איך כולם יכולים להתחתן (נישואים חד-מיניים, דו-מיניים ומשולשים) מנקודת מבט מתמטית ומדוע גברים תמיד מנצחים

בשנת 2012 הוענק פרס נובל לכלכלה ללויד שאפלי ואלווין רוט. "לתיאוריית ההפצה היציבה והפרקטיקה של ארגון שווקים." Aleksey Savvateev בשנת 2012 ניסה להסביר בצורה פשוטה וברורה את מהות היתרונות של מתמטיקאים. אני מציג לתשומת לבך תקציר הרצאות וידאו.

היום תתקיים הרצאה תיאורטית. לגבי ניסויים אלה רוטה, בפרט עם תרומה, לא אספר.

כשהודיעו על כך לויד שפלי (1923-2016) קיבל את פרס נובל, הייתה שאלה סטנדרטית: "איך!? הוא עדיין חי!?!?” התוצאה המפורסמת ביותר שלו הושגה ב-1953.

רשמית, הבונוס ניתן על משהו אחר. למאמרו משנת 1962 על "משפט יציבות הנישואין": "קבלה למכללה ויציבות הנישואין".

על נישואים ברי קיימא

תואם (התאמה) - משימת מציאת התכתבות.

יש כפר מבודד מסוים. יש "מ" גברים צעירים ו"w" בנות. אנחנו צריכים לחתן אותם אחד לשני. (לא בהכרח אותו מספר, אולי בסוף מישהו יישאר לבד.)

אילו הנחות צריך לעשות במודל? שזה לא קל להתחתן מחדש באקראי. נעשה צעד מסוים לקראת בחירה חופשית. נניח שיש אקסקאל חכם שרוצה להתחתן מחדש כדי שאחרי מותו לא יתחילו גירושין. (גירושין הם מצב שבו בעל רוצה אישה צד ג' כאשתו יותר מאשר את אשתו.)

משפט זה הוא ברוח הכלכלה המודרנית. היא בלתי אנושית בצורה יוצאת דופן. הכלכלה הייתה באופן מסורתי לא אנושיות. בכלכלה, האדם מוחלף במכונה כדי למקסם רווחים. מה שאני אגיד לך זה דברים מטורפים לחלוטין מנקודת מבט מוסרית. אל תיקח את זה ללב.

כלכלנים מסתכלים על נישואים כך.
m1, m2,... mk - גברים.
w1, w2,... wL - נשים.

גבר מזוהה עם האופן שבו הוא "מזמין" בנות. יש גם "רמת אפס", שמתחתיה לא ניתן להציע נשים כנשים כלל, גם אם אין אחרות.

הכל קורה בשני הכיוונים, אותו דבר עבור בנות.

הנתונים הראשוניים הם שרירותיים. ההנחה/המגבלה היחידה היא שאנחנו לא משנים את ההעדפות שלנו.

מִשׁפָּט: ללא קשר להתפלגות ולרמת האפס, תמיד יש דרך ליצור התכתבות אחד על אחד בין כמה גברים וחלק מהנשים כך שתהיה איתנה לכל סוגי הפילוגים (לא רק גירושים).

אילו איומים עלולים להיות?

יש זוג (מ,וו) שאינו נשוי. אבל עבור w הבעל הנוכחי גרוע מ-m, ועבור m האשה הנוכחית גרועה מ-w. זהו מצב בלתי בר קיימא.

ישנה גם אפשרות שמישהו היה נשוי למישהו שהוא "מתחת לאפס", במצב זה, גם הנישואים יתפרקו.

אם אישה נשואה, אבל היא מעדיפה גבר לא נשוי, שעבורו היא מעל האפס.

אם שני אנשים שניהם לא נשואים, ושניהם "מעל האפס" זה לזה.

נטען כי על כל נתונים ראשוניים קיימת מערכת נישואים כזו, עמידה בפני כל סוגי האיומים. שנית, האלגוריתם למציאת שיווי משקל כזה הוא פשוט מאוד. בוא נשווה עם M*N.

מודל זה הוכלל והורחב ל"פוליגמיה" ויושם בתחומים רבים.

נוהל גייל-שאפלי

אם כל הגברים וכל הנשים ימלאו אחר "המרשמים", מערכת הנישואים שתתקבל תהיה בת קיימא.

מרשמים.
אנחנו לוקחים כמה ימים לפי הצורך. אנו מחלקים כל יום לשני חלקים (בוקר וערב).

