ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી દરેક વ્યક્તિ કેવી રીતે લગ્ન કરી શકે છે (સિંગલ-, દ્વિ- અને ટ્રિપલ-લિંગ લગ્ન) અને શા માટે પુરુષો હંમેશા જીતે છે

2012 માં, અર્થશાસ્ત્રમાં નોબેલ પુરસ્કાર લોયડ શેપલી અને એલ્વિન રોથને એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો. "સ્થિર વિતરણના સિદ્ધાંત અને બજારોનું આયોજન કરવાની પ્રથા માટે." 2012 માં એલેક્સી સવ્વતેવે ગણિતશાસ્ત્રીઓની યોગ્યતાના સારને સરળ અને સ્પષ્ટ રીતે સમજાવવાનો પ્રયાસ કર્યો. હું તમારા ધ્યાન પર સારાંશ રજૂ કરું છું વિડિઓ પ્રવચનો.

આજે સૈદ્ધાંતિક વ્યાખ્યાન થશે. પ્રયોગો વિશે એલા રોટા, ખાસ કરીને દાન સાથે, હું કહીશ નહીં.

જ્યારે એવી જાહેરાત કરવામાં આવી હતી લોયડ શેપ્લી (1923-2016) નોબેલ પુરસ્કાર મળ્યો, ત્યાં એક પ્રમાણભૂત પ્રશ્ન હતો: "કેવી રીતે!? શું તે હજી જીવે છે!?!?” તેનું સૌથી પ્રખ્યાત પરિણામ 1953 માં પ્રાપ્ત થયું હતું.

ઔપચારિક રીતે, બોનસ અન્ય કંઈક માટે આપવામાં આવ્યું હતું. "લગ્ન સ્થિરતા પ્રમેય" પરના તેમના 1962 ના પેપર માટે: "કોલેજ પ્રવેશ અને લગ્નની સ્થિરતા."

ટકાઉ લગ્ન વિશે

મેચિંગ (મેચિંગ) - પત્રવ્યવહાર શોધવાનું કાર્ય.

ચોક્કસ અલગ ગામ છે. ત્યાં "m" યુવાન પુરુષો અને "w" છોકરીઓ છે. આપણે તેમને એકબીજા સાથે લગ્ન કરવાની જરૂર છે. (જરૂરી નથી કે સમાન નંબર, કદાચ અંતે કોઈ એકલા રહી જશે.)

મોડેલમાં કઈ ધારણાઓ કરવાની જરૂર છે? કે રેન્ડમ પર ફરીથી લગ્ન કરવું સરળ નથી. મફત પસંદગી તરફ ચોક્કસ પગલું ભરવામાં આવી રહ્યું છે. ચાલો કહીએ કે ત્યાં એક સમજદાર અક્સકલ છે જે ફરીથી લગ્ન કરવા માંગે છે જેથી તેના મૃત્યુ પછી છૂટાછેડા શરૂ ન થાય. (છૂટાછેડા એ એવી સ્થિતિ છે જ્યારે પતિ તેની પત્ની કરતાં ત્રીજી પક્ષની સ્ત્રીને તેની પત્ની તરીકે વધુ ઇચ્છે છે.)

આ પ્રમેય આધુનિક અર્થશાસ્ત્રની ભાવનામાં છે. તેણી અપવાદરૂપે અમાનવીય છે. અર્થશાસ્ત્ર પરંપરાગત રીતે અમાનવીય રહ્યું છે. અર્થશાસ્ત્રમાં, માણસને નફો વધારવા માટે મશીન દ્વારા બદલવામાં આવે છે. હું તમને જે કહીશ તે નૈતિક દૃષ્ટિકોણથી એકદમ ઉન્મત્ત વસ્તુઓ છે. તેને દિલ પર ન લો.

અર્થશાસ્ત્રીઓ લગ્નને આ રીતે જુએ છે.
m1, m2, … mk - પુરુષો.
w1, w2,... wL - સ્ત્રીઓ.

એક માણસને તે કેવી રીતે "ઓર્ડર" કરે છે તેનાથી ઓળખાય છે. ત્યાં એક "શૂન્ય સ્તર" પણ છે, જેની નીચે સ્ત્રીઓને પત્ની તરીકે ઓફર કરી શકાતી નથી, પછી ભલે ત્યાં અન્ય કોઈ ન હોય.

