{"id":34164,"date":"2019-10-31T21:56:44","date_gmt":"2019-10-31T18:56:44","guid":{"rendered":"https:\/\/prohoster.info\/blog\/ya-poluchil-ot-knuta-chek-na-0x-3-00\/"},"modified":"2019-10-31T21:56:44","modified_gmt":"2019-10-31T18:56:44","slug":"ya-poluchil-ot-knuta-chek-na-0x-3-00","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/prohoster.info\/hu\/blog\/news\/ya-poluchil-ot-knuta-chek-na-0x-3-00","title":{"rendered":"Knut gave me a check for 0x$3.00","gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"text"}]},"content":{"rendered":"

Donald Knuth<\/b>\u00a0\u2014 egy informatikai tud\u00f3s, aki annyira t\u00f6r\u0151dik a k\u00f6nyvei pontoss\u00e1g\u00e1val, hogy felaj\u00e1nlja egy hexadecim\u00e1lis doll\u00e1rt<\/b> ($2,56, 0x$1,00) b\u00e1rmely 'hib\u00e1\u00e9rt', ahol hib\u00e1nak min\u0151s\u00fcl minden, ami 'technikai, t\u00f6rt\u00e9nelmi, tipogr\u00e1fiai vagy politikai szempontb\u00f3l helytelen'. Nagyon szerettem volna csekket kapni Knutht\u00f3l, ez\u00e9rt \u00fagy d\u00f6nt\u00f6ttem, keresek hib\u00e1kat a kiemelked\u0151 munk\u00e1j\u00e1ban az \u201eAlgoritmusok m\u0171v\u00e9szete\u201d<\/b> (TAOCP). Siker\u00fclt h\u00e1rmat tal\u00e1lni. Igaz sz\u00f3t mondva, Knuth k\u00fcld\u00f6tt csekket 0x$3,00<\/b>.<\/p>\n

\"Knut
\n
\nAhogyan l\u00e1tod, ez nem igazi csekk. Kor\u00e1bban Knuth val\u00f3di csekkeket k\u00fcld\u00f6tt, de 2008 \u00f3ta megsz\u00fcntette ezt a zavart csal\u00e1s miatt<\/a><\/noindex>. Most 'szem\u00e9lyes let\u00e9ti tan\u00fas\u00edtv\u00e1nyokat' k\u00fcld a San Seriff bankban<\/a><\/noindex> (BoSS). Azt mondja, hogy hajland\u00f3 val\u00f3di p\u00e9nzt k\u00fcldeni sz\u00fcks\u00e9g eset\u00e9n, de \u00fagy t\u0171nik, ez t\u00fal f\u00e1rads\u00e1gos.
\n<\/a><\/noindex>
\nK\u00e9t el\u00edr\u00e1st \u00e9s egy t\u00f6rt\u00e9nelmi hib\u00e1t tal\u00e1ltam. Ezeket a trivialit\u00e1s cs\u00f6kken\u0151 sorrendj\u00e9ben sorolom fel.<\/p>\n

El\u00edr\u00e1s \u21161<\/h1>\n

\nAz els\u0151 el\u00edr\u00e1s a 'Keres\u00e9s \u00e9s rendez\u00e9s' harmadik k\u00f6tet\u00e9nek 392. oldal\u00e1n, az alj\u00e1r\u00f3l nyolcadik sor: 'Egy sikertelen keres\u00e9s ut\u00e1n n\u00e9ha (sometime) k\u00edv\u00e1natos \u00faj bejegyz\u00e9st felvinni a t\u00e1bl\u00e1zatba, ami tartalmazza K<\/i>; a m\u00f3dszer, amely ezt teszi, \u00fagynevezett keres\u00e9si \u00e9s besz\u00far\u00e1si algoritmus. A hiba, hogy a 'sometime' helyett sometime<\/i><\/b> kellene, hogy sometimes<\/i><\/b>.<\/p>\n

