In questo articolo viene proposto un metodo di induzione fuzzy sviluppato dall'autore come fusione di concetti di matematica fuzzy e teoria dei frattali, viene introdotto il concetto di grado di ricorsione dell'insieme fuzzy, e viene presentata una descrizione della ricorsione incompleta dell'insieme come sua dimensione frazionaria per la modellazione del dominio applicativo. Come ambito di applicazione del metodo proposto e dei modelli di conoscenza sviluppati come insiemi fuzzy, viene considerata la gestione del ciclo di vita dei sistemi informativi, inclusa la progettazione di scenari di utilizzo e testing del software.
Rilevanza
Durante la progettazione, lo sviluppo, l'implementazione e l'esercizio dei sistemi informativi è necessario accumulare e sistematizzare dati, informazioni e notizie che vengono raccolti dall'esterno o si generano in ogni fase del ciclo di vita del software. Questo rappresenta un supporto informativo e metodologico necessario ai lavori progettuali e alla presa di decisioni, ed è particolarmente rilevante in situazioni di alta incertezza e in contesti scarsamente strutturati. La base di conoscenze, formata a seguito dell'accumulo e sistematizzazione di tali risorse, dovrebbe essere non solo una fonte di esperienza utile acquisita dal team progettuale durante la creazione del sistema informativo, ma anche un mezzo il più semplice possibile per modellare nuove visioni, metodi e algoritmi per l'implementazione di compiti progettuali. In altre parole, tale base di conoscenze è un deposito di capitale intellettuale e, insieme, uno strumento di gestione della conoscenza [3, 10].
L'efficacia, l'utilità e la qualità della base di conoscenza come strumento sono correlate alla risorsa necessaria per la sua gestione e all'efficacia dell'estrazione delle conoscenze. Maggiore è la semplicità e la rapidità nella raccolta e registrazione delle conoscenze nella base, e più pertinenti sono i risultati delle richieste ad essa, migliore e più affidabile è lo strumento stesso [1, 2]. Tuttavia, i metodi discreti e gli strumenti di strutturazione, applicabili ai sistemi gestione delle basi di dati, inclusa la normalizzazione delle relazioni nei database relazionali, non consentono di descrivere o modellare i componenti semantici, le interpretazioni, gli insiemi semantici intervallari e continui [4, 7, 10]. Per questo è necessario un approccio metodologico che generalizzi i casi particolari delle ontologie finite e avvicini il modello di conoscenza alla continuità nella descrizione del dominio informatico.
Un tale approccio potrebbe essere l'integrazione dei principi della teoria dei set fuzzy e del concetto di dimensione frattale [3, 6]. Ottimizzando la descrizione della conoscenza secondo il criterio del grado di continuità (dimensione del passo di discretizzazione della descrizione) in condizioni di limitazione secondo il principio di incompletezza di Gödel (nella sistema informatico: incompletezza fondamentale dei ragionamenti, delle conoscenze derivate da questo sistema a condizione della sua coerenza), eseguendo una fuzzificazione sequenziale (trasformazione in fuzzy), otteniamo una descrizione formalizzata che rappresenta il più completo e coerente insieme di conoscenze e con cui è possibile eseguire qualsiasi operazione dei processi informativi – raccolta, archiviazione, elaborazione e trasmissione [5, 8, 9].
Definizione di ricorsione di un insieme fuzzy
Sia X – insieme di valori di una certa caratteristica del sistema modellato:
(1)
dove n = [N ≥ 3] – numero di valori di tale caratteristica (maggiore dell'insieme elementare (0; 1) – (falso; vero)).
Sia X = B, dove B = {a,b,c,…,z} – insieme di equivalenti, corrispondente elemento per elemento all'insieme dei valori della caratteristica X.
Allora l'insieme fuzzy 
, che corrisponde al concetto fuzzy (in generale) che descrive la caratteristica X, può essere rappresentato nel seguente modo:
(2)
dove m – passo di discretizzazione della descrizione, i appartiene a N – molteplicità del passo.
Di conseguenza, per ottimizzare il modello di conoscenza del sistema informatico secondo il criterio di continuità (morbidezza) della descrizione, rimanendo nei limiti dello spazio di incompletezza dei ragionamenti, introduciamo il grado di ricorsione di un insieme fuzzy 
e otteniamo la seguente variante della sua rappresentazione:
(3)
dove 
– insieme che corrisponde al concetto fuzzy, in generale meglio descrittivo della caratteristica X, rispetto all'insieme 
, secondo il criterio di morbidezza; Re – grado di ricorsione della descrizione.
