{"id":53777,"date":"2019-12-10T00:00:00","date_gmt":"2019-12-09T21:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/prohoster.info\/blog\/blog_prohoster\/privodim-uravnenie-linejnoj-regressii-v-matrichnyj-vid"},"modified":"2020-02-18T14:01:42","modified_gmt":"2020-02-18T11:01:42","slug":"privodim-uravnenie-linejnoj-regressii-v-matrichnyj-vid","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/prohoster.info\/it\/blog\/news\/privodim-uravnenie-linejnoj-regressii-v-matrichnyj-vid","title":{"rendered":"Portiamo l'equazione di regressione lineare in forma matriciale","gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"text"}]},"content":{"rendered":"

\"Portiamo
\n
\nLo scopo dell'articolo \u00e8 supportare i nuovi data scientist. In articolo precedente<\/a><\/noindex> abbiamo esaminato tre modi di risolvere l'equazione di regressione lineare: soluzione analitica, discesa del gradiente, discesa del gradiente stocastica. Per la soluzione analitica abbiamo applicato la formula \"Portiamo. In questo articolo, come indicato dal titolo, giustificheremo l'uso di questa formula o, in altre parole, la deriviamo autonomamente. <\/p>\n

Perch\u00e9 ha senso prestare particolare attenzione alla formula \"Portiamo? <\/p>\n

\u00c8 proprio dall'equazione matriciale che, nella maggior parte dei casi, inizia l'incontro con la regressione lineare. Tuttavia, dettagliate spiegazioni su come \u00e8 stata derivata la formula sono rare.
\n<\/a><\/noindex>
\nAd esempio, nei corsi di machine learning di Yandex, quando si introduce il concetto di regolarizzazione, si propone di utilizzare le funzioni della libreria sklearn<\/i>, senza menzionare neppure una volta la rappresentazione matriciale dell'algoritmo. Proprio in questo momento, alcuni partecipanti potrebbero avere il desiderio di approfondire l'argomento \u2014 scrivere codice senza utilizzare funzioni predefinite. E per fare questo, \u00e8 necessario prima rappresentare l'equazione con il regolarizzatore in forma matriciale. Questo articolo \u00e8 pensato proprio per coloro che desiderano acquisire tali competenze. Iniziamo.<\/p>\n

Condizioni iniziali<\/h2>\n

<\/p>\n

Indicatori obiettivo<\/h3>\n

\nAbbiamo una serie di valori per l'indicatore obiettivo. Ad esempio, l'indicatore obiettivo pu\u00f2 essere il prezzo di un certo attivo: petrolio, oro, grano, dollaro, ecc. Inoltre, per serie di valori dell'indicatore obiettivo intendiamo il numero di osservazioni. Tali osservazioni possono essere, ad esempio, i prezzi mensili del petrolio per un anno, cio\u00e8 avremo 12 valori per l'indicatore obiettivo. Iniziamo a introdurre le notazioni. Indichiamo ciascun valore dell'indicatore obiettivo come \"Portiamo. In totale abbiamo \"Portiamo osservazioni, quindi possiamo rappresentare le nostre osservazioni come \"Portiamo.<\/p>\n

Regressori<\/h3>\n

\nConsideriamo che esistano fattori che spiegano in qualche modo i valori dell'indicatore target. Ad esempio, il tasso di cambio tra dollaro e rublo \u00e8 fortemente influenzato dal prezzo del petrolio, dal tasso della Fed e altro ancora. Questi fattori vengono definiti regressori. Inoltre, a ciascun valore dell'indicatore target deve corrispondere un valore del regressore, cio\u00e8, se abbiamo 12 indicatori target per ogni mese del 2018, anche i valori dei regressori devono essere 12 per lo stesso periodo. Denotiamo i valori di ciascun regressore tramite \"Portiamo. Supponiamo che nel nostro caso ci siano \"Portiamo regressori (cio\u00e8 \"Portiamo fattori che influenzano i valori dell'indicatore target). Dunque, i nostri regressori possono essere rappresentati nel seguente modo: per il 1\u00b0 regressore (ad esempio, il prezzo del petrolio): \"Portiamo, per il 2\u00b0 regressore (ad esempio, il tasso della Fed): \"Portiamo, per «\"Portiamo-\u00b0» regressor: \"Portiamo<\/p>\n

