Selamat sore.
Saya telah menghabiskan beberapa tahun terakhir untuk meneliti dan membuat berbagai algoritma untuk pemrosesan sinyal spasial dalam susunan antena adaptif, dan terus melakukannya sebagai bagian dari pekerjaan saya saat ini. Di sini saya ingin berbagi pengetahuan dan trik yang saya temukan sendiri. Saya harap ini bermanfaat bagi orang-orang yang mulai mempelajari bidang pemrosesan sinyal ini atau mereka yang hanya tertarik.
Apa itu susunan antena adaptif?
– ini adalah sekumpulan elemen antena yang ditempatkan di ruang angkasa dengan cara tertentu. Struktur sederhana dari susunan antena adaptif, yang akan kita pertimbangkan, dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut:
Susunan antena adaptif sering disebut antena “pintar” (). Apa yang membuat susunan antena “pintar” adalah unit pemrosesan sinyal spasial dan algoritma yang diterapkan di dalamnya. Algoritme ini menganalisis sinyal yang diterima dan membentuk sekumpulan koefisien pembobotan $inline$w_1…w_N$inline$, yang menentukan amplitudo dan fase awal sinyal untuk setiap elemen. Distribusi fase amplitudo yang diberikan menentukan seluruh kisi secara keseluruhan. Kemampuan untuk mensintesis pola radiasi dari bentuk yang diperlukan dan mengubahnya selama pemrosesan sinyal adalah salah satu fitur utama susunan antena adaptif, yang memungkinkan penyelesaian berbagai masalah. . Tapi hal pertama yang pertama.
Bagaimana pola radiasi terbentuk?
mencirikan kekuatan sinyal yang dipancarkan ke arah tertentu. Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa elemen kisi bersifat isotropik, yaitu. untuk masing-masingnya, kekuatan sinyal yang dipancarkan tidak bergantung pada arahnya. Amplifikasi atau redaman daya yang dipancarkan kisi pada arah tertentu diperoleh karena Gelombang elektromagnetik dipancarkan oleh berbagai elemen susunan antena. Pola interferensi yang stabil untuk gelombang elektromagnetik hanya mungkin terjadi jika gelombang tersebut , yaitu. perbedaan fase sinyal tidak boleh berubah seiring waktu. Idealnya, setiap elemen susunan antena harus memancarkan radiasi pada frekuensi operator yang sama $inline$f_{0}$inline$. Namun, dalam praktiknya kita harus bekerja dengan sinyal pita sempit yang memiliki spektrum lebar terbatas $inline$Delta f << f_{0}$inline$.
Biarkan semua elemen AR memancarkan sinyal yang sama $baris$x_n(t)=u(t)$baris$. Lalu seterusnya di penerima, sinyal yang diterima dari elemen ke-n dapat direpresentasikan dalam membentuk:
$$tampilan$$a_n(t) = u(t-tau_n)e^{i2pi f_0(t-tau_n)}$$tampilan$$
dimana $inline$tau_n$inline$ adalah penundaan propagasi sinyal dari elemen antena ke titik penerima.
Sinyal seperti itu adalah "kuasi-harmonik", dan untuk memenuhi kondisi koherensi, penundaan maksimum dalam rambat gelombang elektromagnetik antara dua elemen mana pun harus jauh lebih kecil daripada waktu karakteristik perubahan dalam selubung sinyal $inline$T$inline$, yaitu. $sebaris$u(t-tau_n) ≈ u(t-tau_m)$sebaris$. Dengan demikian, kondisi koherensi sinyal pita sempit dapat dituliskan sebagai berikut:
$$display$$T≈frac{1}{Delta f}>>frac{D_{max}}{c}=max(tau_k-tau_m) $$display$$
di mana $inline$D_{max}$inline$ adalah jarak maksimum antara elemen AR, dan $inline$с$inline$ adalah kecepatan cahaya.
Ketika sinyal diterima, penjumlahan koheren dilakukan secara digital di unit pemrosesan spasial. Dalam hal ini, nilai kompleks sinyal digital pada keluaran blok ini ditentukan oleh ekspresi:
$$display$$y=jumlah_{n=1}^Nw_n^*x_n$$display$$
Lebih mudah untuk merepresentasikan ekspresi terakhir dalam bentuk Vektor kompleks berdimensi n dalam bentuk matriks:
$$display$$y=(textbf{w},textbf{x})=textbf{w}^Htextbf{x}$$display$$
dimana w и x adalah vektor kolom, dan $inline$(.)^H$inline$ adalah operasinya .
