Tilgangur greinarinnar er að veita byrjendum gagnafræðingum stuðning. IN Við höfum útlistað þrjár leiðir til að leysa línulega aðhvarfsjöfnu: greiningarlausn, hallafall, stochastic hallafall. Síðan fyrir greiningarlausnina notuðum við formúluna . Í þessari grein, eins og titillinn gefur til kynna, munum við réttlæta notkun þessarar formúlu eða, með öðrum orðum, við munum leiða hana sjálf.
Hvers vegna er skynsamlegt að borga sérstaka athygli á formúlunni ?
Það er með fylkisjöfnunni sem maður byrjar í flestum tilfellum að kynnast línulegri aðhvarfi. Á sama tíma eru nákvæmir útreikningar á því hvernig formúlan var fengin sjaldgæfir.
Til dæmis, í vélanámskeiðum frá Yandex, þegar nemendum er kynnt reglusetningu, er þeim boðið að nota aðgerðir frá bókasafninu læra, á meðan ekki er minnst einu orði á fylkisframsetningu reikniritsins. Það er á þessari stundu sem sumir hlustendur gætu viljað skilja þetta mál nánar - skrifaðu kóða án þess að nota tilbúnar aðgerðir. Og til að gera þetta verður þú fyrst að setja jöfnuna fram með regluspilara á fylkisformi. Þessi grein mun leyfa þeim sem vilja tileinka sér slíka færni. Byrjum.
Upphafsskilyrði
Markvísar
Við erum með margvísleg markgildi. Til dæmis gæti markvísirinn verið verð hvers konar eignar: olíu, gull, hveiti, dollara osfrv. Á sama tíma, með fjölda markvísisgilda, er átt við fjölda athugana. Slíkar athuganir gætu til dæmis verið mánaðarlegt olíuverð á árinu, það er að við verðum með 12 markgildi. Við skulum byrja að kynna nótnaskriftina. Við skulum tákna hvert gildi markvísisins sem . Alls höfum við athuganir, sem þýðir að við getum táknað athuganir okkar sem .
Regressors
Við munum gera ráð fyrir að það séu þættir sem skýra að vissu marki gildi markvísisins. Til dæmis er gengi dollars/rúbla undir sterkum áhrifum af olíuverði, seðlabankavexti o.s.frv. Slíkir þættir eru kallaðir regressors. Á sama tíma verður hvert markvísisgildi að samsvara afturköllunargildi, það er að segja ef við höfum 12 markvísa fyrir hvern mánuð árið 2018, þá ættum við líka að hafa 12 afturköllunargildi fyrir sama tímabil. Við skulum tákna gildi hvers regressor með . Látum í okkar tilfelli vera regressors (þ.e. þættir sem hafa áhrif á markvísisgildin). Þetta þýðir að hægt er að kynna regressor okkar sem hér segir: fyrir 1. regressor (til dæmis olíuverð): , fyrir 2. regressor (til dæmis, Fed vextir): , Fyrir "-th" regressor:
Háð markvísa af regressors
Við skulum gera ráð fyrir að ósjálfstæði miða vísir frá afturgöngumönnum"th" athugun er hægt að tjá með línulegri aðhvarfsjöfnu á forminu:
hvar - "-th" regressor gildi frá 1 til ,
— fjöldi regressors frá 1 til
— hornstuðlar, sem tákna magnið sem reiknaður markvísir breytist að meðaltali um þegar afturför breytist.
Með öðrum orðum, við erum fyrir alla (nema ) á regressor við ákveðum „okkar“ stuðul , margfaldaðu síðan stuðlana með gildum regressors ""athugun, þar af leiðandi fáum við ákveðna nálgun"-th" markvísir.
Þess vegna þurfum við að velja slíka stuðla , þar sem gildi nálgunaraðgerðarinnar okkar verður staðsett eins nálægt markvísisgildum og mögulegt er.