Term\u00e9szetesen nem meglep\u0151, hogy egy ilyen hib\u00e1ban semmi meglep\u0151 nincs. Csak ebben a cikkben biztosan lesz n\u00e9h\u00e1ny el\u00edr\u00e1s (nincs d\u00edj a felfedez\u00e9s\u00fck\u00e9rt). Ami val\u00f3j\u00e1ban meglep\u0151, az az, hogy ezt ennyi ideig nem vett\u00e9k \u00e9szre. A 392. oldal nem rejt\u0151zik m\u00e9lyen a matematikai r\u00e9szben, ez a legels\u0151 oldal<\/b> a 'Keres\u00e9s' hatodik fejezet\u00e9ben! Val\u00f3sz\u00edn\u0171leg a k\u00f6nyv legolvasottabb r\u00e9sze. Elvileg ott kellene a legkevesebb el\u00edr\u00e1snak lennie, de m\u00e9gsem \u00edgy van.<\/p>\n

Egy\u00e9bk\u00e9nt, ha valaha is gondolt\u00e1l arra, hogy elolvasod a TAOCP-t, pr\u00f3b\u00e1ld ki. Sokan azt mondj\u00e1k, hogy ez szakmai k\u00e9zik\u00f6nyv<\/b>, nem k\u00f6zvetlen olvas\u00e1sra k\u00e9sz\u00fclt, de ez nem igaz. A szerz\u0151nek egy\u00e9rtelm\u0171 n\u00e9z\u0151pontja \u00e9s egyedi st\u00edlusa van. Az egyetlen dolog, ami g\u00e1tolja az olvashat\u00f3s\u00e1got, az a matematika bonyolults\u00e1ga. De van egy egyszer\u0171 megold\u00e1s: olvasd, am\u00edg el nem \u00e9rsz a matematik\u00e1hoz, amit nem \u00e9rtesz, hagyd ki, \u00e9s nyisd meg a k\u00f6vetkez\u0151 szakaszt, amit meg\u00e9rtesz. \u00cdgy olvasva legal\u00e1bb a k\u00f6nyv 80%-\u00e1t kihagyom, de a marad\u00e9k 20% csod\u00e1latos!<\/p>\n

Azt is mondj\u00e1k, hogy a TAOCP irrelev\u00e1ns<\/b>, elavult vagy m\u00e1s okb\u00f3l nem alkalmazhat\u00f3 a \u201eval\u00f3di programoz\u00e1sra\u201d. Ez is t\u00e9ved\u00e9s. P\u00e9ld\u00e1ul az els\u0151 fejezetben a bevezet\u0151 ut\u00e1n az elemek keres\u00e9s\u00e9t t\u00e1rgyaljuk nem rendezett t\u00f6mb\u00f6kben. A legegyszer\u0171bb algoritmus minden programoz\u00f3 sz\u00e1m\u00e1ra ismert. Ind\u00edtsa el a mutat\u00f3t a t\u00f6mb elej\u00e9n, majd v\u00e9gezze el az al\u00e1bbi m\u0171veleteket ciklusban:<\/p>\n

    \n
  1. Ellen\u0151rizze, hogy az aktu\u00e1lis elem a k\u00edv\u00e1nt elem-e. Ha igen, visszaadjuk; ellenkez\u0151 esetben\n<\/li>\n
  2. Ellen\u0151rizze, hogy a mutat\u00f3 t\u00fall\u00e9pi-e a t\u00f6mb hat\u00e1rait. Ha igen, hiba\u00fczenetet adunk; ellenkez\u0151 esetben\n<\/li>\n
  3. N\u00f6velje a mutat\u00f3t, \u00e9s folytassa.<\/li>\n<\/ol>\n

    \nMost n\u00e9zz\u00fck meg: \u00e1tlagosan h\u00e1ny hat\u00e1rellen\u0151rz\u00e9st ig\u00e9nyel ez az algoritmus? A legrosszabb esetben, amikor a t\u00f6mb nem tartalmaz elemet, minden egyes elemmel szemben egy hat\u00e1rellen\u0151rz\u00e9sre lesz sz\u00fcks\u00e9g, \u00e9s ez \u00e1tlagosan valami ilyesmi lesz \"Knut. Egy okosabb keres\u00e9si algoritmus csup\u00e1n egy hat\u00e1rellen\u0151rz\u00e9st ig\u00e9nyelhet. Csatolja a k\u00edv\u00e1nt elemet a t\u00f6mb v\u00e9g\u00e9hez, majd ind\u00edtsa el a mutat\u00f3t a t\u00f6mb elej\u00e9n, \u00e9s v\u00e9gezze el az al\u00e1bbi m\u0171veleteket ciklusban:<\/p>\n