Representasi vektor dari sinyal adalah salah satu representasi dasar ketika bekerja dengan susunan antena, karena sering kali memungkinkan Anda menghindari perhitungan matematis yang rumit. Selain itu, mengidentifikasi sinyal yang diterima pada titik waktu tertentu dengan vektor sering kali memungkinkan seseorang untuk mengabstraksi sistem fisik nyata dan memahami apa yang sebenarnya terjadi dari sudut pandang geometri.
Untuk menghitung pola radiasi susunan antena, Anda perlu “meluncurkan” serangkaian antena secara mental dan berurutan dari segala arah yang memungkinkan. Dalam hal ini, nilai elemen vektor x dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut:
$$display$$x_n=s_n=exp{-i(textbf{k}(phi,theta),textbf{r}_n)}$$display$$
dimana k - , $inline$phi$inline$ dan $inline$theta$inline$ – и , mencirikan arah datangnya gelombang bidang, $inline$textbf{r}_n$inline$ adalah koordinat elemen antena, $inline$s_n$inline$ adalah elemen vektor pentahapan s gelombang bidang dengan vektor gelombang k (dalam literatur Inggris, vektor pentahapan disebut vektor steerage). Ketergantungan amplitudo kuadrat kuantitas y from $inline$phi$inline$ dan $inline$theta$inline$ menentukan pola radiasi susunan antena untuk penerimaan vektor koefisien bobot tertentu w.
Fitur pola radiasi susunan antena
Akan lebih mudah untuk mempelajari sifat umum pola radiasi susunan antena pada susunan antena linier yang berjarak sama pada bidang horizontal (yaitu, polanya hanya bergantung pada sudut azimut $inline$phi$inline$). Nyaman dari dua sudut pandang: perhitungan analitis dan presentasi visual.
Mari kita hitung DN untuk vektor berat satuan ($inline$w_n=1, n = 1 ... N$inline$), mengikuti penjelasan yang dijelaskan mendekati.
Matematika di sini
Proyeksi vektor gelombang ke sumbu vertikal: $inline$k_v=-frac{2pi}{lambda}sinphi$inline$
Koordinat vertikal elemen antena dengan indeks n: $inline$r_{nv}=(n-1)d$inline$
Di sini d – periode susunan antena (jarak antara elemen yang berdekatan), λ — panjang gelombang. Semua elemen vektor lainnya r sama dengan nol.
Sinyal yang diterima oleh susunan antena dicatat dalam bentuk berikut:
$$display$$y=jumlah_{n=1}^{N}1 ⋅exp{i2pi nfrac{d}{lambda}sinphi}$$display$$
Mari kita terapkan rumusnya и :
$$display$$y=frac{1-exp{i2pi Nfrac{d}{lambda}sinphi}}{1-exp{i2pi frac{d}{lambda}sinphi}}=frac{sin(pi frac{Nd} {lambda}sinphi)}{sin(pi frac{d}{lambda}sinphi)}exp{ipi frac{d(N-1)}{lambda}sinphi}$$display$$
Hasilnya kita mendapatkan:
$$display$$F(phi)=|y|^2=frac{sin^2(pi frac{Nd}{lambda}sinphi)}{sin^2(pi frac{d}{lambda}sinphi)} $ $tampilan$$
Frekuensi pola radiasi
Pola radiasi susunan antena yang dihasilkan merupakan fungsi periodik sinus sudut. Artinya pada nilai rasio tertentu d/λ ia memiliki difraksi (tambahan) maksimal.
Pola radiasi susunan antena yang tidak terstandarisasi untuk N = 5
Pola radiasi susunan antena yang dinormalisasi untuk N = 5 dalam sistem koordinat kutub
Posisi “detektor difraksi” dapat dilihat langsung dari untuk DN. Namun, kami akan mencoba memahami dari mana asalnya secara fisik dan geometris (dalam ruang berdimensi N).
