ביטול המיסטיציה של עקרונות המחשוב הקוונטי

"אני חושב שאני יכול לומר בבטחה שאף אחד לא מבין במכניקת הקוונטים." - ריצ'רד פיינמן

נושא המחשוב הקוונטי תמיד ריתק כותבים ועיתונאים טכנולוגיים. הפוטנציאל החישובי והמורכבות שלו העניקו לו הילה מיסטית מסוימת. לעתים קרובות מדי, מאמרים עלילתיים ואינפוגרפיקה מתארים בפירוט את הסיכויים השונים של התעשייה הזו, תוך שהם בקושי נוגעים ביישום המעשי שלה: זה יכול להטעות את הקורא הפחות קשוב.

מאמרי מדע פופולריים משמיטים תיאורים של מערכות קוונטיות ומוציאים הצהרות כמו:

ביט רגיל יכול להיות 1 או 0, אבל קיוביט יכול להיות 1 ו-0 בו זמנית.

אם יתמזל מזלך (ואני לא בטוח בו), יגידו לך ש:

הקיוביט נמצא בסופרפוזיציה בין "1" ל-"0".

אף אחד מההסברים הללו לא נראה הגיוני, מכיוון שאנו מנסים לנסח תופעה מכנית קוונטית באמצעות שפה שפותחה בעולם מסורתי מאוד. כדי להסביר בבירור את עקרונות המחשוב הקוונטי, יש צורך להשתמש בשפה אחרת - מתמטית. 

במדריך זה, אכסה את הכלים המתמטיים הדרושים למודל והבנת מערכות מחשוב קוונטי, כמו גם כיצד להמחיש וליישם את ההיגיון של מחשוב קוונטי. יתרה מכך, אתן דוגמה של אלגוריתם קוונטי ואספר לכם מה היתרון שלו על פני מחשב מסורתי.

אעשה כמיטב יכולתי להסביר את כל זה בשפה ברורה, אבל אני עדיין מקווה שלקוראי המאמר הזה יש הבנה בסיסית של אלגברה לינארית ולוגיקה דיגיטלית (אלגברה לינארית מכוסה כאן, על היגיון דיגיטלי - כאן). 

ראשית, בואו נעבור על עקרונות ההיגיון הדיגיטלי. הוא מבוסס על שימוש במעגלים חשמליים לביצוע חישובים. כדי להפוך את התיאור שלנו יותר מופשט, הבה נפשט את מצב החוט החשמלי ל-"1" או "0", שיתאים למצבים "מופעל" או "כבוי". על ידי סידור טרנזיסטורים ברצף מסוים, ניצור מה שנקרא אלמנטים לוגיים שלוקחים ערכי אות כניסה אחד או יותר וממירים אותם לאות פלט המבוסס על כללים מסוימים של לוגיקה בוליאנית.

שערי הגיון נפוצים וטבלאות המצב שלהם

בהתבסס על השרשראות של אלמנטים בסיסיים כאלה, ניתן ליצור אלמנטים מורכבים יותר, ובהתבסס על שרשראות של אלמנטים מורכבים יותר, אנו יכולים בסופו של דבר, במידת הפשטה גדולה, לצפות לקבל אנלוגי של המעבד המרכזי.

כפי שציינתי קודם לכן, אנחנו צריכים דרך לייצג את ההיגיון הדיגיטלי באופן מתמטי. ראשית, בואו נציג את ההיגיון המסורתי המתמטי. באמצעות אלגברה לינארית, ניתן לייצג את הביטים הקלאסיים עם הערכים "1" ו- "0" כשני וקטורים של עמודות:

איפה המספרים משמאל סימון דיראק וֶקטוֹר. על ידי ייצוג הביטים שלנו בצורה זו, נוכל לדגמן פעולות לוגיות על הביטים באמצעות טרנספורמציות וקטוריות. שימו לב: למרות ששימוש בשני ביטים בשערים לוגיים יכול לבצע פעולות רבות (AND, NOT, XOR וכו'), כאשר משתמשים בביט אחד, ניתן לבצע רק ארבע פעולות: המרת זהות, שלילה, חישוב הקבוע "0" ו חישוב הקבוע "1". עם המרת זהות, הביט נשאר ללא שינוי, עם שלילה, ערך הסיביות משתנה להיפך (מ-"0" ל-"1" או מ-"1" ל-"0"), וחישוב הקבוע "1" או "0" מגדיר את הביט ל-"1" או "0" ללא קשר לערך הקודם שלו.