בבוקר הראשון כל גבר הולך לאישה הכי טובה שלו ודופק על החלון ומבקש ממנה להינשא לו.

בערב של אותו יום, התור פונה לנשים, מה יכולה אישה לגלות? שהיה קהל מתחת לחלון שלה, גבר אחד או לא. אלה שאין להם היום אף אחד מדלגים על התור ומחכים. השאר, שיש להם לפחות אחד, בודקים את הגברים שבאים לראות שהם "מעל רמה אפס". שיהיה לך לפחות אחד. אם אין לך מזל לגמרי והכל מתחת לאפס, אז צריך לשלוח את כולם. האישה בוחרת את הגדול מבין הבאים, אומרת לו לחכות, ושולחת את השאר.

לפני היום השני, המצב הוא כזה: לחלק מהנשים יש גבר אחד ולחלק אין.

ביום השני, כל הגברים ה"חופשיים" (ששלחו) צריכים ללכת לאישה בעדיפות שנייה. אם אין אדם כזה, אז הגבר מוכרז רווק. הגברים האלה שכבר יושבים עם נשים לא עושים כלום עדיין.

בערב מסתכלות הנשים על המצב. אם למישהו שכבר ישב הצטרף בעדיפות גבוהה יותר, אז העדיפות הנמוכה נשלחת משם. אם המגיעים נמוכים ממה שכבר יש, כולם נשלחים. נשים בוחרות בכל פעם את האלמנט המקסימלי.

אנחנו חוזרים.

כתוצאה מכך, כל גבר עבר על כל רשימת הנשים שלו או נשאר לבד או מאורס עם אישה כלשהי. אז נתחתן את כולם.

האם אפשר לנהל את כל התהליך הזה, אבל לנשים לרוץ לגברים? ההליך הוא סימטרי, אך הפתרון עשוי להיות שונה. אבל השאלה היא מי יותר טוב מזה?

מִשׁפָּט. הבה נבחן לא רק את שני הפתרונות הסימטריים הללו, אלא את מערך כל מערכות הנישואין היציבות. המנגנון המקורי המוצע (גברים רצים ונשים מקבלות/מסרבות) מביא למערכת נישואים טובה יותר לכל גבר מכל אחר וגרוע מכל אחרת עבור כל אישה.

נישואים חד מיניים

שקול את המצב עם "נישואים חד מיניים". הבה נבחן תוצאה מתמטית המטילה ספק בצורך להכשיר אותם. דוגמה לא נכונה מבחינה אידיאולוגית.

ראה ארבעה הומוסקסואלים א, ב, ג, ד.

סדרי עדיפויות עבור a: bcd
סדרי עדיפויות עבור b:cad
סדרי עדיפויות עבור c: abd
כי ד זה לא משנה איך הוא מדרג את שלושת הנותרים.

הַצהָרָה: אין מערכת נישואים בת קיימא במערכת זו.

כמה מערכות יש לארבעה אנשים? שְׁלוֹשָׁה. ab cd, ac bd, ad bc. הזוגות יתפרקו והתהליך יעבור במחזוריות.

מערכות "שלושה מגדרים".
זו השאלה החשובה ביותר שפותחת תחום שלם של מתמטיקה. זה נעשה על ידי עמיתי במוסקבה, ולדימיר איבנוביץ' דנילוב. הוא ראה ב"נישואים" לשתות וודקה והתפקידים היו כדלקמן: "מי שמוזג", "מי שמדבר את הטוסט" ו"זה שחותך את הנקניק". במצב שבו יש 4 או יותר נציגים של כל תפקיד, אי אפשר לפתור בכוח גס. השאלה של מערכת בת קיימא היא שאלה פתוחה.

וקטור שיאפלי

בכפר הקוטג' החליטו לאספלט את הכביש. צריך להשתלב. אֵיך?

שאפלי הציע פתרון לבעיה זו ב-1953. הבה נניח מצב של עימות עם קבוצת אנשים N={1,2…n}. יש לחלוק עלויות/תועלות. נניח שאנשים ביחד עשו משהו מועיל, מכרו אותו ואיך לחלק את הרווח?

שאפלי הציע שכאשר מחלקים, עלינו להיות מודרכים לפי כמה תת-קבוצות מסוימות של האנשים האלה יכולים לקבל. כמה כסף יכולים להרוויח כל קבוצות המשנה הלא ריקות של 2N? ובהתבסס על המידע הזה, שיאפלי כתב נוסחה אוניברסלית.

