गणितीय दृष्टिकोण से हर कोई कैसे शादी कर सकता है (एकल, द्वि- और ट्रिपल-सेक्स विवाह) और पुरुष हमेशा क्यों जीतते हैं

2012 में, अर्थशास्त्र में नोबेल पुरस्कार लॉयड शैप्ले और एल्विन रोथ को प्रदान किया गया था। "स्थिर वितरण के सिद्धांत और बाज़ारों को व्यवस्थित करने के अभ्यास के लिए।" 2012 में एलेक्सी सव्वातिव ने गणितज्ञों की खूबियों के सार को सरल और स्पष्ट रूप से समझाने की कोशिश की। मैं आपके ध्यान में एक सारांश प्रस्तुत करता हूँ वीडियो व्याख्यान.

आज सैद्धांतिक व्याख्यान होगा. प्रयोगों के बारे में इला रोटा, विशेष रूप से दान के बारे में, मैं नहीं बताऊंगा।

जब इसकी घोषणा की गई थी लॉयड शेप्ली (1923-2016) नोबेल पुरस्कार मिला, तो एक मानक प्रश्न था: "कैसे!?" क्या वह अभी भी जिंदा है!?!?" उनका सबसे प्रसिद्ध परिणाम 1953 में प्राप्त हुआ था।

औपचारिक रूप से, बोनस किसी और चीज़ के लिए दिया गया था। "विवाह स्थिरता प्रमेय" पर उनके 1962 के पेपर के लिए: "कॉलेज प्रवेश और विवाह की स्थिरता।"

टिकाऊ विवाह के बारे में

मिलान (मिलान) - पत्राचार खोजने का कार्य।

एक अलग-थलग गांव है. वहाँ "m" युवक और "w" लड़कियाँ हैं। हमें उनकी आपस में शादी करानी होगी. (जरूरी नहीं कि संख्या समान हो, हो सकता है कि अंत में कोई अकेला रह जाए।)

मॉडल में क्या धारणाएँ बनाने की आवश्यकता है? बेतरतीब ढंग से पुनर्विवाह करना आसान नहीं है। स्वतंत्र चयन की दिशा में एक निश्चित कदम उठाया जा रहा है। मान लीजिए कि एक बुद्धिमान अक्साकल है जो पुनर्विवाह करना चाहता है ताकि उसकी मृत्यु के बाद तलाक शुरू न हो। (तलाक वह स्थिति है जब एक पति अपनी पत्नी से ज्यादा किसी तीसरी महिला को अपनी पत्नी के रूप में चाहता है।)

यह प्रमेय आधुनिक अर्थशास्त्र की भावना में है। वह असाधारण रूप से अमानवीय है. अर्थशास्त्र परंपरागत रूप से अमानवीय रहा है। अर्थशास्त्र में, अधिकतम मुनाफ़ा कमाने के लिए मनुष्य का स्थान एक मशीन ने ले लिया है। जो मैं तुम्हें बताऊंगा वह नैतिक दृष्टि से बिल्कुल पागलपन भरी बातें हैं। इसे दिल पर मत लो.

अर्थशास्त्री विवाह को इसी दृष्टि से देखते हैं।
एम1, एम2,… एमके - पुरुष।
w1, w2,...wL - महिलाएं।

एक आदमी की पहचान इस बात से होती है कि वह लड़कियों को कैसे "आदेश" देता है। एक "शून्य स्तर" भी है, जिसके नीचे महिलाओं को पत्नियों के रूप में पेश नहीं किया जा सकता है, भले ही कोई अन्य न हो।

सब कुछ दोनों दिशाओं में होता है, लड़कियों के लिए भी ऐसा ही होता है।

प्रारंभिक डेटा मनमाना है. एकमात्र धारणा/सीमा यह है कि हम अपनी प्राथमिकताएँ नहीं बदलते हैं।

प्रमेय: वितरण और शून्य के स्तर के बावजूद, कुछ पुरुषों और कुछ महिलाओं के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करने का हमेशा एक तरीका होता है ताकि यह सभी प्रकार के विभाजन (सिर्फ तलाक नहीं) के लिए मजबूत हो।

क्या खतरे हो सकते हैं?

