An 2012, yo te bay Lloyd Shapley ak Alvin Roth Pri Nobèl nan Ekonomi. "Pou teyori distribisyon ki estab ak pratik òganize mache yo." Aleksey Savvateev nan 2012 te eseye tou senpleman ak klèman eksplike sans nan baz byenfonde nan matematisyen. Mwen prezante nan atansyon ou yon rezime .
Jodi a pral gen yon konferans teyorik. Konsènan eksperyans , an patikilye ak don, mwen pa pral di.
Lè yo te anonse sa te resevwa Pri Nobèl la, te gen yon kesyon estanda: "Kijan!? Èske li toujou vivan!?!?" Rezilta ki pi popilè li te jwenn nan 1953.
Fòmèlman, yo te bay bonis la pou yon lòt bagay. Pou papye li an 1962 sou "teyorèm estabilite maryaj la": "Admisyon nan kolèj ak estabilite nan maryaj."
Konsènan maryaj dirab
Matche (matching) - travay la pou jwenn yon korespondans.
Gen yon sèten vilaj izole. Gen "m" jèn gason ak "w" ti fi. Nou bezwen marye yo youn ak lòt. (Pa nesesèman menm nimewo a, petèt nan fen yon moun pral rete pou kont li.)
Ki sipozisyon yo bezwen fè nan modèl la? Ke li pa fasil pou remarye o aza. Yo pran yon sèten etap nan direksyon pou chwa lib. Ann di gen yon aksakal ki gen bon konprann ki vle remarye yon fason pou apre lanmò li divòs pa kòmanse. (Divòs se yon sitiyasyon lè yon mari vle yon twazyèm pati kòm madanm li plis pase madanm li.)
Teyorèm sa a se nan lespri ekonomi modèn. Li se eksepsyonèlman inimen. Ekonomi tradisyonèlman te iniman. Nan ekonomi, moun ranplase pa yon machin pou maksimize pwofi. Ki sa mwen pral di ou se bagay absoliman fou nan yon pwen de vi moral. Pa pran li nan kè.
Ekonomis yo gade nan maryaj konsa.
m1, m2,… mk - gason.
w1, w2,... wL - fanm.
Yo idantifye yon gason ak fason li "kòmande" ti fi yo. Genyen tou yon "nivo zewo", anba ki fanm yo pa ka ofri kòm madanm ditou, menm si pa gen lòt.
Tout bagay rive nan tou de direksyon, menm bagay la tou pou ti fi.
Done inisyal la se abitrè. Sèl sipozisyon/limitasyon an se ke nou pa chanje preferans nou yo.
Teyorèm: Kèlkeswa distribisyon an ak nivo zewo a, toujou gen yon fason pou etabli yon korespondans youn a youn ant kèk gason ak kèk fanm pou ke li solid nan tout kalite fann (pa sèlman divòs).
Ki menas ki ka genyen?
Gen yon koup (m,w) ki pa marye. Men pou w mari aktyèl la pi mal pase m, e pou m madanm aktyèl la pi mal pase w. Sa a se yon sitiyasyon ki pa dirab.
Genyen tou opsyon ke yon moun te marye ak yon moun ki se "anba zewo" nan sitiyasyon sa a, maryaj la pral tou kraze.
Si yon fanm marye, men li pito yon nonm ki pa marye, pou ki moun li pi wo pase zewo.
Si de moun tou de pa marye, epi tou de se "pi wo pase zewo" youn pou lòt.
Li te diskite ke pou nenpòt premye done tankou yon sistèm maryaj egziste, rezistan a tout kalite menas. Dezyèmman, algorithm pou jwenn yon ekilib konsa trè senp. Ann konpare ak M*N.
Modèl sa a te jeneralize ak elaji nan "poligami" epi aplike nan anpil zòn.
Pwosedi Gale-Shapley
Si tout gason ak tout fanm swiv "preskripsyon" yo, sistèm maryaj ki lakòz yo pral dirab.
Preskripsyon.
Nou pran kèk jou jan sa nesesè. Nou divize chak jou an de pati (maten ak aswè).
Nan premye maten an, chak gason ale nan pi bon fanm li yo epi yo frape nan fenèt la, mande l pou l marye avè l.
