🥇Alexey Savvateev e la teoria dei giochi: "Qual è la probabilità che nei prossimi cinque anni venga lanciata una bomba atomica?"

Trascrizione del video della lezione.

La teoria dei giochi è una disciplina che si colloca saldamente tra matematica e scienze sociali. È legata alla matematica con un cordone e con l'altro cordone alle scienze sociali.

Contiene teoremi piuttosto seri (teorema dell'esistenza dell'equilibrio), è stato tratto un film da essa, "A Beautiful Mind", e la teoria dei giochi si manifesta in molte opere artistiche. Se guardi intorno, incontri frequentemente situazioni ludiche. Ho raccolto alcune trame.

Tutte le mie presentazioni sono realizzate da mia moglie. Tutte le presentazioni possono essere liberamente diffuse, sarò estremamente felice se le utilizzerete per le vostre lezioni. Questo è materiale completamente libero.

Alcune trame sono discutibili. I modelli possono essere diversi, puoi non essere d'accordo con il mio modello.

La teoria dei giochi nel Talmud.
La teoria dei giochi nella letteratura russa.
Gioco televisivo o problema dei posti auto.
Lussemburgo nell'Unione Europea.
Shinzo Abe e la Corea del Nord
Il paradosso di Braies a Metrograd (Mosca)
Due paradossi di Donald Trump
Follia razionale (di nuovo la Corea del Nord)

(Alla fine del post - un sondaggio sulla bomba.)

Talmud: problema dell'eredità

Una volta era permesso il poligamia (3-4 mila anni fa). Un ebreo, quando si sposava, firmava un contratto prematrimoniale, definendo quanto avrebbe pagato alla moglie quando fosse morto. Situazione: un ebreo muore con tre mogli. Alla prima sono stati lasciati 100 monete, alla seconda 200, alla terza 300. Ma quando hanno aperto l'eredità, c'erano meno di 600 monete. Cosa fare?

Off-topic sull'approccio degli ebrei alla risoluzione dei problemi:

Il sabato inizia con la prima stella. E sopra il circolo polare artico?

«Scendere» lungo il meridiano e orientarsi in una zona dove tutto è normale. (non funziona con il Polo Nord)

Iniziare alle 00-00 e non preoccuparsi. (non funziona nemmeno con il Polo Nord), quindi:

Non c'è niente da fare per un ebreo sopra il circolo polare artico e non bisogna andarci.

Nel Talmud si dice che se l'eredità è inferiore a 100 monete, allora si divide equamente.
Se sono fino a 300 monete, si divide 50-100-150
Se sono 200 monete, si divide 50-75-75

Come si possono combinare queste tre condizioni in un'unica formula?

Il principio di come risolvere i giochi cooperativi.

Scriviamo le pretese di ogni moglie, le pretese delle coppie, a patto che la terza abbia già "saldato". Otteniamo un elenco di pretese, non solo individuali, ma anche di "aziende". Viene presa una decisione tale, una divisione dell'eredità, in modo che la pretesa più difficile sia minimamente possibile (massimo). In teoria dei giochi si è studiato, chiamato "nucleolo". Robert Aumann ha dimostrato che tutti e tre gli scenari del Talmud seguono rigorosamente il nucleolo!

Come può essere? 3000 anni fa? Né io, né nessun altro capisce come possa essere. (Dio dettava? O la loro matematica era molto più complessa di quanto pensiamo?)

Nikolaj Vasil'evič Gogol'

Ikharev. Posso farvi una domanda: come vi siete comportati fino ad ora per far girare le carte? Non sempre è possibile corrompere i servitori.
Consolatorio. Dio ci protegga! ed è pericoloso. Questo significa a volte vendere se stessi. Noi facciamo diversamente. Una volta ci siamo comportati in questo modo: il nostro agente arriva al mercato, si ferma sotto il nome di mercante nella locanda cittadina. Le botteghe non avevano ancora avuto tempo di affittare; bauli e pacchi sono ancora nella stanza. Vive nella locanda, spende, mangia, beve — e all'improvviso scompare misteriosamente, senza pagare. Il padrone fruga nella stanza. Vede che è rimasto solo un pacco; lo disfa — cento dozzine di carte. Le carte, naturalmente, vengono subito vendute all'asta pubblica. Le abbiamo messe in vendita a un prezzo inferiore, i mercanti le hanno subito acquistate. E in quattro giorni tutta la città ha perso!