Item vektor s adalah eksponen kompleks $inline$e^{iPsi n}$inline$, yang nilainya ditentukan oleh nilai sudut umum $inline$Psi = 2pi frac{d}{lambda}sinphi$inline$. Jika ada dua sudut umum yang berhubungan dengan arah kedatangan gelombang bidang yang berbeda, dengan $inline$Psi_1 = Psi_2 + 2pi m$inline$, maka ini berarti dua hal:
- Secara fisik: muka gelombang bidang yang datang dari arah ini menginduksi distribusi fase amplitudo osilasi elektromagnetik yang identik pada elemen susunan antena.
- Secara geometris: karena kedua arah ini bertepatan.
Arah kedatangan gelombang yang dihubungkan dengan cara ini adalah setara dari sudut pandang susunan antena dan tidak dapat dibedakan satu sama lain.
Bagaimana cara menentukan luas sudut yang selalu berada pada satu maksimum utama DP? Mari kita lakukan ini di sekitar azimuth nol dari pertimbangan berikut: besarnya pergeseran fasa antara dua elemen yang berdekatan harus berada dalam kisaran dari $inline$-pi$inline$ hingga $inline$pi$inline$.
$$display$$-pi<2pifrac{d}{lambda}sinphi
Menyelesaikan pertidaksamaan tersebut, diperoleh kondisi wilayah keunikan di sekitar nol:
$$tampilan$$|sinphi|
Terlihat bahwa besar kecilnya daerah keunikan sudut bergantung pada relasinya d/λ. Jika d = 0.5λ, maka setiap arah datangnya sinyal bersifat “individu”, dan wilayah keunikannya mencakup seluruh sudut. Jika d = 2.0λ, maka arah 0, ±30, ±90 ekuivalen. Lobus difraksi muncul pada pola radiasi.
Biasanya, lobus difraksi dicari untuk ditekan menggunakan elemen antena pengarah. Dalam hal ini, pola radiasi lengkap susunan antena merupakan hasil kali pola satu elemen dan susunan elemen isotropik. Parameter pola suatu elemen biasanya dipilih berdasarkan kondisi wilayah ketidakjelasan susunan antena.
Lebar lobus utama
rumus teknik untuk memperkirakan lebar lobus utama suatu sistem antena: $inline$Delta phi ≈ frac{lambda}{D}$inline$, dengan D adalah ukuran karakteristik antena. Rumusnya digunakan untuk berbagai jenis antena, termasuk antena cermin. Mari kita tunjukkan bahwa ini juga berlaku untuk susunan antena.
Mari kita tentukan lebar lobus utama dengan angka nol pertama dari pola di sekitar maksimum utama. Pembilang untuk $inline$F(phi)$inline$ hilang ketika $inline$sinphi=mfrac{lambda}{dN}$inline$. Angka nol pertama berhubungan dengan m = ±1. $inline$frac{lambda}{dN}<<1$inline$ kita mendapatkan $inline$Delta phi = 2frac{lambda}{dN}$inline$.
Biasanya, lebar pola directivity antena ditentukan oleh tingkat setengah daya (-3 dB). Dalam hal ini, gunakan ekspresi:
$$display$$Delta phi≈0.88frac{lambda}{dN}$$display$$
Contoh
Lebar lobus utama dapat dikontrol dengan menetapkan nilai amplitudo yang berbeda untuk koefisien bobot susunan antena. Mari kita pertimbangkan tiga distribusi:
- Distribusi amplitudo seragam (bobot 1): $inline$w_n=1$inline$.
- Nilai amplitudo menurun ke arah tepi kisi (bobot 2): $inline$w_n=0.5+0.3cos(2pifrac{n-1}{N}-pifrac{N-1}{N})$inline$
- Nilai amplitudo meningkat ke arah tepi kisi (bobot 3): $inline$w_n=0.5-0.3cos(2pifrac{n-1}{N}-pifrac{N-1}{N})$inline$
Gambar tersebut menunjukkan pola radiasi normalisasi yang dihasilkan pada skala logaritmik:
Tren berikut dapat ditelusuri dari gambar: distribusi amplitudo koefisien bobot yang menurun ke arah tepi kisi menyebabkan perluasan lobus utama pola, tetapi penurunan tingkat lobus samping. Nilai amplitudo yang meningkat ke arah tepi susunan antena, sebaliknya, menyebabkan penyempitan lobus utama dan peningkatan level lobus samping. Akan lebih mudah untuk mempertimbangkan pembatasan kasus di sini:
- Amplitudo koefisien bobot semua elemen kecuali elemen ekstrim adalah nol. Bobot elemen terluar sama dengan satu. Dalam hal ini, kisi menjadi setara dengan AR dua elemen dengan suatu periode D = (N-1)d. Tidak sulit memperkirakan lebar kelopak utama menggunakan rumus di atas. Dalam hal ini, dinding samping akan berubah menjadi maksimum difraksi dan sejajar dengan maksimum utama.
