{"id":53444,"date":"2019-12-02T00:00:00","date_gmt":"2019-12-01T21:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/prohoster.info\/blog\/blog_prohoster\/shema-razdeleniya-sekreta-shamira"},"modified":"2020-02-18T14:01:21","modified_gmt":"2020-02-18T11:01:21","slug":"shema-razdeleniya-sekreta-shamira","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/prohoster.info\/it\/blog\/administrirovanie\/shema-razdeleniya-sekreta-shamira","title":{"rendered":"Schema di divisione del segreto di Shamir","gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"text"}]},"content":{"rendered":"

Consideriamo uno scenario in cui \u00e8 necessario garantire la sicurezza di un magazzino bancario. Questo \u00e8 considerato assolutamente inaccessibile senza la chiave, che ti viene rilasciata il primo giorno di lavoro. Il tuo obiettivo \u00e8 mantenere la chiave al sicuro.<\/p>\n

Supponiamo che tu abbia deciso di tenere sempre la chiave con te, fornendo accesso al magazzino quando necessario. Ma presto ti renderai conto che questa soluzione non scala bene in pratica, perch\u00e9 ogni volta per aprire il magazzino \u00e8 necessaria la tua presenza fisica. E riguardo alle vacanze che ti hanno promesso? Inoltre, c'\u00e8 un'ulteriore domanda preoccupante: e se perdi l'unica chiave?<\/p>\n

Con il pensiero alle vacanze, hai deciso di fare una copia della chiave e affidarala a un altro dipendente. Tuttavia, capisci che anche questa non \u00e8 una soluzione ideale. Raddoppiando il numero di chiavi, hai anche raddoppiato le possibilit\u00e0 di furto della chiave.<\/p>\n

Disperato, distruggi il duplicato e decidi di dividere la chiave originale in due parti. Ora, pensi, due persone di fiducia con frammenti di chiave devono essere fisicamente presenti per riunire la chiave e aprire il magazzino. Questo significa che il ladro deve rubare due frammenti, il che \u00e8 il doppio pi\u00f9 difficile rispetto al furto di una chiave. Tuttavia, presto ti rendi conto che questo schema non \u00e8 affatto migliore di una singola chiave, perch\u00e9 se qualcuno perde met\u00e0 della chiave, la chiave completa non pu\u00f2 essere ripristinata.
\n<\/a><\/noindex>
\nIl problema pu\u00f2 essere risolto con una serie di chiavi e serrature aggiuntive, ma con questo approccio ben presto serviranno molte<\/i> chiavi e serrature. Decidi che in uno schema ideale bisognerebbe dividere la chiave, in modo che la sicurezza non dipenda completamente da una sola persona. Concludi anche che deve esserci una certa soglia di numero di frammenti, in modo che la perdita di un frammento (o se una persona va in vacanza) non comprometta il funzionamento dell'intera chiave.<\/p>\n

Come dividere un segreto<\/h1>\n

\nQuesto tipo di schema di gestione delle chiavi \u00e8 stato pensato da Adi Shamir nel 1979, quando pubblic\u00f2 il suo lavoro \u00abCome dividere un segreto\u00bb<\/a><\/noindex>. Nell'articolo viene brevemente spiegato il cosiddetto \"Schema schema di soglia per la divisione efficace di un valore segreto (ad esempio, una chiave crittografica) in \"Schema parti. Poi, quando e solo quando almeno \"Schema da \"Schema parti sono raccolte, \u00e8 possibile ripristinare facilmente il segreto \"Schema.<\/p>\n

Dal punto di vista della sicurezza, una propriet\u00e0 importante di questo schema \u00e8 che un malintenzionato non deve sapere assolutamente nulla se non ha almeno \"Schema parti. Anche la presenza di \"Schema parti non deve fornire alcuna informazione. Chiamiamo questa propriet\u00e0 sicurezza semantica<\/i>.<\/p>\n

