En 2012, Lloyd Shapley e Alvin Roth concederon o Premio Nobel de Economía. "Para a teoría da distribución estable e a práctica da organización dos mercados". Aleksey Savvateev en 2012 intentou explicar de forma sinxela e clara a esencia dos méritos dos matemáticos. Presento á súa atención un resumo .
Hoxe haberá unha charla teórica. Sobre os experimentos , en particular coa doazón, non vou contar.
Cando se anunciou iso recibiu o Premio Nobel, había unha pregunta estándar: "Como!? Aínda está vivo!?!?" O seu resultado máis famoso foi obtido en 1953.
Formalmente, a bonificación deuse por outra cousa. Para o seu artigo de 1962 sobre o "teorema da estabilidade do matrimonio": "Admisión universitaria e estabilidade do matrimonio".
Sobre o matrimonio sostible
Correspondente (coincidir) - a tarefa de atopar unha correspondencia.
Hai unha certa aldea illada. Hai "m" mozos e "w" mozas. Temos que casalos uns cos outros. (Non necesariamente o mesmo número, quizais ao final alguén quede só.)
Que presupostos hai que facer no modelo? Que non é doado volver casar ao chou. Estase dando un certo paso cara á libre elección. Digamos que hai un sabio aksakal que quere casar de novo para que despois da súa morte non comecen os divorcios. (O divorcio é unha situación na que un marido quere máis que a súa muller unha muller allea que a súa muller).
Este teorema está no espírito da economía moderna. Ela é excepcionalmente inhumana. A economía foi tradicionalmente inhumana. En economía, o home é substituído por unha máquina para maximizar os beneficios. O que vos direi son cousas absolutamente tolas dende o punto de vista moral. Non o tomes en serio.
Os economistas miran o matrimonio deste xeito.
m1, m2,... mk - homes.
w1, w2,... wL - mulleres.
Un home identifícase con como "ordena" ás nenas. Tamén hai un "nivel cero", por debaixo do cal as mulleres non se poden ofrecer como esposas, aínda que non haxa outras.
Todo sucede en ambas direccións, o mesmo para as nenas.
Os datos iniciais son arbitrarios. A única suposición/limitación é que non cambiamos as nosas preferencias.
Teorema: Independentemente da distribución e do nivel de cero, sempre hai unha forma de establecer unha correspondencia un a un entre algúns homes e algunhas mulleres para que sexa robusta a todo tipo de escisións (non só divorcios).
Que ameazas pode haber?
Hai unha parella (m,w) que non está casada. Pero para w o marido actual é peor que m, e para m a muller actual é peor que w. Esta é unha situación insostible.
Tamén existe a opción de que alguén estaba casado con alguén que está "por debaixo de cero"; nesta situación, o matrimonio tamén se derrube.
Se unha muller está casada, pero prefire un home solteiro, para quen está por riba de cero.
Se dúas persoas están solteiras e ambas están "por encima de cero" unha para a outra.
Argumentase que para calquera dato inicial existe un sistema de matrimonio deste tipo, resistente a todo tipo de ameazas. En segundo lugar, o algoritmo para atopar tal equilibrio é moi sinxelo. Comparemos con M*N.
Este modelo xeneralizouse e ampliouse á "poligamia" e aplicouse en moitas áreas.
Procedemento Gale-Shapley
Se todos os homes e todas as mulleres seguen as "receitas", o sistema matrimonial resultante será sostible.
Prescricións.
Levamos uns días segundo sexa necesario. Dividimos cada día en dúas partes (mañá e noite).
Na primeira mañá, cada home vai á súa mellor muller e chama á fiestra, pedíndolle que case con el.
Na noite do mesmo día, a quenda tócalle ás mulleres.Que pode descubrir unha muller? Que había unha multitude debaixo da súa fiestra, un ou ningún home. Os que hoxe non teñen ninguén saltan a súa quenda e agardan. O resto, que ten polo menos un, revisa aos homes que veñen para comprobar que están "por riba do nivel cero". Para ter polo menos un. Se non tes sorte e todo está por debaixo de cero, entón todos deberían ser enviados. A muller escolle á persoa máis grande entre os que viñeron, dille que agarde e envía o resto.
Antes do segundo día, a situación é esta: algunhas mulleres teñen un home, outras non teñen ningún.
O segundo día, todos os homes "gratuítos" (enviados) deben ir á muller de segunda prioridade. Se non hai tal persoa, entón o home é declarado solteiro. Eses homes que xa están sentados con mulleres aínda non fan nada.
Pola noite, as mulleres miran a situación. Se a alguén que xa estaba sentado uniuse unha prioridade máis alta, a de prioridade máis baixa desprázase. Se os que veñen son inferiores ao que xa está dispoñible, todos son despedidos. As mulleres escollen o elemento máximo cada vez.
Repetimos.
Como resultado, cada home pasou por toda a lista das súas mulleres e quedou só ou comprometido con algunha muller. Entón casaremos todos.
É posible levar a cabo todo este proceso, pero que as mulleres corran a homes? O procedemento é simétrico, pero a solución pode ser diferente. Pero a pregunta é, quen está mellor disto?
Teorema. Consideremos non só estas dúas solucións simétricas, senón o conxunto de todos os sistemas matrimoniais estables. O mecanismo proposto orixinal (os homes corren e as mulleres aceptan/rexeitan) dá como resultado un sistema matrimonial que é mellor para calquera home que para calquera outro e peor que calquera outro para calquera muller.