एक जोड़ा (एम,डब्ल्यू) है जिसने शादी नहीं की है। लेकिन w के लिए वर्तमान पति m से भी बदतर है, और m के लिए वर्तमान पत्नी w से भी बदतर है। यह एक अस्थिर स्थिति है.

यह भी विकल्प है कि किसी की शादी किसी ऐसे व्यक्ति से हुई हो जो "शून्य से नीचे" हो; इस स्थिति में, शादी भी टूट जाएगी।

यदि कोई महिला शादीशुदा है, लेकिन वह अविवाहित पुरुष को पसंद करती है, जिसके लिए वह शून्य से भी ऊपर है।

यदि दो लोग अविवाहित हैं, और दोनों एक दूसरे के लिए "शून्य से ऊपर" हैं।

यह तर्क दिया जाता है कि किसी भी प्रारंभिक डेटा के लिए ऐसी विवाह प्रणाली मौजूद है, जो सभी प्रकार के खतरों के प्रति प्रतिरोधी है। दूसरे, ऐसा संतुलन खोजने का एल्गोरिदम बहुत सरल है। आइए M*N से तुलना करें।

इस मॉडल को सामान्यीकृत किया गया और "बहुविवाह" तक विस्तारित किया गया और कई क्षेत्रों में लागू किया गया।

गेल-शेपली प्रक्रिया

यदि सभी पुरुष और सभी महिलाएं "नुस्खे" का पालन करें, तो परिणामी विवाह प्रणाली टिकाऊ होगी।

नुस्खे.
हम आवश्यकतानुसार कुछ दिन लेते हैं। हम प्रत्येक दिन को दो भागों (सुबह और शाम) में बांटते हैं।

पहली सुबह, हर आदमी अपनी सबसे अच्छी महिला के पास जाता है और खिड़की पर दस्तक देकर उससे शादी करने के लिए कहता है।

उसी दिन शाम को बारी महिलाओं की आती है। एक महिला क्या खोज सकती है? कि उसकी खिड़की के नीचे भीड़ थी, या तो एक आदमी या कोई आदमी नहीं। आज जिनके पास कोई नहीं है वे अपनी बारी छोड़कर इंतजार करते हैं। बाकी, जिनके पास कम से कम एक है, वे आने वाले पुरुषों की जांच करते हैं कि वे "शून्य स्तर से ऊपर" हैं। कम से कम एक होना। यदि आप पूरी तरह से बदकिस्मत हैं और सब कुछ शून्य से नीचे है, तो सभी को भेज दिया जाना चाहिए। महिला आने वालों में से सबसे बड़े को चुनती है, उसे इंतजार करने के लिए कहती है और बाकी को भेज देती है।

दूसरे दिन से पहले, स्थिति यह है: कुछ महिलाओं के पास एक पुरुष होता है, कुछ के पास एक भी नहीं।

दूसरे दिन, सभी "मुक्त" (भेजा गया) पुरुषों को दूसरी प्राथमिकता वाली महिला के पास जाना होगा। यदि ऐसा कोई व्यक्ति नहीं है तो उस व्यक्ति को अविवाहित घोषित कर दिया जाता है। जो पुरुष पहले से ही महिलाओं के साथ बैठे हैं वे अभी कुछ नहीं कर रहे हैं.

शाम को महिलाएं स्थिति को देखती हैं। यदि कोई व्यक्ति जो पहले से ही बैठा था, उच्च प्राथमिकता से शामिल हो जाता है, तो निम्न प्राथमिकता को दूर भेज दिया जाता है। यदि जो लोग आते हैं वे पहले से उपलब्ध संख्या से कम हैं, तो सभी को भेज दिया जाता है। महिलाएं हर बार सबसे ज्यादा एलिमेंट चुनती हैं।

हम दोहराते हैं।

परिणामस्वरूप, प्रत्येक पुरुष ने अपनी महिलाओं की पूरी सूची देखी और या तो अकेला रह गया या किसी महिला के साथ सगाई कर ली। फिर हम सबकी शादी करा देंगे.

क्या इस पूरी प्रक्रिया को चलाना संभव है, लेकिन महिलाओं के लिए पुरुषों के पास दौड़ना संभव है? प्रक्रिया सममित है, लेकिन समाधान भिन्न हो सकता है। लेकिन सवाल यह है कि इससे बेहतर कौन है?

