Nous, nous obtiendrons : \"Nous<\/p>\n

2) nous allons diff\u00e9rencier par rapport \u00e0 \"Nous, nous obtiendrons : \"Nous<\/p>\n

3) nous allons diff\u00e9rencier par rapport \u00e0 \"Nous, nous obtiendrons : \"Nous<\/p>\n

\u00c0 la sortie \u2014 le vecteur promis de taille \"Nous:<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

Si l'on regarde de plus pr\u00e8s le vecteur, on peut remarquer que les \u00e9l\u00e9ments gauche et les \u00e9l\u00e9ments droits correspondants du vecteur peuvent \u00eatre regroup\u00e9s de telle sorte qu'au final, du vecteur pr\u00e9sent\u00e9, on puisse isoler le vecteur \"Nous de taille \"Nous. Par exemple, \"Nous (\u00e9l\u00e9ment gauche de la premi\u00e8re ligne du vecteur) \"Nous (\u00e9l\u00e9ment droit de la premi\u00e8re ligne du vecteur) peut \u00eatre repr\u00e9sent\u00e9 comme \"Nous, et \"Nous \u2014 comme \"Nous et ainsi de suite pour chaque ligne. Regroupons :<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

Nous allons extraire le vecteur \"Nous et \u00e0 la sortie, nous obtiendrons :<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

Maintenant, examinons la matrice obtenue. La matrice est la somme de deux matrices \"Nous:<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

Rappelons-nous qu'il y a quelque temps, nous avons not\u00e9 une propri\u00e9t\u00e9 importante de la matrice \"Nous \u2014 elle est sym\u00e9trique. Sur la base de cette propri\u00e9t\u00e9, nous pouvons affirmer avec confiance que l'expression \"Nous est \u00e9gale \u00e0 \"Nous. Cela peut \u00eatre facilement v\u00e9rifi\u00e9 en d\u00e9veloppant le produit des matrices \u00e9l\u00e9ment par \u00e9l\u00e9ment. \"Nous. Nous ne le ferons pas ici, ceux qui le souhaitent peuvent faire la v\u00e9rification par eux-m\u00eames. <\/p>\n

Revenons \u00e0 notre expression. Apr\u00e8s nos transformations, elle est devenue telle que nous voulions la voir :<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

Ainsi, nous avons bien g\u00e9r\u00e9 la premi\u00e8re d\u00e9rivation. Passons \u00e0 la deuxi\u00e8me expression.<\/p>\n

D\u00e9rivation 2<\/h3>\n

\n\"Nous<\/p>\n

Suivons le chemin d\u00e9j\u00e0 trac\u00e9. Il sera beaucoup plus court que le pr\u00e9c\u00e9dent, donc ne vous \u00e9loignez pas trop de l'\u00e9cran.<\/p>\n

D\u00e9veloppons les vecteurs et la matrice \u00e9l\u00e9ment par \u00e9l\u00e9ment :<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

Pour un moment, retirons le deux des calculs \u2014 il ne joue pas un grand r\u00f4le, nous le remettrons en place plus tard. Multiplions les vecteurs par la matrice. D'abord, multiplions la matrice \"Nous par le vecteur \"Nous, ici nous n'avons aucune restriction. Nous obtiendrons un vecteur de taille \"Nous:<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

R\u00e9alisons la prochaine action \u2014 multiplions le vecteur \"Nous par le vecteur obtenu. En sortie, nous attend un nombre :<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

C'est ce que nous allons d\u00e9river. En sortie, nous obtiendrons un vecteur de dimension \"Nous:<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

\u00c7a vous rappelle quelque chose ? Tout \u00e0 fait ! C'est le produit de la matrice \"Nous par le vecteur \"Nous. <\/p>\n

Ainsi, la deuxi\u00e8me d\u00e9rivation est achev\u00e9e avec succ\u00e8s.<\/p>\n

En conclusion<\/h2>\n

\nMaintenant, nous savons comment est venu l'\u00e9galit\u00e9 \"Nous.<\/p>\n

Pour finir, d\u00e9crivons un chemin rapide pour les transformations des formules de base.<\/p>\n

\u00c9valuons la qualit\u00e9 du mod\u00e8le selon la m\u00e9thode des moindres carr\u00e9s :<\/b>
\n\"Nous<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

D\u00e9rivons l'expression obtenue :<\/b>
\n\"Nous \"Nous<\/p>\n

\"Nous<\/p>\n

Litt\u00e9rature<\/h2>\n

\nSources Internet :<\/b><\/u><\/p>\n

1) habr.com\/ru\/post\/278513<\/a><\/noindex><\/i>
\n2) habr.com\/ru\/company\/ods\/blog\/322076<\/a><\/noindex><\/i>
\n3) habr.com\/ru\/post\/307004<\/a><\/noindex><\/i>
\n4) nabatchikov.com\/blog\/view\/matrix_der<\/a><\/noindex><\/i><\/p>\n

Manuels, recueils d'exercices :<\/b><\/u><\/p>\n

1) Cours de math\u00e9matiques sup\u00e9rieures : cours complet \/ D.T. Pismennyi \u2013 4e \u00e9d. \u2013 Moscou : Iris-press, 2006
\n2) Analyse de r\u00e9gression appliqu\u00e9e \/ N. Draper, G. Smith \u2013 2e \u00e9d. \u2013 Moscou : Finances et statistiques, 1986 (traduction de l'anglais)
\n3) Probl\u00e8mes de r\u00e9solution d'\u00e9quations matricielles :
\nfunction-x.ru\/matrix_equations.html<\/a><\/noindex>
\nmathprofi.ru\/deistviya_s_matricami.html<\/a><\/noindex><\/i>
\n
Source : habr.com<\/a><\/p>","protected":false,"gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"html"}]},"excerpt":{"rendered":"

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