{"id":37955,"date":"2019-10-31T22:20:47","date_gmt":"2019-10-31T19:20:47","guid":{"rendered":"https:\/\/prohoster.info\/blog\/linejnaya-regressiya-i-metody-eyo-vosstanovleniya\/"},"modified":"2019-10-31T22:20:47","modified_gmt":"2019-10-31T19:20:47","slug":"linejnaya-regressiya-i-metody-eyo-vosstanovleniya","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/prohoster.info\/it\/blog\/administrirovanie\/linejnaya-regressiya-i-metody-eyo-vosstanovleniya","title":{"rendered":"Regressione lineare e metodi per il suo ripristino","gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"text"}]},"content":{"rendered":"

\"Regressione
\nFonte: xkcd<\/a><\/noindex><\/i><\/p>\n

La regressione lineare \u00e8 uno degli algoritmi fondamentali per molte aree legate all'analisi dei dati. La ragione \u00e8 ovvia: \u00e8 un algoritmo molto semplice e comprensibile, che ne facilita l'ampio utilizzo da decenni, se non da secoli. L'idea \u00e8 che si presume una dipendenza lineare di una variabile da un insieme di altre variabili, e poi si cerca di ripristinare questa dipendenza.<\/p>\n

Ma in questo articolo non si parler\u00e0 dell'applicazione della regressione lineare per risolvere problemi pratici. Verranno esaminate caratteristiche interessanti dell'implementazione di algoritmi distribuiti per il suo ripristino, con cui ci siamo imbattuti durante la scrittura di un modulo di machine learning in Apache Ignite<\/a><\/noindex>. Un po' di matematica di base, nozioni fondamentali di machine learning e calcolo distribuito aiuteranno a comprendere come ripristinare la regressione lineare, anche quando i dati sono distribuiti tra migliaia di nodi.
\n<\/a><\/noindex><\/p>\n

Di cosa si tratta?<\/h3>\n

\nLa nostra sfida \u00e8 ricostruire una dipendenza lineare. I dati in ingresso consistono in un insieme di vettori di variabili presumibilmente indipendenti, ciascuno dei quali \u00e8 associato a un certo valore di una variabile dipendente. Questi dati possono essere rappresentati sotto forma di due matrici:<\/p>\n

\"Regressione<\/p>\n

\nOra, dato che si presume una dipendenza, e inoltre lineare, esprimiamo la nostra ipotesi come un prodotto di matrici (per semplificare la notazione, si presume che il termine costante dell'equazione sia nascosto da \"Regressione, e l'ultima colonna della matrice \"Regressione contiene delle unit\u00e0):<\/p>\n

\"Regressione<\/p>\n

\nRicorda molto un sistema di equazioni lineari, vero? Sembra cos\u00ec, ma \u00e8 probabile che tale sistema di equazioni non abbia soluzioni. La causa \u00e8 il rumore, presente praticamente in tutti i dati reali. Inoltre, potrebbe mancare una dipendenza lineare a cui si possa tentare di ovviare introducendo variabili aggiuntive che dipendono in modo non lineare dalle originali. Consideriamo il seguente esempio:
\n\"Regressione
\nFonte: Wikipedia<\/a><\/noindex><\/i><\/p>\n

Questo \u00e8 un semplice esempio di regressione lineare che dimostra la dipendenza di una variabile (sull'asse \"Regressione) da un'altra variabile (sull'asse \"Regressione). Affinch\u00e9 il sistema di equazioni lineari corrispondente a questo esempio abbia una soluzione, tutti i punti devono trovarsi esattamente sulla stessa retta. Ma non \u00e8 cos\u00ec. Non si trovano sulla stessa retta proprio a causa del rumore (o perch\u00e9 l'ipotesi di una dipendenza lineare era errata). Pertanto, per ripristinare la dipendenza lineare dai dati reali, di solito \u00e8 necessario introdurre un'altra ipotesi: i dati in ingresso contengono rumore e questo rumore ha distribuzione normale<\/a><\/noindex>. Si possono fare ipotesi anche su altri tipi di distribuzione del rumore, ma nella stragrande maggioranza dei casi si considera proprio la distribuzione normale, di cui parleremo in seguito.<\/p>\n

