{"id":53444,"date":"2019-12-02T00:00:00","date_gmt":"2019-12-01T21:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/prohoster.info\/blog\/blog_prohoster\/shema-razdeleniya-sekreta-shamira"},"modified":"2020-02-18T14:01:21","modified_gmt":"2020-02-18T11:01:21","slug":"shema-razdeleniya-sekreta-shamira","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/prohoster.info\/it\/blog\/administrirovanie\/shema-razdeleniya-sekreta-shamira","title":{"rendered":"Schema di condivisione del segreto di Shamir","gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"text"}]},"content":{"rendered":"

Prendiamo in considerazione uno scenario in cui \u00e8 necessario garantire la sicurezza di una cassaforte bancaria. Essa \u00e8 considerata completamente inaccessibile senza la chiave, che ti viene fornita il primo giorno di lavoro. Il tuo obiettivo \u00e8 proteggere la chiave in modo sicuro.<\/p>\n

Supponiamo che tu abbia deciso di tenere sempre la chiave con te, fornendo l'accesso alla cassaforte all'occorrenza. Ma presto ti renderai conto che questa soluzione non scala bene nella pratica, poich\u00e9 ogni volta per aprire la cassaforte \u00e8 necessaria la tua presenza fisica. E per quanto riguarda le ferie che ti hanno promesso? Inoltre, c'\u00e8 un'altra preoccupazione: cosa succede se perdi l'unica chiave?<\/p>\n

Pensando alle ferie, hai deciso di fare una copia della chiave e affidarla a un altro dipendente. Tuttavia, comprendi che anche questo non \u00e8 ideale. Raddoppiando il numero di chiavi, hai raddoppiato anche le possibilit\u00e0 di furto della chiave.<\/p>\n

Disperato, distruggi il duplicato e decidi di dividere la chiave originale a met\u00e0. Ora, pensi che due persone fidate con i frammenti delle chiavi debbano essere fisicamente presenti per assemblare la chiave e aprire il deposito. Questo significa che un ladro deve rubare due frammenti, il che \u00e8 il doppio pi\u00f9 difficile rispetto al furto di una sola chiave. Tuttavia, presto ti rendi conto che questo schema non \u00e8 molto meglio di una sola chiave, perch\u00e9 se qualcuno perde met\u00e0 della chiave, la chiave completa non pu\u00f2 essere ripristinata.
\n<\/a><\/noindex>
\nIl problema pu\u00f2 essere risolto con una serie di chiavi e serrature aggiuntive, ma con questo approccio presto saranno necessari tanti<\/i> chiavi e serrature. Decidi che in uno schema ideale la chiave dovrebbe essere divisa, affinch\u00e9 la sicurezza non dipenda completamente da una sola persona. Concludi anche che deve esistere una certa soglia di frammenti, in modo che nella perdita di un frammento (o se una persona \u00e8 in ferie) l'intera chiave rimanga funzionale.<\/p>\n

Come dividere un segreto<\/h1>\n

\nDi questo tipo di schema di gestione delle chiavi pensava Adi Shamir nel 1979, quando pubblic\u00f2 il suo lavoro \u00abCome dividere un segreto\u00bb<\/a><\/noindex>. Nell'articolo si spiega brevemente il cosiddetto \"Schema schema di soglia per la segmentazione efficace di un valore segreto (ad esempio, una chiave crittografica) in \"Schema parti. Quindi, quando e solo quando almeno \"Schema di \"Schema parti sono raccolte, \u00e8 possibile ripristinare facilmente il segreto. \"Schema.<\/p>\n

Dal punto di vista della sicurezza, una propriet\u00e0 importante di questo schema \u00e8 che un attaccante non deve scoprire assolutamente nulla se non ha almeno \"Schema parti. Anche avere \"Schema parti non dovrebbe fornire alcuna informazione. Chiamiamo questa propriet\u00e0 sicurezza semantica.<\/i>.<\/p>\n

