«Se leggendo sulla gabbia dell'elefante trovi la scritta 'bufalo', non fidarti dei tuoi occhi» Kozyma Prutkov

Nella precedente articolo sulla progettazione orientata ai modelli è stato mostrato perché è necessaria una modello dell'oggetto e dimostrato che senza questo modello dell'oggetto si può parlare di progettazione orientata ai modelli solo come di una farsa di marketing, insensata e spietata. Ma con l'apparizione del modello dell'oggetto gli ingegneri competenti si pongono sempre la ragionevole domanda: quali sono le prove che il modello matematico dell'oggetto corrisponde all'oggetto reale.

Uno dei esempi di risposta a questa domanda è fornito in articolo sulla progettazione orientata ai modelli per azionamenti elettrici. In questo articolo analizzeremo un esempio di creazione di un modello per i sistemi di condizionamento dell'aria aerei, alternando la pratica con alcune considerazioni teoriche di carattere generale.

Creazione di un modello affidabile dell'oggetto. Teoria

Per non allungare il discorso, dirò subito l'algoritmo per la creazione di un modello per la progettazione orientata ai modelli. È composto da soli tre semplici passaggi:

Passo 1. Sviluppare un sistema di equazioni algebrico-differenziali che descrivano il comportamento dinamico del sistema modellato. È semplice se si conosce la fisica del processo. Molti scienziati hanno già sviluppato per noi le principali leggi fisiche a nome di Newton, Bernoulli, Navier-Stokes e vari altri.

Passo 2. Identificare nel sistema ottenuto un insieme di coefficienti empirici e caratteristiche dell'oggetto di modellazione, che possono essere ottenuti da prove.

Passo 3. Condurre esperimenti sull'oggetto e regolare il modello in base ai risultati degli esperimenti naturali, affinché corrisponda alla realtà con il grado di dettaglio necessario.

Come vedete, è facile, proprio due tre.

Esempio di attuazione pratica

Il sistema di condizionamento dell'aria (SCA) in aereo è connesso al sistema automatico di mantenimento della pressione. La pressione nell'aereo deve essere sempre maggiore della pressione esterna, mentre la velocità di variazione della pressione deve essere tale da evitare che ai piloti e ai passeggeri sanguinino dal naso e dalle orecchie. Pertanto, il sistema di controllo dell'afflusso e deflusso dell'aria è fondamentale per la sicurezza, e per la sua progettazione a terra vengono impiegati costosi sistemi di prova. In questi si creano temperature e pressioni a quote di volo, riproducono le modalità di decollo e atterraggio in aeroporti a diverse altitudini. E la questione dello sviluppo e della messa a punto dei sistemi di controllo per il SCA diventa cruciale. Quanto tempo dovremo testare il banco di prova per ottenere un sistema di controllo soddisfacente? Ovviamente, se regoliamo il modello di controllo sul modello dell'oggetto, il ciclo di lavoro sul banco di prova può essere notevolmente ridotto.

Il sistema di condizionamento dell'aria aereo è composto dagli stessi scambiatori di calore di qualsiasi altro sistema termico. Il radiatore è pur sempre un radiatore, solo che è un condizionatore. Ma a causa delle limitazioni del peso al decollo e delle dimensioni degli aerei, gli scambiatori di calore sono progettati per essere il più compatti e il più efficienti possibile, in modo da trasferire il maggior calore possibile con il minor peso. Di conseguenza, la geometria diventa alquanto fantasiosa. Come nel caso in esame. Nella figura 1 è presentato uno scambiatore di calore a piastre, in cui una membrana viene utilizzata tra le piastre per migliorare il trasferimento termico. Il fluido caldo e quello freddo si alternano nei canali, mentre la direzione del flusso è trasversale. Un fluido refrigerante è alimentato all'estremità frontale, l'altro - sul lato.

Per risolvere il problema del controllo del SCA, dobbiamo sapere quanto calore viene trasferito da un mezzo all'altro in uno scambiatore di calore in un'unità di tempo. Da questo dipende la velocità di variazione della temperatura, che regoliamo.

Figura 1. Schema dell'apparecchio di scambio termico aereo.

Problemi di modellazione. Parte idraulica

A prima vista, il compito sembra piuttosto semplice, è necessario calcolare il flusso di massa nei canali dello scambiatore di calore e il flusso termico tra i canali.
Il flusso di massa del fluido refrigerante nei canali è calcolato secondo la formula di Bernoulli:

dove:
ΔP – differenza di pressione tra due punti;
ξ – coefficiente di attrito del fluido refrigerante;
L – lunghezza del canale;
d – diametro idraulico del canale;
ρ – densità del fluido refrigerante;
ω – velocità del fluido refrigerante nel canale.