- Berat elemen pusat sama dengan satu, dan semua elemen lainnya sama dengan nol. Dalam hal ini, kami pada dasarnya menerima satu antena dengan pola radiasi isotropik.
Arah maksimum utama
Jadi, kami melihat bagaimana Anda dapat menyesuaikan lebar lobus utama AP AP. Sekarang mari kita lihat bagaimana mengarahkan arahnya. Mari kita ingat untuk sinyal yang diterima. Mari kita ingin pola radiasi maksimum terlihat ke arah tertentu $inline$phi_0$inline$. Artinya daya maksimum harus diterima dari arah ini. Arah ini sesuai dengan vektor pentahapan $inline$textbf{s}(phi_0)$inline$ di N-ruang vektor berdimensi, dan daya yang diterima didefinisikan sebagai kuadrat produk skalar dari vektor pentahapan ini dan vektor koefisien bobot w. Hasil kali skalar dua buah vektor adalah maksimum ketika keduanya , yaitu. $inline$textbf{w}=beta textbf{s}(phi_0)$inline$, di mana β – beberapa faktor normalisasi. Jadi, jika kita memilih vektor bobot yang sama dengan vektor pentahapan untuk arah yang diperlukan, kita akan memutar pola radiasi maksimum.
Pertimbangkan faktor bobot berikut sebagai contoh: $inline$textbf{w}=textbf{s}(10°)$inline$
$$display$$w_n=exp{i2pifrac{d}{lambda}(n-1)sin(10pi/180)}$$display$$
Hasilnya, diperoleh pola radiasi dengan maksimum utama pada arah 10°.
Sekarang kami menerapkan koefisien bobot yang sama, tetapi tidak untuk penerimaan sinyal, tetapi untuk transmisi. Perlu dipertimbangkan di sini bahwa ketika sinyal ditransmisikan, arah vektor gelombang berubah ke arah sebaliknya. Artinya unsur-unsurnya untuk penerimaan dan transmisi mereka berbeda dalam tanda eksponen, yaitu. saling berhubungan melalui konjugasi kompleks. Hasilnya, kita memperoleh pola radiasi maksimum untuk transmisi pada arah -10°, yang tidak bertepatan dengan pola radiasi maksimum untuk penerimaan dengan koefisien bobot yang sama. terapkan juga konjugasi kompleks pada koefisien bobot.
Fitur yang dijelaskan tentang pembentukan pola penerimaan dan transmisi harus selalu diingat ketika bekerja dengan susunan antena.
Mari bermain dengan pola radiasi
Beberapa titik tertinggi
Mari kita menetapkan tugas membentuk dua maksimum utama pola radiasi dalam arah: -5° dan 10°. Untuk melakukan ini, kita memilih sebagai vektor bobot jumlah tertimbang dari vektor pentahapan untuk arah yang sesuai.
$$display$$textbf{w} = betatextbf{s}(10°)+(1-beta)textbf{s}(-5°)$$display$$
Menyesuaikan rasio β Anda dapat mengatur perbandingan antara kelopak utama. Di sini sekali lagi akan lebih mudah untuk melihat apa yang terjadi dalam ruang vektor. Jika β lebih besar dari 0.5, maka vektor koefisien bobotnya mendekati s(10°), jika tidak s(-5°). Semakin dekat vektor bobot ke salah satu fasor, semakin besar hasil kali skalar yang bersesuaian, dan oleh karena itu, nilai DP maksimum yang sesuai.
Namun, perlu diingat bahwa kedua kelopak utama memiliki lebar yang terbatas, dan jika kita ingin menyelaraskan ke dua arah yang berdekatan, maka kelopak ini akan bergabung menjadi satu, berorientasi ke arah tengah tertentu.