Interpolaizone polinomiale<\/h1>\n

\nLo schema di soglia di Shamir \"Schema \u00e8 costruito attorno al concetto di interpolaizone polinomiale.<\/b>Se non sei familiare con questo concetto, in realt\u00e0 \u00e8 piuttosto semplice. In generale, se hai mai tracciato punti su un grafico e poi li hai connessi con linee o curve, hai gi\u00e0 utilizzato questo concetto!<\/p>\n

\"Schema
\nTra due punti si pu\u00f2 tracciare un numero illimitato di polinomi di secondo grado. Per scegliere uno di essi in modo univoco, \u00e8 necessaria un terza punto. Illustrazione: Wikipedia<\/a><\/noindex><\/i> <\/p>\n

Consideriamo un polinomio di grado uno, \"Schema. Se desideri costruire questa funzione su un grafico, quante punti ti servono? Bene, sappiamo che si tratta di una funzione lineare, quindi sono necessarie almeno due punti. Successivamente, consideriamo una funzione polinomiale di grado due, \"Schema. Questa \u00e8 una funzione quadratica, quindi per costruire il grafico servono almeno tre punti. E per un polinomio di grado tre? Servono almeno quattro punti. E cos\u00ec via.<\/p>\n

La cosa davvero interessante di questa propriet\u00e0 \u00e8 che, dato il grado della funzione polinomiale e almeno \"Schema punti, possiamo dedurre punti aggiuntivi per questa funzione polinomiale. Chiamiamo l'estrapolazione di questi punti aggiuntivi interpolazione polinomiale<\/i>.<\/p>\n

Costruzione del segreto<\/h1>\n

\nPotresti gi\u00e0 aver capito che qui entra in gioco lo schema segreto di Shamir. Supponiamo che il nostro segreto \"Schema \u2014 rappresenta \"Schema. Possiamo trasformare \"Schema in un punto sul grafico \"Schema e inventare una funzione polinomiale di grado \"Schema, che soddisfa questo punto. Ricordiamo che \"Schema sar\u00e0 la nostra soglia di frammenti richiesti, quindi se impostiamo la soglia a tre frammenti, dobbiamo scegliere una funzione polinomiale di grado due.<\/p>\n

Il nostro polinomio avr\u00e0 la forma \"Schema, dove \"Schema e \"Schema \u2014 numeri interi positivi scelti casualmente. Stiamo semplicemente costruendo un polinomio di grado \"Schema, dove il termine costante \"Schema\u00a0\u2014 \u00e8 il nostro segreto \"Schema, e ogni uno dei successivi \"Schema termini ha un coefficiente positivo scelto casualmente. Tornando all'esempio originale e assumendo che \"Schema, otteniamo quindi la funzione \"Schema.<\/p>\n

A questo punto possiamo generare i frammenti collegando \"Schema numeri interi unici in \"Schema, dove \"Schema (perch\u00e9 \u00e8 il nostro segreto). In questo esempio vogliamo distribuire quattro frammenti con una soglia di tre, quindi generiamo casualmente i punti \"Schema e inviamo un punto a ciascuna delle quattro persone fidate, i custodi della chiave. Dobbiamo anche informare le persone che \"Schema, poich\u00e9 \u00e8 considerata informazione pubblica e necessaria per il recupero \"Schema.<\/p>\n

Recupero del segreto<\/h1>\n

\nAbbiamo gi\u00e0 discusso il concetto di interpolazione polinomiale e che essa sta alla base dello schema di soglia di Shamir \"Schema. Quando tre dei quattro fiduciari vogliono ripristinare \"Schema, devono solo interpolare \"Schema con i loro punti unici. Per questo possono definire i loro punti \"Schema e calcolare il polinomio di Lagrange usando la seguente formula. Se la programmazione ti \u00e8 pi\u00f9 chiara della matematica, allora pi \u00e8 fondamentalmente un operatore per<\/code>, che moltiplica tutti i risultati, e la sigma \u00e8 per<\/code>, che somma tutto.<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nDurante \"Schema possiamo risolverlo nel seguente modo e restituire la nostra funzione polinomiale originale:<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nPoich\u00e9 sappiamo che \"Schema, il ripristino \"Schema \u00e8 semplice:<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

