Ann an 2012, chaidh an Duais Nobel ann an Eaconamas a bhuileachadh air Lloyd Shapley agus Alvin Roth. “Airson an teòiridh mu sgaoileadh seasmhach agus cleachdadh mhargaidhean eagrachadh.” Dh'fheuch Aleksey Savvateev ann an 2012 ri mìneachadh sìmplidh agus soilleir a dhèanamh air brìgh airidheachd luchd-matamataig. Bidh mi a’ toirt dhut geàrr-chunntas .
An-diugh bidh òraid teòiridheach ann. Mu dheuchainnean , gu h-àraidh le tabhartas, cha'n innis mi.
Nuair a chaidh sin ainmeachadh a fhuair an Duais Nobel, bha ceist àbhaisteach ann: “Ciamar!? A bheil e fhathast beò!?!?" Chaidh an toradh as ainmeil aige fhaighinn ann an 1953.
Gu foirmeil, chaidh am bònas a thoirt seachad airson rudeigin eile. Airson a phàipear 1962 air an “teòirim seasmhachd pòsaidh”: “Inntrigeadh na Colaiste agus Seasmhachd Pòsaidh.”
Mu phòsadh seasmhach
A ’maidseadh (matching) - an obair a bhith a 'lorg litrichean.
Tha baile beag iomallach ann. Tha fir òga “m” agus nigheanan “w”. Feumaidh sinn am pòsadh ri chèile. (Chan e gu feum an aon àireamh, is dòcha aig a’ cheann thall gum bi cuideigin air fhàgail leis fhèin.)
Dè na barailean a dh'fheumar a dhèanamh anns a 'mhodail? Leis nach eil e furasta ath-phòsadh air thuaiream. Tha ceum sònraichte ga ghabhail a dh’ionnsaigh roghainn shaor. Canaidh sinn gu bheil akakal glic ann a tha airson ath-phòsadh gus nach tòisich sgaradh-pòsaidh às deidh a bhàis. (Tha sgaradh-pòsaidh na shuidheachadh nuair a tha cèile ag iarraidh boireannach treas-phàrtaidh mar a bhean nas motha na a bhean.)
Tha an teòirim seo ann an spiorad eaconamas an latha an-diugh. Tha i air leth mì-dhaonna. Tha eaconamaidh air a bhith mì-dhaonna gu traidiseanta. Ann an eaconamas, thèid inneal a chuir an àite an duine gus prothaidean a mheudachadh. Is e na dh’ innseas mi dhut rudan gu tur meallta bho shealladh moralta. Na gabh gu cridhe e.
Bidh eaconomairean a’ coimhead air pòsadh san dòigh seo.
m1, m2,… mk - fir.
w1, w2,... wL - boireannaich.
Tha fear air a chomharrachadh leis mar a tha e “ag òrdachadh” nigheanan. Tha “ìre neoni” ann cuideachd, fon sin chan urrainnear boireannaich a thabhann mar mhnathan idir, eadhon ged nach eil feadhainn eile ann.
Bidh a h-uile dad a ’tachairt anns an dà thaobh, an aon rud dha nigheanan.
Tha an dàta tùsail neo-riaghailteach. Is e an aon bharail / cuingealachadh nach atharraich sinn ar roghainnean.
Teòirim: Ge bith dè an cuairteachadh agus an ìre neoni, tha an-còmhnaidh dòigh ann air conaltradh aon-ri-aon a stèidheachadh eadar cuid de dh’fhireannaich agus cuid de bhoireannaich gus am bi e làidir do gach seòrsa sgoltadh (chan e dìreach sgaradh-pòsaidh).
Dè na cunnartan a dh’ fhaodadh a bhith ann?
Tha càraid (m,w) ann nach eil pòsta. Ach air mo shon-sa tha am fear-pòsda ghnàth ni's miosa na m, agus air mo shon-sa tha a' bhean ghnàth ni's miosa na w. Is e suidheachadh neo-sheasmhach a tha seo.