זהות	שינוי זהות
שְׁלִילָה	הכחשה
קבוע-0	חישוב הקבוע "0"
קבוע-1	חישוב הקבוע "1"

בהתבסס על הייצוג החדש המוצע שלנו של ביט, די קל לבצע פעולות על הסיביות המקבילות באמצעות טרנספורמציה וקטורית:

לפני שנמשיך הלאה, בואו נסתכל על הרעיון חישובים הפיכים, מה שמרמז בפשטות שכדי להבטיח הפיכות של פעולה או אלמנט לוגי, יש צורך לקבוע רשימה של ערכי אותות כניסה המבוססת על אותות המוצא ושמות הפעולות בהן נעשה שימוש. לפיכך, אנו יכולים להסיק שהטרנספורמציה והשלילה של הזהות הן הפיכות, אך הפעולות לחישוב הקבועים "1" ו-"0" אינן. הודות ל אחדות מכניקת הקוונטים, מחשבי קוונטים משתמשים אך ורק בפעולות הפיכות, אז בזה נתמקד. לאחר מכן, אנו ממירים אלמנטים בלתי הפיכים לאלמנטים הפיכים כדי לאפשר להם להשתמש במחשב קוונטי.

עם מוצר טנזור ביטים בודדים יכולים להיות מיוצגים על ידי ביטים רבים:

עכשיו כשיש לנו כמעט את כל המושגים המתמטיים הדרושים, בואו נעבור לשער ההיגיון הקוונטי הראשון שלנו. זה המפעיל CNOT, או מבוקר לא (NOT), שהוא בעל חשיבות רבה במחשוב הפיך וקוונטי. רכיב CNOT חל על שני ביטים ומחזיר שני ביטים. הסיבית הראשונה מסומנת כסיבית "בקרה", והשנייה כסיבית "בקרה". אם סיבית הבקרה מוגדרת ל-"1", סיבית הבקרה משנה את ערכה; אם סיבית הבקרה מוגדרת ל-"0", סיבית הבקרה לא משתנה.

אופרטור זה יכול להיות מיוצג כווקטור הטרנספורמציה הבא:

כדי להדגים את כל מה שסקרנו עד כה, אני אראה לכם כיצד להשתמש באלמנט CNOT במספר ביטים:

לסיכום מה שכבר נאמר: בדוגמה הראשונה אנו מפרקים את |10⟩ לחלקים ממוצר הטנזור שלו ומשתמשים במטריצת CNOT כדי לקבל מצב תואם חדש של המוצר; לאחר מכן אנו מפרקים אותו ל-|11⟩ לפי טבלת ערכי ה-CNOT שניתנו קודם לכן.

אז, זכרנו את כל הכללים המתמטיים שיעזרו לנו להבין את המחשוב המסורתי וביטים רגילים, וסוף סוף נוכל לעבור למחשוב קוונטי וקיוביטים מודרניים.

אם קראת עד כאן, אז יש לי חדשות טובות עבורך: קיוביטים יכולים להיות מבוטאים בקלות מתמטית. באופן כללי, אם ניתן להגדיר סיביות קלאסית (cbit) ל-|1⟩ או |0⟩, ה-qubit הוא פשוט בסופרפוזיציה ויכול להיות גם |0⟩ וגם |1⟩ לפני המדידה. לאחר המדידה, הוא מתמוטט ל-|0⟩ או |1⟩. במילים אחרות, קיוביט יכול להיות מיוצג כצירוף ליניארי של |0⟩ ו-|1⟩ לפי הנוסחה שלהלן:

