In questo articolo viene proposto un metodo di induzione sfocata, sviluppato dall'autore, come un'unione delle posizioni della matematica sfocata e della teoria dei frattali. Viene introdotto il concetto di grado di ricorsione di un insieme sfocato e presentata la descrizione della ricorsione incompleta dell'insieme come la sua dimensione frazionaria per la modellazione del dominio oggetto. Come ambito di applicazione del metodo proposto e dei modelli di conoscenza creati su di esso come insiemi sfocati, viene considerata la gestione del ciclo di vita dei sistemi informativi, inclusa la progettazione di scenari di utilizzo e di test del software.
Rilevanza
Nel processo di progettazione, sviluppo, implementazione e gestione dei sistemi informativi, è fondamentale raccogliere e sistematizzare dati, informazioni e conoscenze provenienti dall'esterno o generati in ogni fase del ciclo di vita del software. Questo è essenziale per fornire un adeguato supporto informativo e metodologico alle attività progettuali e per facilitare le decisioni, ed è particolarmente rilevante in situazioni di elevata incertezza e in contesti scarsamente strutturati. La base di conoscenze, creata attraverso l'accumulo e la sistematizzazione di tali risorse, deve essere non solo una fonte di esperienza utile acquisita dal team di progetto durante lo sviluppo del sistema informativo, ma anche uno strumento semplice per modellare nuove visioni, metodi e algoritmi per realizzare compiti progettuali. In altre parole, questa base di conoscenze rappresenta un deposito di capitale intellettuale e, allo stesso tempo, uno strumento per la gestione delle conoscenze [3, 10].
L'efficacia, l'utilità e la qualità della base di conoscenza come strumento sono correlate con la risorsosità della sua gestione e l'efficacia nell'estrazione delle conoscenze. Più semplice e veloce è la raccolta e la registrazione delle conoscenze nella base e più pertinenti sono i risultati delle ricerche, migliore e più affidabile è lo strumento stesso [1, 2]. Tuttavia, i metodi e gli strumenti discreti di strutturazione, applicabili ai sistemi gestione delle basi di dati, compresa la normalizzazione delle relazioni nelle banche dati relazionali, non consentono di descrivere o modellare i componenti semantici, le interpretazioni, le collezioni semantiche intervallari e continue [4, 7, 10]. Per questo è necessario un approccio metodologico che generalizzi casi particolari di ontologie finite e avvicini il modello delle conoscenze alla continuità nella descrizione del dominio informativo del sistema.
Questo approccio può consistere nell'unire i principi della teoria dei numeri fuzzy e il concetto di dimensione frattale [3, 6]. Ottimizzando la descrizione della conoscenza secondo il criterio del grado di continuità (l'ampiezza del passo di campionamento della descrizione) sotto le restrizioni del principio di incompletezza di Gödel (in un sistema informativo – l'incompletezza fondamentale delle argomentazioni e delle conoscenze derivate da questo sistema, a condizione che sia coerente), ed effettuando una fuzzificazione sequenziale (trasformazione in fuzzy), otteniamo una descrizione formalizzata che riflette in modo completo e coerente un certo insieme di conoscenze, con cui è possibile effettuare qualsiasi operazione nei processi informativi: raccolta, conservazione, elaborazione e trasferimento [5, 8, 9].
Definizione della ricorsione di un insieme fuzzy
Sia X – un insieme di valori di una certa caratteristica del sistema modellato:
(1)
dove n = [N ≥ 3] – il numero di valori di tale caratteristica (superiore al set elementare (0; 1) – (falso; vero)).
Sia X = B, dove B = {a, b, c, …, z} – un insieme di equivalenti che corrisponde elemento per elemento all'insieme di valori della caratteristica X.
Allora, un insieme fuzzy 
, che corrisponde a un concetto sfocato (in generale) che descrive la caratteristica X, può essere rappresentato come:
(2)
dove m è il passo di discretizzazione della descrizione, i appartiene a N – molteplicità del passo.
Di conseguenza, per ottimizzare il modello di conoscenza sul sistema informativo secondo il criterio di continuità (morbidezza) della descrizione, rimanendo nei limiti dello spazio di incompletezza del ragionamento, introduciamo il grado di ricorsione dell'insieme sfocato 
e otteniamo la seguente variante della sua rappresentazione:
(3)
dove 
– insieme, che corrisponde a un concetto sfocato, descrivendo generalmente più accuratamente la caratteristica X rispetto all'insieme 
, secondo il criterio di morbidezza; Re – grado di ricorsione della descrizione.