Nan aswè a nan menm jou a, vire tounen nan fanm yo Ki sa yon fanm ka dekouvri? Ke te gen yon foul moun anba fenèt li, swa youn oswa pa gen gason. Moun ki pa gen pèsonn jodi a sote vire yo epi tann. Rès yo, ki gen omwen youn, tcheke mesye ki vin wè yo "anwo nivo zewo". Pou gen omwen youn. Si ou se konplètman malheureux ak tout bagay anba zewo, Lè sa a, yo ta dwe voye tout moun. Fanm nan chwazi pi gwo nan moun ki te vini yo, li di l pou l tann, li voye rès la.
Anvan dezyèm jou a, sitiyasyon an se sa a: kèk fanm gen yon sèl gason, kèk pa gen okenn.
Nan dezyèm jou a, tout gason "gratis" (voye) bezwen ale nan dezyèm fanm priyorite a. Si pa gen yon moun konsa, lè sa a nonm lan deklare selibatè. Mesye sa yo ki deja chita ak fanm yo poko fè anyen.
Nan aswè a, fanm yo gade nan sitiyasyon an. Si yon moun ki te deja chita te jwenn yon pi gwo priyorite, lè sa a priyorite ki pi ba a voye ale. Si moun ki vini yo pi ba pase sa ki deja disponib, yo voye tout moun ale. Fanm yo chwazi eleman maksimòm chak fwa.
Nou repete.
Kòm yon rezilta, chak gason te ale nan tout lis fanm li yo epi yo te swa kite poukont li oswa angaje ak kèk fanm. Lè sa a, nou pral fè tout moun marye.
Èske li posib pou kouri tout pwosesis sa a, men pou fanm kouri pou moun? Pwosedi a se simetrik, men solisyon an ka diferan. Men, kesyon an se, ki moun ki pi bon nan sa a?
Teyorèm. Se pou nou konsidere non sèlman sa yo de solisyon simetrik, men ansanm nan tout sistèm maryaj ki estab. Mekanis orijinal pwopoze a (gason kouri ak fanm aksepte/refize) rezilta nan yon sistèm maryaj ki pi bon pou nenpòt gason pase nenpòt lòt ak pi mal pase nenpòt lòt pou nenpòt fanm.
Maryaj menm sèks
Konsidere sitiyasyon an ak “maryaj omoseks”. Ann konsidere yon rezilta matematik ki mete dout sou nesesite pou legalize yo. Yon egzanp ideolojikman kòrèk.
Konsidere kat omoseksyèl a, b, c, d.
priyorite pou yon: bcd
priyorite pou b:cad
priyorite pou c: abd
pou d li pa gen pwoblèm ki jan li klase twa ki rete yo.
Deklarasyon: Pa gen yon sistèm maryaj dirab nan sistèm sa a.
Konbyen sistèm ki genyen pou kat moun? Twa. ab cd, ac bd, ad bc. Koup yo pral tonbe apa ak pwosesis la pral ale nan sik.
Sistèm "twa-sèks".
Sa a se kesyon ki pi enpòtan ki ouvè tout yon domèn matematik. Sa a te fè pa kòlèg mwen nan Moskou, Vladimir Ivanovich Danilov. Li te konsidere “maryaj” kòm bwè vodka e wòl yo te jan sa a: “moun ki vide”, “moun ki pale pen griye a,” ak “moun ki koupe sosis la”. Nan yon sitiyasyon kote gen 4 oswa plis reprezantan chak wòl, li enposib pou rezoud pa fòs brital. Kesyon an nan yon sistèm dirab se yon sèl ouvè.
Shapley vektè
Nan vilaj la kaye yo deside asfalt wout la. Bezwen chip nan. Ki jan?
Shapley te pwopoze yon solisyon pou pwoblèm sa a an 1953. Ann sipoze yon sitiyasyon konfli ak yon gwoup moun N={1,2…n}. Depans/benefis yo dwe pataje. Sipoze moun ansanm te fè yon bagay itil, vann li ak ki jan yo divize pwofi a?