प्रमेय. आइए हम न केवल इन दो सममित समाधानों पर विचार करें, बल्कि सभी स्थिर विवाह प्रणालियों के समुच्चय पर भी विचार करें। मूल प्रस्तावित तंत्र (पुरुष दौड़ते हैं और महिलाएं स्वीकार/इनकार करती हैं) के परिणामस्वरूप एक ऐसी विवाह प्रणाली बनती है जो किसी भी पुरुष के लिए किसी भी अन्य की तुलना में बेहतर होती है और किसी भी महिला के लिए किसी भी अन्य की तुलना में बदतर होती है।

समलैंगिक विवाह

"समलैंगिक विवाह" की स्थिति पर विचार करें। आइए एक गणितीय परिणाम पर विचार करें जो उन्हें वैध बनाने की आवश्यकता पर संदेह पैदा करता है। वैचारिक रूप से ग़लत उदाहरण.

चार समलैंगिकों ए, बी, सी, डी पर विचार करें।

ए के लिए प्राथमिकताएँ: बीसीडी
बी: सीएडी के लिए प्राथमिकताएँ
सी के लिए प्राथमिकताएँ: एबीडी
डी के लिए इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वह शेष तीन को कैसे रैंक करता है।

अनुमोदन: इस व्यवस्था में कोई स्थायी विवाह व्यवस्था नहीं है।

चार लोगों के लिए कितने सिस्टम हैं? तीन। एबी सीडी, एसी बीडी, विज्ञापन बीसी। जोड़े टूट जायेंगे और यह प्रक्रिया चक्रों में चलेगी।

"त्रि-लिंग" प्रणाली।
यह सबसे महत्वपूर्ण प्रश्न है जो गणित के संपूर्ण क्षेत्र को खोलता है। यह मॉस्को में मेरे सहयोगी व्लादिमीर इवानोविच डेनिलोव द्वारा किया गया था। उन्होंने "विवाह" को वोदका पीने के रूप में देखा और भूमिकाएँ इस प्रकार थीं: "वह जो डालता है," "वह जो टोस्ट बोलता है," और "वह जो सॉसेज काटता है।" ऐसी स्थिति में जहां प्रत्येक भूमिका के 4 या अधिक प्रतिनिधि हों, क्रूर बल द्वारा हल करना असंभव है। एक स्थायी व्यवस्था का प्रश्न खुला है।

शेपली वेक्टर

झोपड़ी वाले गांव में उन्होंने सड़क पर डामरीकरण करने का फैसला किया। चिप लगाने की जरूरत है. कैसे?

शेपली ने 1953 में इस समस्या का समाधान प्रस्तावित किया। आइए मान लें कि लोगों के एक समूह N={1,2…n} के साथ संघर्ष की स्थिति है। लागत/लाभ साझा करने की आवश्यकता है। मान लीजिए कि लोगों ने मिलकर कुछ उपयोगी काम किया, उसे बेच दिया और लाभ को कैसे विभाजित किया जाए?

शेपली ने सुझाव दिया कि विभाजित करते समय, हमें इस बात पर ध्यान देना चाहिए कि इन लोगों के कुछ उपसमूहों को कितना प्राप्त हो सकता है। सभी 2N गैर-रिक्त उपसमुच्चय कितना पैसा कमा सकते हैं? और इस जानकारी के आधार पर शेपली ने एक सार्वभौमिक सूत्र लिखा।

उदाहरण. एक एकल कलाकार, गिटारवादक और ड्रमर मास्को में एक भूमिगत मार्ग में बजाते हैं। ये तीनों प्रति घंटे 1000 रूबल कमाते हैं। इसे कैसे बाँटें? संभवतः समान रूप से.
वी(1,2,3)=1000

चलिए ऐसा दिखावा करते हैं
वी(1,2)=600
वी(1,3)=450
वी(2,3)=400
वी(1)=300
वी(2)=200
वी(3)=100

एक निष्पक्ष विभाजन तब तक निर्धारित नहीं किया जा सकता जब तक हम यह नहीं जानते कि किसी कंपनी के अलग होने और अपने दम पर काम करने पर उसे क्या लाभ होगा। और जब हमने संख्याएँ निर्धारित कीं (सहकारी खेल को विशिष्ट रूप में सेट करें)।

सुपरएडिटिविटी तब होती है जब वे एक साथ मिलकर अलग-अलग से अधिक कमाते हैं, जब एकजुट होना अधिक लाभदायक होता है, लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि जीत को कैसे विभाजित किया जाए। इसको लेकर कई प्रतियां तोड़ी जा चुकी हैं.

