{"id":53777,"date":"2019-12-10T00:00:00","date_gmt":"2019-12-09T21:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/prohoster.info\/blog\/blog_prohoster\/privodim-uravnenie-linejnoj-regressii-v-matrichnyj-vid"},"modified":"2020-02-18T14:01:42","modified_gmt":"2020-02-18T11:01:42","slug":"privodim-uravnenie-linejnoj-regressii-v-matrichnyj-vid","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/prohoster.info\/it\/blog\/news\/privodim-uravnenie-linejnoj-regressii-v-matrichnyj-vid","title":{"rendered":"Presentiamo l'equazione della regressione lineare in forma matriciale","gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"text"}]},"content":{"rendered":"

\"Presentiamo
\n
\nL'obiettivo dell'articolo \u00e8 fornire supporto ai principianti nel data science. In articolo precedente<\/a><\/noindex> abbiamo spiegato in modo semplice tre metodi per risolvere l'equazione della regressione lineare: soluzione analitica, discesa del gradiente e discesa del gradiente stocastico. Per la soluzione analitica abbiamo utilizzato la formula \"Presentiamo. In questo articolo, come suggerisce il titolo, giustificheremo l'applicazione di questa formula, o in altre parole, la deriveremo autonomamente. <\/p>\n

Perch\u00e9 \u00e8 importante prestare particolare attenzione alla formula \"Presentiamo? <\/p>\n

\u00c8 proprio dall'equazione matriciale che in molti casi inizia la familiarit\u00e0 con la regressione lineare. Tuttavia, le derivazioni dettagliate di come \u00e8 stata ottenuta la formula sono rare.
\n<\/a><\/noindex>
\nAd esempio, nei corsi di machine learning di Yandex, quando si introduce la regolarizzazione, si suggerisce di utilizzare le funzioni della libreria sklearn<\/i>, mentre non si menziona affatto la rappresentazione matriciale dell'algoritmo. Proprio in questo momento, alcuni ascoltatori possono sentire il desiderio di approfondire la questione \u2014 scrivere codice senza utilizzare funzioni predefinite. Per fare ci\u00f2, \u00e8 necessario prima rappresentare l'equazione con il regolarizzatore in forma matriciale. Questo articolo, infatti, aiuter\u00e0 coloro che desiderano acquisire tali competenze. Iniziamo.<\/p>\n

Condizioni di partenza<\/h2>\n

<\/p>\n

Obiettivi target<\/h3>\n

\nAbbiamo una serie di valori del target. Ad esempio, il target pu\u00f2 essere il prezzo di un certo attivo: petrolio, oro, grano, dollaro, ecc. Con una serie di valori del target intendiamo il numero di osservazioni. Tali osservazioni possono essere, ad esempio, i prezzi mensili del petrolio per un anno, quindi avremo 12 valori del target. Iniziamo a introdurre le notazioni. Indichiamo ciascun valore del target come \"Presentiamo. In totale abbiamo \"Presentiamo osservazioni, e quindi possiamo rappresentare le nostre osservazioni come \"Presentiamo.<\/p>\n

Regressori<\/h3>\n

\nPossiamo affermare che esistono fattori che spiegano in certa misura il valore del parametro target. Ad esempio, il tasso di cambio tra dollaro e rublo \u00e8 fortemente influenzato dal prezzo del petrolio, dal tasso della Fed e altro ancora. Tali fattori sono chiamati regressori. Inoltre, a ciascun valore del parametro target deve corrispondere un valore del regressore, cio\u00e8, se abbiamo 12 parametri target per ogni mese del 2018, allora dovremmo avere anche 12 valori dei regressori per lo stesso periodo. Indichiamo i valori di ciascun regressore con \"Presentiamo. Supponiamo che nel nostro caso ci siano \"Presentiamo regressori (cio\u00e8, \"Presentiamo fattori che influenzano i valori del parametro target). Quindi, i nostri regressori possono essere rappresentati come segue: per il 1\u00b0 regressore (ad esempio, il prezzo del petrolio): \"Presentiamo, per il 2\u00b0 regressore (ad esempio, il tasso della Fed): \"Presentiamo, per «\"Presentiamo-esimo» regressore: \"Presentiamo<\/p>\n

La dipendenza dei parametri target dai regressori<\/h3>\n

\nSupponiamo che la dipendenza del parametro target \"Presentiamo dei regressori «\"Presentiamo-esimo» osservazione pu\u00f2 essere espresso attraverso l'equazione di regressione lineare del tipo:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