Shapley sigjere ke lè divize, nou ta dwe gide pa konbyen sèten sous-ensemble nan moun sa yo ta ka resevwa. Konbyen lajan tout 2N sous-ansanm ki pa vid yo ta ka touche? E baze sou enfòmasyon sa yo, Shapley te ekri yon fòmil inivèsèl.
Egzanp. Yon solist, gitaris ak tanbouyè jwe nan yon pasaj anba tè nan Moskou. Twa nan yo touche 1000 rubles pou chak èdtan. Ki jan yo divize li? Petèt egalman.
V(1,2,3)=1000
Ann pran pòz sa
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
Yon divizyon jis pa ka detèmine jiskaske nou konnen ki pwogrè ap tann yon konpayi bay si li kraze ak aji poukont li. Men, lè nou detèmine nimewo yo (mete jwèt la koperativ nan fòm karakteristik).
Superadditivity se lè ansanm yo touche plis pase separeman, lè li pi pwofitab pou ini, men li pa klè ki jan yo divize gaye yo. Anpil kopi yo te kase sou sa.
Gen yon jwèt. Twa biznisman an menm tan jwenn yon depo ki vo $1 milyon dola. Si twa nan yo dakò, Lè sa a, gen yon milyon nan yo. Nenpòt koup ka touye (retire nan ka a) epi jwenn milyon dola antye pou tèt yo. E pesonn pa ka fè anyen pou kont li. Sa a se yon jwèt pè ki pa gen okenn solisyon. Ap toujou gen de moun ki ka elimine twazyèm lan... Teyori jwèt koperativ kòmanse ak yon egzanp ki pa gen solisyon.
Nou vle yon solisyon konsa ke okenn kowalisyon p'ap vle bloke solisyon komen an. Ansanm tout divizyon ki pa ka bloke se nwayo a. Sa rive ke nwayo a se vid. Men, menm si li pa vid, ki jan yo divize?
Shapley sijere divize fason sa a. Lanse yon pyès monnen ak n! bor. Nou ekri tout jwè yo nan lòd sa a. Ann di premye tanbouyè a. Li antre epi li pran 100 l 'yo. Lè sa a, "dezyèm" vini nan, an n di solist la. (Ansanm ak tanbouyè a yo ka touche 450, tanbouyè a gentan pran 100) Solis la pran 350. Guitarist la antre (ansanm 1000, -450), pran 550. Dènye a nan byen souvan genyen. (Supermodularite)
Si nou ekri pou tout lòd:
GSB - (genyen C) - (genyen D) - (genyen B)
SGB - (genyen C) - (genyen D) - (genyen B)
SBG - (genyen C) - (genyen D) - (genyen B)
BSG - (genyen C) - (genyen D) - (genyen B)
BGS - (gain C) - (gain D) - (gain B)
GBS - (genyen C) - (genyen D) - (genyen B)
Epi pou chak kolòn nou ajoute epi divize pa 6 - mwayèn sou tout lòd - sa a se yon vektè Shapley.
Shapley te pwouve teyorèm nan (apeprè): Gen yon klas nan jwèt (supermodular), nan ki pwochen moun ki rantre nan yon ekip gwo pote yon viktwa pi gwo nan li. Kernel la toujou pa vid epi li se yon konbinezon konvèks pwen (nan ka nou an, 6 pwen). Vektè Shapley la chita nan sant nwayo a. Li ka toujou ofri kòm yon solisyon, pa gen moun ki pral kont li.
An 1973, li te pwouve ke pwoblèm nan ak chale se supermodular.
Tout moun n pataje wout ki mennen nan premye kaye a. Jiska dezyèm lan - n-1 moun. elatriye.
Ayewopò a gen yon pist. Konpayi diferan bezwen longè diferan. Pwoblèm nan menm rive.
Mwen panse ke moun ki bay Pri Nobèl la te gen merit sa a nan tèt ou, epi yo pa sèlman travay la nan Marge.
Mèsi!
Plis
- Chèn "Matematik - Senp":
- Chèn "Savvateev san fwontyè": edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
- Piblik "Matematik se senp":
- Piblik "Matematisyen blag":
- Sit entènèt, tout konferans gen +100 leson ak plis ankò: savvateev.xyz
Sous: www.habr.com