Tha roghainn ann cuideachd gu robh cuideigin pòsta aig cuideigin a tha “fo neoni”; san t-suidheachadh seo, bidh am pòsadh cuideachd a ’tuiteam às a chèile.
Ma tha boireannach pòsta, ach is fheàrr leatha fear gun phòsadh, dha bheil i os cionn neoni.
Ma tha dithis le chèile gun phòsadh, agus an dithis “os cionn neoni” dha chèile.
Thathas ag argamaid gu bheil siostam pòsaidh mar sin ann airson dàta tùsail sam bith, a tha an aghaidh gach seòrsa bagairt. San dàrna h-àite, tha an algairim airson a leithid de chothromachadh a lorg gu math sìmplidh. Dèanamaid coimeas ri M * N.
Chaidh am modail seo a choitcheannachadh agus a leudachadh gu “polygamy” agus a chuir an sàs ann an iomadh raon.
Modh-obrach Gale-Shapley
Ma leanas a h-uile fireannach agus boireannach na “òrdughan,” bidh an siostam pòsaidh seasmhach.
Òrduighean.
Bidh sinn a 'toirt beagan làithean mar a dh' fheumar. Bidh sinn a 'roinn gach latha ann an dà phàirt (maidne agus feasgar).
Air a' chiad mhadainn, bidh a h-uile duine a' dol chun a' bhean as fheàrr aige agus a' bualadh air an uinneig, ag iarraidh oirre a phòsadh.
Air feasgar an aon latha, thionndaidh an cas gu na boireannaich Dè a lorgas boireannach? Gu'n robh sluagh fo 'n uinneig, fear no fear. Bidh an fheadhainn aig nach eil duine an-diugh a’ leum an tionndadh agus a’ feitheamh. Bidh an còrr, aig a bheil co-dhiù aon, a’ toirt sùil air na fir a thig a choimhead gu bheil iad “os cionn ìre neoni.” Gus co-dhiù aon a bhith agad. Ma tha thu gu tur mì-shealbhach agus gu bheil a h-uile dad nas ìsle na neoni, bu chòir a h-uile duine a chuir. Bidh am boireannach a’ taghadh am fear as motha a thàinig, ag iarraidh air feitheamh, agus a’ cur an còrr.
Ron dàrna latha, is e seo an suidheachadh: tha aon fhear aig cuid de bhoireannaich, tha aon fhear aig cuid.
Air an dàrna latha, feumaidh a h-uile duine “an-asgaidh” (air a chuir) a dhol chun dàrna boireannach le prìomhachas. Mura h-eil an leithid de dhuine ann, tha an duine air ainmeachadh singilte. Chan eil na fir sin a tha mar-thà nan suidhe còmhla ri boireannaich a’ dèanamh dad fhathast.
Anns an fheasgar, bidh na boireannaich a 'coimhead air an t-suidheachadh. Ma chaidh prìomhachas nas àirde a thoirt do chuideigin a bha na shuidhe mar-thà, thèid am prìomhachas as ìsle a chuir air falbh. Ma tha an fheadhainn a thig nas ìsle na na tha ri fhaighinn mar-thà, tha a h-uile duine air a chuir air falbh. Bidh boireannaich a’ taghadh an eileamaid as àirde a h-uile uair.
Bidh sinn a-rithist.
Mar thoradh air an sin, chaidh gach fear tron liosta gu lèir de na boireannaich aige agus chaidh fhàgail leis fhèin no an sàs ann an cuid de bhoireannaich. An uairsin bidh sinn a 'pòsadh a h-uile duine.
A bheil e comasach am pròiseas slàn seo a ruith, ach do bhoireannaich ruith gu fir? Tha am modh-obrach co-chothromach, ach faodaidh am fuasgladh a bhith eadar-dhealaichte. Ach is i a’ cheist, cò as fheàrr dheth bho seo?