È una pura mossa teorico-numerica. Anch'io ho avuto recentemente una mossa del genere nella mia vita, a Tyumen. Sto viaggiando in treno. Studio la situazione e chiedo di prendere il posto superiore nel compartimento. Mi dicono: "Non dovete risparmiare, prendete il posto inferiore, i soldi non sono un problema". Io rispondo: "Superiore".

Perché ho chiesto il posto superiore? (Suggerimento: ho risolto il problema per 3/4)

rispostaAlla fine avevo due posti — superiore e inferiore.

Il posto inferiore costa un po' di più. I posti costosi non vengono presi. Ho visto che quasi tutti i posti superiori erano già comprati, mentre quelli inferiori erano quasi tutti vuoti. Quindi ho preso per caso il posto superiore. Solo sulla tratta Ekaterinburg-Tyumen avevo un vicino.

È tempo di giocare

Ecco il mio numero di telefono. Nel telefono non ci sono messaggi non letti, il suono è spento. In un minuto inviate un sms o non lo fate. La cioccolatina verrà data a coloro che hanno inviato un sms, ma solo se gli invianti non sono più di due. Il tempo è partito.

È passato un minuto. 11 sms:

Cioccolatina!
Cioccolatina
Facile
Shhhhh
123
Salve Alexey Vladimirovič
Salve Alexey
Cioccolatina:)
+
Combo-breaker
E

A Maikop, alla mia lezione era presente il capo della repubblica di Adighea e ha posto una domanda sostanziosa.

A Krasnojarsk, nell'auditorium, c'erano 300 studenti motivati. 138 messaggi. Ho iniziato a leggerli, il quinto era volgare.

Analizziamo questo gioco. Naturalmente è una truffa. Nella storia dei sorteggi (quasi 100 round) non è mai successo che a qualcuno andasse un cioccolatino.

Ci sono equilibri quando l'auditorium si accorda su due persone. L'accordo deve essere tale che tutti traggano vantaggio dalla partecipazione.

L'equilibrio è quel tipo di sorteggio in cui puoi annunciare le strategie ad alta voce e ciò non le cambierà.

Supponiamo che il cioccolatino costi 100 volte di più di un messaggio (se fosse 1000, il risultato sarebbe leggermente diverso). Il numero di persone in auditorium non conta quasi.

Equilibri misti. Ognuno di voi dubita e non sa come giocare. E lascia la propria mossa al caso. Per esempio, alla roulette 1/6. Una persona decide che, in 1/6 dei casi (in un gioco ripetuto), manderà un messaggio.

Domanda: quale 'roulette' sarà equilibrata?

Vogliamo trovare un equilibrio simmetrico. Distribuiamo a tutti una roulette 1/p. Dobbiamo assicurarci che le persone vogliano giocare a tale roulette.

Un dettaglio cruciale. Se lo comprendi, considera che hai già fatto conoscenza con la teoria dei giochi. Afferma che con l'equilibrio è compatibile solo un certo 'p'.

Supponiamo che 'p' sia molto piccolo. Ad esempio, 1/1000. Allora, ricevuta tale roulette, capirai rapidamente che non ci saranno cioccolatini e la getterai via, iniziando a mandare messaggi.

Se 'p' è troppo grande, per esempio 1/2. Allora la scelta giusta sarà non inviare messaggi e risparmiare un rublo. È certo che non sarai secondo, ma probabilmente quarantesimo.

Esiste un calcolo dell'equilibrio con riflessione profonda simultanea. Ma ora non è di questo che si parla.

I valori di 'p' devono essere tali che il tuo guadagno dall'invio di un messaggio, in media, uguagli il guadagno dall'assenza di inviato.

Calcoliamo questa probabilità.

N+2 - il numero di persone in aula.

Nel video, l'analisi delle formule al 33° minuto.

(1+pn)(1+p)^n = 1/100 (probabilità cioccolatino=prezzo messaggio)

Se la roulette è tale che il suo avvio indipendente da parte degli altri partecipanti porta alla probabilità di ottenere un cioccolatino nel caso tu mandi un messaggio (pari a 0,01).

Con un rapporto del prezzo cioccolatino/messaggio = 100, il numero di messaggi sarà 7, con 1000 - 10.

Vedi, la razionalità collettiva ne risente. Cerchiamo un equilibrio in cui ciascuno si comporta razionalmente, ma come risultato, ci saranno sicuramente più messaggi. Solo un accordo darebbe risultati migliori.

Uno dei risultati della teoria dei giochi è l'idea che il mercato libero si organizzi da solo - è completamente errato. Se lasciato andare, sarà peggio che se si fosse concordato.

Lussemburgo nell'Unione Europea

Preparati a ridere.

Il Lussemburgo faceva parte dell'Unione Europea.