Satu maksimum dan nol
Sekarang mari kita coba mengatur pola radiasi maksimum ke arah $inline$phi_1=10°$inline$ dan pada saat yang sama menekan sinyal yang datang dari arah $inline$phi_2=-5°$inline$. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengatur DN nol untuk sudut yang sesuai. Anda dapat melakukannya sebagai berikut:
$$display$$textbf{w}=textbf{s}_1-frac{textbf{s}_2^Htextbf{s}_1}{N}textbf{s}_2$$display$$
dimana $inline$textbf{s}_1 = textbf{s}(10°)$inline$, dan $inline$textbf{s}_2 = textbf{s}(-5°)$inline$.
Arti geometris dari pemilihan vektor bobot adalah sebagai berikut. Kami menginginkan vektor ini w memiliki proyeksi maksimum ke $inline$textbf{s}_1$inline$ dan pada saat yang sama ortogonal terhadap vektor $inline$textbf{s}_2$inline$. Vektor $inline$textbf{s}_1$inline$ dapat direpresentasikan sebagai dua suku: vektor kolinear $inline$textbf{s}_2$inline$ dan vektor ortogonal $inline$textbf{s}_2$inline$. Untuk memenuhi rumusan masalah, perlu memilih komponen kedua sebagai vektor koefisien pembobotan w. Komponen collinear dapat dihitung dengan memproyeksikan vektor $inline$textbf{s}_1$inline$ ke vektor yang dinormalisasi $inline$frac{textbf{s}_2}{sqrt{N}}$inline$ menggunakan produk skalar.
$$display$$textbf{s}_{1||}=frac{textbf{s}_2}{sqrt{N}}frac{textbf{s}_2^Htextbf{s}_1}{sqrt{N}} $$tampilan$$
Oleh karena itu, dengan mengurangkan komponen collinearnya dari vektor pentahapan asli $inline$textbf{s}_1$inline$, kita memperoleh vektor bobot yang diperlukan.
Beberapa catatan tambahan
- Di mana pun di atas, saya menghilangkan masalah normalisasi vektor bobot, yaitu. panjangnya. Jadi, normalisasi vektor bobot tidak mempengaruhi karakteristik pola radiasi susunan antena: arah maksimum utama, lebar lobus utama, dll. Dapat juga ditunjukkan bahwa normalisasi ini tidak mempengaruhi SNR pada keluaran unit pengolah spasial. Dalam hal ini, ketika mempertimbangkan algoritma pemrosesan sinyal spasial, kami biasanya menerima normalisasi satuan dari vektor bobot, yaitu. $inline$textbf{w}^Htextbf{w}=1$inline$
- Kemungkinan terbentuknya suatu pola susunan antena ditentukan oleh jumlah elemen N. Semakin banyak elemen, semakin luas kemungkinannya. Semakin banyak derajat kebebasan saat menerapkan pemrosesan bobot spasial, semakin banyak opsi untuk “memutar” vektor bobot dalam ruang berdimensi N.
- Saat menerima pola radiasi, susunan antena tidak ada secara fisik, dan semua ini hanya ada dalam “imajinasi” unit komputasi yang memproses sinyal. Ini berarti bahwa pada saat yang sama dimungkinkan untuk mensintesis beberapa pola dan secara mandiri memproses sinyal yang datang dari arah yang berbeda. Dalam hal transmisi, semuanya menjadi lebih rumit, tetapi dimungkinkan juga untuk mensintesis beberapa DN untuk mengirimkan aliran data yang berbeda. Teknologi dalam sistem komunikasi ini disebut .