Teòirim. Beachdaichidh sinn chan ann a-mhàin air an dà fhuasgladh co-chothromach seo, ach air an t-seata de shiostaman pòsaidh seasmhach. Tha an t-inneal tùsail a chaidh a mholadh (fir a’ ruith agus boireannaich a’ gabhail ris/a’ diùltadh) a’ leantainn gu siostam pòsaidh a tha nas fheàrr dha fear sam bith na fear sam bith eile agus nas miosa na fear sam bith eile airson boireannach sam bith.
Pòsadh den aon ghnè
Beachdaich air an t-suidheachadh le "pòsadh den aon ghnè." Beachdaichidh sinn air toradh matamataigeach a tha a 'togail teagamh mun fheum air an dèanamh laghail. Eisimpleir ceàrr ideòlach.
Beachdaich air ceithir daoine co-sheòrsach a, b, c, d.
prìomhachasan airson a: bcd
prìomhachasan airson b:cad
prìomhachasan airson c: abd
oir d chan eil e gu diofar ciamar a tha e a’ rangachadh nan trì eile.
Aithris: Chan eil siostam pòsaidh seasmhach san t-siostam seo.
Cia mheud siostam a tha ann airson ceathrar? Trì. ab cd, ac bd, ad bc. Tuitidh na càraidean às a chèile agus thèid am pròiseas ann an cearcallan.
Siostaman "trì gnè".
Is e seo a’ cheist as cudromaiche a tha a’ fosgladh raon iomlan de matamataig. Chaidh seo a dhèanamh le mo cho-obraiche ann am Moscow, Vladimir Ivanovich Danilov. Bha e a’ coimhead air “pòsadh” mar a bhith ag òl bhodka agus bha na dreuchdan mar a leanas: “am fear a bhios a’ dòrtadh, ”“ am fear a bhruidhneas an toast,” agus “an tè a bhios a’ gearradh an isbean.” Ann an suidheachadh far a bheil 4 riochdairean no barrachd anns gach dreuchd, tha e do-dhèanta fuasgladh fhaighinn le feachd brùideil. Tha a’ cheist mu shiostam seasmhach na cheist fhosgailte.
Shapley ann an vector
Ann am baile a 'bhothain chuir iad romhpa asphalt a dhèanamh air an rathad. Feum air sgoltadh a-steach. Ciamar?
Mhol Shapley fuasgladh don duilgheadas seo ann an 1953. Gabhamaid ri suidheachadh còmhstri le buidheann dhaoine N={1,2…n}. Feumar cosgaisean/buannachdan a roinn. Osbarr rinn daoine còmhla rudeigin feumail, reic e e agus ciamar a roinn iad am prothaid?
Mhol Shapley, nuair a bhios sinn a’ roinneadh, gum bu chòir dhuinn a bhith air ar stiùireadh leis na gheibheadh fo-bhuidhnean sònraichte de na daoine sin. Dè an ìre airgid a dh’ fhaodadh a h-uile fo-sheata neo-falamh 2N a chosnadh? Agus stèidhichte air an fhiosrachadh seo, sgrìobh Shapley foirmle uile-choitcheann.
Eisimpleir. Bidh aon-neach, cluicheadair giotàr agus drumair a’ cluich ann an trannsa fon talamh ann am Moscow. Bidh an triùir aca a’ cosnadh 1000 rubles gach uair. Ciamar a roinn e? 'S dòcha co-ionann.
V(1,2,3)=1000
Leigamaid oirnn sin
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
Chan urrainnear sgaradh cothromach a dhearbhadh gus am bi fios againn dè na buannachdan a tha a’ feitheamh ri companaidh sònraichte ma bhriseas i air falbh agus gun obraich i leis fhèin. Agus nuair a cho-dhùin sinn na h-àireamhan (suidhich an geama co-obrachail ann an cruth caractar).
Is e superadditivity nuair a bhios iad còmhla a 'cosnadh barrachd na fa leth, nuair a tha e nas prothaidiche aonachadh, ach chan eil e soilleir ciamar a roinneas tu na buannachdan. Chaidh mòran lethbhreacan a bhriseadh mu dheidhinn seo.