Per un canale di forma arbitraria, il diametro idraulico è calcolato secondo la formula:

dove:
F – area della sezione trasversale;
П – perimetro bagnato del canale.

Il coefficiente di attrito è calcolato utilizzando formule empiriche e dipende dalla velocità del flusso e dalle caratteristiche del fluido termico. Diverse geometrie portano a diverse relazioni, ad esempio la formula per il flusso turbolento in tubi lisci:

dove:
Re – numero di Reynolds.

Per il flusso in canali piatti, si può utilizzare la seguente formula:

Dalla formula di Bernoulli è possibile calcolare la caduta di pressione per una data velocità oppure, viceversa, calcolare la velocità del fluido termico nel canale, dato un calo di pressione.

Scambio termico

Il flusso termico tra il fluido termico e la parete è calcolato con la formula:

dove:
α [W/(m²×°C)] – coefficiente di scambio termico;
F – area della sezione trasversale.

Per i problemi di flusso dei fluidi termici nei tubi, sono stati condotti diversi studi e esistono molte metodologie di calcolo, che generalmente si traducono in relazioni empiriche per il coefficiente di scambio termico α [W/(m²×°C)]

dove:
Nu – numero di Nusselt,
λ – coefficiente di conducibilità termica del liquido [W/(m×°C)]
d – diametro idraulico (equivalente).

Per calcolare il numero (criterio) di Nusselt si usano relazioni empiriche critiche, ad esempio la formula per calcolare il numero di Nusselt di un tubo rotondo è così:

Qui si vede già il numero di Reynolds, il numero di Prandtl alla temperatura della parete e alla temperatura del liquido e il coefficiente di non uniformità. (Fonte)

Per i scambiatori di calore a piastre ondulate, la formula è simile ( Fonte ):

dove:
n = 0.73 m = 0.43 per flusso turbolento,
il coefficiente α varia tra 0,065 e 0,6 a seconda del numero di piastre e delle modalità di flusso.

Si tenga presente che questo coefficiente è calcolato solo per un punto nel flusso. Per il punto successivo avremo una temperatura del liquido diversa (che si è riscaldata o raffreddata), una diversa temperatura della parete e, di conseguenza, tutte le cifre di Reynolds e di Prandtl cambieranno.

A questo punto, qualsiasi matematico dirà che è impossibile calcolare con precisione un sistema in cui il coefficiente varia di dieci volte, e avrà ragione.

Qualsiasi ingegnere pratico dirà che ogni scambiatore di calore differisce durante la produzione e che non è possibile calcolare i sistemi, e anche lui avrà ragione.

E allora che dire della progettazione orientata ai modelli? È tutto perduto?

I venditori esperti di software occidentale in questo punto cercheranno di convincervi che avete bisogno di super computer e sistemi di calcolo 3D, tipo "senza di esso non si può". E bisogna far partire il calcolo per un giorno per ottenere la distribuzione delle temperature in un minuto.

È chiaro che non è la nostra opzione, dobbiamo ottimizzare il sistema di controllo, se non in tempo reale, almeno in un periodo di tempo prevedibile.

Soluzione per tentativi

Si costruisce uno scambiatore di calore, si effettuano una serie di test e si compila una tabella di efficienza della temperatura stabilizzata per i dati flussi dei fluidi termici. Semplice, veloce e affidabile, poiché i dati sono stati ottenuti dagli esperimenti.

Lo svantaggio di questo approccio è che non ci sono caratteristiche dinamiche dell'oggetto. Sì, sappiamo quale sarà il flusso termico stabilizzato, ma non sappiamo in quanto tempo si stabilizzerà passando da una modalità operativa all'altra.

Pertanto, calcolando le caratteristiche necessarie, ci adattiamo al sistema di controllo direttamente nelle prove, cosa che ci sarebbe piaciuto evitare fin dall'inizio.

Approccio orientato ai modelli

Per creare un modello di scambiatore di calore dinamico è necessario utilizzare i dati degli esperimenti, per eliminare le incertezze nelle formule empiriche di calcolo – numero di Nusselt e resistenza idraulica.

La soluzione è semplice, come tutte le cose geniali. Prendiamo la formula empirica, conduciamo esperimenti e determiniamo il valore del coefficiente a, eliminando così l'incertezza nella formula.