Interpolazione polinomiale<\/h1>\n

\nLo schema di Shamir \"Schema \u00e8 costruito attorno al concetto di interpolazione polinomiale<\/b>. Se non sei familiare con questo concetto, in realt\u00e0 \u00e8 piuttosto semplice. In effetti, se hai mai tracciato punti su un grafico e poi li hai uniti con linee o curve, allora l'hai gi\u00e0 utilizzato!<\/p>\n

\"Schema
\nTra due punti possono passare un numero illimitato di polinomi di grado 2. Per scegliere uno di essi sar\u00e0 necessaria un terza punto. Illustrazione: Wikipedia<\/a><\/noindex><\/i> <\/p>\n

Consideriamo un polinomio di primo grado, \"Schema. Se desideri rappresentare questa funzione su un grafico, quante punti ti servono? Beh, sappiamo che si tratta di una funzione lineare, che forma una linea, quindi servono almeno due punti. Consideriamo ora una funzione polinomiale di secondo grado, \"Schema. Questa \u00e8 una funzione quadratica, quindi per rappresentare il grafico servono almeno tre punti. E per un polinomio di terzo grado? Almeno quattro punti. E cos\u00ec via.<\/p>\n

La cosa davvero interessante di questa propriet\u00e0 \u00e8 che, conoscendo il grado della funzione polinomiale e almeno \"Schema punti, possiamo derivare ulteriori punti per questa funzione polinomiale. L'estrazione di questi punti aggiuntivi la chiamiamo interpolazione polinomiale<\/i>.<\/p>\n

Costruzione del segreto<\/h1>\n

\nForse hai gi\u00e0 capito che qui entra in gioco il geniale schema di Shamir. Supponiamo che il nostro segreto \"Schema \u00e8 \"Schema. Possiamo trasformare \"Schema in un punto su un grafico \"Schema e creare una funzione polinomiale di grado \"Schema, che soddisfi questo punto. Ricordiamo che \"Schema sar\u00e0 la nostra soglia di frammenti richiesti, quindi se fissiamo la soglia a tre frammenti, dovremmo scegliere una funzione polinomiale di grado due.<\/p>\n

Il nostro polinomio avr\u00e0 la forma di \"Schema, dove \"Schema e \"Schema \u2014 numeri interi positivi scelti casualmente. Stiamo semplicemente costruendo un polinomio di grado \"Schema, dove il termine indipendente \"Schema\u00a0\u00e8 il nostro segreto \"Schema, e ciascuno dei successivi \"Schema un membro ha un coefficiente positivo scelto casualmente. Se torniamo all'esempio originale e supponiamo che \"Schema, allora otterremo una funzione \"Schema.<\/p>\n

A questo punto possiamo generare frammenti, connettendo \"Schema numeri interi unici in \"Schema, dove \"Schema (perch\u00e9 \u00e8 il nostro segreto). In questo esempio vogliamo distribuire quattro frammenti con una soglia di tre, quindi generiamo punti casualmente \"Schema e ne inviamo uno a ciascuna delle quattro persone fidate, i custodi della chiave. Informiamo anche le persone che \"Schema, poich\u00e9 si tratta di un'informazione pubblica e necessaria per il recupero \"Schema.<\/p>\n

Recupero del segreto<\/h1>\n

\nAbbiamo gi\u00e0 discusso il concetto di interpolazione polinomiale e del fatto che essa \u00e8 alla base dello schema di Shamir \"Schema. Quando tre delle quattro persone fidate vogliono recuperare \"Schema, devono solo interpolare \"Schema con i loro punti unici. Per farlo, possono definire i loro punti \"Schema e calcolare il polinomio di interpolazione di Lagrange utilizzando la seguente formula. Se la programmazione ti \u00e8 pi\u00f9 chiara della matematica, allora pi \u00e8 sostanzialmente un operatore per<\/code>, che moltiplica tutti i risultati, e sigma \u00e8 per<\/code>, che somma tutto.<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nDurante \"Schema possiamo risolvere in questo modo e restituire la nostra funzione polinomiale originale:<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nPoich\u00e9 sappiamo che \"Schema, il recupero \"Schema avviene in modo semplice:<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

