🥇Matrices de antenas adaptativas: como funciona? (Básicos)

Bo día.

Pasei os últimos anos investigando e creando varios algoritmos para o procesamento de sinal espacial en matrices de antenas adaptativas, e sigo facéndoo como parte do meu traballo actual. Aquí gustaríame compartir os coñecementos e trucos que descubrín por min mesmo. Espero que isto sexa útil para as persoas que comezan a estudar esta área de procesamento de sinais ou para aqueles que simplemente estean interesados.

Que é unha matriz de antenas adaptativas?

Matriz de antenas – este é un conxunto de elementos de antena colocados no espazo dalgún xeito. Unha estrutura simplificada da matriz de antenas adaptativas, que consideraremos, pódese representar da seguinte forma:

As matrices de antenas adaptativas adoitan denominarse antenas "intelixentes" (Antena intelixente). O que fai que unha matriz de antenas sexa "intelixente" é a unidade de procesamento de sinal espacial e os algoritmos implementados nela. Estes algoritmos analizan o sinal recibido e forman un conxunto de coeficientes de ponderación $inline$w_1…w_N$inline$, que determinan a amplitude e fase inicial do sinal para cada elemento. A distribución amplitude-fase dada determina patrón de radiación toda a celosía no seu conxunto. A capacidade de sintetizar un patrón de radiación da forma requirida e cambialo durante o procesamento do sinal é unha das principais características das matrices de antenas adaptativas, que permite resolver unha gran variedade de problemas. gama de tarefas. Pero primeiro o primeiro.

Como se forma o patrón de radiación?

Patrón direccional caracteriza a potencia do sinal emitida nunha determinada dirección. Para simplificar, supoñemos que os elementos da rede son isótropos, é dicir. para cada un deles, a potencia do sinal emitido non depende da dirección. A amplificación ou atenuación da potencia emitida pola reixa nunha determinada dirección obtense debido a interferencia Ondas electromagnéticas emitidas por varios elementos da matriz de antenas. Só é posible un patrón de interferencia estable para as ondas electromagnéticas coherencia, é dicir. a diferenza de fase dos sinais non debe cambiar co paso do tempo. Idealmente, cada elemento da matriz de antenas debería irradiar sinal harmónico na mesma frecuencia portadora $inline$f_{0}$inline$. Non obstante, na práctica hai que traballar con sinais de banda estreita que teñan un espectro de ancho finito $inline$Delta f << f_{0}$inline$.
Permite que todos os elementos AR emitan o mesmo sinal con amplitude complexa $en liña$x_n(t)=u(t)$en liña$. Despois remoto no receptor, o sinal recibido do elemento n-ésimo pódese representar en analítico formulario:

$$mostrar$$a_n(t) = u(t-tau_n)e^{i2pi f_0(t-tau_n)}$$mostrar$$

onde $inline$tau_n$inline$ é o atraso na propagación do sinal desde o elemento da antena ata o punto receptor.
Tal sinal é "cuasi-harmónico", e para satisfacer a condición de coherencia, é necesario que o retardo máximo na propagación das ondas electromagnéticas entre dous elementos calquera sexa moito menor que o tempo característico de cambio na envolvente do sinal $inline$T$inline$, é dicir. $en liña$u(t-tau_n) ≈ u(t-tau_m)$en liña$. Así, a condición para a coherencia dun sinal de banda estreita pódese escribir do seguinte xeito:

$$display$$T≈frac{1}{Delta f}>>frac{D_{max}}{c}=max(tau_k-tau_m) $$display$$

onde $inline$D_{max}$inline$ é a distancia máxima entre os elementos AR, e $inline$с$inline$ é a velocidade da luz.

Cando se recibe un sinal, a suma coherente realízase dixitalmente na unidade de procesamento espacial. Neste caso, o valor complexo do sinal dixital na saída deste bloque está determinado pola expresión:

$$mostrar$$y=sum_{n=1}^Nw_n^*x_n$$mostrar$$

É máis conveniente representar a última expresión na forma produto de puntos Vectores complexos N-dimensionais en forma matricial:

$$display$$y=(textbf{w},textbf{x})=textbf{w}^Htextbf{x}$$display$$

onde w и x son vectores columna, e $inline$(.)^H$inline$ é a operación Conxugación hermitiana.