Una volta che abbiamo un valore definito del coefficiente di scambio termico, tutti gli altri parametri sono determinati dalle leggi fisiche fondamentali della conservazione. La differenza di temperatura e il coefficiente di scambio termico determinano la quantità di energia trasferita nel canale per unità di tempo.

Conoscendo il flusso di energia, è possibile risolvere le equazioni di conservazione della massa, dell'energia e dell'impulso per il fluido termico nel canale idraulico. Ad esempio, questo:

Nel nostro caso, resta indeterminato il flusso di calore tra la parete e il fluido termico — Qwall. Maggiori dettagli possono essere visti qui...

E anche l'equazione del cambiamento di temperatura per la parete del canale:

dove:
ΔQwall – differenza tra il flusso entrante e uscente sulla parete del canale;
M – massa della parete del canale;
Cpc – capacità termica del materiale della parete.

Precisione del modello

Come accennato in precedenza, nel cambiamento di calore abbiamo una distribuzione della temperatura sulla superficie della piastra. Per un valore stabile, possiamo prendere la media tra le piastre e utilizzarla, rappresentando l'intero scambiatore di calore come un unico punto concentrato, in cui si verifica uno scambio di calore attraverso tutta la superficie dello scambiatore stesso. Tuttavia, per le modalità transitorie, tale approssimazione potrebbe non funzionare. L'altro estremo sarebbe fare centinaia di migliaia di punti e sovraccaricare un supercomputer, che non è adatto, poiché l'obiettivo è configurare il sistema di controllo in tempo reale, preferibilmente in modo più veloce.

Sorge la domanda: in quanti segmenti deve essere diviso lo scambiatore di calore per ottenere una precisione e una velocità di calcolo accettabili?

Come sempre, per caso ho avuto a disposizione un modello di scambiatore di calore a base di ammina. Il dispositivo di scambio termico è costituito da un tubo in cui circola un fluido riscaldante, mentre tra le tubazioni scorre un fluido da riscaldare. Per semplificare il compito, l'intero tubo dello scambiatore di calore può essere rappresentato come un'unica tubazione equivalente, e questa tubazione può essere vista come un insieme di celle di calcolo discreto, in ciascuna delle quali avviene il calcolo del modello di scambio di calore. Lo schema del modello di una cella è mostrato nella figura 2. Il condotto dell'aria calda e il condotto dell'aria fredda sono collegati attraverso una parete che consente il trasferimento del flusso termico tra i condotti.

Figura 2. Modello della cella dello scambiatore di calore.

Il modello dello scambiatore di calore a tubo è facilmente configurabile. È possibile cambiare un solo parametro: il numero di segmenti lungo il tubo e osservare i risultati dei calcoli con diverse suddivisioni. Effettueremo il calcolo di diverse opzioni, iniziando dalla suddivisione in 5 punti lungo (fig. 3) fino a 100 punti lungo (fig. 4).

Figura 3. Distribuzione della temperatura stazionaria per 5 punti di calcolo.

Figura 4. Distribuzione della temperatura stazionaria per 100 punti di calcolo.

A seguito dei calcoli, si è ottenuto che la temperatura stazionaria con una suddivisione in 100 punti è di 67,7 gradi. Con una suddivisione in 5 punti di calcolo, la temperatura risulta essere 72,66 gradi Celsius.

Nella parte inferiore della finestra viene inoltre visualizzata la velocità di calcolo rispetto al tempo reale.
Osserviamo come cambia la temperatura stazionaria e la velocità di calcolo a seconda del numero di punti di calcolo. La differenza delle temperature stazionarie calcolate con diverse quantità di celle di calcolo può essere utilizzata per valutare l'accuratezza del risultato ottenuto.

Tabella 1. Dipendenza della temperatura e della velocità di calcolo dal numero di punti di calcolo lungo lo scambiatore di calore.

Analizzando questa tabella, si possono trarre le seguenti conclusioni:

• La velocità di calcolo diminuisce proporzionalmente al numero di punti di calcolo nel modello dello scambiatore di calore.
• La variazione di precisione dei calcoli avviene in modo esponenziale. Con l'aumento del numero di punti, il miglioramento a ciascun successivo incremento diminuisce.

Nel caso di uno scambiatore di calore a piastre con flusso incrociato del fluido termovettore, come indicato nella figura 1, la creazione di un modello equivalente di celle di calcolo elementari risulta leggermente più complessa. Dobbiamo collegare le celle in modo tale da organizzare il flusso incrociato. Per 4 celle, lo schema appare come mostrato nella figura 5.