બધું બંને દિશામાં થાય છે, છોકરીઓ માટે સમાન.

પ્રારંભિક ડેટા મનસ્વી છે. એકમાત્ર ધારણા/મર્યાદા એ છે કે અમે અમારી પસંદગીઓ બદલતા નથી.

પ્રમેય: વિતરણ અને શૂન્યના સ્તરને ધ્યાનમાં લીધા વિના, કેટલાક પુરુષો અને કેટલીક સ્ત્રીઓ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરવાની હંમેશા એક રીત હોય છે જેથી તે તમામ પ્રકારના વિભાજન (ફક્ત છૂટાછેડા જ નહીં) માટે મજબૂત હોય.

ત્યાં શું ધમકીઓ હોઈ શકે છે?

ત્યાં એક દંપતી (m,w) છે જેણે લગ્ન કર્યા નથી. પરંતુ w માટે વર્તમાન પતિ m કરતાં ખરાબ છે, અને m માટે વર્તમાન પત્ની w કરતાં પણ ખરાબ છે. આ એક બિનટકાઉ પરિસ્થિતિ છે.

એવો વિકલ્પ પણ છે કે કોઈ વ્યક્તિ "શૂન્યથી નીચે" હોય તેવી વ્યક્તિ સાથે લગ્ન કરે છે; આ સ્થિતિમાં, લગ્ન પણ તૂટી જશે.

જો કોઈ સ્ત્રી પરિણીત છે, પરંતુ તે એક અપરિણીત પુરુષને પસંદ કરે છે, જેના માટે તે શૂન્યથી ઉપર છે.

જો બે વ્યક્તિઓ બંને અપરિણીત છે, અને બંને એકબીજા માટે "શૂન્યથી ઉપર" છે.

એવી દલીલ કરવામાં આવે છે કે કોઈપણ પ્રારંભિક માહિતી માટે આવી લગ્ન પ્રણાલી અસ્તિત્વમાં છે, જે તમામ પ્રકારના જોખમો સામે પ્રતિરોધક છે. બીજું, આવા સંતુલન શોધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ ખૂબ જ સરળ છે. ચાલો M*N સાથે સરખામણી કરીએ.

આ મોડેલનું સામાન્યીકરણ અને "બહુપત્નીત્વ" સુધી વિસ્તરણ કરવામાં આવ્યું હતું અને ઘણા ક્ષેત્રોમાં લાગુ કરવામાં આવ્યું હતું.

ગેલ-શેપલીની પ્રક્રિયા

જો બધા પુરૂષો અને બધી સ્ત્રીઓ "પ્રિસ્ક્રિપ્શન્સ" ને અનુસરે છે, તો પરિણામી લગ્ન પ્રણાલી ટકાઉ રહેશે.

પ્રિસ્ક્રિપ્શનો.
અમે જરૂર મુજબ થોડા દિવસો લઈએ છીએ. અમે દરેક દિવસને બે ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ છીએ (સવાર અને સાંજ).

પ્રથમ સવારે, દરેક પુરુષ તેની શ્રેષ્ઠ સ્ત્રી પાસે જાય છે અને બારી ખટખટાવે છે, તેણીને તેની સાથે લગ્ન કરવાનું કહે છે.

તે જ દિવસે સાંજે, વારો સ્ત્રીઓ તરફ વળે છે. સ્ત્રી શું શોધી શકે? કે તેણીની બારી નીચે ભીડ હતી, કાં તો એક કે કોઈ માણસ. જેમની પાસે આજે કોઈ નથી તેઓ પોતાનો વારો છોડીને રાહ જુઓ. બાકીના, જેમની પાસે ઓછામાં ઓછું એક છે, તેઓ "શૂન્ય સ્તરથી ઉપર" છે તે જોવા માટે આવતા પુરુષોને તપાસો. ઓછામાં ઓછું એક હોવું. જો તમે સંપૂર્ણપણે કમનસીબ છો અને બધું શૂન્યથી નીચે છે, તો દરેકને મોકલવા જોઈએ. સ્ત્રી જેઓ આવ્યા હતા તેમાંથી સૌથી મોટી પસંદ કરે છે, તેને રાહ જોવાનું કહે છે અને બાકીનાને મોકલે છે.