<\/p>\n

Utilizzo di aritmetica intera non sicura<\/h1>\n

\nAnche se abbiamo applicato con successo l'idea di base di Shamir \"Schema, rimane un problema che abbiamo ignorato fino ad ora. La nostra funzione polinomiale utilizza aritmetica intera non sicura. Tieni presente che per ogni punto aggiuntivo che un aggressore ottiene sul grafico della nostra funzione, ci sono meno possibilit\u00e0 per altri punti. Puoi vederlo con i tuoi occhi quando costruisci un grafico aumentando il numero di punti per la funzione polinomiale utilizzando aritmetica intera. Questo \u00e8 controproducente per il nostro obiettivo dichiarato di sicurezza, perch\u00e9 un malevolo non deve assolutamente sapere nulla finch\u00e9 non ha almeno \"Schema frammenti.<\/p>\n

Per dimostrare quanto sia debole lo schema con aritmetica intera, consideriamo uno scenario in cui un aggressore ha ottenuto due punti \"Schema e conosce l'informazione pubblica che \"Schema. Questa informazione pu\u00f2 portare \"Schema, pari a due, e collegare nella formula valori noti \"Schema e \"Schema.<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\n Successivamente, l'attaccante pu\u00f2 trovare \"Schema, calcolando \"Schema:<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nPoich\u00e9 abbiamo definito \"Schema come numeri interi positivi scelti casualmente, ci sono un numero limitato di possibili \"Schema. Con queste informazioni, l'attaccante pu\u00f2 dedurre \"Schema, poich\u00e9 tutto ci\u00f2 che \u00e8 maggiore di 5 render\u00e0 \"Schema negativo. Questo risulta essere vero, poich\u00e9 abbiamo definito \"Schema<\/p>\n

Successivamente, l'attaccante pu\u00f2 calcolare i valori possibili \"Schema, sostituendo \"Schema in \"Schema:<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nCon un insieme limitato di opzioni per \"Schema diventa chiaro quanto sia facile scegliere e verificare i valori \"Schema. Qui ci sono solo cinque opzioni.<\/p>\n

Risolvere il problema dell'aritmetica intera insicura<\/h1>\n

\nPer rimuovere questa vulnerabilit\u00e0, Shamir suggerisce di utilizzare l'aritmetica modulare, sostituendo \"Schema in \"Schema, dove \"Schema e \"Schema \u2014 l'insieme di tutti i numeri primi.<\/p>\n

Ricordiamo rapidamente come funziona l'aritmetica modulare. L'orologio con lancette \u00e8 un concetto gi\u00e0 noto. Utilizza un orologio che \u00e8 \"Schema. Non appena la lancetta dell'ora passa oltre le dodici, torna a uno. Una propriet\u00e0 interessante di questo sistema \u00e8 che guardando semplicemente l'orologio, non possiamo dedurre quante volte ha ruotato la lancetta dell'ora. Tuttavia, se sappiamo che la lancetta ha passato 12 quattro volte, possiamo determinare completamente il numero di ore passate utilizzando una semplice formula \"Schema, dove \"Schema\u00a0\u2014 questo \u00e8 il nostro divisore (qui \"Schema), \"Schema\u00a0\u2014 \u00e8 il coefficiente (quante volte il divisore si inserisce nell\u2019originale senza resto, qui \"Schema), e \"Schema\u00a0\u2014 \u00e8 il resto, che generalmente restituisce la chiamata dell'operatore modulo (qui \"Schema). Conoscere tutti questi valori ci consente di risolvere l'equazione per \"Schema, ma se saltiamo il coefficiente, non saremo mai in grado di ripristinare il valore originale.<\/p>\n

