«Se leggi sulla gabbia di un elefante la scritta «bufalo», non fidarti dei tuoi occhi» Koz'ma Prutkov

Nella parte precedente articolo sulla progettazione orientata ai modelli è stato dimostrato il motivo per cui è necessario un modello dell'oggetto e si è dimostrato che senza questo modello dell'oggetto si può parlare di progettazione basata su modelli solo come di una fuffa di marketing, priva di senso e spietata. Ma con l'emergere del modello dell'oggetto, agli ingegneri competenti sorge sempre un legittimo interrogativo: quali sono le prove che il modello matematico dell'oggetto corrisponde all'oggetto reale.

Uno degli esempi di risposta a questa domanda è riportato in articolo sulla progettazione orientata ai modelli di azionamenti elettrici. In questo articolo esamineremo un esempio di creazione di un modello per i sistemi di climatizzazione aerea, mescolando la pratica con alcune considerazioni teoriche di carattere generale.

Creazione di un modello affidabile dell'oggetto. Teoria

Per non allungare il discorso, parlerò subito dell'algoritmo di creazione del modello per la progettazione orientata ai modelli. Ci sono solo tre semplici passi:

Passo 1. Sviluppare un sistema di equazioni algebriche-differenziali che descrivano il comportamento dinamico del sistema modellato. È semplice, se si conosce la fisica del processo. Molti scienziati hanno già sviluppato per noi le leggi fisiche fondamentali di Newton, Bernoulli, Navier-Stokes e altri.

Passo 2. Evidenziare nel sistema ottenuto un insieme di coefficienti empirici e caratteristiche dell'oggetto di modellazione, che possono essere ottenuti da esperimenti.

Passo 3. Eseguire esperimenti sull'oggetto e regolare il modello in base ai risultati degli esperimenti reali, affinché corrisponda alla realtà, con il giusto grado di dettaglio.

Come puoi vedere, è semplice, proprio due e tre.

Esempio di attuazione pratica

Il sistema di climatizzazione dell'aria (SKV) nell'aereo è collegato al sistema di mantenimento automatico della pressione. La pressione all'interno dell'aereo deve essere sempre superiore alla pressione atmosferica esterna, e la velocità di variazione della pressione deve essere tale da non far sanguinare il naso e le orecchie ai piloti e ai passeggeri. Pertanto, il sistema di controllo del flusso d'aria in ingresso e in uscita è fondamentale per la sicurezza, e per il suo sviluppo a terra vengono utilizzati costosi sistemi di collaudo. Questi creano temperature e pressioni tipiche dell'altitudine di volo, riproducono le condizioni di decollo e atterraggio in aeroporti a diverse altitudini. E la questione dello sviluppo e del collaudo dei sistemi di controllo per il SKV emerge in modo significativo. Quanto tempo impiegheremo a testare il banco di prova per ottenere un sistema di controllo soddisfacente? Ovviamente, se impostiamo il modello di controllo sul modello dell'oggetto, il ciclo di lavoro sul banco di prova può essere notevolmente ridotto.

Il sistema di climatizzazione dell'aria dell'aviazione è composto da scambiatori di calore simili a qualsiasi altro sistema termico. Il radiatore è un radiatore, anche in Africa, solo che è un condizionatore. Tuttavia, a causa delle limitazioni di peso e dimensioni degli aeromobili, gli scambiatori di calore vengono realizzati il più compatti ed efficienti possibile, affinché trasferiscano la massima quantità di calore con il minor peso possibile. Di conseguenza, la geometria diventa piuttosto bizzarra. Come nel caso in esame. Nella figura 1 è rappresentato uno scambiatore di calore a piastre, in cui tra le piastre viene utilizzata una membrana per migliorare lo scambio termico. I fluidi termici caldo e freddo si alternano nei canali, con un flusso trasversale.

Per risolvere il compito di controllo del SKV, dobbiamo sapere quanto calore viene trasferito da un ambiente all'altro in uno scambiatore di calore in un'unità di tempo. Da questo dipende la velocità di variazione della temperatura, che noi regoliamo.

Figura 1. Schema dell'apparato di scambio termico aeronautico.

Problemi di modellazione. Parte idraulica

A prima vista, il problema è abbastanza semplice: è necessario calcolare il flusso di massa nei canali dello scambiatore di calore e il flusso di calore tra i canali.
Il consumo massimale del fluido termico nei canali è calcolato con la formula di Bernoulli:

dove:
ΔP – differenza di pressione tra due punti;
ξ – coefficiente di attrito del fluido termico;
L – lunghezza del canale;
d – diametro idraulico del canale;
ρ – densità del fluido termico;
ω – velocità del fluido termico nel canale.