Si deve considerare che 
(riducibile a un insieme preciso) nel caso particolare se necessario.
Introduzione della dimensione frazionaria
Con Re = 1 l'insieme 
rappresenta un normale insieme sfocato di 2° grado, includendo come elementi insiemi sfocati (o le loro rappresentazioni precise) che descrivono tutti i valori della caratteristica X [1, 2]:
(4)
Tuttavia, questo è un caso degenerato, e nella rappresentazione più completa parte degli elementi 
possono essere insiemi complessi, mentre gli altri sono oggetti banali (estremamente semplici). Pertanto, per definire un tale insieme, è necessario introdurre la ricorsione frazionaria – equivalente alla dimensione frazionaria dello spazio (in questo contesto – lo spazio ontologico di un certo dominio) [3, 9].
Applicando Re frazionaria otteniamo la seguente notazione 
:
(5)
dove 
– insieme sfocato per il valore X1, 
– insieme sfocato per il valore X2 e così via.
In questo caso la ricorsione diventa per essenza frattale, e gli insiemi di descrizioni diventano auto-simili.
Definizione dell'insieme delle funzionalità del modulo
L'architettura di un sistema informativo aperto presuppone il principio di modularità, che garantisce scalabilità, replicazione, adattabilità e emergenza del sistema. La costruzione modulare permette di avvicinare al massimo la realizzazione tecnologica dei processi informativi alla loro incarnazione naturale e oggettiva nel mondo reale, sviluppando strumenti con caratteristiche funzionali ottimali, destinati non a sostituire le persone, ma a aiutarle efficacemente nella gestione della conoscenza.
Il modulo rappresenta un'entità autonoma del sistema informativo, che può essere obbligatoria o facoltativa per la sussistenza del sistema, ma in ogni caso fornisce un insieme unico di funzioni all'interno del sistema.
La varietà delle funzionalità dei moduli può essere descritta attraverso tre tipi di operazioni: creazione (inserimento di nuovi dati), modifica (cambiamento di dati già registrati), eliminazione (cancellazione di dati precedentemente registrati).
Sia X una certa caratteristica di queste funzionalità, quindi l'insieme corrispondente X può essere rappresentato come:
(6)
dove X1 è creazione, X2 è modifica, X3 è eliminazione,
(7)
In questo contesto, le funzionalità di qualsiasi modulo sono tali che la creazione di dati non è autoreferenziale (realizzata senza ricorsione - la funzione di creazione non si ripete), mentre la modifica e l'eliminazione possono includere sia un'implementazione per elemento (esecuzione di operazioni su elementi selezionati degli insiemi di dati) sia includere tali operazioni al loro interno.
Si deve notare che se l'operazione per la funzionalità X in questo modulo non viene eseguita (non è implementata nel sistema), allora l'insieme corrispondente a tale operazione è considerato vuoto.
Pertanto, per descrivere il concetto vago (affermazione) "il modulo consente di eseguire operazioni con il relativo insieme di dati per il sistema informativo" si considera un insieme vago. 
Nel caso più semplice, può essere rappresentato come:
(8)
Tale insieme, in generale, ha un grado di ricorsione pari a 1,6(6) ed è frattale e vago allo stesso tempo.
Preparazione degli scenari di utilizzo e test del modulo.
Nelle fasi di sviluppo e gestione del sistema informativo, sono necessari scenari specifici che descrivano l'ordine e il contenuto delle operazioni per l'uso dei moduli in base alla loro funzione (scenari di utilizzo, in inglese use-case), così come per verificare la conformità tra i risultati attesi e quelli reali del lavoro dei moduli (scenari di test, in inglese test-case).
Tenendo conto delle considerazioni esposte sopra, il processo di lavoro su tali scenari può essere descritto come segue.