Si pu\u00f2 dimostrare come questo miglioramenti la sicurezza del nostro schema applicando lo schema al nostro esempio precedente e utilizzando \"Schema. La nostra nuova funzione polinomiale \"Schema, e i nuovi punti \"Schema. Ora i custodi della chiave possono utilizzare di nuovo l'interpolazione polinomiale per ripristinare la nostra funzione, solo questa volta le operazioni di somma e moltiplicazione devono essere accompagnate dalla riduzione modulo \"Schema (e.g. \"Schema).<\/p>\n

Supponiamo che in questo nuovo esempio, l'attaccante abbia scoperto due di questi nuovi punti, \"Schema, e le informazioni pubbliche \"Schema. In questa occasione, l'attaccante, basandosi su tutte le informazioni in suo possesso, deduce le seguenti funzioni, dove \"Schema\u00a0\u2014 l'insieme di tutti i numeri interi positivi, e \"Schema rappresenta il coefficiente del modulo \"Schema.<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nOra il nostro aggressore trova di nuovo \"Schema, calcolando \"Schema:<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nPoi cerca di nuovo di dedurre \"Schema, sostituendo \"Schema in \"Schema:<\/p>\n

\"Schema<\/p>\n

\nQuesta volta ha un problema serio. La formula manca di valori \"Schema, \"Schema e \"Schema. Poich\u00e9 ci sono infinite combinazioni di queste variabili, non pu\u00f2 ottenere ulteriori informazioni.<\/p>\n

Ragioni di sicurezza<\/h1>\n

\nLo schema di divisione del segreto di Shamir offre sicurezza dal punto di vista della teoria dell'informazione<\/i>. Questo significa che la matematica \u00e8 robusta anche contro un aggressore con potenza di calcolo illimitata. Tuttavia, lo schema presenta ancora alcuni problemi noti.<\/p>\n

Ad esempio, lo schema di Shamir non crea frammenti verificabili<\/i>, cio\u00e8 le persone possono liberamente presentare frammenti falsi e ostacolare il recupero del segreto corretto. Un custode ostile dei frammenti con informazioni sufficienti pu\u00f2 persino generare un altro frammento, modificando \"Schema a proprio piacimento. Questo problema viene risolto tramite schemi di divisione del segreto verificabili<\/i>, come lo schema di Feldman.<\/p>\n

Un altro problema \u00e8 che la lunghezza di ogni frammento corrisponde alla lunghezza del segreto corrispondente, quindi la lunghezza del segreto \u00e8 facilmente determinabile. Questo problema viene risolto con una semplice riempimento<\/i> del segreto con numeri arbitrari fino a una lunghezza fissa.<\/p>\n

Infine, \u00e8 importante notare che le nostre preoccupazioni per la sicurezza possono andare oltre lo schema stesso. Per le applicazioni crittografiche reali, esiste spesso la minaccia di attacchi tramite canali laterali, in cui un aggressore cerca di estrarre informazioni utili dal tempo di esecuzione dell'applicazione, dalla memorizzazione nella cache, dai crash, ecc. Se questo \u00e8 motivo di preoccupazione, durante lo sviluppo dovrebbe essere attentamente considerato l'uso di misure protettive, come funzioni e ricerca con tempo di esecuzione costante, per evitare di salvare la memoria su disco, e riflettere su una serie di altre questioni che vanno oltre questo articolo.<\/p>\n

Demo<\/h1>\n

\nA su questa pagina<\/a><\/noindex> c'\u00e8 una dimostrazione interattiva dello schema di divisione del segreto di Shamir. La dimostrazione \u00e8 realizzata sulla base della libreria ssss-js<\/a><\/noindex>, che \u00e8 essa stessa un porting JavaScript del popolare programma ssss<\/a><\/noindex>. Si prega di notare che il calcolo di valori elevati \"Schema, \"Schema e \"Schema pu\u00f2 richiedere del tempo.
\n
Fonte: habr.com<\/a><\/p>","protected":false,"gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"html"}]},"excerpt":{"rendered":"

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