Mat á gæðum nálgunaraðgerðarinnar
Við munum ákvarða gæðamat á nálgun fallsins með því að nota minnstu ferningsaðferðina. Gæðamatsaðgerðin í þessu tilfelli mun hafa eftirfarandi mynd:
Við þurfum að velja slík gildi af stuðlunum $w$ sem gildið fyrir verður minnstur.
Breytir jöfnunni í fylkisform
Vektor framsetning
Til að byrja með, til að gera líf þitt auðveldara, ættir þú að fylgjast með línulegu aðhvarfsjöfnunni og taka eftir því að fyrsti stuðullinn er ekki margfaldað með neinum regressor. Á sama tíma, þegar við umbreytum gögnunum í fylkisform, munu ofangreindar aðstæður torvelda útreikningana verulega. Í því sambandi er lagt til að tekinn verði upp annar afturför fyrir fyrsta stuðulinn og jafna það við einn. Eða réttara sagt, á hverjum "jafna th gildi þessa regressor við einn - þegar allt er margfaldað með einum breytist ekkert frá sjónarhóli niðurstöðu útreikninganna, en frá sjónarhóli reglna um framleiðslu fylkja, kvöl okkar mun minnka verulega.
Nú, í augnablikinu, til að einfalda efnið, skulum við gera ráð fyrir að við höfum aðeins einn "-th" athugun. Ímyndaðu þér síðan gildi regressors "-th" athuganir sem vektor . Vektor hefur vídd Það er, raðir og 1 dálkur:
Við skulum tákna nauðsynlega stuðla sem vektor , með vídd :
Línuleg aðhvarfsjafna fyrir "-th" athugun mun hafa form:
Aðgerðin til að meta gæði línulegs líkans mun taka á sig form:
Vinsamlegast athugaðu að í samræmi við reglur fylkismargföldunar þurftum við að umrita vigurinn .
Fylkisframsetning
Sem afleiðing af margföldun vigra fáum við töluna: , sem vænta má. Þessi tala er nálgun "-th" markvísir. En við þurfum nálgun á ekki bara einu markgildi, heldur þeim öllum. Til að gera þetta, skulum við skrifa niður allt "-th" regressors í fylkissniði . Fylki sem myndast hefur víddina :
Nú mun línulega aðhvarfsjöfnan taka á sig form:
Við skulum tákna gildi markvísa (allt ) á hvern vektor vídd :
Nú getum við skrifað jöfnuna til að meta gæði línulegs líkans á fylkissniði:
Reyndar, frá þessari formúlu fáum við enn frekar formúluna sem við vitum um
Hvernig er það gert? Sviga eru opnuð, aðgreining er framkvæmd, tjáningunum sem myndast er umbreytt osfrv., og þetta er nákvæmlega það sem við munum gera núna.
Fylkisbreytingar
Við skulum opna svigana
Við skulum útbúa jöfnu fyrir aðgreining
Til að gera þetta munum við framkvæma nokkrar umbreytingar. Í síðari útreikningum mun það vera þægilegra fyrir okkur ef vektorinn verður táknað í upphafi hverrar vöru í jöfnunni.
Umbreyting 1
Hvernig gerðist það? Til að svara þessari spurningu skaltu bara skoða stærð fylkanna sem verið er að margfalda og sjá að við úttakið fáum við tölu eða annað .
Skrifum niður stærðir fylkissagna.
Umbreyting 2
Við skulum skrifa það á svipaðan hátt og umbreytingu 1
Við úttakið fáum við jöfnu sem við verðum að greina á milli:
Við aðgreinum gæðamatsaðgerð líkansins
Við skulum greina á milli með tilliti til vektorsins :
Spurningar hvers vegna það ætti ekki að vera, en við munum skoða aðgerðirnar til að ákvarða afleiður í hinum tveimur tjáningunum nánar.