Si deve tenere presente che 
(ridotto a un insieme chiaro) nel caso privato se necessario.
Introduzione alla dimensione frazionaria
Con Re = 1, l'insieme 
rappresenta un normale insieme fuzzy di secondo grado, che include come elementi insiemi fuzzy (o le loro rappresentazioni chiare), descrivendo tutti i valori della caratteristica X [1, 2]:
(4)
Tuttavia, questo è un caso degenerato e nella sua rappresentazione più completa, parte degli elementi 
possono essere insiemi, mentre gli altri sono oggetti banali (estremamente semplici). Pertanto, per definire tale insieme, è necessario introdurre la ricorsione frazionaria – analoga alla dimensione frazionaria dello spazio (in questo contesto – lo spazio dell'ontologia di un certo dominio) [3, 9].
Con Re frazionario, otteniamo la seguente notazione 
:
(5)
dove 
– insieme fuzzy per il valore X1, 
– insieme fuzzy per il valore X2 e così via.
In questo caso, la ricorsione diventa essenzialmente frattale e gli insiemi di descrizioni – autosimili.
Definizione dell'insieme delle capacità funzionali del modulo
L'architettura di un sistema informativo aperto prevede il principio di modularità, che garantisce la scalabilità, la replicabilità, l'adattabilità e l'emergenza del sistema. La costruzione modulare consente di avvicinare al massimo la realizzazione tecnologica dei processi informativi alla loro incarnazione obiettiva naturale nel mondo reale, sviluppando strumenti che siano più comodi nelle loro proprietà funzionali, progettati non per sostituire le persone, ma per aiutarle in modo efficace nella gestione delle conoscenze.
Il modulo rappresenta un'entità separata del sistema informativo, che può essere obbligatoria o opzionale per le finalità di esistenza del sistema, ma in ogni caso fornisce un insieme unico di funzioni all'interno del sistema.
Tutta la varietà delle capacità funzionali dei moduli può essere descritta attraverso tre tipi di operazioni: creazione (registrazione di nuovi dati), modifica (cambiamento di dati precedentemente registrati), eliminazione (cancellazione di dati precedentemente registrati).
Sia X una certa caratteristica di tali capacità funzionali, allora il corrispondente insieme X può essere rappresentato nella forma:
(6)
dove X1 – creazione, X2 – modifica, X3 – eliminazione,
(7)
Le capacità funzionali di qualsiasi modulo sono tali che la creazione dei dati non è ricorsiva (realizzata senza ricorsione – la funzione di creazione non si ripete), mentre la modifica e l'eliminazione possono generalmente prevedere sia un'implementazione per elemento (esecuzione dell'operazione sugli elementi selezionati di insiemi di dati), sia includere al loro interno operazioni simili.
Va notato che, se l'operazione per la funzionalità X in questo modulo non viene eseguita (non è implementata nel sistema), l'insieme corrispondente a tale operazione è considerato vuoto.
Pertanto, per descrivere il concetto vago di "il modulo consente di eseguire un'operazione con il relativo insieme di dati per il sistema informativo," un insieme vago 
nel caso più semplice può essere rappresentato come:
(8)
Tale insieme ha in generale un grado di ricorsione pari a 1,6(6) ed è frattale e vago allo stesso tempo.
Preparazione degli scenari di utilizzo e test del modulo
Nelle fasi di sviluppo e funzionamento del sistema informativo sono necessari scenari speciali che descrivano l'ordine e il contenuto delle operazioni per l'uso dei moduli in base alla loro destinazione funzionale (scenari di utilizzo, in inglese use-case), così come per verificare la corrispondenza tra i risultati attesi e quelli reali del lavoro dei moduli (scenari di test, in inglese test-case).
Tenendo conto delle considerazioni sopra esposte, il processo di lavoro su tali scenari può essere descritto come segue.