Metodo di massima verosimiglianza<\/h3>\n

\nQuindi, abbiamo ipotizzato la presenza di rumore casuale normalmente distribuito. Come comportarsi in questa situazione? A questo scopo, in matematica esiste e viene ampiamente utilizzato metodo di massima verosimiglianza<\/a><\/noindex>. In breve, esso consiste nella scelta di una funzione di verosimiglianza<\/a><\/noindex> e nella successiva massimizzazione.<\/p>\n

Torniamo all'analisi della dipendenza lineare basata su dati con rumore normale. Notiamo che la dipendenza lineare prevista \u00e8 l'aspettativa matematica \"Regressione di una distribuzione normale esistente. Allo stesso tempo, la probabilit\u00e0 che \"Regressione prenda un certo valore, a condizione che siano osservabili \"Regressione, appare nel modo seguente:<\/p>\n

\"Regressione<\/p>\n

\nSostituiamo ora \"Regressione e \"Regressione le variabili di cui abbiamo bisogno:<\/p>\n

\"Regressione<\/p>\n

\nRestiamo solo da trovare il vettore \"Regressione, per cui questa probabilit\u00e0 \u00e8 massima. Per massimizzare una tale funzione, \u00e8 conveniente prima logaritmarla (il logaritmo della funzione raggiunger\u00e0 il massimo nello stesso punto della funzione stessa):<\/p>\n

\"Regressione<\/p>\n

\nIl che, a sua volta, si riduce a minimizzare la seguente funzione:<\/p>\n

\"Regressione<\/p>\n

\nA proposito, questo \u00e8 conosciuto come il metodo dei minimi quadrati<\/a><\/noindex>. Spesso tutte le considerazioni sopra citate vengono trascurate e si utilizza semplicemente questo metodo.<\/p>\n

Decomposizione QR<\/h3>\n

\nIl minimo della funzione sopra citata pu\u00f2 essere trovato individuando il punto in cui il gradiente di questa funzione \u00e8 zero. E il gradiente verr\u00e0 scritto come segue:<\/p>\n

\"Regressione<\/p>\n

\nDecomposizione QR<\/a><\/noindex> \u00e8 un metodo matriciale per risolvere il problema della minimizzazione utilizzato nel metodo dei minimi quadrati. Pertanto, riscriveremo l'equazione in forma matriciale:<\/p>\n

\"Regressione<\/p>\n

\nQuindi, decomponiamo la matrice \"Regressione in matrici \"Regressione e \"Regressione e eseguiamo una serie di trasformazioni (l'algoritmo di decomposizione QR non verr\u00e0 trattato qui, solo il suo utilizzo rispetto al problema proposto):<\/p>\n

\"Regressione<\/p>\n

\nLa matrice \"Regressione \u00e8 ortogonale. Questo ci permette di eliminare il prodotto di \"Regressione:<\/p>\n

\"Regressione<\/p>\n

\nE se sostituiamo \"Regressione con \"Regressione, otterremo \"Regressione. Considerando che \"Regressione \u00e8 una matrice triangolare superiore, appare in questo modo:<\/p>\n

\"Regressione<\/p>\n

\nQuesto pu\u00f2 essere risolto mediante sostituzione. L'elemento \"Regressione si trova come \"Regressione, elemento precedente \"Regressione si trova come \"Regressione e cos\u00ec via.<\/p>\n

Vale la pena notare che la complessit\u00e0 dell'algoritmo risultante, grazie all'utilizzo della decomposizione QR, \u00e8 \"Regressione. Tuttavia, nonostante l'operazione di moltiplicazione delle matrici si presti bene alla parallelizzazione, non \u00e8 possibile scrivere una versione distribuita efficace di questo algoritmo.<\/p>\n

Discesa del gradiente<\/h3>\n

\nParlando della minimizzazione di una certa funzione, \u00e8 sempre utile ricordare il metodo del (gradiant descent) stocastico. Questo \u00e8 un metodo semplice ed efficace di minimizzazione, basato sul calcolo iterativo del gradiente della funzione in un punto e sul successivo spostamento in direzione opposta al gradiente. Ogni passo avvicina la soluzione al minimo. Il gradiente rimane lo stesso:<\/p>\n