דוגמה. סולן, גיטריסט ומתופף מנגנים במעבר תת קרקעי במוסקבה. שלושתם מרוויחים 1000 רובל לשעה. איך לחלק את זה? אולי באותה מידה.
V(1,2,3)=1000

נניח את זה
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100

לא ניתן לקבוע חלוקה הוגנת עד שנדע אילו רווחים מחכים לחברה נתונה אם היא תתפרק ותפעל בעצמה. וכאשר קבענו את המספרים (קבענו את המשחק השיתופי בצורה אופיינית).

תוספת יתר היא כאשר ביחד הם מרוויחים יותר מאשר בנפרד, כאשר משתלם יותר להתאחד, אך לא ברור כיצד לחלק את הזכייה. עותקים רבים נשברו בנושא זה.

יש משחק. שלושה אנשי עסקים מצאו בו זמנית פיקדון בשווי מיליון דולר. אם שלושתם מסכימים, אז יש מיליון כאלה. כל זוג יכול להרוג (להסיר מהתיק) ולקבל את כל המיליון עבור עצמו. ואף אחד לא יכול לעשות כלום לבד. זהו משחק שיתוף פעולה מפחיד ללא פתרון. תמיד יהיו שני אנשים שיוכלו לחסל את השלישי... תורת המשחקים השיתופית מתחילה בדוגמה שאין לה פתרון.

אנחנו רוצים פתרון כזה שאף קואליציה לא תרצה לחסום את הפתרון המשותף. הסט של כל החטיבות שלא ניתן לחסום הוא הקרנל. קורה שהליבה ריקה. אבל גם אם הוא לא ריק, איך לחלק?

שאפלי מציע לחלק כך. לזרוק מטבע עם n! קצוות. אנו כותבים את כל השחקנים בסדר הזה. נגיד המתופף הראשון. הוא נכנס ולוקח את ה-100 שלו. ואז נכנס ה"שני", נניח הסולן. (יחד עם המתופף הם יכולים להרוויח 450, המתופף כבר לקח 100) הסולן לוקח 350. הגיטריסט נכנס (יחד 1000, -450), לוקח 550. האחרון בהרבה פעמים מנצח. (סופר-מודולריות)

אם נכתוב עבור כל ההזמנות:
GSB - (ניצחון C) - (ניצחון D) - (ניצחון B)
SGB ​​- (ניצחון C) - (ניצחון D) - (ניצחון B)
SBG - (ניצחון C) - (ניצחון D) - (ניצחון B)
BSG - (ניצחון C) - (ניצחון D) - (ניצחון B)
BGS - (רווח C) - (רווח D) - (רווח B)
GBS - (ניצחון C) - (ניצחון D) - (ניצחון B)

ולכל עמודה נוסיף ונחלק ב-6 - ממוצע על כל ההזמנות - זהו וקטור של שאפליי.

שאפלי הוכיח את המשפט (בערך): יש מחלקה של משחקים (סופר-מודוליים), שבהם האדם הבא שיצטרף לצוות גדול מביא לו ניצחון גדול יותר. הקרנל תמיד לא ריק והוא שילוב קמור של נקודות (במקרה שלנו, 6 נקודות). וקטור שאפלי נמצא ממש במרכז הגרעין. תמיד אפשר להציע את זה כפתרון, אף אחד לא יתנגד לזה.

ב-1973 הוכח שהבעיה בקוטג'ים היא סופר-מודולית.

כל n האנשים חולקים את הדרך לקוטג' הראשון. עד השני - n-1 אנשים. וכו.

לשדה התעופה יש מסלול המראה. חברות שונות צריכות אורכים שונים. אותה בעיה מתעוררת.

אני חושב שמי שהעניקו את פרס נובל חשבו על הכשרון הזה, ולא רק את משימת השוליים.

תודה לך!

Ещё

• ערוץ "מתמטיקה - פשוט": youtube.com/punkmathematics
• ערוץ "Savvateev ללא גבולות": edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
• הציבור "מתמטיקה היא פשוטה": vk.com/alexei_savvateev
• "בדיחה של מתמטיקאים" פומבית: vk.com/bsu_mmf_jokes
• אתר אינטרנט, כל ההרצאות שם +100 שיעורים ועוד: savvateev.xyz

מקור: www.habr.com