Per un canale di forma arbitraria, il diametro idraulico è calcolato con la formula:

dove:
F – area della sezione trasversale;
P – perimetro bagnato del canale.

Il coefficiente di attrito è calcolato con formule empiriche e dipende dalla velocità di flusso e dalle proprietà del fluido termico. Per geometrie diverse si ottengono dipendenze diverse, ad esempio la formula per il flusso turbolento in tubi lisci:

dove:
Re – numero di Reynolds.

Per il flusso in canali piatti si può utilizzare la seguente formula:

Dalla formula di Bernoulli si può calcolare la differenza di pressione per una data velocità, oppure viceversa calcolare la velocità del fluido termico nel canale, data una differenza di pressione.

Scambio termico

Il flusso termico tra il fluido termico e la parete è calcolato con la formula:

dove:
α [W/(m²×gradi)] – coefficiente di scambio termico;
F – area della sezione trasversale.

Per le problematiche del flusso di fluidi termici nelle tubazioni, sono stati condotti un numero sufficiente di studi e esistono molteplici metodi di calcolo, e in genere tutto si riduce a dipendenze empiriche, per il coefficiente di scambio termico α [W/(m²×gradi)]

dove:
Nu – numero di Nusselt,
λ – coefficiente di conducibilità termica del liquido [W/(m×gradi)]
d – diametro idraulico (equivalente).

Per il calcolo del numero (criterio) di Nusselt vengono utilizzate dipendenze critiche empiriche, ad esempio la formula per il calcolo del numero di Nusselt di un tubo rotondo è la seguente:

Qui vediamo già il numero di Reynolds, il numero di Prandtl a una certa temperatura della parete e temperatura del liquido, e il coefficiente di non uniformità. (Fonte)

Per i scambiatori di calore a piastre corrugate la formula è simile ( Fonte ):

dove:
n = 0,73 m = 0,43 per flusso turbolento,
il coefficiente a – varia tra 0,065 e 0,6 a seconda del numero di piastre e della modalità di flusso.

Tenendo conto che questo coefficiente viene calcolato solo per un singolo punto nel flusso. Per il punto successivo abbiamo un'altra temperatura del fluido (è aumentata o diminuita), un'altra temperatura della parete e, di conseguenza, variano tutti i numeri di Reynolds e di Prandtl.

In questo caso, qualsiasi matematico dirà che calcolare esattamente un sistema in cui il coefficiente cambia di 10 volte è impossibile, e avrà ragione.

Qualsiasi ingegnere pratico dirà che ogni scambiatore di calore è diverso nella produzione e calcolare i sistemi è impossibile, e anche lui avrà ragione.

E come sta la progettazione orientata ai modelli? È tutto sprecato?

I venditori avanzati di software occidentale in questo punto ti presenteranno super computer e sistemi di calcolo 3D, tipo "senza di lui non si può fare". E bisogna avviare il calcolo per un giorno per ottenere la distribuzione delle temperature in un minuto.

È chiaro che questo non è il nostro caso, dobbiamo tarare il sistema di controllo, se non in tempo reale, almeno in un tempo ragionevole.

Soluzione sperimentale

Viene realizzato uno scambiatore di calore, si eseguono una serie di prove e si stabilisce una tabella di efficacia della temperatura stabilita a fronte di flussi di calore specifici. Semplice, veloce e affidabile, poiché i dati provengono da test.

Il difetto di questo approccio è che non ci sono caratteristiche dinamiche dell'oggetto. Sì, sappiamo quale sarà il flusso termico stabilito, ma non sappiamo in quanto tempo si stabilizzerà al passaggio da una modalità all'altra.

Pertanto, calcolando le caratteristiche necessarie, tareremo il sistema di controllo direttamente durante le prove, cosa che inizialmente volevamo evitare.

Approccio orientato ai modelli

Per creare un modello di scambiatore di calore dinamico è necessario utilizzare i dati delle prove per eliminare le incertezze nelle formule empiriche di calcolo – numero di Nusselt e resistenza idraulica.

La soluzione è semplice, come ogni cosa geniale. Prendiamo la formula empirica, svolgiamo esperimenti e determiniamo il valore del coefficiente a, eliminando così l'incertezza nella formula.