બીજા દિવસ પહેલા, પરિસ્થિતિ આ છે: કેટલીક સ્ત્રીઓ પાસે એક પુરુષ છે, કેટલીક પાસે કોઈ નથી.

બીજા દિવસે, બધા "મફત" (મોકલેલ) પુરૂષોને બીજી પ્રાથમિકતાવાળી મહિલા પાસે જવાની જરૂર છે. જો આવી કોઈ વ્યક્તિ ન હોય, તો તે માણસને સિંગલ જાહેર કરવામાં આવે છે. જે પુરૂષો પહેલાથી જ સ્ત્રીઓ સાથે બેઠા છે તે હજુ કંઈ કરી રહ્યા નથી.

સાંજ પડતાં જ મહિલાઓ સ્થિતિ જોવે છે. જો કોઈ વ્યક્તિ જે પહેલાથી જ બેઠું હતું તે ઉચ્ચ અગ્રતા દ્વારા જોડાય છે, તો પછી નીચલી પ્રાથમિકતા દૂર કરવામાં આવે છે. જો આવનારાઓ પહેલાથી ઉપલબ્ધ છે તેના કરતા ઓછા હોય, તો દરેકને વિદાય આપવામાં આવે છે. સ્ત્રીઓ દરેક વખતે મહત્તમ તત્વ પસંદ કરે છે.

અમે પુનરાવર્તન કરીએ છીએ.

પરિણામે, દરેક પુરુષ તેની સ્ત્રીઓની સંપૂર્ણ સૂચિમાંથી પસાર થયો અને કાં તો એકલો રહી ગયો અથવા કોઈ સ્ત્રી સાથે સગાઈ કરી. પછી અમે બધા લગ્ન કરીશું.

શું આ આખી પ્રક્રિયા ચલાવવી શક્ય છે, પરંતુ સ્ત્રીઓ માટે પુરુષો માટે દોડવું? પ્રક્રિયા સપ્રમાણ છે, પરંતુ ઉકેલ અલગ હોઈ શકે છે. પરંતુ પ્રશ્ન એ છે કે આમાંથી કોણ વધુ સારું છે?

પ્રમેય. ચાલો ફક્ત આ બે સપ્રમાણ ઉકેલો જ નહીં, પરંતુ તમામ સ્થિર લગ્ન પ્રણાલીઓના સમૂહને ધ્યાનમાં લઈએ. મૂળ સૂચિત પદ્ધતિ (પુરુષો દોડે છે અને સ્ત્રીઓ સ્વીકારે છે/નકારે છે) લગ્ન પ્રણાલીમાં પરિણમે છે જે કોઈપણ પુરુષ માટે અન્ય કરતાં વધુ સારી છે અને કોઈપણ સ્ત્રી માટે અન્ય કરતાં ખરાબ છે.

સમલૈંગિક લગ્ન

"સમાન-લિંગી લગ્ન" સાથેની પરિસ્થિતિનો વિચાર કરો. ચાલો એક ગાણિતિક પરિણામને ધ્યાનમાં લઈએ જે તેમને કાયદેસર બનાવવાની જરૂરિયાત પર શંકા કરે છે. વૈચારિક રીતે ખોટું ઉદાહરણ.

ચાર હોમોસેક્સ્યુઅલ એ, બી, સી, ડી ધ્યાનમાં લો.

માટે પ્રાથમિકતાઓ: bcd
b:cad માટે પ્રાથમિકતાઓ
c માટે પ્રાથમિકતાઓ: abd
ડી માટે તે કોઈ વાંધો નથી કે તે બાકીના ત્રણને કેવી રીતે ક્રમ આપે છે.

નિવેદન: આ વ્યવસ્થામાં કોઈ ટકાઉ લગ્ન વ્યવસ્થા નથી.

ચાર લોકો માટે કેટલી સિસ્ટમ છે? ત્રણ. એબી સીડી, એસી બીડી, એડ બીસી. યુગલો અલગ પડી જશે અને પ્રક્રિયા ચક્રમાં જશે.