A representación vectorial dos sinais é unha das básicas cando se traballa con matrices de antenas, porque moitas veces permite evitar cálculos matemáticos engorrosos. Ademais, identificar un sinal recibido nun momento determinado cun vector permite moitas veces abstraerse do sistema físico real e comprender o que está a suceder exactamente desde o punto de vista da xeometría.

Para calcular o patrón de radiación dunha matriz de antenas, cómpre "lanzar" mental e secuencialmente un conxunto de ondas planas desde todas as direccións posibles. Neste caso, os valores dos elementos vectoriais x pode representarse da seguinte forma:

$$mostrar$$x_n=s_n=exp{-i(textbf{k}(phi,theta),textbf{r}_n)}$$mostrar$$

onde k - vector de onda, $inline$phi$inline$ e $inline$theta$inline$ – ángulo acimutal и ángulo de elevación, caracterizando a dirección de chegada dunha onda plana, $inline$textbf{r}_n$inline$ é a coordenada do elemento antena, $inline$s_n$inline$ é o elemento do vector de fase s onda plana con vector ondulatorio k (na literatura inglesa o vector de fase chámase vector de dirección). Dependencia da amplitude cadrada da cantidade y de $inline$phi$inline$ e $inline$theta$inline$ determina o patrón de radiación da matriz de antenas para a recepción dun vector dado de coeficientes de ponderación w.

Características do patrón de radiación da matriz de antenas

É conveniente estudar as propiedades xerais do patrón de radiación das matrices de antenas nunha matriz de antenas lineal equidistante no plano horizontal (é dicir, o patrón depende só do ángulo acimutal $inline$phi$inline$). Conveniente desde dous puntos de vista: cálculos analíticos e presentación visual.

Calculemos o DN para un vector de peso unitario ($inline$w_n=1, n = 1 ... N$inline$), seguindo o descrito anterior achegamento.
Matemáticas aquí
Proxección do vector onda sobre o eixe vertical: $inline$k_v=-frac{2pi}{lambda}sinphi$inline$
Coordenada vertical do elemento da antena co índice n: $inline$r_{nv}=(n-1)d$inline$
Aquí d – período de matriz de antenas (distancia entre elementos adxacentes), λ - lonxitude de onda. Todos os demais elementos vectoriais r son iguais a cero.
O sinal recibido pola matriz de antenas rexístrase da seguinte forma:

$$display$$y=sum_{n=1}^{N}1 ⋅exp{i2pi nfrac{d}{lambda}sinphi}$$display$$

Imos aplicar a fórmula para sumas de progresión xeométrica и representación de funcións trigonométricas en termos de exponenciais complexas :

$$mostrar$$y=frac{1-exp{i2pi Nfrac{d}{lambda}sinphi}}{1-exp{i2pi frac{d}{lambda}sinphi}}=frac{sin(pi frac{Nd} {lambda}sinphi)}{sin(pi frac{d}{lambda}sinphi)}exp{ipi frac{d(N-1)}{lambda}sinphi}$$mostrar$$

Como resultado obtemos:

$$mostrar$$F(phi)=|y|^2=frac{sin^2(pi frac{Nd}{lambda}sinphi)}{sin^2(pi frac{d}{lambda}sinphi)} $ $mostrar$$

Frecuencia do patrón de radiación

O patrón de radiación da matriz de antenas resultante é unha función periódica do seno do ángulo. Isto significa que a determinados valores da proporción d/λ ten máximos de difracción (adicionais).
Patrón de radiación non normalizado da matriz de antenas para N = 5
Patrón de radiación normalizado da matriz de antenas para N = 5 no sistema de coordenadas polares

A posición dos "detectores de difracción" pódese ver directamente desde fórmulas para DN. Non obstante, tentaremos comprender de onde veñen física e xeométricamente (no espazo N-dimensional).