Non appena abbiamo ottenuto un valore specifico del coefficiente di scambio di calore, tutti gli altri parametri sono determinati dalle leggi fondamentali della conservazione fisica. La differenza di temperatura e il coefficiente di trasferimento di calore determinano la quantità di energia trasferita nel canale per unità di tempo.

Conoscendo il flusso di energia, è possibile risolvere le equazioni di conservazione della massa, dell'energia e dell'impulso per il fluido termovettore nel canale idraulico. Ad esempio, così:

Nel nostro caso, rimane indeterminato il flusso di calore tra la parete e il fluido termovettore — Qwall. Maggiori dettagli possono essere visti qui…

E anche l'equazione della derivata della temperatura per la parete del canale:

dove:
ΔQwall – la differenza tra il flusso in entrata e quello in uscita sulla parete del canale;
M – massa della parete del canale;
Cpc – capacità termica del materiale della parete.

Precisione del modello

Come accennato in precedenza, nel scambiatore di calore abbiamo una distribuzione di temperatura sulla superficie della piastra. Per un valore stazionario, è possibile prendere una media tra le piastre e utilizzarla, rappresentando l'intero scambiatore di calore come un unico punto concentrato, in cui, a un certo salto di temperatura, si verifica il trasferimento di calore attraverso tutta la superficie dello scambiatore. Ma per le modalità transitorie questo approccio potrebbe non funzionare. L'altro estremo è creare diverse centinaia di migliaia di punti e sovraccaricare un supercomputer, il che non è adatto nemmeno a noi, poiché abbiamo l'obiettivo di impostare il sistema di controllo in tempo reale, e meglio più velocemente.

Sorge la domanda: in quante sezioni è necessario suddividere lo scambiatore di calore per ottenere una precisione e una velocità di calcolo accettabili?

Come sempre, fortuitamente ho avuto a disposizione un modello di scambiatore di calore ad ammina. L'apparecchiatura di scambio di calore è costituita da un tubo, in cui scorre il fluido riscaldante, e tra i tubi – il fluido riscaldato. Per semplificare il compito, l'intero sistema di tubi dello scambiatore di calore può essere rappresentato come un'unica tubazione equivalente, e la tubazione stessa può essere rappresentata come un insieme di celle di calcolo discrete, in ciascuna delle quali avviene il calcolo del modello puntuale dello scambio di calore. Lo schema del modello di una cella è riportato nella figura 2. Il canale dell'aria calda e il canale dell'aria fredda sono collegati attraverso una parete, che garantisce il trasferimento del flusso termico tra i canali.

Figura 2. Modello della cella dello scambiatore di calore.

Il modello del scambiatore di calore a tubi è facilmente regolabile. Si può cambiare solo un parametro: il numero di sezioni lungo il tubo e osservare i risultati del calcolo con diverse suddivisioni. Effettueremo il calcolo di diverse varianti, a partire dalla suddivisione in 5 punti lungo (fig. 3) fino a 100 punti lungo (fig. 4).

Figura 3. Distribuzione stazionaria della temperatura in 5 punti di calcolo.

Figura 4. Distribuzione stazionaria della temperatura in 100 punti di calcolo.

Come risultato dei calcoli, si è ottenuto che la temperatura stabilita con la suddivisione in 100 punti è di 67,7 °C. Mentre con la suddivisione in 5 punti di calcolo, la temperatura è di 72,66 °C.

Inoltre, nella parte inferiore della finestra viene visualizzata la velocità di calcolo rispetto al tempo reale.
Osserviamo come cambia la temperatura stabilita e la velocità di calcolo in base al numero di punti di calcolo. La differenza tra le temperature stabilite nei calcoli con diversi numeri di celle di calcolo può essere utilizzata per valutare l'accuratezza del risultato ottenuto.

Tabella 1. Dipendenza della temperatura e della velocità di calcolo dal numero di punti di calcolo lungo lo scambiatore di calore.

Analizzando questa tabella, si possono trarre le seguenti conclusioni:

• La velocità di calcolo diminuisce proporzionalmente al numero di punti di calcolo nel modello dello scambiatore di calore.
• La modifica dell'accuratezza del calcolo avviene in modo esponenziale. Con l'aumento del numero di punti, il miglioramento in ogni aumento successivo diminuisce.

Nel caso dello scambiatore di calore a piastre con flusso incrociato del fluido, come mostrato in figura 1, la creazione di un modello equivalente di celle di calcolo elementari è leggermente complicata. Dobbiamo collegare le celle in modo da organizzare il flusso incrociato. Per 4 celle il diagramma apparirà come mostrato in figura 5.