Tha geam ann. Lorg triùir luchd-gnìomhachais aig an aon àm tasgadh luach $1 millean. Ma dh'aontaicheas an triùir, tha millean dhiubh ann. Faodaidh càraid sam bith marbhadh (toirt air falbh bhon chùis) agus am millean gu lèir fhaighinn dhaibh fhèin. Agus chan urrainn dha duine dad a dhèanamh leis fhèin. Is e geama co-op eagallach a tha seo gun fhuasgladh. Bidh an-còmhnaidh dithis ann as urrainn cuir às don treas… Bidh teòiridh geama co-obrachail a’ tòiseachadh le eisimpleir aig nach eil fuasgladh.
Tha sinn ag iarraidh fuasgladh mar sin nach bi co-bhanntachd sam bith airson am fuasgladh cumanta a bhacadh. Is e an t-seata de gach roinn nach gabh a bhacadh an kernel. Tha e a 'tachairt gu bheil an cridhe falamh. Ach eadhon mura h-eil e falamh, ciamar a roinneadh e?
Tha Shapley a 'moladh a bhith a' roinneadh mar seo. Tilg bonn le n! oirean. Bidh sinn a’ sgrìobhadh a h-uile cluicheadair san òrdugh seo. Canaidh sinn a 'chiad drumaire. Thig e a-staigh agus bheir e a 100. An uairsin thig an “dàrna” a-steach, canaidh sinn an aon-neach. (Còmhla ris an drumair faodaidh iad 450 a chosnadh, tha an drumair air 100 a ghabhail mar-thà) Bidh an aon-neach a’ gabhail 350. Bidh an cluicheadair giotàr a’ tighinn a-steach (còmhla 1000, -450), a’ toirt 550. Bidh am fear mu dheireadh gu math tric a’ buannachadh. (Supermodularity)
Ma sgrìobhas sinn airson a h-uile òrdugh:
GSB - (buannaich C) - (buannaich D) - (buannaich B)
SGB - (buannaich C) - (buannaich D) - (buannaich B)
SBG - (buannaich C) - (buannaich D) - (buannaich B)
BSG - (buannaich C) - (buannaich D) - (buannaich B)
BGS - (buannachd C) - (buannachd D) - (buannachd B)
GBS - (buannaich C) - (buannaich D) - (buannaich B)
Agus airson gach colbh bidh sinn a’ cur ris agus a’ roinn le 6 - gu cuibheasach thar gach òrdugh - Is e seo vectar Shapley.
Dhearbh Shapley an teòirim (timcheall air): Tha clas de gheamannan (supermodular), anns am bi an ath neach a thèid a-steach do sgioba mòr a’ toirt buaidh nas motha dha. Tha an kernel an-còmhnaidh neo-fholamh agus tha e na mheasgachadh convex de phuingean (anns a’ chùis againn, 6 puingean). Tha vectar Shapley na laighe aig fìor mheadhan na niuclas. Faodar a thabhann an-còmhnaidh mar fhuasgladh, cha bhith duine na aghaidh.
Ann an 1973, chaidh a dhearbhadh gu bheil an duilgheadas le taighean supermodular.
Bidh a h-uile duine a’ roinn an rathaid chun chiad bhothan. Suas chun an dàrna - n-1 daoine. Etc.
Tha raon-laighe aig a’ phort-adhair. Feumaidh diofar chompanaidhean faid eadar-dhealaichte. Tha an aon duilgheadas ag èirigh.
Tha mi a’ smaoineachadh gun robh an airidheachd seo san amharc aig an fheadhainn a choisinn an Duais Nobel, agus chan e dìreach obair iomaill.
Tapadh leibh!
Ach fhathast
- Sianal “Math - Simple”:
- Sianal “Savvateev gun chrìochan”: edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
- Poblach “Tha matamataig sìmplidh”:
- “Mathematicians fealla-dhà” poblach:
- Làrach-lìn, a h-uile òraidean an sin +100 leasanan agus barrachd: savvateev.xyz
Source: www.habr.com