Elementos fases vector s son expoñentes complexos $inline$e^{iPsi n}$inline$, cuxos valores están determinados polo valor do ángulo xeneralizado $inline$Psi = 2pi frac{d}{lambda}sinphi$inline$. Se hai dous ángulos xeneralizados correspondentes a diferentes direccións de chegada dunha onda plana, para os cales $inline$Psi_1 = Psi_2 + 2pi m$inline$, isto significa dúas cousas:

Fisicamente: frontes de ondas planas procedentes destas direccións inducen distribucións idénticas de amplitude e fase de oscilacións electromagnéticas nos elementos da matriz de antenas.
Xeométricamente: vectores de fase pois estas dúas direccións coinciden.

As direccións de chegada das ondas relacionadas deste xeito son equivalentes desde o punto de vista da matriz de antenas e son indistinguibles entre si.

Como determinar a rexión de ángulos na que sempre se atopa un máximo principal do DP? Imos facelo nas proximidades do acimut cero a partir das seguintes consideracións: a magnitude do desprazamento de fase entre dous elementos adxacentes debe estar no intervalo de $inline$-pi$inline$ a $inline$pi$inline$.

$$mostrar$$-pi<2pifrac{d}{lambda}sinphi

Resolvendo esta desigualdade, obtemos a condición para a rexión de unicidade nas proximidades de cero:

$$display$$|sinphi|

Pódese ver que o tamaño da rexión de singularidade en ángulo depende da relación d/λ. Se d = 0.5λ, entón cada dirección de chegada do sinal é "individual" e a rexión de singularidade abrangue toda a gama de ángulos. Se d = 2.0λ, entón as direccións 0, ±30, ±90 son equivalentes. Os lóbulos de difracción aparecen no patrón de radiación.

Normalmente, búscase que se supriman os lóbulos de difracción utilizando elementos de antena direccional. Neste caso, o patrón de radiación completo da matriz de antenas é o produto do patrón dun elemento e dunha matriz de elementos isótropos. Os parámetros do patrón dun elemento adoitan seleccionarse en función da condición da rexión de non ambigüidade da matriz de antenas.

Ancho do lóbulo principal

Amplamente coñecido fórmula de enxeñería para estimar o ancho do lóbulo principal dun sistema de antena: $en liña$Delta phi ≈ frac{lambda}{D}$en liña$, onde D é o tamaño característico da antena. A fórmula úsase para varios tipos de antenas, incluídas as de espello. Demostramos que tamén é válido para matrices de antenas.

Determinemos o ancho do lóbulo principal polos primeiros ceros do patrón nas proximidades do máximo principal. Numerador expresións for $inline$F(phi)$inline$ desaparece cando $inline$sinphi=mfrac{lambda}{dN}$inline$. Os primeiros ceros corresponden a m = ±1. Crendo $inline$frac{lambda}{dN}<<1$inline$ obtemos $inline$Delta phi = 2frac{lambda}{dN}$inline$.

Normalmente, a anchura do patrón de directividade da antena está determinada polo nivel de media potencia (-3 dB). Neste caso, use a expresión:

$$mostrar$$Delta phi≈0.88frac{lambda}{dN}$$mostrar$$

Exemplo

O ancho do lóbulo principal pódese controlar establecendo diferentes valores de amplitude para os coeficientes de ponderación da matriz de antenas. Consideremos tres distribucións:

Distribución uniforme de amplitude (pesos 1): $inline$w_n=1$inline$.
Valores de amplitude decrecente cara aos bordos da reixa (pesos 2): $inline$w_n=0.5+0.3cos(2pifrac{n-1}{N}-pifrac{N-1}{N})$inline$
Valores de amplitude aumentando cara aos bordos da reixa (pesos 3): $inline$w_n=0.5-0.3cos(2pifrac{n-1}{N}-pifrac{N-1}{N})$inline$