Il flusso del fluido termico si divide in un ramo caldo e uno freddo in due canali, che si connettono attraverso strutture termiche in modo che il fluido termico scambi calore con diversi canali durante il suo passaggio. Modellando il flusso incrociato, il fluido termico caldo scorre da sinistra a destra (vedi fig. 5) in ogni canale, scambiando successive quantità di calore con i canali del fluido termico freddo, che scorre dal basso verso l'alto (vedi fig. 5). Il punto più caldo si trova nell'angolo in alto a sinistra, poiché il fluido termico caldo scambia calore con il fluido termico già riscaldato nel canale freddo. E il più freddo si trova in basso a destra, dove il fluido termico freddo scambia calore con il fluido termico caldo, già raffreddatosi nella prima sezione.

Figura 5. Modello del flusso trasversale di 4 celle di calcolo.

Tale modello per il scambiatore di calore a piastre non tiene conto del trasferimento di calore tra le celle a causa della conducibilità termica e non considera la miscelazione del fluido termico, poiché ogni canale è isolato.

Ma nel nostro caso, l'ultima limitazione non riduce l'accuratezza, poiché nella struttura dello scambiatore di calore una membrana ondulata separa il flusso in molti canali isolati per il fluido termico (vedi fig. 1). Vediamo cosa succede all'accuratezza del calcolo modellando uno scambiatore di calore a piastre aumentando il numero delle celle di calcolo.

Per analizzare l'accuratezza, utilizziamo due varianti di suddivisione dello scambiatore di calore in celle di calcolo:

1. Ogni cella quadrata contiene due elementi idraulici (flussi freddo e caldo) e un elemento termico. (vedi figura 5)
2. Ogni cella quadrata contiene sei elementi idraulici (tre sezioni nei flussi caldo e freddo) e tre elementi termici.

Nel caso finale utilizziamo due tipi di connessione:

• flusso opposto del fluido termico freddo e caldo;
• flusso parallelo del fluido termico freddo e caldo.

Il flusso opposto aumenta l'efficienza rispetto a quello incrociato, mentre il flusso parallelo la diminuisce. Con un alto numero di celle, si verifica una media sul flusso e tutto diventa vicino al reale flusso trasversale (vedi figura 6).

Figura 6. Modello del flusso trasversale di quattro celle con 3 elementi.

Nella figura 7 sono riportati i risultati della distribuzione di temperatura stazionaria nel scambiatore di calore con l'aria calda fornita a 150 °C e quella fredda a 21 °C, per diverse varianti di suddivisione del modello. Il colore e i numeri nella cella riflettono la temperatura media della parete nella cella calcolata.

Figura 7. Temperature stazionarie per diversi schemi di calcolo.

Nella tabella 2 è riportata la temperatura stazionaria dell'aria riscaldata dopo lo scambiatore di calore in funzione della suddivisione del modello dello scambiatore di calore in celle.

Tabella 2. Dipendenza della temperatura dal numero di celle di calcolo nello scambiatore di calore.

Con l'aumento del numero di celle di calcolo nel modello, cresce la temperatura stazionaria finale. La differenza di temperatura stazionaria tra le diverse suddivisioni può essere considerata un indicatore di accuratezza del calcolo. È evidente che, aumentando il numero di celle di calcolo, la temperatura tende a un limite, e l'aumento dell'accuratezza non è proporzionale al numero di punti di calcolo.

Sorge la domanda: quale accuratezza del modello è necessaria per noi?

La risposta a questa domanda dipende dall'uso previsto del nostro modello. Poiché in questo articolo si parla di progettazione orientata al modello, creiamo il modello per regolare il sistema di controllo. Ciò significa che l'accuratezza del modello deve essere comparabile con l'accuratezza dei sensori utilizzati nel sistema.

Nel nostro caso, la temperatura è misurata da una termocoppia, che ha un'accuratezza di ±2,5 °C. Qualsiasi accuratezza superiore a questo per scopi di regolazione del sistema di controllo è inutile, il nostro reale sistema di controllo semplicemente "non la vedrà". Pertanto, se assumiamo che la temperatura limite con un numero infinito di suddivisioni sia di 70 °C, un'accuratezza sufficiente sarà data da un modello che ci fornisce più di 67,5 °C. Tutti i modelli con 3 punti nella cella di calcolo e modelli superiori a 5x5 con un punto nella cella. (Evidenziati in verde nella tabella 2)

Modalità di funzionamento dinamiche

Per valutare la modalità dinamica, consideriamo il processo di variazione della temperatura nei punti più caldi e freddi della parete dello scambiatore di calore per diverse varianti di schemi di calcolo. (vedi fig. 8)

Figura 8. Riscaldamento dello scambiatore di calore. Modelli di dimensione 2x2 e 10x10.