Vodas de mesmo sexo
Considere a situación do "matrimonio do mesmo sexo". Consideremos un resultado matemático que pon en dúbida a necesidade de legalizalos. Un exemplo ideoloxicamente incorrecto.
Considere catro homosexuais a, b, c, d.
prioridades para a: bcd
prioridades para b:cad
prioridades para c: abd
pois d non importa como clasifique os tres restantes.
Declaración: Non hai un sistema de matrimonio sostible neste sistema.
Cantos sistemas hai para catro persoas? Tres. ab cd, ac bd, ad bc. As parellas desmoronaranse e o proceso irá en ciclos.
Sistemas "trixénero".
Esta é a pregunta máis importante que abre todo un campo das matemáticas. Isto foi feito polo meu colega en Moscova, Vladimir Ivanovich Danilov. Consideraba o "matrimonio" como beber vodka e os papeis eran os seguintes: "o que derrama", "o que fala o brindis" e "o que corta a salchicha". Nunha situación na que hai 4 ou máis representantes de cada rol, é imposible resolver pola forza bruta. A cuestión dun sistema sostible é aberta.
Vector Shapley
Na vila da casa decidiron asfaltar a estrada. Necesitas virar. Como?
Shapley propuxo unha solución a este problema en 1953. Supoñamos unha situación de conflito cun grupo de persoas N={1,2…n}. Os custos/beneficios deben ser compartidos. Supoñamos que a xente xunta fixera algo útil, vendelo e como dividir o beneficio?
Shapley suxeriu que ao dividir, deberíamos guiarnos pola cantidade que poderían recibir certos subconxuntos destas persoas. Canto diñeiro poderían gañar todos os 2N subconxuntos non baleiros? E en base a esta información, Shapley escribiu unha fórmula universal.
Exemplo. Un solista, guitarrista e batería tocan nun pasadizo subterráneo de Moscova. Os tres gañan 1000 rublos por hora. Como dividilo? Posiblemente igual.
V(1,2,3)=1000
Pretendamos iso
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
Non se pode determinar unha división xusta ata que saibamos cales son as ganancias que agardan a unha determinada empresa se esta se separa e actúa por si mesma. E cando determinamos os números (configurar o xogo cooperativo na forma característica).
A superaditividade é cando xuntos gañan máis que por separado, cando é máis rendible unirse, pero non está claro como repartir as ganancias. Rotáronse moitas copias sobre isto.
Hai un xogo. Tres empresarios atoparon simultaneamente un depósito por valor de 1 millón de dólares. Se os tres están de acordo, entón hai un millón deles. Calquera parella pode matar (eliminar do caso) e conseguir o millón enteiro por si mesma. E ninguén pode facer nada só. Este é un xogo cooperativo asustado sen solución. Sempre haberá dúas persoas que poidan eliminar a terceira... A teoría de xogos cooperativos comeza cun exemplo que non ten solución.
Queremos tal solución que ningunha coalición queira bloquear a solución común. O conxunto de todas as divisións que non se poden bloquear é o núcleo. Ocorre que o núcleo está baleiro. Pero aínda que non estea baleiro, como dividilo?
Shapley suxire dividir deste xeito. Lanza unha moeda con n! bordos. Escribimos todos os xogadores nesta orde. Digamos o primeiro baterista. Entra e leva os seus 100. Despois entra o "segundo", digamos o solista. (Xunto co baterista poden gañar 450, o baterista xa leva 100) O solista leva 350. Entra o guitarrista (xunto 1000, -450), leva 550. O último en moitas veces gaña. (Supermodularidade)
Se escribimos para todos os pedidos:
GSB - (gaña C) - (gaña D) - (gaña B)
SGB - (gaña C) - (gaña D) - (gaña B)
SBG - (gaña C) - (gaña D) - (gaña B)
BSG - (gaña C) - (gaña D) - (gaña B)
BGS - (ganancia C) - (ganancia D) - (ganancia B)
GBS - (gaña C) - (gaña D) - (gaña B)
E para cada columna sumamos e dividimos por 6 - facendo unha media de todas as ordes - este é un vector Shapley.
Shapley demostrou o teorema (aproximadamente): hai unha clase de xogos (supermodulares), na que a seguinte persoa que se une a un equipo grande obtén unha vitoria maior. O núcleo sempre non está baleiro e é unha combinación convexa de puntos (no noso caso, 6 puntos). O vector de Shapley atópase no centro mesmo do núcleo. Sempre se pode ofrecer como solución, ninguén estará en contra.
En 1973, comprobouse que o problema das casas de campo é supermodular.
Todas n persoas comparten o camiño cara á primeira casa de campo. Ata o segundo - n-1 persoas. Etc.
O aeroporto ten unha pista. As diferentes empresas necesitan diferentes lonxitudes. Xorde o mesmo problema.
Penso que os que concederon o Nobel tiñan presente este mérito, e non só a tarefa de marxe.
Grazas!
Ещё
- Canle "Matemáticas - Simple":
- Canle "Savvateev sen fronteiras": edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
- Público "As matemáticas son sinxelas":
- Broma pública dos matemáticos:
- Sitio web, todas as conferencias alí + 100 leccións e máis: savvateev.xyz
Fonte: www.habr.com