A figura mostra os patróns de radiación normalizados resultantes nunha escala logarítmica:
A partir da figura pódense rastrexar as seguintes tendencias: a distribución das amplitudes do coeficiente de peso decrecente cara aos bordos da matriz leva a un ensanchamento do lóbulo principal do patrón, pero unha diminución do nivel dos lóbulos laterais. Os valores de amplitude que aumentan cara aos bordos da matriz de antenas, pola contra, provocan un estreitamento do lóbulo principal e un aumento do nivel dos lóbulos laterais. É conveniente considerar casos limitados aquí:

As amplitudes dos coeficientes de ponderación de todos os elementos excepto os extremos son iguais a cero. Os pesos dos elementos máis externos son iguais a un. Neste caso, a rede equivale a un AR de dous elementos cun punto D = (N-1)d. Non é difícil estimar o ancho do pétalo principal usando a fórmula presentada anteriormente. Neste caso, as paredes laterais converteranse en máximos de difracción e aliñaranse co máximo principal.
O peso do elemento central é igual a un e todos os demais son iguais a cero. Neste caso, recibimos esencialmente unha antena cun patrón de radiación isótropo.

Dirección do máximo principal

Entón, miramos como podes axustar o ancho do lóbulo principal do AP AP. Agora imos ver como dirixir a dirección. Lembremos expresión vectorial para o sinal recibido. Queremos que o máximo do patrón de radiación mire nunha determinada dirección $inline$phi_0$inline$. Isto significa que a máxima potencia debe recibirse desde esta dirección. Esta dirección corresponde ao vector de fase $inline$textbf{s}(phi_0)$inline$ in Nespazo vectorial dimensional, e a potencia recibida defínese como o cadrado do produto escalar deste vector de fase e o vector dos coeficientes de ponderación w. O produto escalar de dous vectores é máximo cando eles colineal, é dicir. $inline$textbf{w}=beta textbf{s}(phi_0)$inline$, onde β - algún factor normalizador. Así, se escollemos o vector peso igual ao vector de fase para a dirección requirida, xiraremos o máximo do patrón de radiación.

Considere os seguintes factores de ponderación como exemplo: $inline$textbf{w}=textbf{s}(10°)$inline$

$$display$$w_n=exp{i2pifrac{d}{lambda}(n-1)sin(10pi/180)}$$display$$

Como resultado, obtemos un patrón de radiación co máximo principal na dirección de 10°.

Agora aplicamos os mesmos coeficientes de ponderación, pero non para a recepción de sinal, senón para a transmisión. Paga a pena considerar aquí que ao transmitir un sinal, a dirección do vector de onda cambia ao contrario. Isto significa que os elementos vector de fase para a recepción e a transmisión difiren no signo do expoñente, é dicir. están interconectados por conxugación complexa. Como resultado, obtemos o máximo do patrón de radiación para a transmisión na dirección de -10°, que non coincide co máximo do patrón de radiación para a recepción cos mesmos coeficientes de peso Para corrixir a situación, é necesario aplicar a conxugación complexa tamén aos coeficientes de peso.

A característica descrita da formación de patróns de recepción e transmisión sempre debe terse presente cando se traballa con matrices de antenas.

Imos xogar co patrón de radiación

Varios máximos

Fixemos a tarefa de formar dous máximos principais do patrón de radiación na dirección: -5° e 10°. Para iso, escollemos como vector de peso a suma ponderada de vectores de fase para as direccións correspondentes.

$$display$$textbf{w} = betatextbf{s}(10°)+(1-beta)textbf{s}(-5°)$$display$$

Axuste da proporción β Podes axustar a proporción entre os pétalos principais. Aquí de novo é conveniente mirar o que está a suceder no espazo vectorial. Se β é maior que 0.5, entón o vector dos coeficientes de ponderación está máis próximo s(10°), se non s(-5°). Canto máis próximo estea o vector de peso a un dos fasores, maior será o produto escalar correspondente e, polo tanto, o valor do DP máximo correspondente.

Non obstante, convén ter en conta que os dous pétalos principais teñen un ancho finito, e se queremos sintonizar dúas direccións próximas, estes pétalos fusionaranse nun só, orientado cara a algunha dirección media.