איפה a₀ и a₁ מייצגים, בהתאמה, את המשרעות |0⟩ ו-|1⟩. ניתן לחשוב על אלה כ"הסתברויות קוונטיות", המייצגות את ההסתברות לקיוביט לקרוס לאחד המצבים לאחר מדידתו, שכן במכניקת הקוונטים אובייקט בסופרפוזיציה קורס לאחד המצבים לאחר תיקון. בואו נרחיב את הביטוי הזה ונקבל את הדברים הבאים:

כדי לפשט את ההסבר שלי, זה הייצוג שבו אשתמש במאמר זה.

עבור קיוביט זה, הסיכוי לקרוס לערך a₀ לאחר המדידה שווה ל |a₀|², והסיכוי להתמוטט לערך a₁ שווה ל |a₁|². לדוגמה, עבור הקיוביט הבא:

הסיכוי לקרוס לתוך "1" שווה ל-|1/ √2|², או ½, כלומר 50/50.

מכיוון שבמערכת הקלאסית כל ההסתברויות חייבות להסתכם באחד (להתפלגות הסתברות מלאה), אנו יכולים להסיק שהריבועים של הערכים המוחלטים של המשרעות |0⟩ ו-|1⟩ חייבים להסתכם באחד. על סמך מידע זה נוכל לנסח את המשוואה הבאה:

אם אתה מכיר טריגונומטריה, תבחין שמשוואה זו מתאימה למשפט פיתגורס (a²+b²=c²), כלומר, אנו יכולים לייצג באופן גרפי את המצבים האפשריים של הקיוביט כנקודות על מעגל היחידה, כלומר:

אופרטורים ואלמנטים לוגיים מוחלים על קיוביטים באותו אופן כמו במצב עם ביטים קלאסיים - מבוסס על טרנספורמציה מטריצה. ניתן להשתמש בכל אופרטורי המטריצה ​​הניתנים להפיכה שזכרנו עד כה, בפרט CNOT, לעבודה עם קיוביטים. אופרטורי מטריצה ​​כאלה מאפשרים לך להשתמש בכל אחת מהמשרעות של הקיוביט מבלי למדוד ולמוטט אותו. הרשו לי לתת לכם דוגמה לשימוש באופרטור השלילה על קיוביט:

לפני שנמשיך, הרשו לי להזכיר לכם שערכי המשרעת a₀ ו a₁ הם למעשה מספרים מסובכים, כך שניתן למפות את מצבו של קיוביט בצורה המדויקת ביותר על כדור יחידה תלת מימדי, הידוע גם בשם כדור פרעושים:

עם זאת, כדי לפשט את ההסבר, נגביל את עצמנו כאן למספרים ממשיים.

נראה שהגיע הזמן לדון בכמה אלמנטים לוגיים הגיוניים אך ורק בהקשר של מחשוב קוונטי.

אחד האופרטורים החשובים ביותר הוא "אלמנט האמרד": הוא לוקח קצת במצב "0" או "1" ומציב אותו בסופרפוזיציה המתאימה עם סיכוי של 50% לקרוס ל-"1" או "0" לאחר מדידה. 

שימו לב שיש מספר שלילי בחלק הימני התחתון של מפעיל המרד. זאת בשל העובדה שהתוצאה של הפעלת האופרטור תלויה בערך של אות הכניסה: - |1⟩ או |0⟩, ולכן החישוב הפיך.

נקודה חשובה נוספת לגבי אלמנט Hadamard היא ההיפוך שלו, כלומר הוא יכול לקחת קיוביט בסופרפוזיציה המתאימה ולהפוך אותו ל-|0⟩ או |1⟩.

זה חשוב מאוד כי זה נותן לנו את היכולת לבצע טרנספורמציה ממצב קוונטי מבלי לקבוע את מצב הקיוביט – ובהתאם לכך מבלי למוטט אותו. לפיכך, אנו יכולים לבנות מחשוב קוונטי על סמך עקרון דטרמיניסטי ולא הסתברותי.