      \n
    1. Ellen\u0151rizze, hogy az aktu\u00e1lis elem a k\u00edv\u00e1nt elem-e. Ha igen, visszaadjuk a v\u00e1laszt, ha a mutat\u00f3 a t\u00f6mb hat\u00e1rain bel\u00fcl van, vagy hiba\u00fczenetet, ha nem. Ellenkez\u0151 esetben\n<\/li>\n
    2. N\u00f6velje a mutat\u00f3t, \u00e9s folytassa.<\/li>\n<\/ol>\n

      \n\u00cdgy vagy \u00fagy, az elem garant\u00e1ltan megtal\u00e1lhat\u00f3, \u00e9s a hat\u00e1rellen\u0151rz\u00e9s csak egyszer t\u00f6rt\u00e9nik, amikor ez megt\u00f6rt\u00e9nik. Ez egy m\u00e9ly gondolat, de el\u00e9g egyszer\u0171 m\u00e9g a kezd\u0151 programoz\u00f3k sz\u00e1m\u00e1ra is. Val\u00f3sz\u00edn\u0171leg nem besz\u00e9lhetek a munka relevanci\u00e1j\u00e1r\u00f3l m\u00e1sok sz\u00e1m\u00e1ra, de azonnal siker\u00fclt alkalmaznom ezt a b\u00f6lcsess\u00e9get a szem\u00e9lyes \u00e9s a szakmai k\u00f3demben is. A TAOCP k\u00f6nyv tele van ilyen gy\u00f6ngyszemekkel (a tisztess\u00e9g kedv\u00e9\u00e9rt, sok furcsa dolog is akad benne, \u00fagy mint bubor\u00e9krendez\u00e9s<\/a><\/noindex>).<\/p>\n

      \u201eKeres\u00e9s, keres\u00e9s
      \nOly sok\u00e1ig
      \nKeres\u00e9s, keres\u00e9s
      \nCsak t\u00e1ncolni akartam\u201d<\/i>
      \n\u2014 Luther Vandross, \u201eKeres\u00e9s\u201d (1980)<\/p><\/blockquote>\n

      <\/p>\n

      El\u00edr\u00e1s \u21162<\/h1>\n

      \nA m\u00e1sodik el\u00edr\u00e1s a 4A k\u00f6tetben, az \"\u00d6sszetett algoritmusok\", 1. r\u00e9sz 60. oldal\u00e1n tal\u00e1lhat\u00f3, ahol a komikusok k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 kaszin\u00f3kban val\u00f3 fell\u00e9p\u00e9s\u00e9nek tervez\u00e9s\u00e9r\u0151l van sz\u00f3. P\u00e9ldak\u00e9nt n\u00e9h\u00e1ny val\u00f3s komikus ker\u00fcl eml\u00edt\u00e9sre, k\u00f6zt\u00fck Lily Tomlin, Weird Al Yankovic \u00e9s Robin Williams, aki m\u00e9g \u00e9lt, amikor a k\u00f6nyv megjelent. Knuth mindig az teljes neveket t\u00fcnteti fel a mutat\u00f3ban, ez\u00e9rt Williams a 882. oldalon \"Williams, Robin McLaurin\" n\u00e9ven van eml\u00edtve. Azonban a m\u00e1sodik neve \"n\"-nel v\u00e9gz\u0151dik, nem \"m\"-mel, teh\u00e1t McLaurin.<\/p>\n

      McLaurin az \u00e9desanyja saj\u00e1t neve. \u0150 Anselm Joseph McLaurin \u00fckunok\u00e1ja volt, Mississippi 34. korm\u00e1nyz\u00f3ja. A korm\u00e1nyz\u00f3s\u00e1ga l\u00e1that\u00f3an nem maradt meg j\u00f3 eml\u00e9kekben. A k\u00f6nyvb\u0151l \"Mississippi: t\u00f6rt\u00e9nelem\"<\/a><\/noindex>:<\/p>\n