\"Regressione<\/p>\n

Inoltre, questo metodo si presta bene alla parallelizzazione e alla distribuzione grazie alle propriet\u00e0 lineari dell'operatore gradiente. Notiamo che nella formula sopra menzionata, sotto il segno di somma, ci sono termini indipendenti. In altre parole, possiamo calcolare il gradiente in modo indipendente per tutti gli indici. \"Regressione da primo a \"Regressione, parallelamente, possiamo calcolare il gradiente per gli indici da \"Regressione fino a \"Regressione. Poi sommiamo i gradienti ottenuti. Il risultato della somma sar\u00e0 lo stesso come se avessimo calcolato direttamente il gradiente per gli indici da primo a \"Regressione. Pertanto, se i dati sono distribuiti tra pi\u00f9 parti, il gradiente pu\u00f2 essere calcolato indipendentemente su ogni parte, e poi i risultati di questi calcoli possono essere sommati per ottenere il risultato finale:<\/p>\n

\"Regressione<\/p>\n

Dal punto di vista dell'implementazione, questo rientra nella paradigmaticit\u00e0 MapReduce<\/a><\/noindex>. Ad ogni passo della discesa del gradiente, un compito per il calcolo del gradiente viene inviato a ciascun nodo di dati, quindi i gradienti calcolati vengono raccolti insieme e il risultato della loro somma \u00e8 utilizzato per migliorare il risultato.<\/p>\n

Nonostante la semplicit\u00e0 di implementazione e la possibilit\u00e0 di esecuzione nella paradigmaticit\u00e0 MapReduce, la discesa del gradiente ha anche i suoi svantaggi. In particolare, il numero di passaggi necessari per raggiungere la convergenza \u00e8 notevolmente maggiore rispetto ad altri metodi pi\u00f9 specializzati.<\/p>\n

LSQR<\/h3>\n

\nLSQR<\/a><\/noindex> \u00e8 un altro metodo per risolvere il problema, adatto sia per il recupero della regressione lineare che per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari. La sua principale caratteristica \u00e8 che combina i vantaggi dei metodi matriciali e dell'approccio iterativo. Le implementazioni di questo metodo possono essere trovate sia nelle librerie SciPy<\/a><\/noindex>, sia in MATLAB<\/a><\/noindex>. Non verr\u00e0 fornita una descrizione di questo metodo (pu\u00f2 essere trovata nell'articolo LSQR: An algorithm for sparse linear equations and sparse least squares<\/a><\/noindex>). Invece, verr\u00e0 mostrato un approccio che consente di adattare LSQR per l'esecuzione in un ambiente distribuito.<\/p>\n

Alla base del metodo LSQR c'\u00e8 la procedura di bidiagonalizzazione<\/a><\/noindex>. Si tratta di una procedura iterativa, ogni iterazione consiste nei seguenti passi:
\n\"Regressione
\n
\nMa se si considera che la matrice \"Regressione \u00e8 partizionata orizzontalmente, allora ogni iterazione pu\u00f2 essere rappresentata come due passi di MapReduce. In questo modo si riesce a minimizzare il trasferimento di dati durante ciascuna delle iterazioni (solo vettori della lunghezza pari al numero di incognite):<\/p>\n

\"Regressione
\n
\n\u00c8 proprio questo approccio che viene usato nell'implementazione della regressione lineare in Apache Ignite ML<\/a><\/noindex>.<\/p>\n

Conclusione<\/h3>\n

\nEsistono molti algoritmi per la regressione lineare, ma non tutti possono essere applicati in qualsiasi condizione. Ad esempio, la decomposizione QR \u00e8 particolarmente adatta per risolvere con precisione piccole quantit\u00e0 di dati. Il metodo del gradiente \u00e8 facilmente implementabile e consente di trovare rapidamente una soluzione approssimativa. LSQR combina le migliori propriet\u00e0 dei due algoritmi precedenti, poich\u00e9 pu\u00f2 essere distribuito, converge pi\u00f9 rapidamente rispetto al metodo del gradiente e consente un'interruzione anticipata dell'algoritmo, a differenza della decomposizione QR per trovare una soluzione approssimativa.
\n
Fonte: habr.com<\/a><\/p>","protected":false,"gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"html"}]},"excerpt":{"rendered":"

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