אופרטורים קוונטיים המכילים רק מספרים ממשיים הם ההיפך שלהם, כך שנוכל לייצג את התוצאה של החלת האופרטור על קיוביט כטרנספורמציה בתוך מעגל היחידה בצורה של מכונת מצב:

כך, הקיוביט, שמצבו מוצג בתרשים לעיל, לאחר הפעלת פעולת Hadamard, הופך למצב המצוין על ידי החץ המתאים. באופן דומה, אנו יכולים לבנות מכונת מצב נוספת שתמחיש את הטרנספורמציה של קיוביט באמצעות אופרטור השלילה כפי שמוצג לעיל (הידוע גם כאופרטור השלילה של פאולי, או היפוך סיביות), כפי שמוצג להלן:

כדי לבצע פעולות מורכבות יותר ב-qubit שלנו, אנו יכולים לשרשר אופרטורים מרובים או להחיל אלמנטים מספר פעמים. דוגמה לטרנספורמציה סדרתית מבוססת על ייצוגי מעגלים קוונטיים הוא כדלקמן:

כלומר, אם נתחיל בביט |0⟩, נחיל היפוך סיביות, ואז פעולת Hadamard, ואז עוד היפוך סיביות, ושוב פעולת Hadamard, ואחריה היפוך סיביות סופי, נסיים עם הווקטור שניתן על ידי on הצד הימני של השרשרת. על ידי שכבות מכונות מצבים שונות זו על גבי זו, נוכל להתחיל ב-|0⟩ ולעקוב אחר החצים הצבעוניים המתאימים לכל אחת מהטרנספורמציות כדי להבין איך הכל עובד.

מכיוון שהגענו עד כאן, הגיע הזמן לשקול את אחד מסוגי האלגוריתמים הקוונטיים, כלומר - אלגוריתם דויטש-ג'וזה, ולהראות את היתרון שלו על פני מחשב קלאסי. ראוי לציין שאלגוריתם דויטש-ג'וזה הוא דטרמיניסטי לחלוטין, כלומר מחזיר את התשובה הנכונה ב-100% מהזמן (בניגוד לאלגוריתמים קוונטיים רבים אחרים המבוססים על ההגדרה ההסתברותית של קיוביטים).

בואו נדמיין שיש לכם קופסה שחורה המכילה פונקציה/אופרטור על ביט אחד (זכור - עם ביט אחד ניתן לבצע רק ארבע פעולות: המרת זהות, שלילה, הערכת הקבוע "0" והערכה של הקבוע "1" "). מה בדיוק הפונקציה המבוצעת בקופסה? אתה לא יודע איזה מהם, אבל אתה יכול לעבור על כמה וריאציות של ערכי קלט שתרצה ולהעריך את תוצאות הפלט.

כמה כניסות ויציאות תצטרך לרוץ דרך הקופסה השחורה כדי להבין באיזו פונקציה משתמשים? תחשוב על זה שנייה.

במקרה של מחשב קלאסי, תצטרך לבצע 2 שאילתות כדי לקבוע באיזו פונקציה יש להשתמש. לדוגמה, אם הקלט "1" מייצר פלט "0", מתברר שנעשה שימוש בפונקציה של חישוב הקבוע "0" או בפונקציית השלילה, ולאחר מכן תצטרך לשנות את הערך של אות הכניסה ל-"0" ולראות מה קורה ביציאה.

במקרה של מחשב קוונטי, יידרשו גם שתי שאילתות, מכיוון שאתה עדיין צריך שני ערכי פלט שונים כדי להגדיר במדויק את הפונקציה שתחול על ערך הקלט. עם זאת, אם מנסחים מעט את השאלה מחדש, מסתבר שלמחשבים קוונטיים עדיין יש יתרון רציני: אם רציתם לדעת האם הפונקציה בה משתמשים היא קבועה או משתנה, למחשבים קוונטיים יהיה היתרון.