Un máximo e cero

Agora imos tentar axustar o máximo do patrón de radiación á dirección $inline$phi_1=10°$inline$ e ao mesmo tempo suprimir o sinal procedente da dirección $inline$phi_2=-5°$inline$. Para iso, cómpre establecer o DN cero para o ángulo correspondente. Podes facelo do seguinte xeito:

$$visualización$$textbf{w}=textbf{s}_1-frac{textbf{s}_2^Htextbf{s}_1}{N}textbf{s}_2$$display$$

onde $inline$textbf{s}_1 = textbf{s}(10°)$inline$, e $inline$textbf{s}_2 = textbf{s}(-5°)$inline$.

O significado xeométrico de escoller un vector de peso é o seguinte. Queremos este vector w tiña unha proxección máxima sobre $inline$textbf{s}_1$inline$ e era ao mesmo tempo ortogonal ao vector $inline$textbf{s}_2$inline$. O vector $inline$textbf{s}_1$inline$ pódese representar como dous termos: un vector colineal $inline$textbf{s}_2$inline$ e un vector ortogonal $inline$textbf{s}_2$inline$. Para satisfacer o enunciado do problema, é necesario seleccionar o segundo compoñente como vector de coeficientes de ponderación w. A compoñente colineal pódese calcular proxectando o vector $inline$textbf{s}_1$inline$ sobre o vector normalizado $inline$frac{textbf{s}_2}{sqrt{N}}$inline$ usando o produto escalar.

$$display$$textbf{s}_{1||}=frac{textbf{s}_2}{sqrt{N}}frac{textbf{s}_2^Htextbf{s}_1}{sqrt{N}} $$mostrar$$

En consecuencia, restando a súa compoñente colineal do vector de fase orixinal $inline$textbf{s}_1$inline$, obtemos o vector de peso desexado.

Algunhas notas adicionais

En todas partes arriba, omitín a cuestión da normalización do vector de peso, é dicir. a súa lonxitude. Así, a normalización do vector de peso non afecta as características do patrón de radiación da matriz de antenas: a dirección do máximo principal, o ancho do lóbulo principal, etc. Tamén se pode demostrar que esta normalización non afecta a SNR na saída da unidade de procesamento espacial. Neste sentido, ao considerar algoritmos de procesamento de sinal espaciais, adoitamos aceptar unha normalización unitaria do vector de peso, é dicir. $en liña$textbf{w}^Htextbf{w}=1$en liña$
As posibilidades de formar un patrón dunha matriz de antenas están determinadas polo número de elementos N. Cantos máis elementos, máis amplas serán as posibilidades. Cantos máis graos de liberdade se implemente o procesamento de peso espacial, máis opcións sobre como "torcer" o vector de peso no espazo N-dimensional.
Cando se reciben patróns de radiación, a matriz de antenas non existe fisicamente, e todo isto só existe na "imaxinación" da unidade de computación que procesa o sinal. Isto significa que ao mesmo tempo é posible sintetizar varios patróns e procesar de forma independente sinais procedentes de diferentes direccións. No caso da transmisión, todo é algo máis complicado, pero tamén é posible sintetizar varios DN para transmitir diferentes fluxos de datos. Esta tecnoloxía nos sistemas de comunicación chámase MIMO.

Usando o código Matlab presentado, podes xogar co DN ti mesmo
Código

% antenna array settings
N = 10;             % number of elements
d = 0.5;            % period of antenna array
wLength = 1;        % wavelength
mode = 'receiver';  % receiver or transmitter

% weights of antenna array
w = ones(N,1);    
% w = 0.5 + 0.3*cos(2*pi*((0:N-1)-0.5*(N-1))/N).';
% w = 0.5 - 0.3*cos(2*pi*((0:N-1)-0.5*(N-1))/N).';
% w = exp(2i*pi*d/wLength*sin(10/180*pi)*(0:N-1)).';
% b = 0.5; w = b*exp(2i*pi*d/wLength*sin(+10/180*pi)*(0:N-1)).' + (1-b)*exp(2i*pi*d/wLength*sin(-5/180*pi)*(0:N-1)).';
% b = 0.5; w = b*exp(2i*pi*d/wLength*sin(+3/180*pi)*(0:N-1)).' + (1-b)*exp(2i*pi*d/wLength*sin(-3/180*pi)*(0:N-1)).';