Il Consiglio dei Ministri dell'Unione Europea era composto da 6 rappresentanti, uno per ciascun paese dell'UE (dal 1958 al 1973).

I paesi erano diversi e dunque:

Francia, Germania, Italia - 4 voti ciascuno,
Belgio, Paesi Bassi - 2 voti,
Lussemburgo - 1 voto.

Sei persone prendevano decisioni su tutte le questioni per 15 anni di fila. La decisione era presa se la quota era superata. Quota = 12...

Non esiste nessuna situazione potenziale in cui il Lussemburgo possa cambiare l'andamento della decisione con il suo voto. Una persona siede al tavolo per 15 anni e non decide mai nulla.

Quando ho scoperto questo, ho chiesto ai miei amici tedeschi (non avevo amici dal Lussemburgo) di commentare. Hanno risposto:
— Non confrontare il Lussemburgo con il vostro campo sovietico, dove conoscete bene la matematica. Non hanno idea di parità/disparità.
— Come, tutta la nazione?!??!?
— Beh sì, tranne forse un paio di insegnanti.

Ho chiesto a un altro tedesco, che è sposato con una lussemburghese. Ha detto:
— Il Lussemburgo è un paese completamente apolitico e non si interessa affatto della politica estera. In Lussemburgo, la gente si interessa solo di ciò che accade nel proprio cortile.

Shinzo Abe

Stavo andando a una lezione di teoria dei giochi e ho visto una notizia:

Un campanello d'allarme ha suonato dentro di me. Questo non può essere. In alcun modo. La Corea del Nord può fare una bomba atomica, ma consegnarla - difficile.

Perché introdurre una disinformazione intenzionale?

La verità è che i missili possono raggiungere il Giappone. È spaventoso per i giapponesi. Ma se lo comunichi alla NATO, non porterà a nulla, mentre spaventando 'l'Europa' - porterà.

Non sono sicuro di avere ragione, potrebbero esserci altre analisi di questa notizia.

Metrogorodok

Un tempo scherzosamente gli scherzatori chiamarono la strada 'Autostrada Aperta', perché è un vicolo cieco e finisce nel bosco. Gli stessi scherzatori chiamarono il quartiere 'Metrogorodok', perché non ci sarà mai una metropolitana lì.

All'inizio degli anni '90 non c'erano ingorghi e si sviluppò il seguente scenario.

Metrogorodok è contrassegnato dalla lettera 'M'.

La strada dello Щелковское collega un enorme cluster di città. 700.000 persone, secondo l'ultimo censimento.

Da Метрогородок a ВДНХ c'è un piccolo sentiero tortuoso, senza un solo semaforo. Ci vogliono un'ora in auto, 20 minuti a piedi. Parte delle persone che prendono la strada iniziano a 'accorciare' — il risultato è un ingorgo di 30 minuti.

Questo è esattamente della teoria dei giochi. Se l'ingorgo è molto inferiore a 30 minuti, questo è noto, e quindi ancora più auto scorrono per 'accorciare'. Se è molto superiore, la gente smette di 'accorciare'.

Il valore di equilibrio del tempo di attesa in coda è puramente il risultato dell'interazione teorico-numerica degli automobilisti, che prendono decisioni su dove andare. Il principio di Wardrop.

Per i conducenti il tempo è rimasto un'ora, mentre per i residenti di Метрогородок 20 minuti si sono trasformati in 50. Senza 'collegamento' un'ora e 20 minuti, con 'collegamento' — un'ora e 50 minuti. Un puro paradosso di Braess.

Ecco un esempio che è costato il premio Danziг.. Yuriy Evgenievich Nesterov ha ricevuto il massimo riconoscimento nel campo della programmazione matematica.

L'idea è la seguente. Se l'apertura di una nuova strada può portare a un peggioramento della situazione stradale, allora certamente qualche divieto può portare a un miglioramento. E ha illustrato la specificità di quando ciò accade.

C'è il punto 'A' e il punto 'B' e in mezzo un punto che non si può evitare.

Di conseguenza, tutti viaggiano per un'ora e 20 minuti. Nesterov ha proposto di mettere un cartello 'cambio strada'.
Di conseguenza, le auto si sono divise in due categorie: chi andava dritto e poi ha deviato (4000) e chi andava in deviazione e poi è tornato dritto (4000), e nel frattempo non si sono formati ingorghi sulla strada dritta. E quindi tutti i partecipanti al traffico impiegano un'ora.

Trump

Hanno votato meno persone per Trump che contro di lui.

I delegati.