הפונקציה המשמשת בתיבה משתנה אם ערכים שונים של אות הקלט מייצרים תוצאות שונות במוצא (לדוגמה, המרת זהות והיפוך סיביות), ואם ערך הפלט לא משתנה ללא קשר לערך הקלט, אז הפונקציה קבועה (לדוגמה, חישוב קבוע "1" או חישוב הקבוע "0").

באמצעות אלגוריתם קוונטי, אתה יכול לקבוע אם פונקציה בקופסה שחורה היא קבועה או משתנה על סמך שאילתה אחת בלבד. אבל לפני שנבחן כיצד לעשות זאת בפירוט, עלינו למצוא דרך לבנות כל אחת מהפונקציות הללו במחשב קוונטי. מכיוון שכל אופרטורים קוונטיים חייבים להיות הפיכים, אנו נתקלים מיד בבעיה: הפונקציות לחישוב הקבועים "1" ו- "0" אינן.

פתרון נפוץ המשמש במחשוב קוונטי הוא הוספת קיוביט פלט נוסף המחזיר כל ערך קלט שהפונקציה מקבלת. 

לפני	לאחר

בדרך זו, אנו יכולים לקבוע את ערכי הקלט רק על סמך ערך הפלט, והפונקציה הופכת להפיכה. המבנה של מעגלים קוונטיים יוצר צורך בסיבית קלט נוספת. לצורך פיתוח האופרטורים המתאימים, נניח ש-qubit הקלט הנוסף מוגדר ל-|0⟩.

באמצעות אותו ייצוג מעגל קוונטי בו השתמשנו קודם לכן, בואו נראה כיצד ניתן ליישם כל אחד מארבעת האלמנטים (טרנספורמציה של זהות, שלילה, הערכת הקבוע "0" והערכת הקבוע "1") באמצעות אופרטורים קוונטיים. 

לדוגמה, כך תוכל ליישם את הפונקציה לחישוב הקבוע "0":

חישוב הקבוע "0":

כאן אנחנו לא צריכים מפעילים בכלל. קווביט הקלט הראשון (שהנחנו שהוא |0⟩) מחזיר עם אותו ערך, וערך הקלט השני מחזיר את עצמו - כרגיל.

עם הפונקציה לחישוב הקבוע "1" המצב קצת שונה:

חישוב הקבוע "1":

מכיוון שהנחנו ש-qubit הקלט הראשון תמיד מוגדר ל-|0⟩, התוצאה של הפעלת אופרטור היפוך סיביות היא שהוא תמיד מייצר אחד במוצא. וכרגיל, הקיוביט השני נותן ערך משלו במוצא.

בעת מיפוי מפעיל שינוי הזהות, המשימה מתחילה להסתבך. הנה איך לעשות את זה:

טרנספורמציה זהה:

הסמל המשמש כאן מציין את רכיב ה-CNOT: השורה העליונה מציינת את סיביות הבקרה, והשורה התחתונה מציינת את סיביות הבקרה. הרשו לי להזכיר לכם שבשימוש באופרטור CNOT, הערך של סיבית הבקרה משתנה אם סיבית הבקרה שווה ל-|1⟩, אך נשאר ללא שינוי אם סיבית הבקרה שווה ל-|0⟩. מכיוון שהנחנו שהערך של השורה העליונה תמיד שווה ל-|0⟩, הערך שלה תמיד מוקצה לשורה התחתונה.

אנו ממשיכים בצורה דומה עם אופרטור השלילה:

שְׁלִילָה:

אנחנו פשוט הופכים את הביט בסוף שורת הפלט.

כעת, לאחר שהוצאנו את ההבנה המוקדמת הזו, בואו נסתכל על היתרונות הספציפיים של מחשב קוונטי על פני מחשב מסורתי בכל הנוגע לקביעת הקביעות או השונות של פונקציה החבויה בקופסה שחורה באמצעות שאילתה אחת בלבד.