È chiaro che il tempo del processo transitorio e la sua natura, praticamente non dipendono dal numero di celle di calcolo e sono determinati esclusivamente dalla massa del metallo riscaldato.

Pertanto, possiamo concludere che per una corretta modellazione dello scambiatore di calore in modalità da 20 a 150 °C, con la precisione necessaria per il sistema di controllo SKV, sono sufficienti circa 10 - 20 punti di calcolo.

Impostazione del modello dinamico basato sull'esperimento

Avendo un modello matematico, così come i dati sull'esperimento relativo al soffiaggio dello scambiatore di calore, ci rimane da fare una semplice correzione, cioè introdurre un coefficiente di intensificazione nel modello, in modo tale che il calcolo coincida con i risultati dell'esperimento.

Inoltre, utilizzando un ambiente grafico per la creazione del modello, lo faremo automaticamente. Nella figura 9 è presentato l'algoritmo per la selezione dei coefficienti di intensificazione del trasferimento di calore. In input vengono forniti i dati ottenuti dall'esperimento, viene collegato il modello dello scambiatore di calore e in output si ottengono i coefficienti necessari per ciascuna delle modalità.

Figura 9. Algoritmo per la selezione del coefficiente di intensificazione basato sui risultati dell'esperimento.

Così definiamo quel coefficiente per il numero di Nusselt e eliminiamo l'incertezza nelle formule di calcolo. Per diverse modalità di funzionamento e temperature, i valori dei coefficienti correttivi possono variare, tuttavia per modalità di funzionamento simili (utilizzo normale) risultano essere abbastanza vicini. Ad esempio, per questo scambiatore di calore, per le diverse modalità il coefficiente varia da 0.492 a 0.655.

Se si applica un coefficiente di 0.6, allora nei regimi di lavoro analizzati l'errore di calcolo sarà inferiore all'errore della termocoppia, pertanto, per il sistema di controllo, il modello matematico dello scambiatore di calore sarà completamente adeguato al modello reale.

Risultati dell'impostazione del modello dello scambiatore di calore

Per valutare la qualità del trasferimento di calore si utilizza una caratteristica speciale: l'efficienza:

dove:
effgor – efficienza dello scambiatore di calore per il fluido termico caldo;
Tgorin – temperatura in ingresso nello scambiatore di calore lungo il percorso del fluido termico caldo;
Tgorout – temperatura in uscita dallo scambiatore di calore lungo il percorso del fluido termico caldo;
Tfreddoin – temperatura all'ingresso del scambiatore di calore nel percorso del fluido di raffreddamento.

Nella tabella 3 sono riportati i valori di deviazione dell'efficienza del modello di scambiatore di calore rispetto a quelli sperimentali per diversi flussi nelle linee calde e fredde.

Tabella 3. Errori nel calcolo dell'efficienza dello scambio termico in %

Nel nostro caso, il coefficiente selezionato può essere utilizzato in tutti i regimi di lavoro che ci interessano. Nel caso in cui, a bassi flussi, dove l'errore è maggiore, non si raggiunga la precisione necessaria, possiamo utilizzare un coefficiente variabile di intensificazione, che dipenderà dal flusso attuale.

Ad esempio, nella figura 10, il coefficiente di intensificazione è calcolato secondo la formula imposta in relazione al flusso attuale nelle celle del canale.

Figura 10. Coefficiente variabile di intensificazione dello scambio termico.

Conclusioni

• La conoscenza delle leggi fisiche consente di creare modelli dinamici dell'oggetto per la progettazione orientata al modello.
• Il modello deve essere verificato e tarato in base ai dati dei test.
• Gli strumenti di sviluppo dei modelli devono consentire allo sviluppatore di regolare il modello in base ai risultati dei test dell'oggetto.
• Utilizza il giusto approccio orientato al modello e la tua felicità sarà assicurata!

Bonus per chi ha letto fino alla fine. Video del funzionamento del modello virtuale del sistema SCV.

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Di cosa parlare poi?

• 76,2%Come dimostrare che il programma nel modello corrisponde al programma nell'hardware.16

• 23,8%Come utilizzare il calcolo su Supercomputer per la progettazione orientata al modello.5

Hanno votato 21 utenti. Si è astenuto 1 utente.

Fonte: habr.com