एक खेल है. तीन व्यवसायियों को एक साथ 1 मिलियन डॉलर की जमा राशि मिली। यदि वे तीनों सहमत हों, तो उनकी संख्या लाखों में है। कोई भी जोड़ा हत्या कर सकता है (केस से हटा सकता है) और पूरे दस लाख अपने लिए ले सकता है। और कोई भी व्यक्ति अकेले कुछ भी नहीं कर सकता. यह एक डरावना सह-ऑप गेम है जिसका कोई समाधान नहीं है। हमेशा दो लोग होंगे जो तीसरे को खत्म कर सकते हैं... सहकारी गेम सिद्धांत एक ऐसे उदाहरण से शुरू होता है जिसका कोई समाधान नहीं है।

हम ऐसा समाधान चाहते हैं कि कोई भी गठबंधन साझा समाधान को रोकना नहीं चाहेगा. सभी प्रभागों का वह समूह जिसे अवरुद्ध नहीं किया जा सकता, कर्नेल है। ऐसा होता है कि कोर खाली है. लेकिन खाली न भी हो तो बंटवारा कैसे?

शैप्ले इस प्रकार विभाजित करने का सुझाव देता है। n के साथ एक सिक्का उछालें! किनारों. हम सभी खिलाड़ियों को इसी क्रम में लिखते हैं। मान लीजिए पहला ड्रमर। वह अंदर आता है और अपने 100 रन बनाता है। फिर "दूसरा" आता है, मान लीजिए एकल कलाकार। (ढोल बजाने वाले के साथ मिलकर वे 450 कमा सकते हैं, ढोल बजाने वाले ने पहले ही 100 ले लिए हैं) एकल कलाकार 350 लेता है। गिटारवादक प्रवेश करता है (एक साथ 1000, -450), 550 लेता है। आखिरी वाला अक्सर जीतता है। (सुपरमॉड्यूलैरिटी)

यदि हम सभी आदेशों के लिए लिखते हैं:
जीएसबी - (जीत सी) - (जीत डी) - (जीत बी)
एसजीबी - (जीत सी) - (जीत डी) - (जीत बी)
एसबीजी - (जीत सी) - (जीत डी) - (जीत बी)
बीएसजी - (जीत सी) - (जीत डी) - (जीत बी)
बीजीएस - (लाभ सी) - (लाभ डी) - (लाभ बी)
जीबीएस - (जीत सी) - (जीत डी) - (जीत बी)

और प्रत्येक कॉलम के लिए हम जोड़ते हैं और 6 से विभाजित करते हैं - सभी ऑर्डरों का औसत - यह एक शैप्ले वेक्टर है.

शेपली ने प्रमेय सिद्ध किया (लगभग): खेलों का एक वर्ग (सुपरमॉड्यूलर) है, जिसमें एक बड़ी टीम में शामिल होने वाला अगला व्यक्ति बड़ी जीत लाता है। कर्नेल हमेशा गैर-रिक्त होता है और बिंदुओं का उत्तल संयोजन होता है (हमारे मामले में, 6 अंक)। शेपली वेक्टर नाभिक के बिल्कुल केंद्र में स्थित होता है। इसे हमेशा एक समाधान के रूप में पेश किया जा सकता है, कोई भी इसके खिलाफ नहीं होगा।

1973 में यह सिद्ध हो गया कि कॉटेज की समस्या सुपरमॉड्यूलर है।

सभी n लोग पहली कुटिया तक सड़क साझा करते हैं। दूसरे तक - n-1 लोग। वगैरह।

हवाई अड्डे के पास एक रनवे है। विभिन्न कंपनियों को अलग-अलग लंबाई की आवश्यकता होती है। वही समस्या उत्पन्न होती है.

मुझे लगता है कि जिन लोगों ने नोबेल पुरस्कार दिया, उनके मन में यह योग्यता थी, न कि केवल मार्जिन का कार्य।

शुक्रिया!

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स्रोत: www.habr.com