<\/p>\n

Utilizzo di aritmetica intera non sicura<\/h1>\n

\nAnche se abbiamo applicato con successo l'idea principale di Shamir \"Schema, abbiamo un problema che abbiamo ignorato fino ad ora. La nostra funzione polinomiale utilizza un'aritmetica intera non sicura. Tieni presente che per ogni punto in pi\u00f9 che l'attaccante riesce a ottenere nel grafico della nostra funzione, ci sono meno opportunit\u00e0 per altri punti. Puoi vederlo con i tuoi occhi quando tracci un grafico aumentando il numero di punti per la funzione polinomiale utilizzando l'aritmetica intera. Questo \u00e8 controproducente per il nostro obiettivo dichiarato di sicurezza, perch\u00e9 l'attaccante non dovrebbe scoprire assolutamente nulla finch\u00e9 non ha almeno \"Schema frammenti.<\/p>\n

Per dimostrare quanto sia debole lo schema con l'aritmetica intera, consideriamo uno scenario in cui un attaccante ha ottenuto due punti \"Schema e sa informazioni pubbliche che \"Schema. Da questa informazione pu\u00f2 dedurre \"Schema, pari a due, e connettere nella formula i valori noti \"Schema e \"Schema.<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\n Poi l'attaccante pu\u00f2 trovare \"Schema, calcolando \"Schema:<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nPoich\u00e9 abbiamo definito \"Schema come numeri interi positivi scelti casualmente, c'\u00e8 un numero limitato di possibilit\u00e0 \"Schema. Con queste informazioni, l'attaccante pu\u00f2 dedurre \"Schema, dato che tutto ci\u00f2 che supera 5 render\u00e0 \"Schema negativo. Questo si rivela vero, poich\u00e9 abbiamo determinato \"Schema<\/p>\n

Poi l'attaccante pu\u00f2 calcolare i valori possibili \"Schema, sostituendo \"Schema in \"Schema:<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nCon un insieme limitato di opzioni per \"Schema diventa chiaro quanto sia facile indovinare e verificare i valori \"Schema. Qui ci sono solo cinque opzioni.<\/p>\n

Risolvere il problema dell'aritmetica intera non sicura<\/h1>\n

\nPer eliminare questa vulnerabilit\u00e0, Shamir suggerisce di utilizzare l'aritmetica modulare, sostituendo \"Schema con \"Schema, dove \"Schema e \"Schema \u2014 l'insieme di tutti i numeri primi.<\/p>\n

Rinfreschiamo rapidamente come funziona l'aritmetica modulare. Gli orologi a lancetta sono un concetto gi\u00e0 noto. Utilizza orari che sono \"Schema. Non appena la lancetta delle ore supera le dodici, ritorna all'una. Una caratteristica interessante di questo sistema \u00e8 che, semplicemente guardando l'orologio, non possiamo dedurre quante volte ha girato la lancetta delle ore. Tuttavia, se sappiamo che la lancetta delle ore ha superato 12 quattro volte, possiamo determinare esattamente il numero di ore trascorse con una semplice formula \"Schema, dove \"Schema\u00a0\u2014 \u00e8 il nostro divisore (qui \"Schema), \"Schema\u00a0\u2014 \u00e8 il coefficiente (quante volte il divisore si inserisce senza resto nel numero originale, qui \"Schema), e \"Schema\u00a0\u2014 \u00e8 il resto, che di solito restituisce la chiamata all'operatore modulo (qui \"Schema). Conoscere tutti questi valori ci permette di risolvere l'equazione per \"Schema, ma se ignoriamo il coefficiente, non saremo mai in grado di ripristinare il valore originale.<\/p>\n