, dove \"Presentiamo \u2014 «\"Presentiamo-esimo» valore del regressore da 1 a \"Presentiamo,<\/p>\n

\"Presentiamo \u2014 numero di regressori da 1 a \"Presentiamo<\/p>\n

\"Presentiamo \u2014 coefficienti angolari che rappresentano la quantit\u00e0 con cui cambia mediamente l'obiettivo calcolato al variare del regressore. <\/p>\n

In altre parole, definiamo per ciascun regressore (eccetto \"Presentiamo) il \u00abproprio\u00bb coefficiente \"Presentiamo, poi moltiplichiamo i coefficienti per i valori dei regressori «\"Presentiamo-esimo» osservazione, ottenendo cos\u00ec una sorta di approssimazione «\"Presentiamo-esimo» obiettivo.<\/p>\n

Pertanto, dobbiamo trovare coefficienti \"Presentiamoche fanno s\u00ec che i valori della nostra funzione approssimativa \"Presentiamo siano il pi\u00f9 vicini possibile ai valori degli obiettivi.<\/p>\n

Valutazione della qualit\u00e0 della funzione approssimativa<\/h3>\n

\nDefiniamo la valutazione della qualit\u00e0 della funzione approssimativa con il metodo dei minimi quadrati. La funzione di valutazione della qualit\u00e0 avr\u00e0 quindi la seguente forma:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Dobbiamo selezionare tali valori dei coefficienti $w$, per i quali il valore \"Presentiamo sar\u00e0 il pi\u00f9 piccolo.<\/p>\n

Trasformiamo l'equazione in forma matriciale<\/h2>\n

<\/p>\n

Rappresentazione vettoriale<\/h3>\n

\nPer iniziare, per semplificarci la vita, \u00e8 utile guardare all'equazione della regressione lineare e notare che il primo coefficiente \"Presentiamo non si moltiplica per alcun regressore. Tuttavia, quando convertiremo i dati in forma matriciale, la circostanza sopra menzionata complica seriamente i calcoli. A questo proposito, si propone di introdurre un ulteriore regressore per il primo coefficiente \"Presentiamo e impostarlo a uno. Piuttosto, ogni «\"Presentiamo-esimo» valore di questo regressore impostiamolo a uno \u2014 poich\u00e9, moltiplicando per uno, da un punto di vista del risultato dei calcoli, nulla cambia, e dal punto di vista delle regole del prodotto delle matrici, si semplificheranno notevolmente i nostri calcoli. <\/p>\n

Ora, per un certo periodo, a scopo di semplificazione del materiale, supponiamo di avere solo una «\"Presentiamo-esima» osservazione. Quindi, consideriamo i valori dei regressori «\"Presentiamo-esimo» osservazione come un vettore \"Presentiamo. Il vettore \"Presentiamo ha dimensione \"Presentiamo, vale a dire \"Presentiamo righe e 1 colonna:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

I coefficienti ricercati rappresentiamoli come un vettore \"Presentiamo, avente dimensione \"Presentiamo:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

L'equazione di regressione lineare per «\"Presentiamo-esimo» osservazione assumer\u00e0 la forma: <\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

La funzione di valutazione della qualit\u00e0 del modello lineare avr\u00e0 la seguente forma:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Notiamo che, in base alle regole di moltiplicazione delle matrici, abbiamo dovuto trasporre il vettore \"Presentiamo.<\/p>\n

Rappresentazione matriciale<\/h3>\n

\nIl risultato della moltiplicazione dei vettori sar\u00e0 un numero: \"Presentiamo, come ci si aspettava. Questo numero \u00e8 l'approssimazione «\"Presentiamo-esimo» obiettivo. Ma a noi serve un'approssimazione non di un singolo valore dell'obiettivo, ma di tutti. Per fare questo, scriveremo tutti i «\"Presentiamo-esimi» regressori in formato matrice \"Presentiamo. La matrice risultante ha dimensione \"Presentiamo:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Ora l'equazione della regressione lineare assumer\u00e0 la forma:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Indichiamo i valori degli obiettivi (tutti \"Presentiamo) come vettore \"Presentiamo di dimensione \"Presentiamo:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Ora possiamo scrivere in formato matriciale l'equazione di valutazione della qualit\u00e0 del modello lineare:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Infatti, da questa formula si ottiene la nota formula \"Presentiamo<\/p>\n