כדי לפתור בעיה זו באמצעות מחשוב קוונטי בבקשה בודדת, יש צורך להכניס את קווביט הקלט לסופרפוזיציה לפני העברתם לפונקציה, כפי שמוצג להלן:

האלמנט של Hadamard מוחל מחדש על התוצאה של הפונקציה כדי לשבור את הקיוביטים מסופרפוזיציה ולהפוך את האלגוריתם לדטרמיניסטי. אנו מתחילים את המערכת במצב |00⟩ ומסיבות שאסביר בקרוב, נקבל את התוצאה |11⟩ אם הפונקציה שהופעלה קבועה. אם הפונקציה בתוך הקופסה השחורה משתנה, אז לאחר המדידה המערכת מחזירה את התוצאה |01⟩.

כדי להבין את המשך המאמר, בואו נסתכל על האיור שהראיתי קודם:

על ידי שימוש באופרטור היפוך סיביות ולאחר מכן החלת אלמנט Hadamard על שני ערכי הקלט השווים ל-|0⟩, אנו מבטיחים שהם מתורגמים לאותה סופרפוזיציה של |0⟩ ו-|1⟩, באופן הבא:

באמצעות הדוגמה של העברת ערך זה לפונקציית קופסה שחורה, קל להדגים ששתי פונקציות הערך הקבוע מוציאות |11⟩.

חישוב הקבוע "0":

באופן דומה, אנו רואים שהפונקציה לחישוב הקבוע "1" מייצרת גם |11⟩ כפלט, כלומר:

חישוב הקבוע "1":

שימו לב שהפלט יהיה |1⟩, מכיוון ש-1² = 1.

על פי אותו עיקרון, נוכל להוכיח שבשימוש בשתי פונקציות המשתנים, תמיד נקבל |01⟩ בפלט (בתנאי שנשתמש באותה שיטה), למרות שהכל קצת יותר מסובך.

טרנספורמציה זהה:

מכיוון ש-CNOT הוא אופרטור שני קיוביטים, לא ניתן לייצג אותו כמכונת מצב פשוטה, ולכן יש צורך להגדיר שני אותות פלט המבוססים על מכפלת הטנזור של שני קיוביטים קלט וכפלה על ידי מטריצת CNOT כפי שתואר קודם לכן:

בשיטה זו נוכל גם לאשר שערך הפלט |01⟩ מתקבל אם פונקציית השלילה מוסתרת בקופסה השחורה:

שְׁלִילָה:

לפיכך, זה עתה הדגמנו מצב שבו מחשב קוונטי הוא בבירור יעיל יותר ממחשב רגיל.

מה הלאה?

אני מציע שנסיים כאן. כבר עשינו עבודה מצוינת. אם הבנת את כל מה שסקרתי, אני חושב שכעת יש לך הבנה טובה של היסודות של מחשוב קוונטי והלוגיקה הקוונטית, ולמה אלגוריתמים קוונטיים יכולים להיות יעילים יותר ממחשוב מסורתי במצבים מסוימים.

התיאור שלי בקושי יכול להיקרא מדריך מלא למחשוב קוונטי ואלגוריתמים - אלא, זהו מבוא קצר למתמטיקה וסימון, שנועד להפיג את רעיונות הקוראים לגבי הנושא שנכפו על ידי מקורות מדע פופולרי (ברצינות, רבים באמת לא יכולים להבין המצב!). לא הספקתי לגעת בהרבה נושאים חשובים, כמו הסתבכות קוונטית של קיוביטים, מורכבות ערכי המשרעת|0⟩ ו-|1⟩ והתפקוד של אלמנטים לוגיים קוונטיים שונים במהלך הטרנספורמציה על ידי כדור בלוך.

אם אתה רוצה לעשות שיטתיות ולבנות את הידע שלך על מחשבים קוונטיים, בחוזקה אני ממליץ לך לקרוא "מבוא לאלגוריתם קוונטים" אמה סטרובל: למרות שפע הנוסחאות המתמטיות, ספר זה דן באלגוריתמים קוונטיים בפירוט רב יותר.

מקור: www.habr.com