Il flusso del fluido termovettore si divide tra il ramo caldo e quello freddo in due canali, che si uniscono attraverso strutture termiche in modo che, passando nel canale, il fluido termovettore scambi calore con i diversi canali. Modellando il flusso incrociato, il fluido termovettore caldo scorre da sinistra a destra (v. fig. 5) in ciascun canale, scambiando calore con i canali del fluido termovettore freddo, che scorre dal basso verso l'alto (v. fig. 5). Il punto più caldo si trova nell'angolo in alto a sinistra, poiché il fluido termovettore caldo scambia calore con il fluido già riscaldato del canale freddo. Il punto più freddo si trova in basso a destra, dove il fluido termovettore freddo scambia calore con il fluido termovettore caldo, già raffreddato nella prima sezione.

Figura 5. Modello del flusso trasversale di 4 celle di calcolo.

Tale modello per lo scambiatore di calore a piastre non tiene conto del trasferimento di calore tra le celle per conduzione termica e non considera la miscelazione del fluido termovettore, poiché ciascun canale è isolato.

Tuttavia, nel nostro caso, l'ultima limitazione non riduce l'accuratezza, poiché nella costruzione dello scambiatore di calore, una membrana ondulata separa il flusso in molti canali isolati per il fluido termovettore (vedi figura 1). Vediamo come cambia l'accuratezza del calcolo nella modellazione dello scambiatore di calore a piastre aumentando il numero di celle di calcolo.

Per analizzare l'accuratezza, utilizziamo due varianti di suddivisione dello scambiatore di calore in celle di calcolo:

1. Ogni cella quadrata contiene due elementi idraulici (flussi freddi e caldi) e un elemento termico. (vedi figura 5)
2. Ogni cella quadrata contiene sei elementi idraulici (tre sezioni per i flussi caldi e freddi) e tre elementi termici.

Nel caso finale, utilizziamo due tipi di connessione:

• flusso opposto dei flussi caldi e freddi;
• flusso parallelo dei flussi caldi e freddi.

Il flusso opposto aumenta l'efficienza rispetto a quello incrociato, mentre il flusso parallelo la riduce. Con un numero elevato di celle, si verifica un livellamento del flusso e tutto si avvicina a un reale flusso trasversale (vedi figura 6).

Figura 6. Modello di flusso trasversale di quattro celle con 3 elementi.

Nella figura 7 sono presentati i risultati della distribuzione della temperatura stazionaria nello scambiatore di calore durante l'immissione di aria calda a 150 °C e di aria fredda a 21 °C, per diverse varianti di suddivisione del modello. Il colore e i numeri sulla cella riflettono la temperatura media della parete nella cella di calcolo.

Figura 7. Temperature stazionarie per diversi schemi di calcolo.

Nella tabella 2 è riportata la temperatura stazionaria dell'aria riscaldata dopo lo scambiatore di calore in base alla suddivisione del modello di scambiatore di calore in celle.

Tabella 2. Dipendenza della temperatura dal numero di celle di calcolo nello scambiatore di calore.

Aumentando il numero di celle di calcolo nel modello si osserva un incremento della temperatura finale stazionaria. La differenza tra la temperatura stazionaria per diverse suddivisioni può essere considerata come un indicatore dell'accuratezza del calcolo. Si nota che aumentando il numero di celle di calcolo, la temperatura tende a un limite, e l'aumento dell'accuratezza non è proporzionale al numero di punti di calcolo.

Sorge la domanda, quale accuratezza del modello ci serve?

La risposta a questa domanda dipende dallo scopo del nostro modello. Poiché in questo articolo si parla di progettazione orientata al modello, stiamo creando un modello per ottimizzare il sistema di controllo. Ciò significa che l'accuratezza del modello deve essere comparabile con l'accuratezza dei sensori utilizzati nel sistema.

Nel nostro caso, la temperatura è misurata da una termocoppia, la quale ha un'accuratezza di ±2.5°C. Qualsiasi accuratezza maggiore per scopi di ottimizzazione del sistema di controllo è inutile, il nostro reale sistema di controllo semplicemente non la 'percepirà'. Pertanto, se consideriamo che la temperatura limite con un numero infinito di suddivisioni è di 70 °C, un modello che ci fornisce più di 67.5 °C sarà sufficientemente accurato. Tutti i modelli con 3 punti nella cella di calcolo e modelli maggiori di 5x5 con un punto nella cella. (Evidenziati in verde nella tabella 2)

Modalità di funzionamento dinamiche

Per valutare la modalità dinamica, consideriamo il processo di variazione della temperatura nei punti più caldi e freddi della parete dello scambiatore di calore per diverse varianti degli schemi di calcolo. (vedi figura 8)

Figura 8. Riscaldamento dello scambiatore di calore. Modelli di dimensioni 2x2 e 10x10.