Per il modulo viene formato un insieme vago 
:
(9)
dove
– insieme vago per l'operazione di creazione dei dati sulla funzionalità X;
– insieme vago per l'operazione di modifica dei dati sulla funzionalità X, dove il grado di ricorsione a (inserimento della funzione) è un numero naturale e nel caso banale è pari a 1;
– insieme vago per l'operazione di eliminazione dei dati sulla funzionalità X, dove il grado di ricorsione b (inserimento della funzione) è un numero naturale e nel caso banale è pari a 1.
Tale insieme descrive cosa esattamente (quali oggetti dati) vengono creati, modificati e/o eliminati in qualsiasi variante di utilizzo del modulo.
Viene quindi creato un insieme di scenari di utilizzo Ux per la funzionalità X del modulo in esame, descrivendo ognuno di essi, a cosa servono (quale compito aziendale) per creare, modificare e/o eliminare oggetti dati, descritti da molteplici 
, e in quale ordine:
(10)
dove n è il numero di scenari di utilizzo per X.
Successivamente, viene creato un insieme di scenari di test Tx per la funzionalità X per ogni scenario di utilizzo del modulo in esame. In uno scenario di test, si descrive quali valori dei dati e in quale ordine vengono utilizzati durante l'esecuzione dello scenario di utilizzo, oltre a quale risultato dovrebbe essere ottenuto:
(11)
dove [D] è un array di dati di test, n è il numero di scenari di test per X.
Nell'approccio descritto, il numero di scenari di test è equivalente al numero di scenari di utilizzo corrispondenti, il che semplifica il lavoro di descrizione e aggiornamento man mano che il sistema evolve. Inoltre, tale algoritmo può essere utilizzato per automatizzare i test dei moduli software del sistema informativo.
Conclusione
Il metodo di induzione fuzzy presentato può essere implementato in diverse fasi del ciclo di vita di qualsiasi sistema informativo modulare sia per arricchire la parte descrittiva della base di conoscenza, sia per lavorare sugli scenari di utilizzo e di test dei moduli.
Inoltre, l'induzione fuzzy aiuta a sintetizzare conoscenze basate su descrizioni fuzzy ottenute, simili a un "calidoscopio cognitivo", in cui alcune parti rimangono chiare e univoche, mentre altre, secondo la regola dell'autosimilarità, vengono applicate un numero specifico di volte per ogni insieme di dati conosciuti. Insieme, gli insiemi fuzzy ottenuti formano un modello che può essere utilizzato sia per le esigenze del sistema informativo che per la ricerca di nuove conoscenze in generale.
Questo tipo di metodologia può essere considerata una forma peculiare di "intelligenza artificiale", tenendo conto del fatto che gli insiemi sintetizzati non devono contraddire il principio di incompletezza del ragionamento e sono destinati ad assistere l'intelletto umano, piuttosto che sostituirlo.
Bibliografia
- Borisov V.V., Fedulov A.S., Zernov M.M., «Fondamenti della teoria degli insiemi fuzzy». M.: Linea calda – Telecom, 2014. – 88 p.
- Borisov V.V., Fedulov A.S., Zernov M.M., «Fondamenti della teoria dell'inferenza fuzzy». M.: Linea calda – Telecom, 2014. – 122 p.
- Demenok S.L., «Frattale: tra mito e artigianato». Spb: Accademia di ricerca culturale, 2011. – 296 p.
- Zade L., «Fondamenti di un nuovo approccio all'analisi dei sistemi complessi e ai processi decisionali» / «Matematica oggi». M.: «Conoscenza», 1974. – pp. 5 – 49.
- Kranz S., «La natura mutevole della dimostrazione matematica». M.: Laboratorio delle conoscenze, 2016. – 320 p.
- Mavrikidi F.I., «Matematica frattale e natura del cambiamento» / «Delphis», №54 (2/2008), .
- Mandelbrot B., «Geometria frattale della natura». M.: Istituto di ricerca informatica, 2002. – 656 p.
- «Fondamenti della teoria degli insiemi fuzzy: Indicazioni metodologiche», a cura di Korobova I.L., Dyakov I.A. Tambov: Editore dell'Università Tecnica Statale di Tambov, 2003. – 24 p.
- Uspensky V.A., «Apologia della matematica». M.: Alpina Non-fiction, 2017. – 622 p.
- Zimmerman H. J. «Teoria degli insiemi fuzzy – e le sue applicazioni», 4ª edizione. Springer Science + Business Media, New York, 2001. – 514 p.
Fonte: habr.com