Per il modulo si forma un insieme sfocato 
:
(9)
dove
– insieme sfocato per l'operazione di creazione dei dati in base alla funzionalità X;
– insieme sfocato per l'operazione di modifica dei dati in base alla funzionalità X, dove il grado di ricorsione a (inclusione della funzione) è un numero naturale e nel caso banale è pari a 1;
– insieme sfocato per l'operazione di eliminazione dei dati in base alla funzionalità X, dove il grado di ricorsione b (inclusione della funzione) è un numero naturale e nel caso banale è pari a 1.
Tale insieme descrive quali esattamente (quali oggetti dati) vengono creati, modificati e/o eliminati in qualsiasi variante di utilizzo del modulo.
Successivamente, si compila un insieme di scenari d'uso Ux per la funzionalità X per il modulo in esame, in ciascuno dei quali viene descritto per quale scopo (per quale compito aziendale) vengono creati, modificati e/o eliminati gli oggetti dati, descritti dall'insieme 
, e in quale ordine:
(10)
dove n è il numero di scenari d'uso per X.
Successivamente, viene creato un insieme di scenari di test Tx per la funzionalità X per ogni scenario d'uso del modulo in esame. Nel test sono descritti quali valori di dati e in quale ordine vengono utilizzati durante l'esecuzione dello scenario d'uso, nonché quale risultato deve essere raggiunto:
(11)
dove [D] rappresenta un array di dati di test, n è il numero di scenari di test per X.
Nel metodo descritto, il numero di scenari di test è pari al numero corrispondente di scenari d'uso, il che consente di semplificare il lavoro nella loro descrizione e aggiornamento man mano che il sistema evolve. Inoltre, tale algoritmo può essere utilizzato per automatizzare il testing dei moduli software del sistema informativo.
Conclusione
Il metodo di induzione sfocata presentato può essere implementato in diverse fasi del ciclo di vita di qualsiasi sistema informativo modulare, sia per accumulare la parte descrittiva della base di conoscenza sia per lavorare su scenari d'uso e test dei moduli.
Inoltre, l'induzione fuzzy aiuta a sintetizzare conoscenze sulla base di descrizioni fuzzy, simile a un «calidoscopio cognitivo», in cui alcuni elementi rimangono chiari e univoci, mentre altri vengono applicati secondo la regola dell'auto-similarità un numero specifico di volte per ogni insieme di dati noti. Complessivamente, gli insiemi fuzzy ottenuti formano un modello che può essere utilizzato sia per le esigenze di un sistema informativo che per la ricerca di nuove conoscenze in generale.
Questo tipo di metodologia può essere considerato una forma particolare di «intelligenza artificiale», tenendo conto del fatto che gli insiemi sintetizzati non devono contraddire il principio di incompletezza del ragionamento e sono destinati ad assistere l'intelletto umano, piuttosto che sostituirlo.
Elenco delle opere
- Borísov V.V., Fedulov A.S., Zernov M.M., «Fondamenti della teoria degli insiemi fuzzy». Mosca: Gorjachaia linija – Telekom, 2014. – 88 p.
- Borísov V.V., Fedulov A.S., Zernov M.M., «Fondamenti della teoria della logica fuzzy». Mosca: Gorjachaia linija – Telekom, 2014. – 122 p.
- Demenok S.L., «Frattale: tra mito e artigianato». Spb: Accademia di ricerca culturale, 2011. – 296 p.
- Zade L., «Fondamenti di un nuovo approccio all'analisi dei sistemi complessi e dei processi decisionali» / «Matematica oggi». M.: «Conoscenza», 1974. – pp. 5 – 49.
- Krants S., «La natura variabile della dimostrazione matematica». M.: Laboratorio di conoscenza, 2016. – 320 p.
- Mavrikidi F.I., «Matematica frattale e natura del cambiamento» / «Delfis», n. 54 (2/2008), .
- Mandelbrot B., «Geometria frattale della natura». M.: Istituto di ricerca informatica, 2002. – 656 p.
- «Fondamenti della teoria degli insiemi fuzzy: Indicazioni metodologiche», a cura di Korobova I.L., Dyakov I.A. Tambov: Edizioni dell'Università tecnica statale di Tambov, 2003. – 24 p.
- Uspensky V.A., «Apologia della matematica». M.: Alpina Non-fiction, 2017. – 622 p.
- Zimmerman H. J. «Teoria degli insiemi fuzzy – e le sue applicazioni», 4a edizione. Springer Science + Business Media, New York, 2001. – 514 p.
Fonte: habr.com