La dipendenza degli indicatori target dai regressori<\/h3>\n

\nSupponiamo che la dipendenza dell'indicatore target \"Portiamo da regressori «\"Portiamo-\u00b0» osservazione pu\u00f2 essere espresso attraverso l'equazione di regressione lineare della forma:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

, dove \"Portiamo \u2014 «\"Portiamo-\u00b0» valore del regressore da 1 a \"Portiamo,<\/p>\n

\"Portiamo \u2014 numero di regressori da 1 a \"Portiamo<\/p>\n

\"Portiamo \u2014 coefficienti angolari che rappresentano l'ammontare con cui varier\u00e0 in media l'indicatore target stimato al variare del regressore. <\/p>\n

In altre parole, per ciascun (eccetto \"Portiamo) regressore definiamo il nostro coefficiente \"Portiamo, quindi moltiplichiamo i coefficienti per i valori dei regressori «\"Portiamo-\u00b0» osservazione, il risultato \u00e8 un certo approccio «\"Portiamo-\u00b0» obiettivo.<\/p>\n

Pertanto, dobbiamo trovare tali coefficienti \"Portiamo, per i quali i valori della nostra funzione di approssimazione \"Portiamo saranno posizionati il pi\u00f9 vicino possibile ai valori degli indicatori target.<\/p>\n

Valutazione della qualit\u00e0 della funzione di approssimazione<\/h3>\n

\nDefiniremo la valutazione della qualit\u00e0 della funzione di approssimazione mediante il metodo dei minimi quadrati. In questo caso, la funzione di valutazione della qualit\u00e0 avr\u00e0 il seguente aspetto:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Dobbiamo selezionare tali valori dei coefficienti $w$, per i quali il valore \"Portiamo sar\u00e0 il pi\u00f9 piccolo.<\/p>\n

Trasformiamo l'equazione in forma matriciale<\/h2>\n

<\/p>\n

Rappresentazione vettoriale<\/h3>\n

\nPer cominciare, per semplificarci la vita, \u00e8 opportuno prestare attenzione all'equazione di regressione lineare e notare che il primo coefficiente \"Portiamo non si moltiplica per alcun regressore. Tuttavia, quando trasformeremo i dati in forma matriciale, la suddetta circostanza complicher\u00e0 seriamente i calcoli. In questo contesto, si propone di introdurre un altro regressore per il primo coefficiente \"Portiamo e uguagliarlo a uno. In effetti, ogni «\"Portiamo-\u00b0» valore di questo regressore deve essere uguagliato a uno \u2014 perch\u00e9 moltiplicando per uno non cambiamo nulla dal punto di vista dei risultati dei calcoli, ma seguendo le regole del prodotto delle matrici, ridurremo notevolmente le nostre difficolt\u00e0. <\/p>\n

Ora, per un certo periodo, al fine di semplificare il materiale, supponiamo di avere solo una «\"Portiamo-\u00b0» osservazione. Allora, consideriamo i valori dei regressori «\"Portiamo-\u00b0» osservazione come un vettore \"Portiamo. Il vettore \"Portiamo ha dimensione \"Portiamo, cio\u00e8 \"Portiamo righe e 1 colonna:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Rappresentiamo i coefficienti ricercati come un vettore \"Portiamo, avente dimensione \"Portiamo:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

L'equazione di regressione lineare per «\"Portiamo-\u00b0» osservazione assumer\u00e0 la forma: <\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

La funzione di valutazione della qualit\u00e0 del modello lineare avr\u00e0 la forma:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Notiamo che, secondo le regole della moltiplicazione delle matrici, abbiamo dovuto trasporre il vettore \"Portiamo.<\/p>\n

Rappresentazione matriciale<\/h3>\n

\nDi conseguenza, moltiplicando i vettori, otterremo un numero: \"Portiamo, come ci si aspettava. Questo numero \u00e8 l'approccio «\"Portiamo-\u00b0» obiettivo. Ma a noi serve l'approccio non di un solo valore dell'obiettivo, ma di tutti. Per questo, scriviamo tutti i «\"Portiamo-\u00b0» regressori nel formato matrice \"Portiamo. La matrice ottenuta ha dimensione \"Portiamo:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Ora l'equazione della regressione lineare avr\u00e0 la forma:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Indichiamo i valori degli indicatori target (tutti \"Portiamo) come vettore \"Portiamo di dimensione \"Portiamo:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Ora possiamo scrivere in formato matriciale l'equazione per la valutazione della qualit\u00e0 del modello lineare:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Di fatto, da questa formula si ottiene poi la formula a noi nota \"Portiamo<\/p>\n