Aðgreining 1
Við skulum útvíkka aðgreininguna:
Til þess að ákvarða afleiðu fylkis eða vektors þarf að skoða hvað er inni í þeim. Við skulum skoða:
Táknum afurð fylkja í gegnum fylkið . Fylki ferningur og þar að auki er hann samhverfur. Þessar eignir munu nýtast okkur síðar, við skulum muna eftir þeim. Fylki hefur vídd :
Nú er verkefni okkar að margfalda vektorana rétt með fylkinu og fá ekki „tvisvar tvö er fimm,“ svo við skulum einbeita okkur og vera mjög varkár.
Hins vegar höfum við náð flókinni tjáningu! Reyndar fengum við tölu - skalar. Og nú, í alvöru, förum við yfir í aðgreininguna. Nauðsynlegt er að finna afleiðu tjáningar sem myndast fyrir hvern stuðul og fáðu víddarvigur sem úttak . Bara í tilfelli, mun ég skrifa niður verklag með aðgerð:
1) aðgreina eftir , við fáum:
2) aðgreina eftir , við fáum:
3) aðgreina eftir , við fáum:
Úttakið er lofað stærðarvigur :
Ef þú skoðar vigurinn betur muntu taka eftir því að vinstri og samsvarandi hægri þættir vigursins geta verið flokkaðir á þann hátt að þar af leiðandi er hægt að einangra vigur frá sýndum vigri stærð . Til dæmis, (vinstri þáttur í efstu línu vigursins) (hægri þáttur efstu línu vigursins) má tákna sem Og - sem o.s.frv. á hverri línu. Við skulum hópa:
Tökum út vektorinn og við úttakið fáum við:
Nú skulum við líta nánar á fylkið sem myndast. Fylki er summa tveggja fylkja :
Við skulum minnast þess að nokkru fyrr bentum við á einn mikilvægan eiginleika fylkisins - það er samhverft. Byggt á þessari eign getum við sagt með öryggi að tjáningin jafngildir . Þetta er auðvelt að sannreyna með því að stækka afurð fylkja frumefni fyrir frumefni . Við gerum þetta ekki hér, áhugasamir geta athugað það sjálfir.
Snúum okkur aftur að tjáningu okkar. Eftir umbreytingar okkar varð þetta eins og við vildum sjá það:
Þannig að við höfum lokið fyrstu aðgreiningunni. Við skulum halda áfram að annarri tjáningu.
Aðgreining 2
Fylgjum troðnum slóðum. Hann verður mun styttri en sá fyrri, svo ekki fara of langt frá skjánum.
Við skulum stækka vektorana og fylkið frumefni fyrir frumefni:
Við skulum taka þetta tvennt úr útreikningum í smá stund - það spilar ekki stórt hlutverk, þá setjum við það aftur á sinn stað. Margfalda vektorana með fylkinu. Í fyrsta lagi skulum við margfalda fylkið að vektor , við höfum engar takmarkanir hér. Við fáum stærðarvigur :
Við skulum framkvæma eftirfarandi aðgerð - margfalda vektorinn við vektorinn sem myndast. Við útganginn mun númerið bíða okkar:
Þá munum við aðgreina það. Við úttakið fáum við víddarvigur :
Minnir mig á eitthvað? Það er rétt! Þetta er afurð fylkisins að vektor .
Þannig er seinni aðgreiningunni lokið með góðum árangri.
Í stað þess að niðurstöðu
Nú vitum við hvernig jöfnuðurinn varð til .
Að lokum munum við lýsa fljótlegri leið til að umbreyta grunnformúlum.
Við skulum meta gæði líkansins í samræmi við minnstu ferningsaðferðina:
Við skulum gera greinarmun á tjáningu sem myndast:
Bókmenntir
Internet heimildir:
1)
2)
3)
4)
Kennslubækur, söfn vandamála:
1) Fyrirlestrarskýrslur um æðri stærðfræði: fullt námskeið / D.T. Skrifað – 4. útg. – M.: Iris-press, 2006
2) Hagnýtt aðhvarfsgreining / N. Draper, G. Smith - 2. útg. – M.: Fjármál og tölfræði, 1986 (þýðing úr ensku)
3) Vandamál við að leysa fylkjajöfnur:
Heimild: www.habr.com