      \"A legfontosabb esem\u00e9ny McLaurin adminisztr\u00e1ci\u00f3ja alatt az Egyes\u00fclt \u00c1llamok Spanyolorsz\u00e1ggal val\u00f3 h\u00e1bor\u00faj\u00e1nak kihirdet\u00e9se volt 1898 tavasz\u00e1n... Sajnos, a h\u00e1bor\u00fa val\u00f3sz\u00edn\u0171leg lehet\u0151s\u00e9get adott n\u00e9h\u00e1ny \u00e1llami tisztvisel\u0151nek a korrupci\u00f3ra. McLaurint k\u00fcl\u00f6nf\u00e9le k\u00e9tes gyakorlatokban v\u00e1dolt\u00e1k, bele\u00e9rtve a nepotizmust \u00e9s a kegyelmi jogok t\u00falzott haszn\u00e1lat\u00e1t. A szeszfogyaszt\u00e1s\u00e9rt b\u00edr\u00e1lta a korm\u00e1nyz\u00f3t a m\u00e9rt\u00e9kletess\u00e9g\u00e9rt folytatott mozgalom idej\u00e9n, amit nyilv\u00e1nosan elismert.<\/i><\/p><\/blockquote>\n

      <\/p>\n

      T\u00f6rt\u00e9nelmi hiba<\/h1>\n

      \nLet's consider hagyom\u00e1nyos szorz\u00e1si algoritmus<\/b> az iskolai tananyagban. H\u00e1ny egyszer\u0171 egyes szorz\u00e1sra van sz\u00fcks\u00e9ge? Tegy\u00fck fel, hogy \u00d6n a k\u00f6vetkez\u0151 sz\u00e1mokat szorozza \"Knut-jegy\u0171 sz\u00e1m \"Knut Gyorsan eml\u00e9kezz\u00fcnk vissza, hogyan m\u0171k\u00f6dik a modul\u00e1ris aritmetika. Az \u00f3ra m\u00e1r egy ismert koncepci\u00f3. Az \u00f3r\u00e1k haszn\u00e1lata \"Knut-jegy\u0171 \"Knut. El\u0151sz\u00f6r megszorozza az els\u0151 sz\u00e1mjegyet \"Knut minden sz\u00e1mjeggyel \"Knut egym\u00e1s ut\u00e1n. Ezut\u00e1n megszorozza a m\u00e1sodik sz\u00e1mjegyet \"Knut minden sz\u00e1mjeggyel \"Knut egym\u00e1s ut\u00e1n, \u00e9s \u00edgy tov\u00e1bb, am\u00edg v\u00e9gig nem halad minden sz\u00e1mjegyen \"Knut. \u00cdgy a hagyom\u00e1nyos szorz\u00e1s \"Knut primit\u00edv szorz\u00e1sokat ig\u00e9nyel. K\u00fcl\u00f6n\u00f6sen, ha k\u00e9t sz\u00e1mot szorzunk a \"Knut jegyek szerint, az \"Knut egyszer\u0171 egyes szorz\u00e1sra van sz\u00fcks\u00e9g.<\/p>\n

      Ez rossz, de optimaliz\u00e1lhat\u00f3 egy Anatolij A. Karacuba szovjet matematikus \u00e1ltal kidolgozott m\u00f3dszerrel. Tegy\u00fck fel, hogy \"Knut \u00e9s \"Knut\u00a0- k\u00e9tjegy\u0171 t\u00edzes sz\u00e1mok; azaz l\u00e9teznek sz\u00e1mok \"Knut, \"Knut, \"Knut, \"Knut \u00fagy, hogy \"Knut \u00e9s \"Knut (ennek az algoritmusnak a nagyobb sz\u00e1mokra val\u00f3 kiterjeszt\u00e9se bizonyos manipul\u00e1ci\u00f3kat k\u00f6vetel meg; b\u00e1r ez nem t\u00fal bonyolult, hogy ne t\u00e9vedjek a r\u00e9szletekben, ink\u00e1bb egyszer\u0171 p\u00e9ld\u00e1kra hagyatkozom). Akkor \"Knut, \"Knut, \"Knut. K\u00e9t tag\u00fa szorz\u00e1s adja \"Knut. Jelenleg m\u00e9g mindig \"Knut egyszer\u0171 egyes szorz\u00e1saink vannak: \"Knut, \"Knut, \"Knut, \"Knut. Most \u00f6sszeadjuk \u00e9s kivonjuk. \"Knut. Miut\u00e1n n\u00e9h\u00e1ny \u00e1trendez\u00e9st hajtottam v\u00e9gre, amelyet az olvas\u00f3ra b\u00edzok, \u00edgy j\u00f6n ki \"Knut\u00a0\u2014 mind\u00f6ssze h\u00e1rom egysoros szorz\u00e1s! (Vannak bizonyos \u00e1lland\u00f3 t\u00e9nyez\u0151k, de ezek csak \u00f6sszead\u00e1ssal \u00e9s sz\u00e1mjegyek eltol\u00e1s\u00e1val sz\u00e1molhat\u00f3k ki).<\/p>\n