- Dengan menggunakan kode matlab yang disajikan, Anda dapat bermain-main dengan DN sendiri
kode% antenna array settings N = 10; % number of elements d = 0.5; % period of antenna array wLength = 1; % wavelength mode = 'receiver'; % receiver or transmitter % weights of antenna array w = ones(N,1); % w = 0.5 + 0.3*cos(2*pi*((0:N-1)-0.5*(N-1))/N).'; % w = 0.5 - 0.3*cos(2*pi*((0:N-1)-0.5*(N-1))/N).'; % w = exp(2i*pi*d/wLength*sin(10/180*pi)*(0:N-1)).'; % b = 0.5; w = b*exp(2i*pi*d/wLength*sin(+10/180*pi)*(0:N-1)).' + (1-b)*exp(2i*pi*d/wLength*sin(-5/180*pi)*(0:N-1)).'; % b = 0.5; w = b*exp(2i*pi*d/wLength*sin(+3/180*pi)*(0:N-1)).' + (1-b)*exp(2i*pi*d/wLength*sin(-3/180*pi)*(0:N-1)).'; % s1 = exp(2i*pi*d/wLength*sin(10/180*pi)*(0:N-1)).'; % s2 = exp(2i*pi*d/wLength*sin(-5/180*pi)*(0:N-1)).'; % w = s1 - (1/N)*s2*s2'*s1; % w = s1; % normalize weights w = w./sqrt(sum(abs(w).^2)); % set of angle values to calculate pattern angGrid_deg = (-90:0.5:90); % convert degree to radian angGrid = angGrid_deg * pi / 180; % calculate set of steerage vectors for angle grid switch (mode) case 'receiver' s = exp(2i*pi*d/wLength*bsxfun(@times,(0:N-1)',sin(angGrid))); case 'transmitter' s = exp(-2i*pi*d/wLength*bsxfun(@times,(0:N-1)',sin(angGrid))); end % calculate pattern y = (abs(w'*s)).^2; %linear scale plot(angGrid_deg,y/max(y)); grid on; xlim([-90 90]); % log scale % plot(angGrid_deg,10*log10(y/max(y))); % grid on; % xlim([-90 90]);
Masalah apa yang dapat diselesaikan dengan menggunakan susunan antena adaptif?
Penerimaan optimal dari sinyal yang tidak diketahuiJika arah datangnya sinyal tidak diketahui (dan jika saluran komunikasinya multipath, umumnya ada beberapa arah), maka dengan menganalisis sinyal yang diterima oleh susunan antena, dimungkinkan untuk membentuk vektor bobot yang optimal. w sehingga SNR pada keluaran unit pengolah spasial menjadi maksimal.
Penerimaan sinyal optimal terhadap kebisingan latar belakangDi sini masalahnya diajukan sebagai berikut: parameter spasial dari sinyal berguna yang diharapkan diketahui, tetapi terdapat sumber gangguan di lingkungan eksternal. SINR pada keluaran AP perlu dimaksimalkan, sebisa mungkin meminimalkan pengaruh interferensi pada penerimaan sinyal.
Transmisi sinyal optimal kepada penggunaMasalah ini diselesaikan dalam sistem komunikasi seluler (4G, 5G), serta Wi-Fi. Artinya sederhana: dengan bantuan sinyal pilot khusus di saluran umpan balik pengguna, karakteristik spasial saluran komunikasi dinilai, dan atas dasar itu, vektor koefisien bobot yang optimal untuk transmisi dipilih.
Multiplexing spasial aliran dataSusunan antena adaptif memungkinkan transmisi data ke beberapa pengguna secara bersamaan pada frekuensi yang sama, membentuk pola individual untuk masing-masing pengguna. Teknologi ini disebut MU-MIMO dan saat ini sedang diterapkan secara aktif (dan sudah ada di suatu tempat) dalam sistem komunikasi. Kemungkinan multiplexing spasial disediakan, misalnya, dalam standar komunikasi seluler 4G LTE, standar Wi-Fi IEEE802.11ay, dan standar komunikasi seluler 5G.
Susunan antena virtual untuk radarSusunan antena digital memungkinkan, dengan menggunakan beberapa elemen antena pemancar, untuk membentuk susunan antena virtual dengan ukuran yang jauh lebih besar untuk pemrosesan sinyal. Jaringan virtual mempunyai semua karakteristik jaringan nyata, namun membutuhkan lebih sedikit perangkat keras untuk mengimplementasikannya.
Estimasi parameter sumber radiasiSusunan antena adaptif memungkinkan pemecahan masalah memperkirakan jumlah, daya, sumber emisi radio, membangun hubungan statistik antara sinyal dari sumber yang berbeda. Keuntungan utama dari susunan antena adaptif dalam hal ini adalah kemampuannya untuk mengatasi sumber radiasi terdekat dengan resolusi super. Sumber yang jarak sudutnya kurang dari lebar lobus utama pola radiasi susunan antena (). Hal ini terutama dimungkinkan karena representasi vektor dari sinyal, model sinyal yang terkenal, serta peralatan matematika linier.
Terima kasih atas perhatian anda
Sumber: www.habr.com