Possiamo dimostrare come questo migliori la sicurezza del nostro schema, applicando lo schema al nostro esempio precedente e utilizzando \"Schema. La nostra nuova funzione polinomiale \"Schema, e i nuovi punti \"Schema. Ora i custodi delle chiavi possono riutilizzare l'interpolazione polinomiale per ripristinare la nostra funzione, solo che questa volta le operazioni di somma e moltiplicazione devono essere accompagnate dalla riduzione modulo \"Schema (e.g. \"Schema).<\/p>\n

Utilizzando questo nuovo esempio, supponiamo che un attaccante conosca due di questi nuovi punti, \"Schema, mentre le informazioni pubbliche \"Schema. Questa volta l'attaccante, sulla base di tutte le informazioni a sua disposizione, deduce le seguenti funzioni, dove \"Schema\u00a0\u2014 \u00e8 l'insieme di tutti i numeri interi positivi, e \"Schema rappresenta il coefficiente modulo \"Schema.<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nOra il nostro attaccante trova di nuovo \"Schema, calcolando \"Schema:<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nPoi prova di nuovo a dedurre \"Schema, sostituendo \"Schema in \"Schema:<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nQuesta volta ha un problema serio. Mancano valori nella formula \"Schema, \"Schema e \"Schema. Poich\u00e9 esistono infinite combinazioni di queste variabili, non pu\u00f2 ottenere ulteriori informazioni.<\/p>\n

Considerazioni di sicurezza<\/h1>\n

\nIl protocollo di divisione del segreto di Shamir offre sicurezza in termini di teoria dell'informazione<\/i>. Ci\u00f2 significa che la matematica \u00e8 robusta anche contro un attaccante con potenza di calcolo illimitata. Tuttavia, lo schema presenta ancora diversi problemi noti.<\/p>\n

Ad esempio, il protocollo di Shamir non genera frammenti verificabili<\/i>, il che significa che le persone possono presentare liberamente frammenti falsi e ostacolare il recupero del giusto segreto. Un custode ostile di frammenti con informazioni sufficienti pu\u00f2 persino generare un altro frammento, modificando \"Schema a proprio piacimento. Questo problema \u00e8 risolto tramite schemi di divisione del segreto verificabili<\/i>, come il protocollo di Feldman.<\/p>\n

Un'altra problematica \u00e8 che la lunghezza di qualsiasi frammento corrisponde alla lunghezza del segreto sottostante, rendendo facile determinare la lunghezza del segreto. Questo problema \u00e8 risolto semplicemente con riempimento<\/i> segreti con numeri arbitrari di lunghezza fissa.<\/p>\n

Infine, \u00e8 importante notare che le nostre preoccupazioni per la sicurezza possono andare oltre il mero schema. Per le applicazioni crittografiche reali, esiste spesso la minaccia di attacchi attraverso canali laterali, in cui un aggressore cerca di estrarre informazioni utili dai tempi di esecuzione dell'applicazione, dalla memorizzazione nella cache, dai guasti, ecc. Se ci\u00f2 suscita preoccupazioni, \u00e8 importante considerare attentamente l'uso di misure protettive durante lo sviluppo, come funzioni e ricerche con tempo di esecuzione costante, evitare la memorizzazione in memoria su disco e prendere in considerazione una serie di altre questioni che vanno oltre questo articolo.<\/p>\n

Demo<\/h1>\n

\nSu questa pagina<\/a><\/noindex> ha una dimostrazione interattiva dello schema di condivisione del segreto di Shamir. La dimostrazione \u00e8 basata sulla libreria ssss-js<\/a><\/noindex>, che \u00e8 a sua volta un porting JavaScript del popolare programma ssss<\/a><\/noindex>. Si noti che il calcolo di valori elevati \"Schema, \"Schema e \"Schema pu\u00f2 richiedere del tempo.
\n
Fonte: habr.com<\/a><\/p>","protected":false,"gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"html"}]},"excerpt":{"rendered":"

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