      Ne k\u00e9rj bizony\u00edt\u00e9kot, de a Karatsuba algoritmus<\/b> (rekurz\u00edvan az el\u0151z\u0151 p\u00e9lda alapj\u00e1n \u00e1ltal\u00e1nos\u00edtva) jav\u00edtja a hagyom\u00e1nyos szorz\u00e1si m\u00f3dszert \"Knut m\u0171veletre cs\u00f6kkentve \"Knut. Ne feledje, hogy ez a t\u00e9nyleges algoritmusjav\u00edt\u00e1s, nem egyszer\u0171s\u00edt\u00e9s, amely a ment\u00e1lis sz\u00e1m\u00edt\u00e1sokra vonatkozik. Val\u00f3j\u00e1ban az algoritmus nem alkalmas ment\u00e1lis sz\u00e1mt\u00e1sra, mivel nagyobb k\u00f6lts\u00e9gvet\u00e9st ig\u00e9nyel a rekurz\u00edv m\u0171veletekhez. Ezenk\u00edv\u00fcl a hat\u00e1s csak akkor jelentkezik teljes m\u00e9rt\u00e9kben, ha a sz\u00e1mok el\u00e9g nagyokk\u00e1 v\u00e1lnak (szerencs\u00e9re a Karatsuba algoritmus\u00e1n k\u00edv\u00fcl m\u00e9g gyorsabb m\u00f3dszerek is megjelentek: 2019 m\u00e1rcius\u00e1ban olyan algoritmust publik\u00e1ltak, amely mind\u00f6ssze n log n<\/i><\/a><\/noindex> szorz\u00e1st ig\u00e9nyel; a gyors\u00edt\u00e1s csak elk\u00e9pzelhetetlen\u00fcl nagy sz\u00e1mokra \u00e9rv\u00e9nyes).<\/p>\n

      Ezt az algoritmust a \u201eKombin\u00e1ci\u00f3s algoritmusok\u201d m\u00e1sodik k\u00f6tet\u00e9nek 295. oldal\u00e1n \u00edrj\u00e1k le. Ott Knuth azt \u00edrja: \u201e\u00c9rdekes, hogy ezt az \u00f6tletet csak 1962<\/b> ben fedezt\u00e9k fel\u201d, amikor megjelent a Karatsuba algoritmust le\u00edr\u00f3 cikk. De! 1995-ben Karatsuba megjelentetett egy cikket \u201eA sz\u00e1m\u00edt\u00e1si bonyolults\u00e1g\u201d c\u00edmmel, amelyben t\u00f6bb dolgot mond: 1) k\u00f6r\u00fclbel\u00fcl 1956-ban Kolmogorov felt\u00e9telezte, hogy a szorz\u00e1s nem v\u00e9gezhet\u0151 el kevesebb, mint \"Knut l\u00e9p\u00e9s; 2)\u00a0ben Karatsuba r\u00e9szt vett egy szemin\u00e1riumon, ahol Kolmogorov bemutatta n\u00b2 hipot\u00e9zis\u00e9t. 3) \u201ePont egy h\u00e9ttel k\u00e9s\u0151bb\u201d Karatsuba kidolgozta a \u201eoszd meg \u00e9s uralkodj\u201d algoritmust; 4) 1962-ben Kolmogorov \u00edrt \u00e9s publik\u00e1lt egy cikket 1960<\/b> Karatsuba nev\u00e9ben az algoritmus le\u00edr\u00e1s\u00e1val. \u201eErr\u0151l a cikkr\u0151l csak azut\u00e1n \u00e9rtes\u00fcltem, hogy \u00fajra kinyomtatt\u00e1k\u201d.<\/i> \u00cdgy a hiba abban rejlik, hogy nem<\/p>\n

      kellett volna megadni a 1962<\/i> \u00e9vet. Ennyi az eg\u00e9sz. 1960<\/i> A hib\u00e1k keres\u00e9se nem ig\u00e9nyelt k\u00fcl\u00f6n\u00f6sebb mesters\u00e9get.<\/p>\n