Come si fa? Si aprono le parentesi, si esegue la differenziazione, si trasformano le espressioni ottenute, ecc., ed \u00e8 proprio di questo che ci occuperemo adesso.<\/p>\n

Trasformazioni matriciali<\/h2>\n

<\/p>\n

Apriamo le parentesi<\/h3>\n

\n\"Presentiamo<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Prepariamo l'equazione per la differenziazione<\/h3>\n

\nPer fare ci\u00f2, eseguiremo alcune trasformazioni. Nei calcoli successivi sar\u00e0 pi\u00f9 comodo se il vettore \"Presentiamo sar\u00e0 presentato all'inizio di ogni prodotto nell'equazione.<\/p>\n

Trasformazione 1<\/h4>\n

\n\"Presentiamo<\/p>\n

Come \u00e8 successo? Per rispondere a questa domanda, basta guardare le dimensioni delle matrici moltiplicate e vedere che all'uscita otteniamo un numero, o in altre parole \"Presentiamo.<\/p>\n

Annotiamo le dimensioni delle espressioni matriciali.<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Trasformazione 2<\/h4>\n

\n\"Presentiamo<\/p>\n

Scriviamo in modo analogo alla trasformazione 1<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

All'uscita otteniamo un'equazione che dovremo derivare:
\n\"Presentiamo<\/p>\n

Deriviamo la funzione di valutazione della qualit\u00e0 del modello<\/h2>\n

\nDeriviamo rispetto al vettore \"Presentiamo:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

\n\"Presentiamo<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Non dovrebbero esserci domande sul perch\u00e9 \"Presentiamo , ma analizzeremo pi\u00f9 in dettaglio le operazioni relative alla definizione delle derivate nelle altre due espressioni.<\/p>\n

Derivazione 1<\/h3>\n

\nApriamo la derivazione: \"Presentiamo<\/p>\n

Per determinare la derivata di una matrice o di un vettore, \u00e8 necessario guardare cosa c'\u00e8 all'interno. Vediamo:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

\"Presentiamo \"Presentiamo<\/p>\n

Indichiamo il prodotto delle matrici \"Presentiamo con una matrice \"Presentiamo. La matrice \"Presentiamo \u00e8 quadrata e, inoltre, \u00e8 simmetrica. Queste propriet\u00e0 ci saranno utili in seguito, teniamole a mente. La matrice \"Presentiamo ha dimensione \"Presentiamo:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Ora il nostro compito \u00e8 moltiplicare correttamente i vettori con la matrice e non ottenere \u00abdue volte due cinque\u00bb, quindi concentriamoci e stiamo molto attenti.<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Tuttavia, abbiamo ottenuto un'espressione complessa! In realt\u00e0, abbiamo ricevuto un numero \u2014 uno scalare. E ora, passiamo realmente alla differenziazione. Dobbiamo trovare la derivata dell'espressione ottenuta rispetto a ciascun coefficiente. \"Presentiamo e ottenere in output un vettore di dimensione \"Presentiamo. Nel caso, elencher\u00f2 le procedure da seguire:<\/p>\n

1) differenzieremo rispetto a \"Presentiamo, otteniamo: \"Presentiamo<\/p>\n

2) differenzieremo rispetto a \"Presentiamo, otteniamo: \"Presentiamo<\/p>\n

3) differenzieremo rispetto a \"Presentiamo, otteniamo: \"Presentiamo<\/p>\n

In output \u2014 il vettore promesso di dimensione \"Presentiamo:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Se osserviamo il vettore con attenzione, possiamo notare che gli elementi di sinistra e i corrispondenti elementi di destra del vettore possono essere raggruppati in modo tale che, infine, dal vettore presentato possiamo estrarre un vettore \"Presentiamo di dimensione \"Presentiamo. Ad esempio, \"Presentiamo (l'elemento sinistro della riga superiore del vettore) \"Presentiamo (l'elemento destro della riga superiore del vettore) pu\u00f2 essere rappresentato come \"Presentiamo, e \"Presentiamo \u2014 come \"Presentiamo e cos\u00ec via per ogni riga. Raggruppiamo:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Estraiamo il vettore \"Presentiamo e in output otteniamo:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Ora, osserviamo la matrice risultante. La matrice \u00e8 la somma di due matrici \"Presentiamo:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Ricordiamo che poco fa abbiamo notato una propriet\u00e0 importante della matrice \"Presentiamo \u2014 \u00e8 simmetrica. Basandoci su questa propriet\u00e0, possiamo affermare con certezza che l'espressione \"Presentiamo \u00e8 uguale a \"Presentiamo. \u00c8 facile verificarlo, espandendo elemento per elemento il prodotto delle matrici \"Presentiamo. Non lo faremo qui, chi \u00e8 interessato pu\u00f2 effettuare il controllo autonomamente. <\/p>\n