Nel primo stato ci sono 8 milioni di persone, tutte 'contro' Trump. 2 delegati.
Nel secondo stato ci sono 12 milioni di persone, 8 'per', 4 'contro'. 3 delegati e tutti devono votare per Trump.
Di conseguenza 2:3 per i delegati a favore di Trump, anche se 8 milioni hanno votato per lui ma 12 contro di lui.

Un candidato controverso

A volte c'è un candidato che secondo i sondaggi non passa. O riguardo al 'Brexit', secondo i sondaggi non dovrebbe essere successo. Ci sono sondaggi poco affidabili (quando si eliminano le opinioni sgradite dal campione), ma i sociologi professionisti lo fanno raramente.

Una persona vive come se fosse in un caftano, dice una cosa, ma davanti all'urna si toglie il caftano e vota in modo diverso. Nel caftano è comodo vivere, ha una certa cerchia sociale: datore di lavoro, famiglia, genitori.

Ecco il modello di un mio amico, perché non ho Facebook. Tutte queste persone, in un modo o nell'altro, hanno un'influenza su di lui.

Le opinioni di 500 persone sono importanti. E se noi discutiamo di politica e siamo molto in disaccordo, questo rappresenta una certa componente scomoda.

Il modello della divisione sociale.

Esempi:

Brexit
La divisione russo-ucraina
Le elezioni negli Stati Uniti

Ci sono persone che principiano a non partecipare alle discussioni, questa è la loro posizione, non perché non abbiano una loro opinione, ma perché i costi di esprimere la propria opinione sono molto alti.

Si può scrivere una funzione di vincita:

C'è una matrice di interazioni aij (millioni su milioni). In ogni cella è scritto come ogni persona influisce su ogni altra e con quale segno. Una matrice molto asimmetrica. Uno può influenzare molti, ma su uno influiscono circa 200 persone.

Moltiplichiamo lo stato interno vi della persona per ciò che ha detto ad alta voce σi.

L'equilibrio è quando ognuno ha preso la decisione su quale σ trasmettere ad alta voce.

Possono anche pensare contemporaneamente a una cosa e ad alta voce dire un'altra. Entrambi mentono, ma si solidarizzano.

Si aggiungono anche rumori. E si calcola con quale probabilità rimarranno in silenzio, diranno 'per' o 'contro'. Per questo insieme di probabilità sorgono delle equazioni.

Dai passionari e dai fanatici bisogna iniziare a calcolare l'equilibrio.

La televisione è un campo magnetico che sposta l'opinione interna.

La probabilità che tu sostenga 'per' un certo lato è uguale alla probabilità che la differenza dei rumori bianchi sia maggiore del guadagno. Tutto dipende dal valore all'interno delle parentesi, che si ottiene in base agli altri. In definitiva, il sistema di equazioni.

Con la formula di modellazione del rumore bianco:

Ci sono in effetti due equazioni per ogni persona, 100 milioni di persone — 200 milioni di equazioni. Molto.

Potrebbe arrivare il momento in cui si possono prendere i dati dei sondaggi e studiare gli indicatori quantitativi della rete sociale delle conoscenze e dire: 'In questo sistema un sondaggio sociale ridurrà del 7% il numero di voti per quel candidato.'

Teoricamente potrebbe essere. Non so quanti ostacoli ci saranno lungo il cammino.

Conclusioni

Le persone si vergognano del loro sostegno a un candidato "scandaloso" (come Zhirinovsky, Navalny, ecc.), ma davanti all'urna elettorale "danno sfogo al loro malcontento". Risolvendo questo sistema di equazioni, potremmo quantificare le discrepanze tra i risultati dei sondaggi e quelli delle elezioni reali. Ma la complessità delle reti sociali ci ostacola.

Il modello della follia razionale

Molti sono stupiti dal "coraggio" della leadership della Corea del Nord, che conduce test del proprio arsenale nucleare "sotto gli occhi" degli Stati Uniti. Soprattutto considerando il destino di Gheddafi, Saddam Hussein, ecc. È possibile che Kim Jong-un sia impazzito? Tuttavia, nel suo comportamento "folle" potrebbe esserci un seme di razionalità.

Questo è il modello di Cesare che brucia i ponti.

In caso di guerra, un paese con armi nucleari sarà completamente distrutto. Se non ha armi nucleari, si può vincere anche senza una distruzione totale. Se il leader di un paese sa che è "o lui o nessuno", allora verranno messi in campo enormi risorse per la guerra. E se questo accade, la parte avversaria avrà paura di queste grandi risorse, perché subirà una grande sconfitta dalla guerra.