      Elemz\u00e9s<\/h1>\n

      \nAz els\u0151 hiba annyira trivi\u00e1lis volt, amennyire csak lehet, \u00e9s viszonylag j\u00f3l l\u00e1that\u00f3 helyen volt (a fejezet elej\u00e9n). B\u00e1rmelyik idi\u00f3ta megtal\u00e1lta volna; csak \u00e9n voltam az az idi\u00f3ta.<\/b><\/p>\n

        \n
      1. Az els\u0151 hiba annyira ban\u00e1lis volt, amennyire csak lehets\u00e9ges, \u00e9s egy viszonylag j\u00f3l l\u00e1that\u00f3 helyen volt (a fejezet elej\u00e9n). B\u00e1rmelyik idi\u00f3ta megtal\u00e1lta volna; csak \u00e9ppen \u00e9n voltam az a idi\u00f3ta.\n<\/li>\n
      2. A m\u00e1sodik hiba keres\u00e9se n\u00e9mi szerencs\u00e9t \u00e9s szorgalmat ig\u00e9nyelt, de nem k\u00fcl\u00f6n\u00f6sebb tud\u00e1st. A \"Williams\" indexe a k\u00f6tet utols\u00f3 el\u0151tti oldal\u00e1n tal\u00e1lhat\u00f3, ami a k\u00f6nyv meglehet\u0151sen figyelemfelkelt\u0151 r\u00e9sze. \u00c9ppen az indexet lapozgattam (ez nem olyan sajn\u00e1latos, mint amilyennek t\u0171nik, mert Knuth indexeiben sok toj\u00e1skeres\u00e9s rejt\u0151zik. P\u00e9ld\u00e1ul arab \u00e9s h\u00e9ber bejegyz\u00e9sek is vannak, amelyek mindkett\u0151 a 66. oldalra mutatnak. De ezen az oldalon egyik nyelv sem eml\u00edt\u00e9sre ker\u00fcl; ink\u00e1bb \"jobbr\u00f3l balra olvasott nyelvek\" szerepelnek). A m\u00e1sodik n\u00e9v felkeltette a figyelmemet. Mivel \u00e1ltal\u00e1ban a Wikip\u00e9di\u00e1t olvasom, ellen\u0151riztem Robin Williams nev\u00e9t, \u00e9s ellentmond\u00e1st vettem \u00e9szre.\n<\/li>\n
      3. B\u00e1rcsak azt mondhatn\u00e1m, hogy komoly kutat\u00e1st v\u00e9geztem, hogy megtal\u00e1ljam a t\u00f6rt\u00e9nelmi hib\u00e1t, de val\u00f3j\u00e1ban csak r\u00e1n\u00e9ztem a Karatsuba algoritmusr\u00f3l sz\u00f3l\u00f3 Wikip\u00e9dia oldalra.<\/a><\/noindex>Az els\u0151 sorokban az \u00e1ll: \"A Karatsuba algoritmus egy gyors szorz\u00e1si algoritmus. Anatolij Karatsuba fedezte fel 1960-ban, \u00e9s publik\u00e1lta 1962-ben.\" Ezt k\u00f6vet\u0151en m\u00e1r csak \u00f6ssze kellett adnom kett\u0151t kett\u0151vel.<\/li>\n<\/ol>\n

        \nA j\u00f6v\u0151ben szeretn\u00e9k tal\u00e1lni egy komolyabb hib\u00e1t, k\u00fcl\u00f6n\u00f6sen Knuth k\u00f3dj\u00e1t tekintve. Azt is szeretn\u00e9m, ha tal\u00e1ln\u00e9k egy hib\u00e1t a \u201eFundament\u00e1lis algoritmusok\u201d els\u0151 k\u00f6tet\u00e9ben. Tal\u00e1n tal\u00e1ln\u00e9k is, de a helyi k\u00f6nyvt\u00e1rban valami\u00e9rt csak a 2., 3. \u00e9s 4A k\u00f6tetek tal\u00e1lhat\u00f3k.<\/p>\n

        P\u00e9nz\u00fcgyi t\u00e9nyek:<\/b><\/p>\n