"ત્રણ-લિંગ" સિસ્ટમો.
આ સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રશ્ન છે જે ગણિતના સમગ્ર ક્ષેત્રને ખોલે છે. આ મોસ્કોમાં મારા સાથીદાર વ્લાદિમીર ઇવાનોવિચ ડેનિલોવ દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. તેણે "લગ્ન" ને વોડકા પીવા તરીકે જોયો અને ભૂમિકાઓ નીચે મુજબ હતી: "જે રેડે છે," "જે ટોસ્ટ બોલે છે," અને "જે સોસેજ કાપે છે." એવી પરિસ્થિતિમાં જ્યાં દરેક ભૂમિકાના 4 અથવા વધુ પ્રતિનિધિઓ હોય, તે જડ બળ દ્વારા ઉકેલવું અશક્ય છે. ટકાઉ વ્યવસ્થાનો પ્રશ્ન ખુલ્લો છે.

શેપલી વેક્ટર

કુટીર ગામમાં તેઓએ રોડને ડામર કરવાનો નિર્ણય કર્યો. અંદર ચિપ કરવાની જરૂર છે. કેવી રીતે?

શેપલીએ 1953માં આ સમસ્યાના ઉકેલની દરખાસ્ત કરી હતી. ચાલો લોકો N={1,2…n} ના જૂથ સાથે સંઘર્ષની પરિસ્થિતિ ધારીએ. ખર્ચ/લાભ વહેંચવાની જરૂર છે. ધારો કે લોકોએ સાથે મળીને કંઈક ઉપયોગી કર્યું, તેને વેચવું અને નફો કેવી રીતે વહેંચવો?

શેપલીએ સૂચવ્યું કે વિભાજન કરતી વખતે, આ લોકોમાંથી કેટલા ચોક્કસ સબસેટ્સ પ્રાપ્ત થઈ શકે છે તેના દ્વારા આપણે માર્ગદર્શન મેળવવું જોઈએ. બધા 2N બિન-ખાલી સબસેટ કેટલા પૈસા કમાઈ શકે છે? અને આ માહિતીના આધારે, શેપલીએ એક સાર્વત્રિક સૂત્ર લખ્યું.

એક ઉદાહરણ. મોસ્કોમાં ભૂગર્ભ માર્ગમાં એકલવાદક, ગિટારવાદક અને ડ્રમર વગાડે છે. તેમાંથી ત્રણ કલાક દીઠ 1000 રુબેલ્સ કમાય છે. તેને કેવી રીતે વિભાજિત કરવું? કદાચ સમાન રીતે.
V(1,2,3)=1000

ચાલો તે ડોળ કરીએ
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100

જ્યાં સુધી આપણે જાણીએ નહીં કે કોઈ ચોક્કસ કંપની છૂટા પડી જાય અને તેની જાતે જ કાર્ય કરે તો શું લાભની રાહ જોવાય છે ત્યાં સુધી વાજબી વિભાજન નક્કી કરી શકાતું નથી. અને જ્યારે અમે સંખ્યાઓ નક્કી કરી (લાક્ષણિક સ્વરૂપમાં સહકારી રમત સેટ કરો).

સુપર એડિટિવિટી એ છે જ્યારે તેઓ એકસાથે અલગથી વધુ કમાણી કરે છે, જ્યારે એક થવું વધુ નફાકારક હોય છે, પરંતુ જીતને કેવી રીતે વહેંચવી તે સ્પષ્ટ નથી. આ વિશે ઘણી નકલો તૂટી ગઈ છે.

એક રમત છે. ત્રણ ઉદ્યોગપતિઓને એક સાથે $1 મિલિયનની ડિપોઝિટ મળી. જો તે ત્રણેય સંમત થાય, તો તેમાંથી એક મિલિયન છે. કોઈપણ દંપતી મારી શકે છે (કેસમાંથી દૂર કરી શકે છે) અને પોતાને માટે આખા મિલિયન મેળવી શકે છે. અને કોઈ એકલું કશું કરી શકતું નથી. આ એક ડરામણી કો-ઓપ ગેમ છે જેમાં કોઈ ઉકેલ નથી. ત્યાં હંમેશા બે લોકો હશે જે ત્રીજાને દૂર કરી શકે છે... સહકારી રમત સિદ્ધાંત એક ઉદાહરણ સાથે શરૂ થાય છે જેનો કોઈ ઉકેલ નથી.