Torniamo alla nostra espressione. Dopo le nostre trasformazioni, \u00e8 risultata esattamente come volevamo vederla:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Quindi, abbiamo completato la prima derivazione. Passiamo alla seconda espressione.<\/p>\n

Derivazione 2<\/h3>\n

\n\"Presentiamo<\/p>\n

Seguiamo il percorso tracciato. Sar\u00e0 molto pi\u00f9 breve rispetto al precedente, quindi non allontanatevi troppo dallo schermo.<\/p>\n

Espandiamo elemento per elemento i vettori e la matrice:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Per un momento eliminiamo dal calcolo il due \u2014 non ha un ruolo significativo, poi lo riporteremo al suo posto. Moltiplichiamo i vettori per la matrice. Per prima cosa moltiplicheremo la matrice \"Presentiamo per il vettore \"Presentiamo, qui non abbiamo alcuna restrizione. Otterremo un vettore di dimensione \"Presentiamo:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Facciamo la seguente operazione: moltiplichiamo il vettore \"Presentiamo per il vettore ottenuto. In output ci aspetta un numero:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

\u00c8 proprio quello che deriveremo. In output otterremo un vettore di dimensione \"Presentiamo:<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Vi ricorda qualcosa? Esatto! Questo \u00e8 il prodotto della matrice \"Presentiamo per il vettore \"Presentiamo. <\/p>\n

Pertanto, la seconda derivazione \u00e8 stata completata con successo.<\/p>\n

In conclusion<\/h2>\n

\nOra sappiamo come si \u00e8 giunti all'uguaglianza \"Presentiamo.<\/p>\n

Infine, descriviamo un metodo rapido per trasformare le formule fondamentali.<\/p>\n

Valuteremo la qualit\u00e0 del modello secondo il metodo dei minimi quadrati:<\/b>
\n\"Presentiamo<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Deriviamo l'espressione ottenuta:<\/b>
\n\"Presentiamo \"Presentiamo<\/p>\n

\"Presentiamo<\/p>\n

Letteratura<\/h2>\n

\nFonti internet:<\/b><\/u><\/p>\n

1) habr.com\/ru\/post\/278513<\/a><\/noindex><\/i>
\n2) habr.com\/ru\/company\/ods\/blog\/322076<\/a><\/noindex><\/i>
\n3) habr.com\/ru\/post\/307004<\/a><\/noindex><\/i>
\n4) nabatchikov.com\/blog\/view\/matrix_der<\/a><\/noindex><\/i><\/p>\n

Libri di testo, raccolte di esercizi:<\/b><\/u><\/p>\n

1) Appunti di lezioni di analisi matematica: corso completo \/ D.T. Pis'mennyy \u2013 4\u00aa ed. \u2013 Mosca: Iris-Press, 2006
\n2) Analisi regressiva applicata \/ N. Draper, G. Smith \u2013 2\u00aa ed. \u2013 Mosca: Finanze e statistiche, 1986 (traduzione dall'inglese)
\n3) Problemi sulla risoluzione di equazioni matriciali:
\nfunction-x.ru\/matrix_equations.html<\/a><\/noindex>
\nmathprofi.ru\/deistviya_s_matricami.html<\/a><\/noindex><\/i>
\n
Fonte: habr.com<\/a><\/p>","protected":false,"gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"html"}]},"excerpt":{"rendered":"

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\u0433\u0440\u0430\u0434\u0438\u0435\u043d\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043f\u0443\u0441\u043a, \u0441\u0442\u043e\u0445\u0430\u0441\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0434\u0438\u0435\u043d\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043f\u0443\u0441\u043a. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u044b \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043b\u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 . \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435, \u043a\u0430\u043a \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442 \u0438\u0437 \u0437\u0430\u0433\u043e\u043b\u043e\u0432\u043a\u0430, \u043c\u044b \u043e\u0431\u043e\u0441\u043d\u0443\u0435\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0438\u043b\u0438 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