% s1 = exp(2i*pi*d/wLength*sin(10/180*pi)*(0:N-1)).';
% s2 = exp(2i*pi*d/wLength*sin(-5/180*pi)*(0:N-1)).';
% w = s1 - (1/N)*s2*s2'*s1;
% w = s1;

% normalize weights
w = w./sqrt(sum(abs(w).^2));

% set of angle values to calculate pattern
angGrid_deg = (-90:0.5:90);

% convert degree to radian
angGrid = angGrid_deg * pi / 180;
% calculate set of steerage vectors for angle grid
switch (mode)
    case 'receiver'
        s = exp(2i*pi*d/wLength*bsxfun(@times,(0:N-1)',sin(angGrid)));
    case 'transmitter'
        s = exp(-2i*pi*d/wLength*bsxfun(@times,(0:N-1)',sin(angGrid)));
end

% calculate pattern
y = (abs(w'*s)).^2;

%linear scale
plot(angGrid_deg,y/max(y));
grid on;
xlim([-90 90]);

% log scale
% plot(angGrid_deg,10*log10(y/max(y)));
% grid on;
% xlim([-90 90]);

Que problemas se poden resolver usando unha matriz de antenas adaptativas?

Recepción óptima dun sinal descoñecidoSe se descoñece a dirección de chegada do sinal (e se a canle de comunicación é multitraxectoria, xeralmente hai varias direccións), entón, analizando o sinal recibido pola matriz de antenas, é posible formar un vector de peso óptimo. w de xeito que a SNR na saída da unidade de procesamento espacial será máxima.

Recepción óptima do sinal contra o ruído de fondoAquí o problema exponse do seguinte xeito: coñécense os parámetros espaciais do sinal útil esperado, pero hai fontes de interferencia no medio externo. É necesario maximizar o SINR na saída do AP, minimizando o máximo posible a influencia da interferencia na recepción do sinal.

Transmisión óptima do sinal ao usuarioEste problema resólvese nos sistemas de comunicación móbil (4G, 5G), así como en Wi-Fi. O significado é sinxelo: coa axuda de sinais piloto especiais na canle de retroalimentación do usuario, avalíanse as características espaciais da canle de comunicación e, sobre a súa base, selecciónase o vector de coeficientes de ponderación óptimo para a transmisión.

Multiplexación espacial de fluxos de datosAs matrices de antenas adaptativas permiten a transmisión de datos a varios usuarios ao mesmo tempo na mesma frecuencia, formando un patrón individual para cada un deles. Esta tecnoloxía chámase MU-MIMO e actualmente está a implementarse activamente (e xa nalgún lugar) nos sistemas de comunicación. A posibilidade de multiplexación espacial ofrécese, por exemplo, no estándar de comunicación móbil 4G LTE, o estándar Wi-Fi IEEE802.11ay e os estándares de comunicación móbil 5G.

Arrays de antenas virtuais para radaresAs matrices de antenas dixitais fan posible, utilizando varios elementos de antenas transmisoras, formar unha matriz de antenas virtuales de tamaños significativamente maiores para o procesamento de sinal. Unha rede virtual ten todas as características dunha real, pero require menos hardware para implementar.

Estimación dos parámetros das fontes de radiaciónAs matrices de antenas adaptativas permiten resolver o problema de estimar o número, a potencia, coordenadas angulares fontes de emisión de radio, establecer unha conexión estatística entre sinais de diferentes fontes. A principal vantaxe das matrices de antenas adaptativas neste asunto é a capacidade de super-resolver fontes de radiación próximas. Fontes, a distancia angular entre as cales é menor que o ancho do lóbulo principal do patrón de radiación da matriz de antenas (Límite de resolución de Rayleigh). Isto é posible principalmente debido á representación vectorial do sinal, ao coñecido modelo de sinal, así como ao aparello de matemáticas lineais.

Grazas pola túa atención

Fonte: www.habr.com

Arrays de antenas adaptativas: como funciona? (Básicos)