અમે એવો ઉકેલ ઈચ્છીએ છીએ કે કોઈ ગઠબંધન સામાન્ય ઉકેલને અવરોધવા ઈચ્છે નહીં. તમામ વિભાગોનો સમૂહ કે જે અવરોધિત કરી શકાતો નથી તે કર્નલ છે. એવું બને છે કે કોર ખાલી છે. પણ ખાલી ન હોય તો પણ વિભાજન કેવી રીતે કરવું?

શેપલી આ રીતે વિભાજન કરવાનું સૂચન કરે છે. n સાથે સિક્કો ટૉસ! ધાર અમે આ ક્રમમાં તમામ ખેલાડીઓને લખીએ છીએ. ચાલો પ્રથમ ડ્રમર કહીએ. તે અંદર આવે છે અને તેના 100 લે છે. પછી "બીજો" આવે છે, ચાલો એકલવાદક કહીએ. (ડ્રમર સાથે મળીને તેઓ 450 કમાઈ શકે છે, ડ્રમર પહેલેથી 100 લઈ ચૂક્યા છે) સોલોવાદક 350 લે છે. ગિટારવાદક પ્રવેશે છે (એકસાથે 1000, -450), 550 લે છે. ઘણી વાર છેલ્લો જીતે છે. (સુપરમોડ્યુલારિટી)

જો આપણે બધા ઓર્ડર માટે લખીએ:
GSB - (C win) - (D win) - (B win)
એસજીબી - (સી જીતો) - (ડી જીતો) - (બી જીતો)
SBG - (C જીતો) - (D જીતો) - (B જીતો)
BSG - (C win) - (D win) - (B win)
BGS - (ગેઇન C) - (ગેઇન D) - (ગેઇન B)
જીબીએસ - (સી જીત) - (ડી જીત) - (બી જીત)

અને દરેક કૉલમ માટે અમે 6 વડે ઉમેરીએ છીએ અને વિભાજીત કરીએ છીએ - તમામ ઓર્ડરની સરેરાશથી - આ શેપલી વેક્ટર છે.

શેપલીએ પ્રમેય સાબિત કર્યો (અંદાજે): રમતોનો એક વર્ગ છે (સુપરમોડ્યુલર), જેમાં મોટી ટીમમાં જોડાનાર આગામી વ્યક્તિ તેના માટે મોટી જીત લાવે છે. કર્નલ હંમેશા બિન-ખાલી હોય છે અને તે પોઈન્ટનું બહિર્મુખ સંયોજન છે (અમારા કિસ્સામાં, 6 પોઈન્ટ). શેપલી વેક્ટર ન્યુક્લિયસના ખૂબ કેન્દ્રમાં આવેલું છે. તે હંમેશા ઉકેલ તરીકે ઓફર કરી શકાય છે, કોઈ તેની વિરુદ્ધ નહીં હોય.

1973 માં, તે સાબિત થયું હતું કે કોટેજની સમસ્યા સુપરમોડ્યુલર છે.

બધા n લોકો પ્રથમ કુટીરનો રસ્તો શેર કરે છે. બીજા સુધી - n-1 લોકો. વગેરે.

એરપોર્ટનો રનવે છે. વિવિધ કંપનીઓને વિવિધ લંબાઈની જરૂર હોય છે. એ જ સમસ્યા ઊભી થાય છે.

મને લાગે છે કે નોબેલ પારિતોષિક એનાયત કરનારાઓને આ યોગ્યતા ધ્યાનમાં હતી, અને માત્ર માર્જિનનું કાર્ય જ નહીં.

આભાર!

વધુ બતાવો

• ચેનલ "ગણિત - સરળ": youtube.com/punkmathematics
• ચેનલ "સર્વતીવ વિના સરહદો": edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
• સાર્વજનિક "ગણિત સરળ છે": vk.com/alexei_savvateev
• જાહેર "ગણિતશાસ્ત્રીઓની મજાક": vk.com/bsu_mmf_jokes
• વેબસાઇટ, ત્યાં બધા પ્રવચનો +100 પાઠ અને વધુ: savvateev.xyz

સોર્સ: www.habr.com