Si nota che il tempo del processo transitorio e il suo stesso carattere, praticamente non dipendono dal numero di celle di calcolo, ma sono determinati esclusivamente dalla massa del metallo riscaldato.

Pertanto, possiamo concludere che per una corretta modellazione dello scambiatore di calore in modalità da 20 a 150 °C, con l'accuratezza necessaria per il sistema di controllo, è sufficiente un numero di 10-20 punti di calcolo.

Ottimizzazione del modello dinamico sulla base dell'esperimento

Avendo un modello matematico, così come i dati sperimentali sul soffiaggio dello scambiatore di calore, dobbiamo semplicemente fare una correzione, ovvero, introdurre un coefficiente di intensificazione nel modello, in modo che il calcolo coincida con i risultati dell'esperimento.

Inoltre, utilizzando l'ambiente grafico per la creazione del modello, lo faremo automaticamente. Nella figura 9 è presentato l'algoritmo per la selezione dei coefficienti di intensificazione del trasferimento di calore. I dati ottenuti dall'esperimento vengono inseriti, viene collegato il modello dello scambiatore di calore, e in output si ottengono i coefficienti necessari per ciascuna delle modalità.

Figura 9. Algoritmo per la selezione del coefficiente di intensificazione in base ai risultati dell'esperimento.

Così definiamo il coefficiente per il numero di Nusselt, eliminando l'incertezza nelle formule di calcolo. I valori dei coefficienti correttivi possono variare a seconda delle diverse modalità operative e temperature, tuttavia, per modalità operative simili (funzionamento normale), risultano essere piuttosto vicini. Ad esempio, per questo scambiatore di calore, il coefficiente varia da 0.492 a 0.655 in diverse modalità.

Se applichiamo un coefficiente di 0.6, l'errore di calcolo nelle modalità operative esaminate sarà minore dell'errore della termocoppia; pertanto, per il sistema di controllo, il modello matematico dello scambiatore di calore sarà del tutto adeguato rispetto al modello reale.

Risultati della regolazione del modello dello scambiatore di calore

Per valutare la qualità dello scambio termico, si utilizza una caratteristica speciale: l'efficienza:

dove:
effcal – efficienza dello scambiatore di calore per il fluido caldo;
Tcalin – temperatura all'ingresso dello scambiatore di calore per il fluido caldo;
Tcalout – temperatura all'uscita dello scambiatore di calore per il fluido caldo;
Tfreddoin – temperatura all'ingresso nello scambiatore di calore per il fluido freddo.

Nella Tabella 3 sono riportati i valori di deviazione dell'efficienza del modello dello scambiatore di calore rispetto a quello sperimentale per diversi flussi nei circuiti caldo e freddo.

Tabella 3. Errori di calcolo dell'efficienza dello scambio termico in %

Nel nostro caso, il coefficiente selezionato può essere utilizzato in tutte le modalità di interesse. Se a basse portate, dove l'errore è maggiore, non si raggiunge la precisione necessaria, possiamo utilizzare un coefficiente di intensificazione variabile, che dipenderà dal flusso attuale.

Ad esempio, nella figura 10 il coefficiente di intensificazione viene calcolato in base alla formula specificata, a seconda del flusso corrente nelle celle del canale.

Figura 10. Coefficiente di intensificazione variabile dello scambio termico.

Conclusioni

• La conoscenza delle leggi fisiche consente di creare modelli dinamici dell'oggetto per la progettazione orientata al modello.
• Il modello deve essere verificato e regolato sulla base dei dati di prova.
• Gli strumenti per lo sviluppo di modelli devono consentire allo sviluppatore di adattare il modello in base ai risultati delle prove dell'oggetto.
• Utilizza il corretto approccio orientato al modello e sarai felice!

Bonus per coloro che hanno letto fino in fondo. Video del funzionamento del modello virtuale del sistema SKV.

Solo gli utenti registrati possono partecipare al sondaggio. Accedi, per favore.

Di cosa parlare ancora?

• 76,2%Come dimostrare che il programma nel modello corrisponde al programma nell'hardware.

• 23,8%Come utilizzare i calcoli su SuperComputer per la progettazione orientata al modello.

Hanno votato 21 utenti. 1 utente si è astenuto.

Fonte: habr.com