Come si fa? Si espandono le parentesi, si effettuano le differenziazioni, si trasformano le espressioni ottenute, ecc., e proprio di questo ci occuperemo ora.<\/p>\n

Trasformazioni matriciali<\/h2>\n

<\/p>\n

Espandiamo le parentesi<\/h3>\n

\n\"Portiamo<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Prepariamo l'equazione per la differenziazione<\/h3>\n

\nPer far ci\u00f2, effettueremo alcune trasformazioni. Nei calcoli successivi ci sar\u00e0 pi\u00f9 comodo se il vettore \"Portiamo sia presentato all'inizio di ogni prodotto nell'equazione.<\/p>\n

Trasformazione 1<\/h4>\n

\n\"Portiamo<\/p>\n

Come \u00e8 successo? Per rispondere a questa domanda \u00e8 sufficiente guardare le dimensioni delle matrici moltiplicate e vedere che in uscita otteniamo un numero o altrimenti \"Portiamo.<\/p>\n

Scriviamo le dimensioni delle espressioni matriciali.<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Trasformazione 2<\/h4>\n

\n\"Portiamo<\/p>\n

Scriveremo in modo analogo alla trasformazione 1<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

In uscita otteniamo un'equazione che dobbiamo differenziare:
\n\"Portiamo<\/p>\n

Differenziamo la funzione di valutazione della qualit\u00e0 del modello<\/h2>\n

\nDifferenziamo rispetto al vettore \"Portiamo:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

\n\"Portiamo<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Non dovrebbero esserci domande sul perch\u00e9 \"Portiamo , ma analizzeremo pi\u00f9 in dettaglio le operazioni per definire le derivate in altre due espressioni.<\/p>\n

Differenziazione 1<\/h3>\n

\nApriamo la differenziazione: \"Portiamo<\/p>\n

Per determinare la derivata di una matrice o di un vettore dobbiamo guardare cosa c'\u00e8 dentro. Vediamo:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

\"Portiamo \"Portiamo<\/p>\n

Indichiamo il prodotto delle matrici \"Portiamo con la matrice \"Portiamo. La matrice \"Portiamo \u00e8 quadrata e inoltre simmetrica. Queste propriet\u00e0 ci saranno utili in seguito, ricordiamole. La matrice \"Portiamo ha dimensione \"Portiamo:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Ora il nostro compito \u00e8 moltiplicare correttamente i vettori per la matrice e non ottenere 'due per due cinque', quindi concentriamoci e prestiamo la massima attenzione.<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Tuttavia, abbiamo ottenuto un'espressione complicata! In realt\u00e0 abbiamo ottenuto un numero \u2014 uno scalare. E ora, davvero, passiamo alla differenziazione. \u00c8 necessario trovare la derivata dell'espressione ottenuta rispetto a ciascun coefficiente \"Portiamo e ottenere un vettore di dimensione \"Portiamo. Per ogni evenienza, riporter\u00f2 le procedure in azione:<\/p>\n

1) differenziamo rispetto a \"Portiamo, otteniamo: \"Portiamo<\/p>\n

2) differenziamo rispetto a \"Portiamo, otteniamo: \"Portiamo<\/p>\n

3) differenziamo rispetto a \"Portiamo, otteniamo: \"Portiamo<\/p>\n

In uscita \u2014 il vettore promesso di dimensione \"Portiamo:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Se osserviamo attentamente il vettore, possiamo notare che gli elementi di sinistra e gli elementi corrispondenti di destra possono essere raggruppati in modo tale che, alla fine, nel vettore presentato possiamo isolare il vettore \"Portiamo di dimensione \"Portiamo. Ad esempio, \"Portiamo (elemento sinistro della riga superiore del vettore) \"Portiamo (elemento destro della riga superiore del vettore) pu\u00f2 essere rappresentato come \"Portiamo, ma \"Portiamo \u2014 come \"Portiamo e cos\u00ec via per ogni riga. Raggruppiamo:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Portiamo fuori il vettore \"Portiamo e in uscita otteniamo:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Ora, osserviamo la matrice risultante. La matrice \u00e8 la somma di due matrici \"Portiamo:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Ricordiamo che poco fa abbiamo sottolineato una importante propriet\u00e0 della matrice \"Portiamo \u2014 \u00e8 simmetrica. Sulla base di questa propriet\u00e0, possiamo affermare con certezza che l'espressione \"Portiamo \u00e8 uguale a \"Portiamo. \u00c8 facile verificarlo, aprendo elemento per elemento il prodotto delle matrici. \"Portiamo. Non lo faremo qui, coloro che lo desiderano possono eseguire il controllo da soli. <\/p>\n

Torniamo alla nostra espressione. Dopo le nostre trasformazioni, \u00e8 venuta fuori esattamente come volevamo vederla:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Quindi, con la prima derivazione ci siamo riusciti. Passiamo alla seconda espressione.<\/p>\n

Derivazione 2<\/h3>\n

\n\"Portiamo<\/p>\n

Seguiamo il percorso battuto. Sar\u00e0 molto pi\u00f9 corto del precedente, quindi non allontanatevi troppo dallo schermo.<\/p>\n

Esaminiamo elemento per elemento il vettore e la matrice:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Per un momento, rimuoviamo il due dai calcoli \u2014 non ha un grande ruolo, poi lo riporteremo al suo posto. Moltiplichiamo i vettori per la matrice. Prima di tutto, moltiplichiamo la matrice \"Portiamo per il vettore \"Portiamo, qui non abbiamo alcuna restrizione. Otterremo un vettore di dimensione \"Portiamo:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Eseguiamo la seguente operazione: moltiplichiamo il vettore \"Portiamo per il vettore ottenuto. Il risultato sar\u00e0 un numero:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Ecco ci\u00f2 che deriveremo. Il risultato sar\u00e0 un vettore di dimensione \"Portiamo:<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Ti ricorda qualcosa? Esatto! \u00c8 il prodotto della matrice \"Portiamo per il vettore \"Portiamo. <\/p>\n

Pertanto, la seconda derivazione \u00e8 stata completata con successo.<\/p>\n

In conclusione<\/h2>\n

\nOra sappiamo come \u00e8 sorta l'uguaglianza \"Portiamo.<\/p>\n

Infine, descriviamo un modo veloce per le trasformazioni delle formule fondamentali.<\/p>\n

Valutiamo la qualit\u00e0 del modello secondo il metodo dei minimi quadrati:<\/b>
\n\"Portiamo<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Deriviamo l'espressione ottenuta:<\/b>
\n\"Portiamo \"Portiamo<\/p>\n

\"Portiamo<\/p>\n

Letteratura<\/h2>\n

\nFonti online:<\/b><\/u><\/p>\n

1) habr.com\/ru\/post\/278513<\/a><\/noindex><\/i>
\n2) habr.com\/ru\/company\/ods\/blog\/322076<\/a><\/noindex><\/i>
\n3) habr.com\/ru\/post\/307004<\/a><\/noindex><\/i>
\n4) nabatchikov.com\/blog\/view\/matrix_der<\/a><\/noindex><\/i><\/p>\n

Libri, collezioni di esercizi:<\/b><\/u><\/p>\n

1) Appunti di lezioni di matematica avanzata: corso completo \/ D.T. Pismennyy \u2014 4\u00aa ed. \u2013 Mosca: Iris-Press, 2006
\n2) Analisi di regressione applicata \/ N. Draper, G. Smith \u2014 2\u00aa ed. \u2013 Mosca: Finanze e statistiche, 1986 (traduzione dall'inglese)
\n3) Problemi sulla risoluzione di equazioni matriciali:
\nfunction-x.ru\/matrix_equations.html<\/a><\/noindex>
\nmathprofi.ru\/deistviya_s_matricami.html<\/a><\/noindex><\/i>
\n
Fonte: habr.com<\/a><\/p>","protected":false,"gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"html"}]},"excerpt":{"rendered":"

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\u0433\u0440\u0430\u0434\u0438\u0435\u043d\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043f\u0443\u0441\u043a, \u0441\u0442\u043e\u0445\u0430\u0441\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0434\u0438\u0435\u043d\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043f\u0443\u0441\u043a. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u044b \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043b\u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 . \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435, \u043a\u0430\u043a \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442 \u0438\u0437 \u0437\u0430\u0433\u043e\u043b\u043e\u0432\u043a\u0430, \u043c\u044b \u043e\u0431\u043e\u0441\u043d\u0443\u0435\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0438\u043b\u0438 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